Zamknięcie zbioru N spowoduje konieczność przedefiniowania wszystkich operacji (od następnika począwszy). Nie będzie to więc już zbiór N, ale jakiś zupełnie inny twór (konkretnie zbiór modulo S, zdaje się). W sensie ogólnym nie da się więc zmienić definicji N, bo z logiczniej konieczności on jest taki a nie inny - my możemy go tylko nazwać inaczej, a nie zmienić. W tym sensie, zbiór N został tylko odkryty przez ludzi, a nie przez nich stworzony.

>Zamknięcie zbioru N spowoduje konieczność przedefiniowania wszystkich operacji (od następnika począwszy).
Oczywiście. Też o tym myślałem.

>Nie będzie to więc już zbiór N, ale jakiś zupełnie inny twór
Też tak myślę. Nazwijmy go sobie Z i zobaczmy, co się da na nim zrobić.

>(konkretnie zbiór modulo S, zdaje się).
A tu już nie jestem pewien...

>W sensie ogólnym nie da się więc zmienić definicji N, bo z logiczniej konieczności on jest taki a nie inny - my możemy go tylko nazwać inaczej, a nie zmienić. W tym sensie, zbiór N został tylko odkryty przez ludzi, a nie przez nich stworzony.
Chyba tak. Nazywamy więc nasz nowy zbiór Z i patrzymy co nam z tego wychodzi.

---

Pozdrowienia,

IQ955. [Marek Czeszek]

>Chyba tak. Nazywamy więc nasz nowy zbiór Z i patrzymy co nam z tego wychodzi.
No ale to już wiadomo od dawna, nawet to ćwiczyłem na tablicy i kolokwiach swego czasu. Nie podzielam jednak sportowej pasji matematyków, aby była jasność

>No ale to już wiadomo od dawna, nawet to ćwiczyłem na tablicy i kolokwiach swego czasu.
Dokładnie to?

>Nie podzielam jednak sportowej pasji matematyków, aby była jasność
Trochę szkoda. Może spotkamy się przy innej okazji...

---

Pozdrowienia,

IQ955. [Marek Czeszek]

pl.wikipedia.org/wiki/Arytmetyka_modularna

>>Nie będzie to więc już zbiór N, ale jakiś zupełnie inny twór
>Też tak myślę. Nazwijmy go sobie Z i zobaczmy, co się da na nim zrobić.
Z już jest zajęte, przykro mi

Wbrew pozorom z myślenia typu "załóżmy sobie i zobaczmy" wynikło parę niczego sobie odkryć...

---

God made me an atheist. Who are you to question his wisdom?

>Z już jest zajęte, przykro mi
Jeśli porzadnie zdefiniuję - moge nazwać jak chcę.
>Wbrew pozorom z myślenia typu "załóżmy sobie i zobaczmy" wynikło parę niczego sobie odkryć...
Takich ambicji nie mam - przysięgam. Po prostu zaskoczyły mnie samego wnioski z tego płynące.

---

Pozdrowienia,

IQ955. [Marek Czeszek]

Zbiór liczb naturalnych jest nieskończony bo tak go zdefinowano.
Natomiast można całkiem nieźle tworzyć algebry na zbiorach skończonych (chyba na dowolnym zbiorze "coś" może wyjść).
Problemem jest jedynie odpowiednie zdefiniowanie działań "dodawania" i "mnożenia".
Potem można sobie wyprowadzać co się chce.
Na zajęciach często posługiwaliśmy się takimi ciałami skończonymi - właściwości te same a arytmetyka dużo prostsza.

>Zbiór liczb naturalnych jest nieskończony bo tak go zdefinowano.
Zgoda.

>Natomiast można całkiem nieźle tworzyć algebry na zbiorach skończonych (chyba na dowolnym zbiorze "coś" może wyjść).
To jest chyba najbliższe temu, o czym myślałem. Wyobraziłem sobie, że nie wiem zupełnie nic o matematyce i jako pierwsze dowiedziałem się, że istnieje zbiór Z zawierający S liczb (ewentualnie jeszcze zero). Co mogę zrobić na tym zbiorze (nie wiem nic nawet o liczbach naturalnych!)

>Problemem jest jedynie odpowiednie zdefiniowanie działań "dodawania" i "mnożenia".
O to, to!
>Potem można sobie wyprowadzać co się chce.

>Na zajęciach często posługiwaliśmy się takimi ciałami skończonymi - właściwości te same a arytmetyka dużo prostsza.
Nie do końca rozumiem. Prostsza - od czego?

