Patrz: matematyka (2-3 klasa starego liceum), temat: szereg geometryczny zbieżny i jego suma.

Patrz: szereg geometryczny zbiezny i jego suma.

> Trafiłem ostatnio na tzw. paradoksy Zenona. O ile niektóre potrafię sobie
> wytłumaczyć, to jeden za cholere nie daje mi spokoju . Chodzi mianowicie
> o przykład z Achillesem i żółwiem. Błagam! Napiszcie, czy i jakie jest rozwiązanie
> tego problemu (domyślam się, że może być oczywiste), bo nie zasne!
> [wielkie.J]

hmm,,
poczytaj moje wypowiedzi w temacie na Google:
www.google(*)Robak+Achilles&btnG=Szukaj&lr=
na grupach dyskusyjnych jest tego znacznie więcej:
groups.goo(*)pl&lr=&ie=UTF-8&sa=N&scoring=d
PS. jeśli czegoś nie zrozumiałeś to chętnie służę wyjaśnieniem
Edward Robak \|/ re:

Hmm... przejrzałem linki ale prawdę mówiąc, to dalej nie rozumiem . Czy jest ktoś kto potrafi w sposób zrozumiały to wytłumaczyć? W którym miejscu takiego rozumowania jest błąd? POMOCY !

P.S. Wy też tak macie, że jak czegoś nie rozumiecie to nie potraficie myśleć o niczym innym?

> Hmm... przejrzałem linki ale prawdę mówiąc, to dalej nie rozumiem . Czy jest ktoś
> kto potrafi w sposób zrozumiały to wytłumaczyć? W którym miejscu takiego
> rozumowania jest błąd? POMOCY !

a czego konkretnie nie rozumiesz?
jakiego rozumowania dotyczy błąd o którym piszesz??

Edward Robak \|/ re:

>Wy też tak macie, że jak czegoś nie rozumiecie to nie potraficie myśleć o niczym innym?
I tak, i nie! Niektórzy z nas poza takimi problemami maja rodziny i dzieci, i o nich też myślimy OBOK takich zagadnień (choć 20 lat temu też wydawało się to niemożliwe)

> W którym miejscu takiego rozumowania jest błąd? POMOCY !
Starożytnym, a więc i Zenonowi z Elei wydawało się, że NIESKOŃCZONA liczba składników MUSI dać NIESKOŃCZONĄ sumę! (np. w paradoksie strzały)
"Achilles i żółw" (długość dróg przebywanych przez Achillesa) to inny przykład wyrazów ciągu geometrycznego. Suma długości odcinków drogi przebywanej przez Achillesa- to suma wyrazów nieskończonej liczby wyrazów ciągu geometrycznego. Mimo, że nieskończenie wiele składników "dodać" należy, ich suma, jak dowodzi matematyka, jest SKOŃCZONA. Można dodawać nieskończenie wiele składników i otrzymać konkretną liczbę! (patrz 2-3 klasa liceum, temat: szereg geometryczny) Ale Zenon i starożytni jeszcze tego nie wiedzieli!

> Starożytnym, a więc i Zenonowi z Elei wydawało się, że NIESKOŃCZONA liczba
> składników MUSI dać NIESKOŃCZONĄ sumę! (np. w paradoksie strzały)
> "Achilles i żółw" (długość dróg przebywanych przez Achillesa) to inny przykład
> wyrazów ciągu geometrycznego. Suma długości odcinków drogi przebywanej przez
> Achillesa- to suma wyrazów nieskończonej liczby wyrazów ciągu geometrycznego.
> Mimo, że nieskończenie wiele składników "dodać" należy, ich suma, jak dowodzi
> matematyka, jest SKOŃCZONA. Można dodawać nieskończenie wiele składników i
> otrzymać konkretną liczbę! (patrz 2-3 klasa liceum, temat: szereg geometryczny) Ale
> Zenon i starożytni jeszcze tego nie wiedzieli!
> [drobner]

Suma wyrazów (składników) nieskończonej liczby wyrazów (elementów) ciągu
geometrycznego jest SKOŃCZONA a więc WARTOŚĆ takiej nieskończonej SUMY
jest WYMIERNA. Jak piszesz:

> Starożytnym, a więc i Zenonowi z Elei wydawało się, że NIESKOŃCZONA liczba
> składników MUSI dać NIESKOŃCZONĄ sumę!

Jak sądzisz: czy dzisiejszym 'starożytnym' wydaje się, że suma nieskończonego szeregu
dąży dio jakiejś mistycznej granicy zwanej "lim" której nigdy nie osiąga?
przykład:
zapis nieskończonego szeregu 0,(9) wskazuje, że elementów okresowych jest
nieskończenie wiele. Podaje się w literaturze tzw. matematycznej rozumowanie
w którym mnoży się ten szereg 0,(9) przez 10 i w wyniku podaje się liczbę 9,(9)
i tu pytanie:
czy przez 10 mnoży się KAZDY element tego szeregu 0,(9) i ile jest tych elementów?
czy tyle co liczb naturalnych czy tyle co liczb rzeczywistych?
Edward Robak \|/ re:

>Suma wyrazów (składników) nieskończonej liczby wyrazów (elementów) ciągu
>geometrycznego jest SKOŃCZONA a więc WARTOŚĆ takiej nieskończonej SUMY
>jest WYMIERNA.
określenie 'WYMIERNA' ma w matematyce inne, b. ściśle określone znaczenie!
Wystarczy powiedzieć, że taka suma jest liczbą rzeczywistą.

