Rachunek prawdopodobieństwa... o jak to dawno było

Załóżmy że gracz wybrał na początku dobrą szkatułkę (prawdopodobieństwo 1/3). Prowadzący chowa wtedy jedną pustą i proponuje zamianę. Gracz wymieni ją albo nie (nie wie że szkatułka jest pełna) z prawdopodobieństwem ½ trafiając na właściwą (którą ma w ręce).
Jeśli szkatułka była zła (prawdopodobieństwo 2/3) również zostanie mu wybór między jedną szkatułką pustą, a drugą pełną, więc prawdopodobieństwo że wybierze dobrą wynosi ponownie ½.
Ogólnie prawdopodobieństwo wygranej wynosi wtedy ½·2/3+½·1/3=½
W przypadku wyboru 1 szkatułki z 3 jest to 1/3, zatem co dwa wybory to nie jeden

>Rachunek prawdopodobieństwa... o jak to dawno było

Jak widac - zbyt dawno, bowiem odpowiedz jest nieprawidlowa.

---

Wiem, ze nic nie wiem. - Najmadrzejsze wypowiedziane zdanie w historii swiata.

Jak widać od czasu do czasu potrzebne jest małe odświeżenie wiadomości

Pozdrawiam

Jeżeli prowadzący zabiera zawsze pustą szkatułkę to prawdopodobieństwo wynosi zawsze 1/2. (bo wybiera się faktycznie z dwóch - pustej i pełnej) i sposób skomplikowania wyboru (wybieranie raz czy dwa razy) nie ma znaczenia. (o ile po drodze nie ma możliwości sprawdzenia wyniku)
Natomiast jeżeli prowadzący może zabrać także szkatułkę pełną (bo także nie zna zawartości) prawdopodobieństwo wynosi 1/3. (znowu niezależnie od skomplikowania procedury)

Coz, tez nie jest to prawda...

---

Wiem, ze nic nie wiem. - Najmadrzejsze wypowiedziane zdanie w historii swiata.

Strategia zmiany szkatulki jest strategia korzystniejsza niz pozostanie przy poprzednim wyborze, tj. jesli bedziesz zawsze zmienial szkatulke, prawdopodobienstwo wygranej bedzie wieksze, i to dokladnie 2 razy, od tegoz prawdopodobienstwa, jesli pozostaniesz przy swoim wyborze.

Dlaczego tak jest? Przyznac trzeba, ze nie jest to latwe do wytlumaczenia na pierwszy rzut oka, ale da sie (mozna to wszystko poprzec formalnym rachunkiem prawd. z wzorami, co prawie tutaj zrobilem).

Jesli wskazana przez Ciebie na poczatku (niech to bedzie faza I) szkatulka jest pusta, wowczas zawsze wygrasz, jesli zmienisz szkatulke po odlozeniu pustej (faza II). Jesli natomiast jest pelna, przegrasz. Zatem, pod warunkiem, ze wskazana przez Ciebie w fazie I szkatulka jest pusta prawd. wygranej = 1. Pod warunkiem, ze jest pelna - wynosi 0. Tym samym, korzystajac z tego, ze szkatulka moze byc albo pusta, albo pelna (czyli zdarzen rozlacznych), prawd. wskazania pelnej przy strategii zmiany szkatulek (nazwijmy ja strategia I) = 2 szk. puste/3 * 1 + 1 pelna/3 * 0 = 2/3.

Co sie dzieje przy strategi "nie zmieniam" (strategia II)? Jesli szkatulka byla pelna w fazie I, wowczas wygrywasz, a zatem prawd. warunkowe jest = 1. Jesli byla pusta prawd. warunkowe = 0. Zatem, znow korzystajac z prawd. calkowitego, prawd., ze strategia II daje wygrana = 1 szkatulka pelna/3 * 1 + 2/3 * 0 = 1/3.

Jak ladnie widac, strategia I, czyli "zmieniam", daje szanse dwa razy wieksze na wygrana.