---

Pozdrowienia,

IQ955. [Marek Czeszek]

>Nie do końca rozumiem. Prostsza - od czego?

Prostsza od arytmetyki na liczbach rzeczywistych.

1. Nie ma ułamków.
2. Nigdy nie uzyskasz bardzo dużych liczb.
A ponadto jeśli wybierzesz Z5 lub Z7
3. Nigdy nie zabraknie ci palców.
4. Wszystkie liczby są jednocyfrowe.

Stąd te ciała były u mnie "ulubione" na algebrze liniowej, gdzie nie chodziło o to żeby się "naliczyć" a własności były zdefinowane (i identyczne) dla dowolnego ciała.

>Przyjmijmy (wbrew oczywistości, ale chyba jednak nie wbrew
>logice), że liczb naturalnych jest skończona ilość
>(powiedzmy S). Przecież matematyka nie musi być zgodna z
>naszą intuicją - a jedynie - niesprzeczna!
To jest kwestia definicji, i nazwy. Liczby naturalne mają gdzieś jak się je nazywa.

>Czy można przy takim założeniu uprawiać jakąś arytmetykę?
>Inne dziedziny matematyki?
Oczywiście. I się to robi.

>Dla porządku dodam, że takie drobiazgi, jak świat
>rzeczywisty, oczywiście nas tu nie interesują. Chodzi tylko
>o to, czy można skonstruować jakiś niesprzeczny system
>matematyczny przy takim założeniu.
Tak. Szczególnie informatyka teoretyczna jest zainteresowana zbiorami skończonymi. Dyskutuje sie również takie rzeczy nawet na podstawowych kursach z algebry. Wystarczy poczytać choćby o arytmetyce modularnej.

Przeciwintuicyjne to jest wręcz odwrotnie niż chcesz. Wiele wniosków z oczywistych aksjomatów (np. liczb naturalnych, czy logiki) jest bardzo nie trywailnych i nie zgodnych z intuicją (np. Twierdzenie Löwenheima-Skolema, z którego bezpośrednio wynika że w logice pierwszego rzędu nie da się odróżnić modeli przeliczalnych od nieprzeliczalnych, a więc to co poniekąd postulujesz ;D).

>Tak. Szczególnie informatyka teoretyczna jest zainteresowana zbiorami skończonymi. Dyskutuje sie również takie rzeczy nawet na podstawowych kursach z algebry. Wystarczy poczytać choćby o arytmetyce modularnej.
To poczytałem, ale nie jestem pewien, czy to jest dokładnie to samo. Załóżmy, że mój zbiór Z ma S=8 liczb. Jeśli miałaby to być arytmetyka modularna, to dodawanie 5+5 dałoby dwa, ale stąd, że 2 jest resztą z dzielenia 10/8. A ja w ogóle nie mam liczby 10 do dyspozycji, bo nie mam NIC poza tym zbiorem!

>(np. Twierdzenie Löwenheima-Skolema,
Tu już się biorę do uzupełnienia. Na coś się wątek jednak przydał. Dzięki.

---

Pozdrowienia,

IQ955. [Marek Czeszek]

>>Tak. Szczególnie informatyka teoretyczna jest zainteresowana zbiorami skończonymi. Dyskutuje sie również takie rzeczy nawet na podstawowych kursach z algebry. Wystarczy poczytać choćby o arytmetyce modularnej.
>To poczytałem, ale nie jestem pewien, czy to jest dokładnie to samo. Załóżmy, że mój zbiór Z ma S=8 liczb. Jeśli miałaby to być arytmetyka modularna, to dodawanie 5+5 dałoby dwa, ale stąd, że 2 jest resztą z dzielenia 10/8. A ja w ogóle nie mam liczby 10 do dyspozycji, bo nie mam NIC poza tym zbiorem!

Skoro jest to zbiór skończony, to robisz skończoną tabelke, w której wypisujesz wszystkie mozliwe operacje, tabelka ta bedzie miała 64 pozycje, i w niej definujesz tak operacje aby się zgadzały jakieś własność (np. przemienność, łączność, co tam będziesz chciał), podobną tabelkę zrobić dla mnożenia. No i jak zrobisz z tego ciało wtedy można użyć wielu znanych twierdzeń którę są tak ogólne że będa działać też w twoim zbiorze.

