Do czytelników

To jest końcowy efekt 5-cio letniej wojny o rozszyfrowanie dokładnie tej wersji implikacji którą posługują się ludzie, nieznanej człowiekowi. Szczególnie pasjonująca i owocna była ostatnia, 12 miesięczna dyskusja na ateiście.pl (około 1900 postów) ze znakomitymi matematykami i logikami: Fizykiem, Windziarzem i Sogorsem. To dzięki nim NTI przybrała kształt ostateczny jak niżej.

Link do oryginału:
www.sfinia(*)gebra-kubusia,5357.html#128911

Kluczowy fragment z oryginału …

… wszystko co chcecie, żeby ludzie wam czynili, wy też im podobnie czyńcie …
Ewangelia Mateusza 7:12


[size=24]Algebra Kubusia[/size]
[size=18]Nowa Teoria Implikacji[/size]


Autor: Kubuś - wirtualny Internetowy Miś
Naszym dzieciom dedykuję

W pracach nad teorią implikacji bezcennej pomocy udzielili Kubusiowi przyjaciele:
Emde (sfinia), Fizyk (ateista.pl), Gavrila_Ardalionovitch (ateista.pl), HeHe (ateista.pl), Idiota (ateista.pl), Irbisol (sfinia), Makaron czterojajeczny (sfinia), Macjan (sfinia), Miki (sfinia), NoBody (ateista.pl), Rafał3006 (sfinia), Rexerex (ateista.pl), Rogal (matematyka.pl), Sogors (ateista.pl), Słupek (ateista.pl), tomektomek (ateista.pl), Uczy (wolny), Volrath (sfinia), Windziarz (ateista.pl), WujZbój (sfinia), Wyobraźnia (ateista.pl) i inni
Wielkie dzięki, Kubuś !

Szczególne podziękowania Wujowi Zbójowi za jego nieskończoną cierpliwość w dyskusjach z Kubusiem, Vorathowi za decydującą o wszystkim dyskusję, Fizykowi i Windziarzowi za inspirację do napisania końcowej wersji algebry Kubusia oraz Sogorsowi za postawienie kropki nad „i”.

Kim jest Kubuś ?
Kubuś - wirtualny Internetowy Miś, wysłannik obcej cywilizacji, którego zadaniem było przekazanie ludziom tajemnicy implikacji.


Wstęp:

W naturalnym języku mówionym każdy człowiek, od 5-cio latka po starca, biegle posługuje się matematyką ścisłą, algebrą Kubusia. To jest matematyka pod którą człowiek podlega a nie którą tworzy. Dzięki niej język człowieka nie jest chaotyczny, człowiek z człowiekiem może się porozumieć. Algebra Kubusia jest nieprawdopodobnie prosta, jej naturalnymi ekspertami są wszystkie dzieci w przedszkolu. Cała filozofia prostoty to akceptacja przez matematyków banalnej logiki dodatniej i ujemnej w algebrze Boole’a.

Algebra Kubusia jest odpowiednikiem języka asemblera ze świata mikroprocesorów, operuje na równaniach algebry Boole’a, zmiennych binarnych i stałych w zapisie symbolicznym a nie na zerach i jedynkach, jak to jest w dzisiejszej logice.

W całej publikacji będziemy używać zamiennie:
Nowa Teoria Implikacji = algebra Kubusia


Spis treści:

1.0 Notacja
1.1 Definicje algebry Kubusia = pełna lista legalnych operatorów logicznych

2.0 Nowa Teoria Implikacji w pigułce
2.1 Algebra Kubusia w przedszkolu
2.2 Prawo Prosiaczka
2.3 Operatory OR i AND
2.4 Równanie ogólne dla operatorów AND i OR
2.5 Operatory implikacji i równoważności
2.6 Równanie ogólne dla operatorów implikacji
2.7 Nieznane definicje implikacji i równoważności, wynikające z NTI
2.8 Znaczenie zdania „Jeśli…to…” w logice

3.0 Zero-jedynkowa algebra Boole’a
3.1 Prawa wynikające z definicji iloczynu logicznego
3.2 Prawa wynikające z definicji sumy logicznej
3.3 Najważniejsze prawa algebry Boole’a
3.4 Fundamenty algebry Boole’a
3.5 Aksjomatyczne definicje operatorów logicznych w algebrze Boole’a i NTI
3.6 Abstrakcyjny model operatora logicznego
3.7 operatory logiczne FILL i NOP
3.8 Operatory P i Q
3.9 Operatory negacji NP i NQ

4.0 Algebra Kubusia w tabelach zero-jedynkowych
4.1 Suma logiczna OR
4.2 Iloczyn logiczny AND
4.3 Operatory implikacji
4.4 Definicje implikacji w NTI
4.5 Dowód wewnętrznej sprzeczności KRZ dla zdania wypowiedzianego p=>q
4.6 Dowód wewnętrznej sprzeczności KRZ dla zdania wypowiedzianego p~>q
4.7 Podsumowanie dowodu wewnętrznej sprzeczności KRZ

5.0 Fantastycznie prosta algebra Kubusia
5.1 Rzeczywista budowa operatorów OR i AND
5.2 Definicje zero-jedynkowe spójników w implikacji
5.3 Rzeczywista budowa operatorów implikacji i równoważności

6.0 Algebra Kubusia w zbiorach
6.1 Podstawowe definicje z teorii zbiorów w NTI
6.2 Implikacja prosta w zbiorach
6.3 implikacja odwrotna w zbiorach
6.4 Równoważność w zbiorach
6.5 Naturalny spójnik „może’ ~~> w zbiorach


1.0 Notacja

1 = prawda
0 = fałsz
* - symbol iloczynu logicznego (AND), w mowie potocznej spójnik 'i'
+ - symbol sumy logicznej (OR), w mowie potocznej spójnik "lub"
~ - przeczenie, negacja (NOT), w mowie potocznej "NIE"
~(...) - w mowie potocznej "nie może się zdarzyć że ...", "nie prawdą jest że ..."
<=> - symbol równoważności
Twarda prawda/fałsz - zachodzi zawsze, bez żadnych wyjątków (warunek wystarczający =>)
Miękka prawda/fałsz - może zajść, ale nie musi (warunek konieczny ~>)
Kolejność wykonywania działań: nawiasy, AND(*), OR(+), =>, ~>

# - różne
Fundament algebry Boole’a w teorii zero-jedynkowej:
1=prawda
0=falsz
A.
1#0
Prawda # fałsz

Fundament symbolicznej algebry Boole’a (algebry Kubusia) w zmiennych binarnych:
Y=prawda
~Y=fałsz
B.
Y # ~Y
prawda # fałsz
co matematycznie oznacza:
C.
Y=1 # ~Y=1
Zauważmy, że to jedyny poprawny sposób zapisania B w taki sposób, aby było widać zmienne Y i ~Y po obu stronach znaku #.
Oczywiście równanie C możemy zapisać tak:
Jeśli ~Y=1 to Y=0
stąd:
D.
Y=1 # ~Y=1 = Y=0
czyli:
E.
Y=1 # Y=0
gdzie:
1=prawda
0=fałsz
Zauważmy jednak, że de facto wylądowaliśmy w zero-jedynkowej algebrze Boole’a (A) a nie symbolicznej algebrze Boole’a (C), że tych zer i jedynek z równania E nie sposób się pozbyć.