Pozdrowienia

---

Wiem, ze nic nie wiem. - Najmadrzejsze wypowiedziane zdanie w historii swiata.

>Tym samym, korzystajac z tego, ze szkatulka moze byc albo pusta, albo pelna (czyli zdarzen rozlacznych), prawd. wskazania pelnej przy strategii zmiany szkatulek (nazwijmy ja strategia I) = 2 szk. puste/3 * 1 + 1 pelna/3 * 0 = 2/3.
Nie odnajdę szybko książki z analizą tego zadania, ale Twój wywód mnie nie przekonuje.

Przecież wystarczy zmienić nieco warunki.

Jest (powiedzmy) dziesięć szkatułek. Wybierasz jedną spośród nich. Teraz ktoś zabiera osiem pustych. Tak jak poprzednio - stoisz przed jedną pełną i jedną pustą i musisz wybrać. Jakby nie było - to, moim zdaniem, mając dwie szkatułki, z których jedna jest pełna - zawsze masz szansę 0.5.

Jeszcze lepiej to widać, kiedy pomyślisz, że przed twoim wyborem ktoś je (niewidocznie dla Ciebie) pozamienia.

Jeśli uważasz, że sie mylę - chętnie przeczytam sprostowanie.

---

Pozdrowienia,

IQ955. [Marek Czeszek]

Mowilem, ze zadanie nie jest oczywiste. Jak mi sie bedzie chcialo, te objasnie Twoje zadanie, ale nie mam teraz czasu. Gdyby mozna bylo uzywac tutaj Latexa, to bym Ci to napisal wzorami, ale nie mozna I nie ma Cie co przekonywac - tak po prostu jest. A jak nie wierzysz, to sobie przeprowadz symulacje Monte Carlo w Excelu, Matlabie, Statistice... Moze doswiadczenie Cie przekona, jesli nie teoria

I jeszcze to: Mysle, ze w ogole nie odnajdziesz ksiazki z analiza tego zadania... chyba ze sie myle

---

Wiem, ze nic nie wiem. - Najmadrzejsze wypowiedziane zdanie w historii swiata.

Dobra, postaram Ci sie wytlumaczyc, ze racja jest po stronie scislego myslenia. Jak widac, wiekszosc nie zawsze ma racje. A powiedzialbym, ze prawie nigdy, lub tez, ze zdarzenie, ze wiekszosc ma racje, jest zdarzeniem o prawd. 0 prawie napewno. Ale dosc tych formalizmow (matematycy wiedza, o czym mowie ...

Wezmy dla zilustrowania ogolnego problemu takie zagadnienie. Niech dane bedzie n (n wieksze badz rowne 3) szkatulek. Jedna miesci w sobie nagrode. Wybierasz jedna, a nastepnie prowadzacy teleturniej usuwa (n-2) puste. Zostaje Twoja i ta jedna, ktorej nie usunieto. Pytanie brzmi: Czy oplaca sie bardziej zostac przy dokonanym wyborze, czy moze zmienic szkatulke na te, ktora prowadzacy pozostawil?

Zatem mamy dwie strategie: zmiana szkatulki (strategia 1) lub pozostanie przy wybranej (strategia 2). Pokazemy, ze stosowanie strategii 1 w ciemno jest zawsze bardziej oplacalne. Jak "bardziej"? To sie okaze, bo wyniku jeszcze nie znam.

To zadanie mozna rozwiazac na wiele sposobow. Np. poslugujac sie zmiennymi losowymi albo prawd. warunkowymi. Mysle, ze latwiej bedzie to pokazac na prawd. warunkowych.

Przypadek strategii 1. De facto wszystko zalezy wylacznie od tego, jakiego wyboru dokonamy w pierwszym kroku.
To ostatnie zdanie jest kluczowe dla zrozumienia, dlaczego pozostali sie mylili. Oni bowiem w drugim etapie mysleli, ze strategia losowania z pozostalych 2 szkatulek jest optymalna. Otoz, jak widac nie jest, albowiem mamy dodatkowa informacje, ktora pochodzi stad, ze usuniete szkatulki byly puste.