O nawet znalazłem coś na wikipedii: pl.wikipedia.org/wiki/Ciało_skończone

Np. dosyć ciekawe są ciała o charakterystyce dwa (takie binarne), okazuje się że wiele twierdzeń teorii grup w nich nie działa (tzn. działa, ale nie sa spełnione założenia)


PS. Możesz sie też zainteresować np. uogólnieniami liczb rzeczywistych, zespolonych i kwaterionów, liczbami cayleya, np. pl.wikipedia.org/wiki/Oktawy_Cayleya . Jest ich nieskończenie wiele, ale mają ciekawą strukturę.

>Skoro jest to zbiór skończony, to robisz skończoną tabelke, w której wypisujesz wszystkie mozliwe operacje, tabelka ta bedzie miała 64 pozycje, i w niej definujesz tak operacje aby się zgadzały jakieś własność (np. przemienność, łączność, co tam będziesz chciał), podobną tabelkę zrobić dla mnożenia. No i jak zrobisz z tego ciało wtedy można użyć wielu znanych twierdzeń którę są tak ogólne że będa działać też w twoim zbiorze.
To jest, oczywiście, podejście bardzo rozsądne. Ale ja sobie pomyślę mniej rozsądnie - takiej tabelki zrobić nie mogę, ponieważ nie będę w stanie określić dostepu do jej pól (to znaczy ponumerować ich)! Mogę, oczywiście, poindeksować (pole 2,5 pole 4,8 etc.). Ale i wtedy skonstruowałem zbiór (pól), którego nie mogę przeliczyć. Założyłem sobie bowiem, że nie wiem nic o innych liczbach (w tym naturalnych).

>O nawet znalazłem coś na wikipedii: pl.wikipedia.org/wiki/Ciało_skończone
Tam jest pusto! Czy to właściwy adres?

>PS. Możesz sie też zainteresować np. uogólnieniami liczb rzeczywistych, zespolonych i kwaterionów, liczbami cayleya, np. pl.wikipedia.org/wiki/Oktawy_Cayleya. Jest ich nieskończenie wiele, ale mają ciekawą strukturę.
Dzięki. Zrobię, co dam radę. Kiedyś trafiłem na to - i zrobiło mi się słabo. Chyba już mi życia nie wystarczy...
Uogólnienie liczb rzeczywistych też mnie kiedyś zainteresowało, nawet to tego stopnia, że jakiś czas korespondowałem na ten temat z ekspertem z "Ask dr Math", który zresztą bardzo sensownie wyprostował niektóre moje błędne wyobrażenia. Nie do końca jednak rozumiem, jak się ten temat ma do tego mojego ośmioelementowego zbioru.

---

Pozdrowienia,

IQ955. [Marek Czeszek]

>To jest, oczywiście, podejście bardzo rozsądne. Ale ja sobie pomyślę mniej rozsądnie - takiej tabelki zrobić nie mogę, ponieważ nie będę w stanie określić dostepu do jej pól (to znaczy ponumerować ich)! Mogę, oczywiście, poindeksować (pole 2,5 pole 4,8 etc.). Ale i wtedy skonstruowałem zbiór (pól), którego nie mogę przeliczyć. Założyłem sobie bowiem, że nie wiem nic o innych liczbach (w tym naturalnych).
Starasz się więc zrobić coś bardzo trudnego. Nie wiem czy w zbiorach skończonych da się to zrobić w ogóle. To zagadnienie trochę z pogranicza metamatematyki i cybernetyki Większość matematyków przyjmuje, że definicja jest poza teorią (bo używamy np. do tego języka polskiego, czy liczb których w tej teorii brak), więc być może taka "samowystarczalna" definicja nie jest możliwa. No chyba że jedynie zapostulujesz jej istnienie bez jawnej konstrukcji. Ale to z kolei oznacza że będziesz używał np. metod logiki klasycznej i być może w dowodzie będziesz musiał użyć twierdzeń logiki które zostały dowiedzone z użyciem jakichś cech zbioru liczb naturalnych, a więc błędne koło (przynajmniej dla twoich celów, eliminacji liczb naturalnych).

>>O nawet znalazłem coś na wikipedii: pl.wikipedia.org/wiki/Ciało_skończone
>Tam jest pusto! Czy to właściwy adres?
Tak, forum ucina link na polskich literach widzę: wpisz ręcznie: pl.wikipedia.org/wiki/Ciało_skończone


>Uogólnienie liczb rzeczywistych też mnie kiedyś zainteresowało, nawet to tego stopnia, że jakiś czas korespondowałem na ten temat z ekspertem z "Ask dr Math", który zresztą bardzo sensownie wyprostował niektóre moje błędne wyobrażenia. Nie do końca jednak rozumiem, jak się ten temat ma do tego mojego ośmioelementowego zbioru.
W zasadzie nikaj.