Zauważmy, że wszelkie prawa algebry Boole’a podawane są w równaniach algebry Boole’a gdzie nie ma najmniejszego śladu bezwzględnych zer i jedynek np.
A.
Y=p+q
Matematycznie:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
Przejście do logiki przeciwnej poprzez wymianę operatorów i negację zmiennych
B.
~Y=~p*~q
Matematycznie:
~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1
Gdzie:
Y – funkcja logiczna w logice dodatniej (bo Y – brak przeczenia)
~Y – funkcja logiczna w logice ujemnej (bo ~Y – jest przeczenie)
Oczywiście matematycznie zachodzi:
Y=1 # ~Y=1
Y # ~Y
bo to dwie przeciwne logiki

Matematyczny związek logiki dodatniej i ujemnej:
Y = ~(~Y)
Podstawiając A i B mamy prawo de’Morgana:
p+q = ~(~p*~q)
Co matematycznie oznacza:
p=1 lub q=1 = ~(~p=1 i ~q=1)

Przykład:
Jutro pójdę do kina lub do teatru
Y=K+T
co matematycznie oznacza:
Dotrzymam słowa (Y=1) <=> pójdę do kina (K=1) lub do teatru (T=1)
Y=K+T
czyli:
Y=1 <=> K=1 lub T=1
Prawo de’Morgana:
Y = K+T = ~(~K*~T)
Stąd zdanie równoważne:
Nie może się zdarzyć ~(…, że jutro nie pójdę do kina (~K=1) i nie pójdę do teatru (~T=1)
Y=~(~K*~T)
czyli:
Y=1 <=> ~(~K=1 i ~T=1)

Świętość algebry Kubusia:
1 = prawda
0 = fałsz
Zawsze i wszędzie, niezależnie od tego czy jest to logika dodatnia czy też ujemna

## - różne na mocy definicji
A.
Na mocy definicji zero-jedynkowych implikacji prostej => i odwrotnej ~> mamy:
p=>q=~p~>~q=1 ## p~>q=~p=>~q=1
bo to dwie fundamentalnie inne tabele zero-jedynkowe.
B.
Na mocy definicji zero-jedynkowych operatorów OR(+) i AND(*) mamy:
p+q=~(~p*~q)=1 ## p*q=~(~p+~q)=1
bo to dwie fundamentalnie inne tabele zero-jedynkowe.

W tym przypadku parametry formalne p i q po lewej stronie nie mają żadnego związku matematycznego z parametrami formalnymi p i q po prawej stronie.
Po obu stronach znaku ## pod parametry formalne możemy podstawić cokolwiek.
W implikacji mamy zatem taki przypadek:
P8=>P2=~P8~>~P2=1 ## P2~>P8=~P2=>~P8=1


1.1 Definicje algebry Kubusia = pełna lista legalnych operatorów logicznych

Zero-jedynkowo wszystkie operatory logiczne znane są człowiekowi od około 200 lat, jednak nie wszystkie zostały poprawnie zinterpretowane.

Pełna lista dwuargumentowych operatorów logicznych.
[code]
p q OR NOR AND NAND <=> XOR => N(=>) ~> N(~>) FILL NOP P NP Q NQ
0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1
0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0
1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1
1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0
[/code]

[code]
Logika dodatnia Logika ujemna
OR NOR
AND NAND
<=> XOR
=> N(=>)
~> N(~>)
FILL NOP
P NP
Q NQ
[/code]
Wszystkich możliwych operatorów logicznych jest 16 z czego człowiek zna poprawne znaczenie zaledwie sześciu: AND, NAND, OR, NOR, <=>, XOR. Za operatory dodatnie przyjęto te, które człowiek używa w naturalnym języku mówionym. Wyjątkiem jest tu operator XOR, w języku mówionym spójnik „albo”.

Operator ujemny to zanegowany operator dodatni, co doskonale widać w powyższej tabeli.
Operator dodatni to zanegowany operator ujemny, co również widać wyżej.
[code]
Definicje operatorów ujemnych:
pNORq = ~(p+q)
pNANDq = ~(p*q)
pXORq = ~(p<=>q)
pN(=>)q = ~(p=>q)
pN(~>)q = ~(p~>q)
pNOPq = ~(pFILLq)
pNPq = ~(pPq)
pNQq = ~(pQq)
[/code]
W języku mówionym operatory ujemne nie są używane, ponieważ łatwo je zastąpić operatorami dodatnimi plus negacją co widać w powyższej tabeli.


2.0 Nowa Teoria Implikacji w pigułce

Istota NTI:
1.
Użyty spójnik logiczny oraz analiza symboliczna zdania przez wszystkie możliwe przeczenia p i q decyduje o tym czym jest wypowiedziane zdanie.
2.
Determinizm, czyli z góry znane wartości logiczne p i q zabija wszystko, zarówno definicję OR i AND, jak i definicje implikacji i równoważności.

Istota NTI to działanie na równaniach algebry Boole’a a nie na tabelach zero-jedynkowych.