Dobra. Niech A oznacza zdarzenie, ze wybralem w pierwszym podejsciu szkatulke z nagroda. Zatem P(wygram|A) = 0, albowiem zmieniam na szkatulke bez nagrody. P(wygram|A^c) = 1, bowiem szkatulka, ktora pozostala po usunieciu (n-2) musi zawierac nagrode. Przypominam, ze A^c oznacza zdarzenie przeciwne do A. Z tego widac, ze P(wygram) = P(wygram|A)*P(A) + P(wygram|A^c)*P(A^c) = 0 * 1/n + 1 * (n-1)/n = 1 - 1/n.

Czy potrafisz przeanalizowac przypadek strategii 2?

I czy teraz widzisz, ze jesli jest coraz wiecej szkatulek, to przy zmianie szkatulki bedziesz coraz czesciej wygrywal, a w granicy, gdy n dazy do nieskonczonosci, P(wygram|strategia I) = 1???

Wytlumaczenie naiwne tego faktu wiaze sie z tym, ze wybor szkatulki pustej na poczatku jest o wiele bardziej prawdopodobny, niz tej z nagroda... A na koncu przeciez zmieniamy szkatulki, nie?

Ogolnie wiadomym jest, ze ludzie nie rozumieja losowosci (z wyjatkiem tych, ktorzy sie nia paraja z racji zawodu). Studia empiryczne wskazuja np., ze maja ludzie tendencje do pomniejszania malych prawdopodobienstw i powiekszania duzych... ale to temat na dluuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuga rozprawe. Polecam ksiazke Couranta "Co to jest matematyka" (choc naszego zadania tam nie znajdziecie, jak sobie dobrze przypominam).

---

Wiem, ze nic nie wiem. - Najmadrzejsze wypowiedziane zdanie w historii swiata.

>wybor szkatulki pustej na poczatku jest o wiele bardziej prawdopodobny, niz tej z nagroda

To zdanie pięknie i prosto wyjaśnia prawidłową odpowiedź i sedno tego zadania. Szczerze mówiąc dopiero to mnie przekonało w 100%, bo pomimo tego że parę semestrów z rachunkiem prawdopodobieństwa i statystyką spędziłem, to nadal najbardziej intuicyjne rozwiązanie które od razu wpada na myśl to "Są dwie, jedna pusta, jedna pełna, to musi być 0,5 i 0,5...".

Zauwaz jeszcze jedna ciekawa rzecz: W miare jak wzrasta ilosc szkatulek, wybor niepustej w fazie II staje sie coraz bardziej prawdopodobny, mimo ze na poczatku (faza I) jej wybor jest najmniej prawdopodobny. Oczywiscie dzieje sie tak, jesli uzywamy strategii I.

To zadanie bardzo pieknie daje sie zasymulowac na komputerze. Potem liczymy prawd. wygranej (empiryczne) i - przy duzej liczbie prob - bedziemy bardzo blisko prawd. teoretycznego, a to nie bedzie 1/2 tylko zawsze 1-1/n, czyli bardzo blisko 1, gdy n jest duze. To zadanie jest przez to bardzo pouczajace. Pokazuje, ze prawd. niekoniecznie jest latwo dla czlowieka zrozumiale.

Zdumienie przychodzi po wykonaniu doswiadczenia, gdy nie znales prawidlowej odpowiedzi... Mysle, ze matematyke powinien znac kazdy, bo jest piekna i uczy myslenia, ktorego tak bardzo w Polsce brakuje.

---

Wiem, ze nic nie wiem. - Najmadrzejsze wypowiedziane zdanie w historii swiata.