>Starasz się więc zrobić coś bardzo trudnego.
Ja się staram "znaleźć najwęższy punkt deski, aby w nim wywiercić możliwie największą ilość dziur". A tak naprawdę, to w ogóle nie wiem do końca, co staram się zrobić i jestem pełen wdzięczności, że komukolwiek chciało się w ogóle odpowiadać. Po prostu pomyślałem sobie, że wiem TYLKO o takim 8 (lub 88888888^88888888elementowym - to wszystko jedno!) zbiorze i zafascynowało mnie (zdaje sobie sprawę, że to jest wyznanie zboczeńca ) parę konsekwencji:

1. Jeśli przedstawić taki S- elementowy zbiór na osi liczbowej - to składa on się z S punktów, między którymi nie może być żadnych innych. Bo jeśli by były - nie moglibyśmy ich policzyć nie wykraczając poza ten zbiór. Wydaje mi się zresztą, że przy tym ograniczeniu większość geometrii upada - w tym chyba i oś liczbowa, więc nie wiem, czy w ogóle można o tym mówić.

2. Wykonalność działań:
- Następnik - tylko do S-1,
- Dodawanie - tylko, jeśli suma < S (a tego przecież z góry nie wiadomo!),
- Odejmowanie - tylko liczby mniejszej od większej (ew. równych jeśli dodamy do zbioru zero),
- Mnożenie - tylko, jeśli iloczyn < S (uwaga j.w.),
- Dzielenie - tylko z resztą (także zerową) - to dość ciekawe.
Jak więc widać - coś tam można zrobić.

3. Można utworzyć macierz, ale przeważnie nie można obliczyć jej wyznacznika.

4. Zbiór można policzyć "tam", ale nie można policzyć "tam i z powrotem"!
etc.

Ogólnie rzecz biorąc - pewne operacje dadzą się wykonać inne - nie. Mnie zainteresowało, które zostaną "odcięte", jeśli zamiast nieskończonego zbioru liczb naturalnych weźmiemy skończony. Zaskoczyło mnie, że aż tak dużo i w dość niespodziewanych (dla mnie) miejscach.
Odpowiedzi ogólnej - nie znam.

>Większość matematyków przyjmuje, że definicja jest poza teorią (bo używamy np. do tego języka polskiego, czy liczb których w tej teorii brak), więc być może taka "samowystarczalna" definicja nie jest możliwa. No chyba że jedynie zapostulujesz jej istnienie bez jawnej konstrukcji. Ale to z kolei oznacza że będziesz używał np. metod logiki klasycznej i być może w dowodzie będziesz musiał użyć twierdzeń logiki które zostały dowiedzone z użyciem jakichś cech zbioru liczb naturalnych, a więc błędne koło (przynajmniej dla twoich celów, eliminacji liczb naturalnych).
A ja myślałem, że wymyśliłem coś najprymitywniejszego na świecie...

>W zasadzie nikaj.
Ulżyło mi.

>>Starasz się więc zrobić coś bardzo trudnego.
>1. Jeśli przedstawić taki S- elementowy zbiór na osi liczbowej - to składa on się z S punktów, między którymi nie może być żadnych innych. Bo jeśli by były - nie moglibyśmy ich policzyć nie wykraczając poza ten zbiór. Wydaje mi się zresztą, że przy tym ograniczeniu większość geometrii upada - w tym chyba i oś liczbowa, więc nie wiem, czy w ogóle można o tym mówić.
>2. Wykonalność działań:
>- Następnik - tylko do S-1,
>- Dodawanie - tylko, jeśli suma
czyli
k+l=(k+l)mod p

j mod p oznacza reszte z dzielenia przez p

k-l=k+p-l(mod p)

k*l=k*l(mod p)
k/l=taka liczba <p ktora pomnozaona przez k daje 1
(dla k innych niz 0)
dzieki temu ze p jest pierwsze istnieje

Odpowiedź - tutaj.

---

Pozdrowienia,

IQ955. [Marek Czeszek]

Matematyka jest pojęciem abstrakcyjnym (i moim trzecim najmniej lubianym przedmiotem, z którego podwójną lekcję mam jutro na prawie dobry początek tygodnia), więc zastanawianie się nad skończonymi systemami liczb jesy chyba bez sensu. Ale nie wykluczam, że to mój tok myślenia jest zbyt przyziemny. Co zresztą nauczyciele matematyki uświadamiali mi nie raz, zawsze tak samo brutalnie...