Twierdzenie 1
Każdą tabele zero-jedynkową można zapisać w równaniu algebry Boole’a i odwrotnie, z każdego równania algebry Boole’a można wygenerować równoważną tabelę zero-jedynkową

Twierdzenie 2
Dowolną tabelę zero-jedynkową która w wyniku nie ma samych jedynek (operator FILL) albo samych zer (operator NOP) i nie jest operatorem jednoargumentowym (P, Q, NP., NQ) można zapisać przy pomocy n równoważnych równań algebry Boole’a gdzie:
n=8 – dla dowolnej tabeli opisanej operatorami AND i OR
n=2 – dla opisu definicji implikacji i równoważności operatorami implikacji i równoważności

Definicje implikacji to prawa Kubusia:
p=>q = ~p~>~q – definicja implikacji prostej p=>q w równaniu algebry Boole’a
n1=p=>q
n2=~p~>~q

p~>q = ~p=>~q – definicja implikacji odwrotnej ~> w równaniu algebry Boole’a
n1=p~>q
n2=~p=>~q
Stąd n=2

Definicja równoważności:
p<=>q = ~p<=>~q = (p=>q)*(~p=>~q) – definicja równoważności w równaniu algebry Boole’a
n1=p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
n2=~p<=>~q = (~p=>~q)*(p=>q)
stąd n=2
gdzie:
p=>q, ~p=>~q – warunki wystarczające, to nie są implikacje proste.

W naturalnym języku mówionym każdy 5-cio latek operuje biegle równaniami algebry Boole’a, dzięki czemu to samo może wyrazić na wiele różnych sposobów.


2.1 Algebra Kubusia w przedszkolu

Przyjrzyjmy się bliżej matematyce, którą posługuje się każdy przedszkolak.

Jutro pójdę do kina lub do teatru
Y=K+T
Matematycznie:
Dotrzymam słowa (Y=1) jeśli jutro pójdę do kina (K=1) lub do teatru (T=1)
Y=K+T
czyli:
Y=1 <=> K=1 lub T=1
Dotrzymam słowa (Y) gdy którakolwiek zmienna (K lub T) zostanie ustawiona na 1
… a kiedy skłamię ?
Skłamię (~Y=1) jeśli jutro nie pójdę do kina (~K=1) i nie pójdę do teatru (~T=1)
~Y = ~K*~T
czyli:
~Y=1 <=> ~K=1 i ~T=1
Skłamię (~Y) gdy obie zmienne (~K i ~T) zostaną ustawione na 1

Koniec !
To jest cała matematyka, którą każdy człowiek od przedszkolaka po profesora używa milion razy na dobę. Jak widać mózg przedszkolaka na pytanie „Kiedy skłamię ?” odpowiada w logice ujemnej.

Definicja logiki ujemnej w operatorach AND i OR:
Logika dodatnia (Y) to odpowiedź na pytanie kiedy dotrzymam słowa (wystąpi prawda), zaś logika ujemna (~Y) to odpowiedź na pytanie kiedy skłamię (wystąpi fałsz).

Związek logiki dodatniej z logika ujemną opisuje równanie:
Y = ~(~Y) - prawo podwójnego przeczenia

Nietrudno zauważyć, jak mózg dziecka przechodzi z logiki dodatniej (Y) do logiki ujemnej (~Y), po prostu neguje wszystkie zmienne i wymienia operator na przeciwny. Nietrudno też się domyśleć, że to jest poprawny sposób przejścia do logiki ujemnej dla dowolnie długiej funkcji logicznej.

Metoda przedszkolaka:
Przejście z logiki dodatniej (Y) do ujemnej (~Y) lub odwrotnie uzyskujemy negując wszystkie zmienne i wymieniając operatory na przeciwne.

Przykład:
A: Y=A+(~B*C)
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę operatorów na przeciwne:
B: ~Y = ~A*(B+~C)

Związek logiki dodatniej i ujemnej:
C: Y=~(~Y) - prawo podwójnego przeczenia

Podstawiając A i B do C mamy prawo de’Morgana.
A+(~B*C) = ~[~A*(B+~C)]

Łatwo zauważyć, że z prawa de’Morgana mózg dziecka praktycznie nigdy nie korzysta … chyba że w fazie poznawania języka, kiedy to dwulatek zadaje wszelkie możliwe pytania.

Popatrzmy na to jeszcze raz, delektując się genialną matematyką która posługuje się każde dziecko.
A.
Jutro pójdę do kina lub do teatru
Y=K+T
Matematycznie:
Dotrzymam słowa (Y=1) jeśli jutro pójdę do kina (K=1) lub do teatru (T=1)
Y=K+T
… a kiedy skłamię ?
Przejście do logiki ujemnej poprzez negacje zmiennych i wymianę operatorów na przeciwne:
B.
Skłamię (~Y=1) jeśli jutro nie pójdę do kina (~K=1) i nie pójdę do teatru (~T=1)
~Y = ~K*~T

Już dziecko pięcioletnie nie będzie zadawało więcej pytań bo wszystko jest jasne, trzylatek może jednak kontynuować.

… a czy może się zdarzyć, że jutro nie pójdę do kina i nie pójdę do teatru ?
Ostatnie zdanie w dialogu:
~Y=~K*~T
Negujemy dwustronnie i mamy odpowiedź na temat, czyli zgodną z zadanym pytaniem.
Y=~(~K*~T)
Nie może się zdarzyć ~(…, że jutro nie pójdę do kina i nie pójdę do teatru

Na powyższe pytanie można odpowiedzieć inaczej:
Jutro na pewno pójdę do kina lub do teatru
Y=K+T
Jednak nie będzie to ścisła odpowiedź na zadane pytanie, dlatego mało kto tak odpowie.


2.2 Prawo Prosiaczka

Prawo Prosiaczka mówi o sposobie przejścia z tabeli zero-jedynkowej n-elementowej do równania algebry Boole’a opisującego tą tabelę.

Definicja zero-jedynkowa sumy logicznej:
[code]
p q Y=p+q
1 1 =1
1 0 =1
0 1 =1
0 0 =0
[/code]

Kubuś, nauczyciel logiki w I klasie LO w stumilowym lesie:
Kto potrafi z powyższej tabeli zero-jedynkowej wygenerować równanie algebry Boole’a ?

Wszystkie ręce w górze, do tablicy podchodzi Jaś:
W ostatniej linii w wyniku mamy samotne zero, zatem dla tej linii możemy zapisać najprostsze równanie.

Z tabeli widzimy że:
A.
Y=0 <=> p=0 i q=0
Przejście z takiego zapisu do równań algebry Boole’a jest banalne. Należy skorzystać z definicji iloczynu logicznego sprowadzając wszystkie zmienne do jedynki albo z definicji sumy logicznej sprowadzając wszystkie zmienne do zera.