Odpowiedź jest tego rodzaju:
-losowanie z trzech jednej poprawnej daje szanse wylosowania nagrody równe 1/3;
-losowanie z dwóch jednej poprawnej daje szanse wylosowania równe 1/2;
Jeśli wybrałeś strategie typu wybieram w pierwszym losowaniu i tego się trzymam, to masz szanse równe 1/3;
Jeśli wybrałeś strategię typu wybieram w pierwszym losowaniu którąś, a w drugim losowaniu zmieniam na tę, która pozostaje, to szansa jest 1/3 (pierwsze losowanie zdeterminowało wybór drugiego);
Jeśli wybierasz strategię typu wybieram w pierwszym losowaniu, a później w drugim ponownie losuje nie uwzględniając wyniku pierwszego losowania, to szansa wynosi 1/2.
Pozdrawiam

Bawi mnie zawsze, jak ludzie chca na sile udowodnic, jak bardzo sa "madrzy".... Hehehehe... Napisale(a)s nie na temat, a ponadto zle. Co za ludzie... Okazuje sie, ze nieumiejetnosc czytania ze zrozumieniem jest bardziej powszechna niz mi sie wydawalo Twoje rozwiazanie jest bledne - rozumiesz?

---

Wiem, ze nic nie wiem. - Najmadrzejsze wypowiedziane zdanie w historii swiata.

Nie możesz wszystkim którzy źle rozwiązali zadanie dawać minusów.
Nie taki jest ich sens i jest to nie w porządku.
Żeby to było chociaż twoje zadanie...

[-] (za takie postępowanie)

>Bawi mnie zawsze, jak ludzie chca na sile udowodnic, jak bardzo sa "madrzy".... Hehehehe... Napisale(a)s nie na temat, a ponadto zle. Co za ludzie... Okazuje sie, ze nieumiejetnosc czytania ze zrozumieniem jest bardziej powszechna niz mi sie wydawalo Twoje rozwiazanie jest bledne - rozumiesz?
To miłe, że Cię rozbawiłem. Zechciej jeszcze wskazać błąd. Jak rozumiem jest on w strategii drugiej (wynik 2/3 zamiast 1/3, czy tak? ). Jeśli chciałbyś być merytoryczny, to to wykaż (np rysując drzewko rozwiązań).
Może jest tak, że znasz po prostu odpowiedź (skądinąd), a nie potrafisz przekazać, skąd się ona bierze.
Pozdrawiam

Napisałem prosty program który pokazuje obie strategie. Mam nadzieję, że to rozwieje wszystkie wątpliwości. Czekam na uwagi.
[Załącznik]
Mnie wychodzi około 0.33 dla pierwszej i 0.66 dla drugiej (przy n=3). Przy wzroście n szanse obu strategii maleją.

Piszesz bzdury. Juz podalem wzor teoretyczny na obie strategie. Nie czytasz, czy co? Boze... Przy wzroscie n szansa strategii pierwszej rosnie, a wzor podalem: 1-1/n. Reszte sobie doczytaj w watku, bo wszystko opisalem.

---

Wiem, ze nic nie wiem. - Najmadrzejsze wypowiedziane zdanie w historii swiata.

Ty chyba nie rozumiesz o co chodzi. Uruchom program to się przekonasz, nie odnoszę się do twoich wyliczeń. Tylko że u mnie strategie inaczej są nazwane niż u ciebie, więc weź to pod uwagę.

>Ty chyba nie rozumiesz o co chodzi. Uruchom program to się przekonasz, nie odnoszę się do twoich wyliczeń. Tylko że u mnie strategie inaczej są nazwane niż u ciebie, więc weź to pod uwagę.

Jedna rzecz, webmasterze. Ja mowie tak: Jesli strategia I to "zmieniam szkatulke", a II to "nie zmieniam", wowczas prawd. wygranej w strategii I wynosi 1-1/n, a w drugiej 1/n. Zatem gdy P(wygram|strategia I) rosnie wraz z n, drugie prawd. maleje - i to jest bezposrednio widoczne z wzorow.