>Matematyka jest pojęciem abstrakcyjnym (i moim trzecim najmniej lubianym przedmiotem, z którego podwójną lekcję mam jutro na prawie dobry początek tygodnia), więc zastanawianie się nad skończonymi systemami liczb jesy chyba bez sensu. Ale nie wykluczam, że to mój tok myślenia jest zbyt przyziemny. Co zresztą nauczyciele matematyki uświadamiali mi nie raz, zawsze tak samo brutalnie...

Kiedys zapytałem Profesera Szyńczyka Twórcy 3-Tomów Jężekia Polskiegi było to w Szczecinie 1984 rok Ile jest 2X2= jak sie mówi czysto po POLSKU "5" albo pienć Szymczak chciał odpowiedzieć 5-pięć tylko, szef NRK Bogdań Suchodoliski go URATOWAŁ. a według mnie 2X2=0

Pierwsze pytanie czy mówi ci coś pojęcie "algebry nad zbiorem" ? lub "struktury algebraicznej", bo wiesz samo zadanie zbioru skończonego to nie wszystko.
Właściwie najważniejsze jest zadanie działania lub dzialań w ramach ćwiczenia, sprawdż co oznaczają pojęcia : półgrupa, grupa, pierścień, ciało, algebra.
Zadanie algeby (bo chyba o tym chciałbyś mówić ) nad skończonym zbiorem liczb całkowitych jest o ile wiem trudne, ponieważ niełatwo znaleźć działania które nie wyprowadzałyby poza zdefinowany zbiór - tj. nie byłoby działaniem zamkniętym w zbiorze.
Z tego co mi wiadomo istnieją jednak grupy skończenie wymiarowe. I to byloby właściwie tyle ciekawego - ogólnie bowiem nad zbiorem skończonym liczb całkowitych nie można wlaściwie nic "porządnego" zdefiniować. Cała siła matematyki tkwi w continuum liczb rzeczywistych, a poza tym jak powiedział Kronecker Bóg stworzył niekończony, przeliczalny zbiór liczb naturalnych więc nie ujmujmy tego co boskie

Odpowiedź - tutaj.

---

Pozdrowienia,

IQ955. [Marek Czeszek]

>Przyjmijmy (wbrew oczywistości, ale chyba jednak nie wbrew
>logice), że liczb naturalnych jest skończona ilość...

zdaje się, że taką arytmetykę mieli rodowici mieszkańcy australii, którzy liczyli mniej więcej tak: jeden, dwa, trzy, dużo...no i ledwo uszli cało przed nami i naszą matematyką...

Zatem jest tak:
Mam wrazenie ze autor watku mial na mysli co ciekawego wyjdzie jesli z modelu liczb naturalnych(gdzie jest okreslone mnozenie,dodawanie,nastepnik, etc.),odejmiemy aksjomat nieskonczonosci w postulatach Peano sluzylby za to wbrew pozorom
drugi
++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
Postulaty Peano

Podanie ścisłej definicji zbioru liczb naturalnych, choć proste, zajęło matematykom wiele czasu. Giuseppe Peano zaproponował następujące warunki (tzw. postulaty lub aksjomaty Peano), które musi spełniać dowolna konstrukcja zbioru liczb naturalnych:

* 0 jest liczbą naturalną;
* Każda liczba naturalna ma swój następnik, oznaczany S(a);
* 0 nie jest następnikiem żadnej liczby naturalnej;
* Różne liczby naturalne mają różne następniki: a \not = b \Rightarrow S(a) \not = S(b);
* Jeśli zero ma daną własność i następnik dowolnej liczby naturalnej o tej własności również ma tę własność, to każda liczba naturalna ma tę własność (zasada indukcji matematycznej).
+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
Otoz moglibysmy otrzymac znacznie ciekawsze twory bo Pierscienie Z_k(gdzie dodaje i mnozy sie wszystko modulo k,
znaczy to ze jako wynik pozostaje reszta z dzielenia przez k),
wsrod ktorych znalazlyby sie nawet ciala Z_p gdzie p to liczba pierwsza. Ciekawsze dlatego ze spelniaja one zadosc dodatkowym
warunkom iz.
dla kazdego elementu k (poza 0) istnieje element t iz
k*t=1 poza tym dla kazdego k istnieje t ze k+t=0.
Te wlasnoc posiadaja liczby wymierne(licznik i mianownik naturalny),rzeczywiste,zespolone(a bez wymogu przemiennosci
operacji takze kwaterniony(to takie podwojne zesplone liczby)
Matematyka bez nieskonczonosci jest bardzo ciekawa zapewniam

Pozdrawiam

Odpowiedź - tutaj.