Sposób I.
Sprowadzam wszystkie zmienne do jedynki dzieli czemu w równaniu algebry Boole’a możemy się pozbyć bezwzględnych zer i jedynek:
B.
Y=0 czyli ~Y=1
p=0 czyli ~p=1
q=0 czyli ~q=1

Definicja iloczynu logicznego (logika dodatnia):
Iloczyn logiczny jest równy jeden wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie zmienne są równe jeden.
Y=p*q
Y=1 <=> p=1 i q=1

Korzystając z A i B na podstawie tej definicji mamy:
~Y = ~p*~q
Przechodzimy do logiki przeciwnej metodą przedszkolaka negując wszystkie zmienne i wymieniając operator AND(*) na OR(+):
Y = p+q

Sposób II
Sprowadzamy wszystkie zmienne do zera i stosujemy definicję sumy logicznej.

Definicja sumy logicznej (logika ujemna):
Suma logiczna jest równa zeru wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie składniki sumy są równe zeru
Y=p+q
Y=0 <=>p=0 i q=0
Zauważmy, że mamy tu niezgodność zapisu z naturalną logiką człowieka.
W równaniu algebry Boole’a mamy OR(+) - spójnik „lub”:
Y=p+q
natomiast w szczegółowej rozpisce mamy AND(*) - spójnik „i”:
Y=0 <=>p=0 i q=0
dlatego to jest logika ujemna.

W równaniu A wszystkie zmienne są równe zeru, zatem tu nic nie musimy robić, od razu mamy równanie algebry Boole’a dla powyższej tabeli zero-jedynkowej.
Y=p+q

Kubuś:
Jasiu, zapisałeś równanie algebry Boole’a wyłącznie dla ostatniej linii, skąd wiesz jakie będą wartości logiczne w pozostałych liniach, nie opisanych tym równaniem ?

Prawo Prosiaczka:
Równania algebry Boole’a dla dowolnej tabeli zero-jedynkowej n-elementowej tworzymy na podstawie linii z tą samą wartością logiczną w wyniku. Wszelkie nie opisane równaniem linie przyjmą wartości przeciwne do linii opisanych.

Powyżej ułożyliśmy równanie wyłącznie dla ostatniej linii tabeli gdzie w wyniku było zero, wszelkie pozostałe linie, zgodnie z prawem Prosiaczka muszą być jedynkami niezależnie od chciejstwa człowieka … bo to jest matematyka przecież.

Kubuś:
Z tego co mówisz wynika, że dla powyższej tabeli można ułożyć równoważne równania dla linii z jedynkami w wyniku, czy potrafisz je zapisać ?

Jaś:
Postępujemy identycznie jak wyżej !
Korzystnie jest tu przejść do tabeli symbolicznej w logice dodatniej przyjmując:
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0
Y=1, ~Y=0
Stąd mamy definicję sumy logicznej w wersji symbolicznej:
[code]
Dotrzymam słowa (Logika dodatnia bo Y) gdy:
Y=p+q = p*q+p*~q+~p*q
p* q = Y /1 1 =1
p*~q = Y /1 0 =1
~p* q = Y /0 1 =1
Skłamię (logika ujemna bo ~Y) gdy:
~p*~q =~Y /0 0 =0
[/code]
Stąd równoważne równanie algebry Boole’a dla samych jedynek (Y) przybierze postać:
C.
Y=p+q = (p*q)+(p*~q)+(~p*q)
Z powyższym równaniem możemy przejść do logiki ujemnej negując sygnały i wymieniając operatory na przeciwne.
D.
~Y = ~p*~q = (~p+~q)*(~p+q)*(p+~q)
Negujemy stronami przechodząc do logiki dodatniej:
Y = ~[~p*~q] = ~[(~p+~q)*(~p+q)*(p+~q)]

Z powyższego wynika że to samo zdanie:
Y=p+q
możemy wypowiedzieć na wiele różnych sposobów.

W naturalnym języku mówionym najczęściej używamy formy najprostszej jak wyżej. Część z możliwych zdań równoważnych będzie dla człowieka trudno zrozumiała.

Przykład:
A1.
Jutro pójdę do kina lub do teatru
Y=K+T
… a kiedy skłamię ?
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę operatorów.
A2.
Skłamię (~Y=1) gdy jutro nie pójdę do kina (~K=1) i nie pójdę do teatru (~T=1)
~Y=~K*~T
związek logiki dodatniej i ujemnej:
Y=~(~Y)
stąd:
Y = K+T = ~(~K*~T)
A3.
Nie może się zdarzyć, że jutro nie pójdę do kina i nie pójdę do teatru
Y = K+T = ~(~K*~T)
A4.
Wyłącznie negujemy równanie A1:
~Y = ~(K+T)
Skłamię (~Y) jeśli nie zdarzy się ~(…, że jutro pójdę do kina lub do teatru

Analogiczną serie zdań otrzymamy dla równań równoważnych ułożonych dla jedynek w definicji zero-jedynkowej sumy logicznej.
B1.
Y=K+T = K*T+K*~T+~K*T
czyli:
Dotrzymam słowa, jeśli wystąpi którekolwiek zdarzenie:
K*T – byłem w kinie i w teatrze
K*~T – byłem w kinie i nie byłem w teatrze
~K*T – nie byłem w kinie i byłem w teatrze
Oczywiście wyłącznie jedno z powyższych zdarzeń ma szansę wystąpić w rzeczywistości.

… a kiedy skłamię ?
Przejście ze zdaniem B1 do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę operatorów na przeciwne:
B2.
~Y = (~K+~T)*(~K+T)*(K+~T)
Negujemy dwustronnie i mamy kolejne możliwe zdanie:
B3.
Y = ~[(~K+~Y)*(~K+T)*(K+~T)]
Ostatnie możliwe zdanie otrzymujemy negując dwustronnie B1:
B4.
~Y= ~[(K*T)+(K*~T)+(~K*T)]

Mamy wyżej fantastyczną możliwość powiedzenia tego samego na wiele różnych sposobów. Wszystkie zdania z wyjątkiem B2 i B3 są dla przeciętnego człowieka zrozumiałe !
Zdania B2 i B3 to rozbudowane zdania ze zmiennymi w logice ujemnej w stosunku do zdania wypowiedzianego A1.