Jesli sie z tym zgadzasz, to nie mamy juz o czym dyskutowac, bowiem dowod jest zakonczony. Zreszta nawet jesli sie nie zgadzasz, to i tak dowod jest zakonczony.

Co do symulacji, to nie ma prawa wyjsc inaczej, jesli dobrze przeprowadzisz symulacje (tez trzeba umiec to zrobic).

---

Wiem, ze nic nie wiem. - Najmadrzejsze wypowiedziane zdanie w historii swiata.

Widze, ze Ty tez nie potrafisz czytac. Nic na to nie poradze. U gory podalem ogolne rozwiazanie.

---

Wiem, ze nic nie wiem. - Najmadrzejsze wypowiedziane zdanie w historii swiata.

>Jeśli wybrałeś strategie typu wybieram w pierwszym losowaniu i tego się trzymam, to masz szanse równe 1/3;
Nie. Jest jeszcze jedno losowanie, zawsze.

>Jeśli wybrałeś strategię typu wybieram w pierwszym losowaniu którąś, a w drugim losowaniu zmieniam na tę, która pozostaje, to szansa jest 1/3 (pierwsze losowanie zdeterminowało wybór drugiego);
>Jeśli wybierasz strategię typu wybieram w pierwszym losowaniu, a później w drugim ponownie losuje nie uwzględniając wyniku pierwszego losowania, to szansa wynosi 1/2.
Zawsze ponownie losujesz, nawet jak nie zmieniasz wyboru. Zawsze są dla losowania, dlatego w drugim wynik zawsze jest 1/2 (przy założeniu, że już w pierwszym nie wygrałeś a prowadzący usuwa zawsze tylko pustą). Czyli 1/3+2/3*1/2=2/3 na wygraną.

Nie jest prawda to, co napisales. Nie ma drugiego losowania. Moze byc, to prawda, ale taka strategia nie jest optymalna. I nie jest to to, o co pytal ten, kto rozpoczal watek. Skoro wiem, ze zawsze zmienie szkatulke na druga, niewybrana, to jakie masz tutaj losowanie?

---

Wiem, ze nic nie wiem. - Najmadrzejsze wypowiedziane zdanie w historii swiata.

Generalnie opłaci się zmienić szkatułkę. Prawdopodobieństwo wygranej będzie wtedy całkiem spore (²/₃), tj. dwukrotnie większe niż jeżeli pozostaniemy przy wcześniejszym wyborze (wtedy będzie ¹/₃). Oczywiście nie znaczy to, że wtedy wygramy. Szczęściarz wykorzysta jedną szansę na tysiąc, pechowiec straci 999.

Ponieważ już to wytłumaczono naukowo, podaję tłumaczenie bardziej "łopatologiczne":

Pierwszy raz wybieramy jedną szkatułkę z trzech. Prawdopodobieństwo wybrania pełnej szkatułki wynosi zatem tylko ¹/₃. Czyli, jakiegokolwiek wyboru dokonaliśmy, bardziej prawdopodobne jest, że był to wybór zły. Po usunięciu jednej (pustej) szkatułki mamy jedną pustą, jedną pełną. Prawdopodobieństwo, że pełna jest ta, którą wybraliśmy najpierw, nie zmieniło się - w dalszym ciągu wynosi ¹/₃. W związku z czym prawdopodobieństwo, że pełna jest druga szkatułka, wynosi ²/₃ (suma musi wynosić 1, bowiem któraś jest na pewno pełna). Zatem prawdopodobieństwo wygranej będzie większe, jeżeli zmienimy pierwotną decyzję.

Tak przy okazji: Przypomniał mi się żart Benny'ego Hilla. W jednym ze swoich występów powiedział:
Prawdopodobieństwo znalezienia się na pokładzie samolotu bomby wynosi jeden do stu tysięcy. Natomiast prawdopodobieństwo znalezienia się w samolocie dwóch bomb wynosi jeden do stu miliardów. W związku z tym, wybierając się w podróż samolotem, należy zabrać ze sobą bombę.