---

Pozdrowienia,

IQ955. [Marek Czeszek]

>Przyjmijmy (wbrew oczywistości, ale chyba jednak nie wbrew
>logice), że liczb naturalnych jest skończona ilość
>(powiedzmy S).
Nic nie stoi na przeszkodzie wprowadzeniu dowolnych aksjomatów i budowania na nich teorii. W matematyce tym bardziej. Zachodzi jedynie pytanie: "W jakim celu?". Oczywiście można w imię sztuki.
tak nawiasem mówiąc ograniczenie zbioru liczb naturalnych do skończonej liczby powiedzmy S już przerabiano. Dotyczy to działań modulo S (lub N - wedle woli).
Pozdrawiam.
JATO

---

Zasada wyjaśniania Conrada: Wszystko co powiesz, zostanie ocenione przez innych , zupełnie sprzecznie z twoimi intencjami.

Odpowiedź - tutaj.

---

Pozdrowienia,

IQ955. [Marek Czeszek]

>Przyjmijmy (wbrew oczywistości, ale chyba jednak nie wbrew
>logice), że liczb naturalnych jest skończona ilość
>(powiedzmy S).
Mały problem już na początku. Jak dodać do przedostatniej liczby ze zbioru S powiedzmy 2? Chyba że przyjmiemy że wynik takiej operacji jest zawsze: mnóstwo.

   1 i 0, prawda i fałsz, tertium non datur.
   1 jest elementem neutralnym względem koniunkcji.
   0 jest elementem neutralnym względem alternatywy.

---

11.0010010000111111011010101000100010000101101000110000100011010011

Odpowiedź - tutaj.

---

Pozdrowienia,

IQ955. [Marek Czeszek]

>1 i 0, prawda i fałsz, tertium non datur.

doprawdy? myślę, że tym trzecim jest papka złożona z prawdy i fałszu, czyli logika stanów ciekłych...

I. Już na pierwszym roku studiów matematycznych przerabiane są skończone tabelki algebr na skończenie wielu liczbach. Czyli pomysł nie jest nowy.

II. Nieskończoność jest niepojęta, więc na intuicję jest skończenie.

III. Jeśli największa liczba x jest większa od 1, to x razy x jest więcej od x. Od największej jest więc większa.

---

Ludomir Tulko

Bardzo dziękuję wszystkim, którzy znaleźli czas i ochotę, aby się wdać w tak enigmatyczny, niepraktyczny i niepotrzebny(?) wątek. Jeszcze raz zaznaczam, że nie chcę tu niczego udowodnić tylko wspólnie pomyśleć na zadany temat. Nie ukrywam także faktu, że po prostu bardzo lubię takie niepraktyczne problemy - mam jakąś "sportową żyłkę" w tym kierunku. Nikt nie jest wolny od słabostek... Po prostu zafascynowało mnie jakie byłyby konsekwencje faktu, że liczb naturalnych jest skończenie wiele.

Najpierw odpowiem ogólnie, a później poszczególnym dyskutantom (następnym wpisie):
Jeśli nie zaznaczę inaczej - moją "największą liczbę naturalną" oznaczam przez S i podstawiam (dla prostoty S=8).

Odpowiedź ogólna:

Kilku dyskutantów odesłało mnie do pojęcia (i linków) arytmetyki modularnej. Polega to chyba na niedokładnym zrozumieniu, o co mi chodzi. Być może nie napisałem dostatecznie jasno - spróbuję się poprawić.

Otóż sądzę, że nieporozumienie polega na tym, iż arytmetyka modularna zakłada redukcję obszaru zainteresowań do zakresu modulo S. Ja zaś przyjąłem (nieprawdziwe, ale chyba niesprzeczne) założenie, że powyżej liczby S - NIC NIE MA!

To nie jest to samo! W arytmetyce modulo 8 (na przykład) 5+5=2, ale to bierze się stąd, że 2=10-8. Tu wykroczyliśmy (chwilowo, ale jednak) poza S=8. Przy moim założeniu czegoś takiego nie można zrobić! Byłoby to tak nieprawidłowe jak, na przykład, pierwiastek kwadratowy z liczby ujemnej w zbiorze liczb rzeczywistych. Albo inaczej - przy moim założeniu - suma 5+5 - nie istnieje!