>Jak sądzisz: czy dzisiejszym 'starożytnym' wydaje się, że suma nieskończonego szeregu
>dąży dio jakiejś mistycznej granicy zwanej "lim" której nigdy nie osiąga?
tego nie wiem

>zapis nieskończonego szeregu 0,(9) ............
>czy przez 10 mnoży się KAZDY element tego szeregu 0,(9)
każdy
>i ile jest tych elementów? czy tyle co liczb naturalnych czy tyle co liczb rzeczywistych?
tyle, co liczb naturalnych

>> Suma wyrazów (składników) nieskończonej liczby wyrazów (elementów) ciągu
>> geometrycznego jest SKOŃCZONA a więc WARTOŚĆ takiej nieskończonej SUMY
>> jest WYMIERNA.

> określenie 'WYMIERNA' ma w matematyce inne, b. ściśle określone znaczenie!
> Wystarczy powiedzieć, że taka suma jest liczbą rzeczywistą.

Zgadzam się z tym. Wymierna znaczy mierzalna. Droga jaką pokona Achilles na odcinku
pomiędzy punktem startu a punktem w którym dopędzi żółwia i klepnie go w skorupę
jest jak najbardziej rzeczywista i WYMIERNA.

>> zapis nieskończonego szeregu 0,(9) [...]
>> czy przez 10 mnoży się KAZDY element tego szeregu 0,(9)

> każdy

>> i ile jest tych elementów? czy tyle co liczb naturalnych czy tyle
>> co liczb rzeczywistych?

> tyle, co liczb naturalnych

Jeśłi tych elementów w zapisie 0,(9) jest tyle co liczb naturalnych to czy
0,(9) = 0,(9) gdy z lewej strony równania jest tyle elementów co liczb naturalnych a z prawej strony równania jest tyle elementów co liczb rzeczywistych?

Edward Robak \|/ re:

Trochę ciekawsze są paradoksy, które wymyślił Tales z Miletu. Ale wszystkich na głowę pobił swoimi paradoksami Sedes z Bakelitu!!!
Warto poszukać w literaturze greckiej .....

>Trafiłem ostatnio na tzw. paradoksy Zenona. O ile
>niektóre potrafię sobie wytłumaczyć, to jeden za cholere
>nie daje mi spokoju . Chodzi mianowicie o przykład z
>Achillesem i żółwiem. Błagam! Napiszcie, czy i jakie jest
>rozwiązanie tego problemu (domyślam się, że może być
>oczywiste), bo nie zasne!

Według Zenona z Elei, Achilles nigdy nie dogoni żółwia, jeśli ten rozpocznie wyścig wcześniej.Gdy Achilles dobiegnie do miejsca, z którego wystartował żółw, żółwia już tam nie będzie, bo przesunął się w tym czasie w inne miejsce.Achilles musi więc znów dobiec tam, gdzie żółw był przed chwilą, ale ten przesunął się już do przodu. Sytuacja taka będzie siępowtarzać.Goniącego i uciekającego zawsze będzie dzielić jakaś odległość. Najszybszy biegacz nigdy wiec nie dogoni najwolniejszego.

W starożytności jednak nie definiowano szybkości jako ilorazu drogi i czasu, gdyż zgodnie z przekonaniem Greków "stosunki można tworzyć tylko z wielkości jednorodnych". Szybkość dwóch ruchów porównywano więc, porównując drogi przebyte przez ciała w jednakowym czasie lub czasy przebycia przez ciała takiej samej drogi.

>Trafiłem ostatnio na tzw. paradoksy Zenona. O ile
>niektóre potrafię sobie wytłumaczyć, to jeden za cholere
>nie daje mi spokoju . Chodzi mianowicie o przykład z
>Achillesem i żółwiem. Błagam! Napiszcie, czy i jakie jest
>rozwiązanie tego problemu (domyślam się, że może być
>oczywiste), bo nie zasne!

No proste. Chodzi o to że czas dąży do pewnego momentu i go nie przekracza, do chwili kiedy Achilles goni żółwia. Z tym że suma nieskończonej liczby wyrazów ciągu geometrycznego musi być skończona to nie wiem. Ale w tym przypadku to jest tak:

Dajmy na to ze achilles biegnie 40m/s a zolw 20m/s. Żolw jest na 20 metrze. Teraz kiedy Achilles dogania żółwia, ten jest na 30 metrze. Mineło pół sekundy. Teraz kiedy Achilles dobiega na 30 metr żółw jest na 35. Minęła 1/4 sekundy. Następnie achilles znowu dogania zolwika ktory jest na 37,5 metrze i mija 1/8 sekundy. I tak w nieskończoność. Niby nigdy nie wybija pierwsza sekunda biegu w której to Achilles dogania żółwia.