Oczywiście postąpienie według rady Benny'ego nie przyniesie spodziewanego skutku. Prawdopodobieństwo, że na pokładzie znajdzie się "obca" bomba wcale nie będzie przez to mniejsze. Wprawdzie prawdopodobieństwo znalezienia się w samolocie dwóch bomb jest znacznie mniejsze niż jednej, to jednak prawdopodobieństwo znalezienia się tam każdej z nich będzie takie samo. Jest to tzw. "paradoks rachunku prawdopodobieństwa". Inny (chociaż podobny) przykład tego paradoksu:
Przy rzutach monetą prawdopodobieństwo wyrzucenia orła 100 razy pod rząd jest niezwykle małe. Jeżeli jednak jakimś cudem udało się nam wyrzucić go 99 razy pod rząd, to mimo to przy setnym rzucie szansa jego wyrzucenia wynosi wciąż ¹/₂ .

>Zatem prawdopodobieństwo wygranej będzie większe, jeżeli zmienimy pierwotną decyzję.
Nieprawda. To jest tak samo, jakby prowadzący zamienił kolejność tych dwóch a ty pozostajesz przy wyborze (w sensie numeru). Czy wtedy nagle szanse wzrosną, bo zmieniłeś wybór? Oczywiście nie. I tu też się nie zwiększą. To jest już inne losowanie, po prostu, i wynik drugiego będzie 1/2. Zauważ, że zawsze są dwa losowania, niezależnie od tego czy zmieniasz wybór czy nie. Jeżeli zabrano pustą, to zmiana wyboru niczego nie zmienia. Gdyby było inaczej, prowadzący nie proponowałby nawet takiej nieopłacalnej dla organizatora zmiany.

Pomyśl chwilę. Jeżeli 3 szkatułki to dla Ciebie za mało, to rozpatrzmy przykład bardziej oczywisty. Wyobraź sobie, że jest ich 1000000. Jedna pełna i 999999 pustych. Wybierasz losowo jedną, "prawie na pewno" pustą (prawdopodobieństwo wybrania pełnej to ¹/ _1000000). Prowadzący usuwa 999998 pustych szkatułek, zostają dwie, z których jedna jest pełna. Czy nadal uważasz,że pozostając przy swojej "prawie na pewno" (⁹⁹⁹⁹⁹⁹/_1000000) pustej szkatułce będziesz miał taką samą szansę wygranej jak przy jej zmianie, tj. w obu przypadkach po ¹/₂ ?

>Gdyby było inaczej, prowadzący nie proponowałby nawet takiej nieopłacalnej dla organizatora zmiany.

Też się nad tym zastanawiałem, dlaczego tak postępuje. Może jest jakiś przepis w prawie USA lub stanowym, nakazujący, aby w takich przypadkach prawdopodobieństwo wygranej było wyższe od jakiegoś progu? Zważ, że losowanie dotyczy osób, które już odpowiedziały poprawnie na kilkanaście pytań. Być może prawo nie pozwala ich ordynarnie "ograbić" i nakazuje dać im szansę większą niż ¹/₂. Może zresztą autorzy pomysłu dopuszczenia zamiany szkatułek rozumowali jak Ty i nie zdawali sobie sprawy, że stwarzają możliwość zwiększenia prawdopodobieństwa wygranej? A może organizatorzy gry są mniej pazerni niż sądzisz? Nie wiem. W każdym razie dla rachunku prawdopodobieństwa nie ma to żadnego znaczenia.