2.3 Operatory OR i AND

Definicja operatora OR:
[code]
p q Y=p+q
Dotrzymam słowa (Y), logika dodatnia bo Y:
Y=p+q = p*q+p*~q+~p*q
1 1 =1 /Y=p*q
1 0 =1 /Y=p*~q
0 1 =1 /Y=~p*q
Skłamię (~Y), logika ujemna bo ~Y:
~Y=~p*~q
0 0 =0 /~Y=~p*~q
[/code]
Przykład:
Jutro pójdę do kina lub do teatru
Y=K+T
czyli matematycznie:
A.
Dotrzymam słowa (Y=1) gdy pójdę do kina (K=1) lub pójdę do teatru (T=1)
Y=K+T – logika dodatnia bo Y
czyli:
Y=1 <=> K=1 lub T=1

… a kiedy skłamię ?
Przejście do logiki ujemnej (~Y) poprzez negacje zmiennych i wymianę operatorów:
~Y=~K*~T – logika ujemna bo ~Y
B.
Skłamię (~Y=1) gdy nie pójdę do kina (~K=1) i nie pójdę do teatru (~T=1)
~Y=~K*~T
Związek logiki dodatniej i ujemnej:
Y=~(~Y)
Podstawiając A i B mamy prawo de’Morgana dla sumy logicznej:
K+T = ~(~K*~T)

Wnioski:
1.
Definicja operatora OR to złożenie spójników „lub” w logice dodatniej ze spójnikiem „i” w logice ujemnej
2.
Spójnik logiczny to fundamentalnie co innego niż operator logiczny
3.
Prawo de’Morgana zachodzi w jednej i tej samej definicji zero-jedynkowej.
Prawo de’Morgana:
p+q = ~(~p*~q)
to definicja operatora OR zapisana w równaniu algebry Boole’a !

Definicja operatora AND:
[code]
p q Y=p*q
Dotrzymam słowa (Y), logika dodatnia bo Y:
Y=p*q
1 1 =1 /Y=p*q
Skłamię (~Y), logika ujemna bo ~Y:
~Y=~p+~q = ~p*~q+~p*q+p*~q
0 0 =0 /~Y=~p*~q
0 1 =0 /~Y=~p*q
1 0 =0 /~Y=p*~q
[/code]
Przykład:
Jutro pójdę do kina i do teatru
Y=K*T
czyli matematycznie:
A.
Dotrzymam słowa (Y=1) gdy pójdę do kina (K=1) i pójdę do teatru (T=1)
Y=K*T
czyli:
Y=1 <=> K=1 i T=1

… a kiedy skłamię ?
Przejście do logiki ujemnej (~Y) poprzez negacje zmiennych i wymianę operatorów:
~Y=~K+~T
B.
Skłamię (~Y=1) gdy nie pójdę do kina (~K=1) lub nie pójdę do teatru (~T=1)
~Y=~K+~T
Związek logiki dodatniej i ujemnej:
Y=~(~Y)
Podstawiając A i B mamy prawo de’Morgana dla iloczynu logicznego
K*T = ~(~K+~T)

Wnioski:
1.
Definicja operatora AND to złożenie spójników „i” w logice dodatniej ze spójnikiem „lub” w logice ujemnej
2.
Spójnik logiczny to fundamentalnie co innego niż operator logiczny
3.
Prawo de’Morgana zachodzi w jednej i tej samej definicji zero-jedynkowej.
Prawo de’Morgana:
p*q = ~(~p+~q)
to definicja operatora AND zapisana w równaniu algebry Boole’a !


2.4 Równanie ogólne dla operatorów AND i OR

Na mocy definicji zachodzi:
p+q = ~(~p*~q) ## p*q = ~(~p+~q)

Po obu stronach znaku ## mamy dwie fundamentalnie różne definicje zero-jedynkowe zapisane w równaniu algebry Boole’a.

Dowód dla lewej strony.
Y=p+q = ~(~p*~q)
stąd:
Y=p+q = p*q+p*~q+~p*q – na mocy definicji spinka „lub” w logice dodatniej bo Y
~Y=~p*~q – spójnik „i” w logice ujemnej bo ~Y
Po zapisaniu powyższego w tabeli symbolicznej mamy:
[code]
p* q =Y
p*~q =Y
~p* q =Y
~p*~q=~Y
[/code]
Przyjmując kodowanie powyższej tabeli w logice dodatniej:
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0
Y=1, ~Y=0
otrzymujemy tabele zero-jedynkową sumy logicznej
[code]
p q Y=p+q
1 1 =1
1 0 =1
0 1 =1
0 0 =0
[/code]
CND

Dowód dla prawej strony
Y=p*q=~(~p+~q)
stąd:
Y=p*q – spójnik „i” w logice dodatniej bo Y
~Y=~p+~q = ~p*~q+~p*q+p*~q – na mocy definicji sumy logicznej w logice ujemnej bo ~Y
Zapisujemy powyższe w tabeli symbolicznej:
[code]
p* q =Y
~p*~q=~Y
~p* q=~Y
p*~q=~Y
[/code]
Po zakodowaniu powyższej tabeli w logice dodatniej:
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0
Y=1, ~Y=0
otrzymujemy tabele zero-jedynkową iloczynu logicznego
[code]
p q Y=p*q
1 1 =1
0 0 =0
0 1 =0
1 0 =0
[/code]
CND
Równanie ogólne dla operatorów AND i OR:
p+q = ~(~p*~q) ## p*q = ~(~p+~q)
Jest fizycznie nie możliwe, aby dla dowolnych p i q kiedykolwiek zaszła tożsamość „=” zamiast ##

Przykład:
Jutro pójdę do kina lub do teatru
Y=K+T
p=K
q=T
Jutro pójdę do teatru i do kina
Y=T*K
p=T
q=K
Matematycznie zachodzi:
K+T = ~(~K*~T) ## T*K = ~(~T+~K)
p+q = ~(~p*~q) ## p*q = ~(~p+~q)
Po obu stronach znaku ## pod zmienne formalne p i q możemy podstawiać cokolwiek, bowiem nie istnieją żadne związki matematyczne łączące strony rozdzielone znakiem ## - to dwie fundamentalnie inne definicje zero-jedynkowe.

W operatorach AND i OR zachodzi przemienność argumentów:
p+q=q+p
p*q=q*p

Dlatego tu nawet w tożsamości matematycznej:
p+q = ~(~q*~p)
Możemy sobie rzucać monetą ustalając p i q po obu stronach tożsamości

W implikacji, co zobaczymy za chwilę, taki manewr jest niedozwolony.


2.5 Operatory implikacji i równoważności

Implikacja odwrotna

Definicja warunku koniecznego autorstwa wykładowcy logiki Volratha:

Jeśli p jest konieczne dla q to zajście ~p wystarcza dla zajścia ~q
Stąd w sposób naturalny mamy prawo Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
… i definicję implikacji odwrotnej !