Zastanowiło mnie natomiast, że przy takim drastycznym założeniu można jednak uprawiać jakąś matematykę. Wypisałem już poprzednio, jakie działania i jak się zmieniają. Teraz dodam, że przy moim założeniu możliwa jest, bardzo skądinąd ciekawa, tzw. "geometria taksówkowa" (na kracie) ograniczona jednakże do pierwiastka n-tego stopnia z S (gdzie n - jest liczbą wymiarów). W geometrii tej - liczba pi (jako stosunek obwodu koła do średnicy) - równa jest dokładnie 4. Okrąg (obwód koła) definiuje się tam jako zbiór punktów równoodległych od danego punktu.

Można zresztą rozpatrywać i inne rzeczy. Można utworzyć macierz pod warunkiem, że będzie dostatecznie mała w porównaniu z S. Czyli, że żaden z elementów macierzy nie będzie większy od S, liczba elementów nie przekroczy S, oraz (uwaga!) suma i iloczyn elementów nie przekroczą S.

I teraz najciekawsze, co mnie uderzyło i co chyba najsilniej przemawia przeciw założeniu ograniczoności zbioru liczb naturalnych. Wyobraźmy sobie jakąś operację "neutralną" na takim zbiorze. Powiedzmy - pomnożenie przez 1, lub dodanie (odjęcie) zera. Można zresztą wykombinować i inne. Bardzo ciekawie jest także pomyśleć o losowaniu (!!!!) liczby z takiego zbioru.

Otóż taką "neutralną" operację możemy, oczywiście, bez problemu wykonać - także wielokrotnie. Tyle, że możemy ją wykonać tylko skończoną ilość razy! I wydaje mi się, że to właśnie przesądza o nieprzydatności takiego modelu matematycznego.

Jeśli w powyższym są jakieś logiczne błędy - chętnie się o nich dowiem.

Odpowiedzi poszczególnym dyskutantom - poniżej.

---

Pozdrowienia,

IQ955. [Marek Czeszek]

Teraz odpowiedzi poszczególnym dyskutantom:

Euklides:
>Mam wrażenie ze autor wątku miał na myśli co ciekawego wyjdzie jeśli z modelu liczb naturalnych (gdzie jest określone mnożenie, dodawanie, następnik, etc.),odejmiemy aksjomat nieskończoności
Dokładnie tak. Tyle, że dalej nie rozumiem (po prostu "gramatycznie"). Pisz trochę porządniej, bardzo Cię proszę.
>Matematyka bez nieskończoności jest bardzo ciekawa zapewniam
Też tak myślę - nie trzeba mnie przekonywać.

Witold Baryluk:
>Starasz się więc zrobić coś bardzo trudnego. Nie wiem czy w zbiorach skończonych da się to zrobić w ogóle.
Chyba nie do końca rozumiem, czego się nie da zrobić. Definiować czegokolwiek bez ukrytego użycia liczb naturalnych (tych "normalnych" - nie "moich" ). Czy tak?

Waligóra:
>Pierwsze pytanie: czy mówi ci coś pojęcie [...]
Owszem. Pozostałe - też. Wszystkie poniższe (i inne) są bardzo ładnie zebrane w tabelce na przykład w "Tablicach matematycznych" (Adamantan, ISBN 83-85655-87-5, str.316) Jeśli nawet nie do końca ściśle - to bardzo poglądowo i przejrzyście.

>Właściwie najważniejsze jest zadanie działania lub działań
Pełna zgoda.

>Zadanie algebry (bo chyba o tym chciałbyś mówić ) nad skończonym zbiorem liczb całkowitych jest o ile wiem trudne, ponieważ niełatwo znaleźć działania które nie wyprowadzałyby poza zdefiniowany zbiór - tj. nie byłoby działaniem zamkniętym w zbiorze.
Trudne, ale chyba możliwe. Mnie zaciekawiło - co się da, a czego się nie da na takim zbiorze zrobić.

>więc nie ujmujmy tego co boskie
Z pełną pokorą - ani myślę (antyklerykały - cisza!). Jednak, o ile wiem, nie ma boskiego zakazu myślenia na temat, co by było, gdyby zbiór liczb naturalnych miał górna granicę.

Diogenes:
>Zdaje się, że taką arytmetykę mieli rodowici mieszkańcy Australii,
Co mieli australijscy aborygeni - dokładnie nie wiem, ale możliwe, że tak było. Czytałem za to o innych plemionach, które liczyły na stawach i końcach palców do kilkudziesięciu, a potem - też mnóstwo.