>Czy nadal uważasz,że pozostając przy swojej "prawie na pewno" (⁹⁹⁹⁹⁹⁹/_1000000) pustej szkatułce będziesz miał taką samą szansę wygranej jak przy jej zmianie, tj. w obu przypadkach po ¹/₂ ?
Czy nie widzisz, że tu zawsze jest ponowne losowanie z wynikiem 1/2?? To, że nie zmienisz wyboru nic tu nie zmienia, nadal formalnie jest to losowanie 1 z 2. Jeżeli prowadzączy przetasuje szkatułki, to nadal uważasz że szanse wzrastają jak zmienisz wybór? Bzdura, nie wzrastają.
Podsumowując, losowania są zawsze dwa, raz na 1/n, drugi raz na 1/2. Wpierw raczej wybierzesz pustą, więc przejdziesz do drugiej tury, gdzie już masz 1/2, czyli całkiem nieźle.

Ręce opadają... No cóż, na upór nie ma lekarstwa, z pewnością nikt już Cię nie przekona.

Radamantys, jest takie powiedzenie: Nie gadaj z glupim, bo ludzie moga nie poznac roznicy. Mam nadzieje, ze rozumiesz, co chcialem powiedziec

---

Wiem, ze nic nie wiem. - Najmadrzejsze wypowiedziane zdanie w historii swiata.

>Też się nad tym zastanawiałem, dlaczego tak postępuje.

Nie ma sie co zastanawiac. Jesli zapytasz ludzi, czy zostaliby przy pierwszym wyborze, 99 na 100 odpowie, ze tak. Na tym polega caly trick.

---

Wiem, ze nic nie wiem. - Najmadrzejsze wypowiedziane zdanie w historii swiata.

>>Zatem prawdopodobieństwo wygranej będzie większe, jeżeli zmienimy pierwotną decyzję.
>Nieprawda.
Prawda. Wprowadzenie czynnika wyboru w drugim kroku wprowadza do rozwiązania parametr. Parametr, którego wartość decyduje jakie będzie obliczone w zadaniu prawdopodobieństwo. To właśnie wskazał darlove - jeżeli parametr będzie miał wartość 'zmieniam' - prawdopodobieństwo zdarzenia 'wygram milion' wynosić będzie 2/3. Jeżeli 'nie zmieniam' - 1/3. Natomiast prawdopodobieństwo zdarzenia 'gracz wygra milion' (z punktu widzenia organizatora) nie będzie miało parametrów. Opisany przypadek to własnie prawdopodobieństwo tego zdarzenia i faktycznie wynosi ono 1/2.

>Gdyby było inaczej, prowadzący nie proponowałby nawet takiej nieopłacalnej dla organizatora zmiany.
Nie zapominaj, że w wypadku każdej gry losowej wygrywa zawsze kasyno... myślę, iż ten milion jest wliczony w koszty już przed rozpoczęciem gry

>To właśnie wskazał darlove - jeżeli parametr będzie miał wartość 'zmieniam' - prawdopodobieństwo zdarzenia 'wygram milion' wynosić będzie 2/3. Jeżeli 'nie zmieniam' - 1/3.
Nie ma czegoś takiego, zawsze jest ponowne losowanie, nawet jeżeli nie podejmiesz decyzji o zmianie - brak zmiany szkatułki nadal formalnie jest losowaniem. Magiczna "zmiana" niczego formalnie nie zmienia.

Formalnie, moj drogi, jesli juz upierasz sie przy formalizmach, to wyglada tak. W drugim etapie nie ma zadnego losowania. Warunkowo (jesli w ogole wiesz, co oznacza to slowo w kontekscie rach. prawd.) zawsze wybierzesz niewybrana wczesniej szkatulke. Zatem jej wybranie to zdarzenie pewne. Ma prawd. = 1. Jesli nazwiesz wybor z prawd. 1 losowaniem (zdegenerowanym), to masz racje. Ale takie losowanie jest wyborem pewnym, tj. nie ma czynnika losowego. Stad: zdegenerowane.

Nie wiem, jak dlugo mozna cos tlumaczyc laikowi, ale Tobie juz tlumacza ludzie za dlugo. Odsylam do Fellera "Rach. prawd." lub Billingsleya "Teoria miary i prawdopodobienstwo".

---

Wiem, ze nic nie wiem. - Najmadrzejsze wypowiedziane zdanie w historii swiata.