Definicja implikacji odwrotnej:
[code]
p~>q=1
1 1 =1
p~~>~q=1
1 0 =1
… a jeśli zajdzie ~p ?
Prawo Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
~p=>~q=1
0 0 =1
~p=>q=0
0 1 =0
[/code]
p~>q
Jeśli zajdzie p to może ~> zajść q
Plus musi być spełniona wyrocznia implikacji, prawo Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
gdzie:
~> - spójnik „może” ze spełnionym warunkiem koniecznym (prawem Kubusia)
~~> - naturalny spójnik „może”, wystarczy jedna prawda, warunek konieczny tu nie zachodzi

Z powyższego wynika że:
1.
Warunek konieczny (spójnik „może” ~>) = definicja implikacji odwrotnej
2.
Definicja zero-jedynkowa naturalnego „może” ~~>, wystarczy jedna prawda.
[code]
p~~>q=1
1 1 =1
[/code]
3.
Operator implikacji odwrotnej to złożenie spójnika „może” ~> w logice dodatniej (bo q - niezanegowane) ze spójnikiem „musi” => w logice ujemnej (bo ~q - zanegowane)
p~>q = ~p=>~q – prawo Kubusia
stąd:
Prawo Kubusia = definicja implikacji odwrotnej w równaniu algebry Boole’a

Przykład implikacji odwrotnej:
A.
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to może ~> być podzielna przez 8
P2~>P8=1 bo 8,16,24…
1 1 =1
LUB
B.
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to może ~~> nie być podzielna przez 8
P2~~>~P8=1 bo 2,4,6…
… a jeśli liczba nie jest podzielna przez 2 ?
Prawo Kubusia:
P2~>P8 = ~P2=>~P8
stąd:
C.
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 2 to na pewno => nie jest podzielna przez 8
~P2=>~P8=1 bo 1,3,5,7… Gwarancja matematyczna, istota implikacji
0 0 =1
stąd:
D.
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 2 to na pewno => jest podzielna przez 8
~P2=>P8=0
0 1 =0
Doskonale widać definicję implikacji odwrotnej dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym 1 1 =1 czyli:
P2=1, ~P2=0
P8=1, ~P8=0
Doskonale widać że definicja implikacji odwrotnej to trzy rozłączne zbiory a nie dwa jak twierdzi „teoria mnogości”.

Zdanie B nie może być implikacja odwrotną
Dowód nie wprost.
Załóżmy że B jest implikacja odwrotną i zastosujmy wyrocznie implikacji, prawo Kubusia:
B: P2~>~P8 = D: ~P2=>P8=0
Prawa strona jest fałszem, zatem zdanie B nie może być implikacją odwrotną prawdziwą, warunek konieczny tu nie zachodzi

Implikacja prosta

Analogiczna definicja implikacji prostej:
[code]
p=>q=1
1 1 =1
p=>~q=0
1 0 =0
… a jeśli nie zajdzie p ?
Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
~p~>~q=1
0 0 =1
~p~~>q=1
0 1 =1
[/code]
p=>q
Jeśli zajdzie p to musi zajść q
Plus dodatkowo musi być spełniona wyrocznia implikacji, prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q

Wnioski:
1.
Operator implikacji prostej to złożenie spójnika „musi” => w logice dodatniej (bo q) ze spójnikiem „może” ~> w logice ujemnej (bo ~q)
p=>q = ~p~>~q – prawo Kubusia
stąd:
Prawo Kubusia = definicja implikacji prostej w równaniu algebry Boole’a
2.
Operator implikacji prostej => to fundamentalnie co innego niże spójniki „musi” => i „może” ~>

Przykład implikacji prostej:
A.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to na pewno => jest podzielna przez 2
P8=>P2=1 bo 8,16,24… Gwarancja matematyczna, istota implikacji
1 1 =1
stąd:
B.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to na pewno => nie jest podzielna przez 2
P8=>~P2=0
1 0 =0
… a jeśli liczba nie jest podzielna przez 8 ?
Prawo Kubusia:
P8=>P2 = ~P8~>~P2
czyli:
C.
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 8 to może ~> nie być podzielna przez 2
~P8~>~P2=1 bo 1,3,5,7…
0 0 =1
LUB
D.
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 8 to może ~~> być podzielna przez 2
~P8~~>P2=1 bo 2,4,6…
0 1 =1
Wnioski:
1.
Doskonale widać definicję implikacji prostej dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym 1 1 =1 czyli:
P8=1, ~P8=0
P2=1, ~P2=0
2.
Doskonale widać że definicja implikacji prostej to trzy rozłączne zbiory a nie dwa jak twierdzi „teoria mnogości”.
3.
Doskonale widać, że spełnienie warunku wystarczającego po stronie p=>q niczego nie gwarantuje bo to może być równoważność, jeśli po stronie ~p zachodzi kolejny warunek wystarczający:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q) – definicja równoważności <=>

albo implikacja prosta jeśli po stronie ~p zachodzi warunek konieczny:
p=>q = ~p~>~q – definicja implikacji prostej =>

To wytłuszczone to identyczne warunki wystarczające, w naturalnej logice człowieka nie do rozpoznania bez odpowiedniej analizy matematycznej zdania p=>q.


Równoważność

Jedynie słuszna definicja równoważności w dzisiejszej matematyce to pewne wynikanie w dwie strony:
p<=>q = (p=>q)*(q=>p)=1*1=1
Na bazie tej definicji plus definicji „implikacji materialnej” matematycy zbudowali teorię mnogości, błędnie głoszącą iż:
Równoważność = jeden zbiór
Implikacja = dwa zbiory

Okrutna rzeczywistość jest fundamentalnie inna (NTI):
równoważność = dwa zbiory
implikacja = trzy zbiory
Na mocy odpowiednich definicji zero-jedynkowych

Aksjomatyczna definicja zero-jedynkowa równoważności:
[code]
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
p=>q=1
1 1 =1
p=>~q=0
1 0 =0
… a jeśli nie zajdzie p ?
~p<=>~q=(~p=>~q)*(p=>q)
~p=>~q=1
0 0 =1
~p=>q=0
1 0 =0
[/code]
Dziewicza definicja równoważności na podstawie powyższej tabeli:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q) = 1*1=1
p zajdzie wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie q

Wniosek:
Równoważność to złożenie warunku wystarczającego w logice dodatniej (bo q) i kolejnego warunku wystarczającego w logice ujemnej (bo ~q)