>którzy liczyli mniej więcej tak: jeden, dwa, trzy, dużo...
Tu jest właśnie różnica - u mnie nie ma "dużo".

>no i ledwo uszli cało przed nami i naszą matematyką...
Hmmm... "My" - to na pewno mamy tu sporo na sumieniu, ale "nasza" matematyka... raczej nie.

Obiecałem p. Zbysławowi Śmigielskiemu, że będę walczył do końca, zatem:
Czy nie mógłbyś, wzorem Kratesa, który wprowadził do cynizmu elementy filantropii, poświęcić się trochę dla mnie i naciskać klawisz "Shift" na początku zdania? Proszę o tak niewiele...

JATO:
>Nic nie stoi na przeszkodzie wprowadzeniu dowolnych aksjomatów i budowania na nich teorii.
Właśnie korzystam z reguły: "Co nie jest zabronione - jest dozwolone."

>W matematyce tym bardziej. Zachodzi jedynie pytanie: "W jakim celu?".
Znakomitej odpowiedzi udzielili tu S. Lem i B.Russell. Skrótowo (i chyba zabawnie) jest o tym tutaj w artykule "Dziwolągi matematyczne". Zapraszam.

>Oczywiście można w imię sztuki.
Korzystam, jak mogę, z tej możliwości.

>Dotyczy to działań modulo S
Niezupełnie. O tym w wyjaśnieniach ogólnych na początku.

A. Pawłowski.
>Mały problem już na początku. Jak dodać do przedostatniej liczby ze zbioru S powiedzmy 2?
Tego u mnie właśnie "nie wolno". Na podobnej zasadzie, jak "nie wolno" dzielić przez zero.

Jacek Krysztofik:
> 1 i 0, prawda i fałsz, tertium non datur.
>1 jest elementem neutralnym względem koniunkcji.
>0 jest elementem neutralnym względem alternatywy.

Nie za bardzo rozumiem. Czy chodzi o wariant dla S=1? Mógłbyś rozwinąć (ale temat, a nie to binarne "pi"!) ?

---

Pozdrowienia,

IQ955. [Marek Czeszek]

Szczerze gratuluje inwencji twórczej na polu matematycznym, czasami zdarza się że też tak mam - ale szybko mi przechodzi

>Otóż taką "neutralną" operację możemy, oczywiście, bez problemu wykonać - także wielokrotnie. Tyle, że możemy ją wykonać tylko skończoną ilość razy!
?? ... dowód formalny proszę
(to że zbiór S jest skończony o tym nie świadczy)

>"geometria taksówkowa" (na kracie) ograniczona jednakże do pierwiastka n-tego stopnia >z S (gdzie n - jest liczbą wymiarów). W geometrii tej - liczba pi (jako stosunek obwodu >koła do średnicy) - równa jest dokładnie 4. Okrąg (obwód koła) definiuje się tam jako >zbiór punktów równoodległych od danego punktu
Czy to jest "geometria" metryczna ? ("taksówkowa" - to skądś znam )

>Jeśli w powyższym są jakieś logiczne błędy - chętnie się o nich dowiem.
Bez formalizacji systemu możemy sobie tylko "opowiadać" - zadaj najpierw algebre na zbiorze S.

A co na przykład z algebrą Boole'a? Działa świetnie dla stanów prawda-fałsz. Można ją rozwinąć o sześć stanów "pomiędzy": półprawda itd. Większość powyższych zastrzeżeń chyba przestanie być aktualne. Nie trzeba znać liczb naturalnych. Wystarczy odpowiednio zdefiniować "lub" oraz "i".

Pamiętam, jak w ostatniej klasie podstawówki bawiłem się arytmetyką kolistą. To znaczy, postęp w nieskończoność biegł wkoło. Po siódemce następowało zero. Dopiero teraz skojarzyłem to ze statycznie geometryczną definicją obiegu po okręgu.

---

Ludomir Tulko

>Przyjmijmy (wbrew oczywistości, ale chyba jednak nie wbrew
>logice), że liczb naturalnych jest skończona ilość
>(powiedzmy S). Przecież matematyka nie musi być zgodna z
>naszą intuicją - a jedynie - niesprzeczna!
>Czy można przy takim założeniu uprawiać jakąś arytmetykę?
>Inne dziedziny matematyki?

Istnienie pewna niewielka grupa matematyków (co najmniej od stu lat), którzy odrzucają pojęcie nieskończoności i próbują dalej uprawiać matematykę. W literaturze pop.-nauk. wzmiankę o takim podejściu można znaleźć w książce "Kres możliwości"