Zacznę od przykładu. Weźmy możliwie proste twierdzenie matematyczne, choćby takie:
Każda liczba naturalna podzielna przez 10, jest także podzielna przez 5.Przedstawię teraz trzy "dowody" tego twierdzenia:
Dowód 1:Jeśli liczba
n jest podzielna przez 10 - oznacza to można ją otrzymać przez zsumowanie pewnej liczby "dziesiątek". Ponieważ zaś każda "dziesiątka" składa się z dwu "piątek", zatem rozpatrywana liczba
n jest także sumą (dwukrotnie większej liczby) "piątek". Będąc zaś sumą takich "piątek" - jest podzielna przez pięć.
Dowód 2:Niech
n oraz
k będą liczbami naturalnymi. Liczba
n jest podzielna przez 10, jeśli spełniony jest warunek, że istnieje liczba
k, taka, że
k × 10 =
n ; [1]. Warunek podzielności przez pięć wymaga, aby było
k × 5 =
n ; [2]. Ponieważ 10 = 2 × 5; - wyrażenie [1] możemy też zapisać jako
k × 2 × 5 = 2
k × 5 =
n. Jeśli
k jest liczbą naturalną, to 2
k jest nią również, ponieważ iloczyn liczb naturalnych jest także liczbą naturalną. Zatem spełnienie warunku [1] pociąga za sobą automatycznie spełnienie warunku [2].
Dowód 3:Oznaczenia (używam własnych, aby nie było kłopotu z dziwnymi znaczkami):
N - zbiór wszystkich liczb naturalnych,
U - suma logiczna,
{ - należy do,
==} - wynika (pociąga za sobą).
•
n, p, q { N ;
• [
n (mod
p ×
q) = 0] ==} [
n (mod
p) = 0]
U [
n (mod
q) = 0];
•
p = 2,
q = 5;
•
p ×
q = 10;
• [
n (mod 10) = 0] ==} [
n (mod 2) = 0]
U [
n (mod 5) = 0] ==} [
n (mod 5) = 0].
QED.(Mam nadzieję, że mimo późnej pory - trzyma się to jakoś kupy
)
Jeśli się ktoś uprze, może ten trzeci dowód jeszcze bardziej "odczłowieczyć", "umaszynowić" i pewnie jeszcze ściślej zapisać. Nie w tym jednak rzecz.
Rzecz w tym, że "logiczny kościec" wszystkich tych trzech dowodów jest taki sam. Różnią się one jedynie sposobem przedstawienia. Ostatni z nich jest niewątpliwie najbardziej precyzyjny - pierwszy zaś (choć ma trochę formę bajeczki) - najbardziej przemawia do wyobraźni, a co za tym idzie - chyba najszybciej i najłatwiej pozwala zrozumieć istotę tego twierdzenia (kosztem ścisłości, oczywiście).
I teraz rzecz główna.
Wielu ludzi (Hilbert dla przykładu) uważa(ło), że istotą matematyki jest bogata wyobraźnia specyficznego typu, zaś logika jest tylko narzędziem służącym do sprawdzania. Wynikałoby z tego, że ucząc kogoś (w tym i samego siebie) matematyki należałoby dbać głównie o rozwój wyobraźni ucznia, wyposażając go przy tym w odpowiednie narzędzia weryfikacji.
Z drugiej zaś strony są ludzie, którzy dąsają się na wykłady typu Dowodu 1 i 2, uważając je (i pewnie słusznie) za nie dość ścisłe.
Sam zaobserwowałem też, że z pewnych książek łatwiej mi przyswoić ten sam materiał - z innych trudniej. Dla przykładu - mam w domu klasyczną trzytomową "Matematykę dla inżynierów" R. Leitnera i to w dwóch wydaniach - nowym (1995) i starym (1967). Nowe wydanie (podobno poprawione) jest bliższe stylowi Dowodu nr. 3, zaś starsze - raczej - 2. I rzecz ciekawa - częściej sięgam do starszego i jakoś przeważnie łatwiej mi przyswoić to, czego potrzebuję. Tłumaczę to sobie tak, że człowiek jednak nie myśli o matematyce takimi logicznymi symbolami, tylko jakimiś "swoimi", indywidualnymi wyobrażeniami (pisał o tym zresztą dość sporo i ciekawie R. Feynmann). Stąd też wydaje mi się, że ucząc się matematyki (a chyba także innych rzeczy) należy przeplatać różne sposoby wykładu. Te bardziej swobodne rozwijają chyba bardziej wyobraźnię - te ściślejsze chronią przed błędami i mętniactwem.
A co Wy o tym sądzicie?
P.S. Jako jeszcze jeden przykład polecam hasło "permutacja" w Wikipedii
(tutaj). Jest tam podana "definicja intuicyjna". Nieścisła, oczywiście, ale czy to źle właśnie od niej zacząć?