W równoważności (i tylko tu) prawdziwe jest prawo kontrapozycji w tej formie:
~p=>~q =q=>p
stąd mamy odprysk definicji równoważności uwielbiany przez matematyków:
p<=>q = (p=>q)*(q=>p)

Gdzie po prawej stronie mamy definicje warunków wystarczających o definicji zero-jedynkowej:
[code]
p=>q =1
1 1 =1
p=>~q=0
1 0 =0
[/code]
Warunek wystarczający definiowany jest zaledwie dwoma liniami tabeli zero-jedynkowej.
p=>q
Jeśli zajdzie p to musi zajść q
Z czego wynika że kolejna linia nie ma prawa wystąpić czyli:
p=>~q=0
z czego wynika że p musi być wystarczające dla q

Twierdzenie Rexerexa:
Jeśli równoważność jest udowodniona to zachodzi wszystko co tylko możliwe:
p=>q = p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q) = ~p<=>~q = ~p=>~q = (p=>q)*(q=>p) = q=>p itd.

Gdzie zapisy typu:
p=>q, q=>p, ~p=>~q
to tylko i wyłącznie warunki wystarczające o definicji jak wyżej, to nie są implikacje proste !

Definicja dziedziny:
Dziedziną w równoważności i implikacji jest zawsze zbiór p+~p

Definicja zbioru aktualnego:
Zbiorem aktualnym w równoważności albo implikacji jest zbiór na którym operujemy.
Możliwości mamy tylko dwie:
p – zbiór p z dziedziny p+~p
~p – zbiór ~p z dziedziny p+~p
Zbiór aktualny zawsze definiowany jest w poprzedniku p.

Oczywiście widać tu jak na dłoni metody badania czy warunek wystarczający między p i q występuje,

Sposób I
Badamy czy dla każdego p zachodzi q

Sposób II
Szukamy jednego zdania spełniającego:
p~~>q =1
po czym szukamy kontrprzykładu czyli zdania:
p~~>~q=1
Brak kontrprzykładu dowodzi iż warunek wystarczający p=>q jest spełniony.
Gdzie:
p~~>q – naturalne „może”, wystarczy jeden przypadek prawdziwy

Przykład równoważności:
A.
Jeśli trójkąt jest równoboczny to na pewno => ma boki równe
TR=>BR=1
1 1 =1
B.
Jeśli trójkąt jest równoboczny to na pewno => nie ma boków równych
TR=>~BR=0
1 0 =0
… a jeśli nie ma boków równych ?
Na mocy twierdzenia Rexerexa:
TR=>BR = ~TR=>~BR
C.
Jeśli trójkąt nie jest równoboczny to na pewno => nie ma boków równych
~TR=>~BR=1
0 0 =1
D.
Jeśli trójkąt nie jest równoboczny to na pewno => ma boki równe
~TR=>BR=0
0 1 =0
Doskonale widać definicje zero-jedynkowa równoważności dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym 1 1 =1 czyli:
TR=1, ~TR=0
BR=1, ~BR=0
Doskonale widać, że równoważność to dwa rozłączne zbiory TR i ~TR a nie jak twierdzi „teoria mnogości” jeden zbiór.


2.6 Równanie ogólne dla operatorów implikacji

Na mocy definicji mamy:
p=>q = ~p~>~q ## p~>q = ~p=>~q

Po obu stronach znaku ## mamy dwie fundamentalnie inne definicje zero-jedynkowe:
p=>q = ~p~>~q – definicja implikacji prostej => w równaniu algebry Kubusia
p~>q = ~p=>~q – definicja implikacji odwrotnej ~> w równaniu algebry Kubusia

Dowód dla lewej strony:
[code]
Definicja warunku wystarczającego w logice dodatniej bo q
p=>q=1
p=>~q=0
Definicja warunku koniecznego w logice ujemnej bo ~q
~p~>~q=1
~p~~>q=1
[/code]
Kodując zmienne w logice dodatniej:
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0
Otrzymujemy tabele zero-jedynkową implikacji prostej =>
[code]
Zero-jedynkowa definicja implikacji prostej p=>q
p q Y=p=>q = ~p~>~q
1 1 =1
1 0 =0
0 0 =1
0 1 =1
[/code]
CND

Dowód dla prawej strony:
[code]
Definicja warunku koniecznego w logice dodatniej bo q
p~>q=1
p~~>~q=1
Definicja warunku wystarczającego w logice ujemnej bo ~q
~p=>~q=1
~p=>q=0
[/code]
Kodując zmienne w logice dodatniej:
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0
Otrzymujemy tabele zero-jedynkową implikacji odwrotnej ~>
[code]
Zero-jedynkowa definicja implikacji odwrotnej p~>q
p q Y=p~>q = ~p=>~q
1 1 =1
1 0 =1
0 0 =1
0 1 =0
[/code]
CND

Równanie ogólne dla operatorów implikacji:
p=>q = ~p~>~q ## p~>q = ~p=>~q

Po obu stronach znaku ## pod parametry p i q możemy podstawiać cokolwiek, bowiem nie istnieją żadne związki matematyczne łączące obie strony ##.

Sprawdźmy teraz czy argumenty w implikacji są przemienne. To najważniejsza i kluczowa sprawa dla wszelkich naszych przyszłych poczynań.
[code]
| Punkt | Punkt
| odniesienia | odniesienia
| p=>q | p~>q
| |
p q | p=>q q=>p | p~>q q~>p
1 1 | =1 =1 | =1 =1
1 0 | =0 =1 | =1 =0
0 0 | =1 =1 | =1 =1
0 1 | =1 =0 | =0 =1
[/code]
Argumenty w operatorach implikacji nie są przemienne czyli:
p=>q # q=>p
Przykład:
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to na pewno => jest podzielna przez 2
P8=>P2=1
P8=>P2=1 # P2=>P8=0 bo 2

p~>q # q~>p
Przykład:
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to może ~> być podzielna przez 8
P2~>P8=1
P2~>P8=1 # P8~>P2=0

Dowód iż P8~>P2=0 jest banalny.
Wyrocznia implikacji, prawo Kubusia:
P8~>P2 = ~P8=>~P2=0 bo 2
Prawa strona jest fałszem, zatem lewa strona nie może być implikacja odwrotną prawdziwą.

Ogólnie zachodzi:
Jeśli p=>q=1 to q=>p=0
dla dowolnych p i q !
Przykład:
Jeśli P8=>P2=1 to P2=>P8=0

Odwrotnie nie zachodzi:
Jeśli p=>q=0 to q=>p=1
bo kontrprzykład:
Jeśli P8=>P3=0 to P3=>P8=0

Zdanie:
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to może być podzielna przez 3
P8~~>P3=1 bo 24
Jest prawdziwe na mocy naturalnego „może” ~~>, wystarczy jedna prawda, to nie jest implikacja odwrotna.

Wracamy do równania ogólnego implikacji:
p=>q = ~p~>~q ## p~>q = ~p=>~q

W implikacji nie zachodzi przemienność argumentów dlatego w tożsamości matematycznej:
p=>q = ~p~>~q
p~>q = ~p=>~q
musimy zachować identyczne p i q

Przykład:
Lewa strona równania ogólnego implikacji:
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to na pewno jest podzielna przez 2
P8=>P2 =1 bo 8,16,24 … - gwarancja matematyczna
Prawo Kubusia:
P8=>P2 = ~P8~>~P2
Dla lewej strony równania ogólnego implikacji ustalamy:
p=P8
q=P2

Prawa strona równania ogólnego implikacji:
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to może być podzielna przez 8
P2~>P8=1 bo 8,16,24…
Gwarancja matematyczna w implikacji odwrotnej wynika z prawa Kubusia:
P2~>P8 = ~P2=>~P8
czyli:
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 2 to na pewno => nie jest podzielna przez 8
~P2=>~P8=1 bo 1,3,5… - gwarancja matematyczna
Dla prawej strony równania ogólnego implikacji ustalamy:
p=P2
q=P8

Równanie ogólne implikacji dla naszego przykładu:
P8=>P2 = ~P8~>~P2 ## P2~>P8 = ~P2=>~P8

Stąd w implikacji zachodzi prawo kontrapozycji w tej postaci:
P8=>P2=1 ## ~P2=>~P8=1

Dla sztywnego punktu odniesienia:
p=P8
q=P2
otrzymujemy prawo kontrapozycji w implikacji w takiej formie:
p=>q=1 ## ~q=>~p=1

W implikacjach bezczasowych warunek wystarczający p=>q po lewej stronie wymusza warunek wystarczający po prawej stronie ~q=>~p, ale między obiema stronami nie istnieją żadne związki matematyczne.
A.
Jeśli zwierze jest psem to na pewno ma cztery łapy
P=>4L=1
Równanie ogólne implikacji:
P=>4L = ~P~>~4L=1 ## 4L~>P = ~4L=>~P=1
Prawo kontrapozycji w NTI:
P=>4L=1 ## ~4L=>~P=1
B.
Jeśli zwierze nie ma czterech łap to na pewno nie jest psem
~4L=>~P=1

Oczywiście żaden 5-cio latek nie będzie miał problemu z wypowiedzeniem A i B, ale nie zachodzi tożsamość matematyczna miedzy tymi zdaniami, bowiem na mocy równania ogólnego implikacji po obu stronach mamy do czynienia z fragmentami zupełnie innych definicji zero-jedynkowych.

W implikacjach z następstwem czasowym powyższe nie zachodzi.
Przykład:
Jeśli będzie padać to otworze parasolkę
P=>O=1
Równanie ogólne implikacji:
P=>O = ~P~>~O =1 ## O~>P = ~O=>~P =0
Prawo kontrapozycji:
P=>O=1 ## ~O=>~P=0
czyli:
Jeśli nie otworze parasolki to na pewno => nie będzie padać
~O=>~P=0 – oczywiście zdanie fałszywe

Doskonale tu widać poprawność symbolu ## w powyższym równaniu, czyli lewa strona jest bez związków matematycznych z prawą stroną.
Zdanie po prawej stronie znaku ## nie wypowie żaden 5-cio latek bo to jest zdanie fałszywe czyli:
~O=>~P=0


2.7 Nieznane definicje implikacji i równoważności, wynikające z NTI

Przy pomocy tych definicji można skutecznie i łatwo rozstrzygać czy zdanie jest implikacją prostą =>, implikacja odwrotną ~> czy też równoważnością. Definicje te wynikają bezpośrednio z tabel zero-jedynkowych odpowiednich operatorów logicznych w interpretacji NTI.

Definicja warunku koniecznego autorstwa wykładowcy logiki Volratha:

Jeśli p jest konieczne ~> dla q to zajście ~p wystarcza => dla zajścia ~q
p~>q = ~p=>~q – prawo Kubusia

Definicja warunku koniecznego ukierunkowana na zajście warunku ~p=>~q
[code]
Tabela 1
p~>q=1
1 1 =1
p~~>q=x
1 0 =x
… a jeśli nie zajdzie p ?
Prawo Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
~p=>~q=1
0 0 =1
~p=>q=0
0 1 =0
[/code]
W tej definicji kompletnie nas nie interesuje wartość logiczna linii drugiej:
x={0,1}
Tu może być cokolwiek:
0 – równoważność
1 – implikacja odwrotna

Interesują nas tu relacje między zbiorami po stronie p i q

Jeśli p to q
Warunek konieczny zachodzi gdy:
Jeśli zabierzemy zbiór p to musi => zniknąć zbiór q !

Przykłady:
1.
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to może być podzielna przez 8
P2~>P8=1 bo:
Zabieramy zbiór P2, oczywiście znika nam zbiór P8
Wniosek:
P2 jest konieczne dla P8
2.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to może być podzielna przez 2
P8~>P2=0 bo:
zabieramy zbiór P8, oczywiście zbiór P2 nie znika, zostają liczby:
~P8~~>P2=1 bo 2,4,6…
Wniosek:
P8 nie jest konieczne dla P2
Zdanie 2 jest prawdziwe na mocy naturalnego może ~~>, wystarczy jedna prawda:
P8~~>P2=1 bo 8
ale to nie jest implikacja odwrotna.

3.
Jeśli liczba jest podzielna przez 3 to może być podzielna przez 8
P3~>P8=0 bo:
Zabieramy zbiór liczb podzielnych przez 3:
P3=3,6,9….
a po stronie q zostaje nam jedna liczba:
P8=8
To wystarczy !
P3 nie jest konieczne dla P8
Zdanie 3 jest prawdziwe na mocy naturalnego „może” ~~>
P3~~>P8=1 bo 24
ale to nie jest implikacja odwrotna.

Definicja warunku wystarczającego ukierunkowana na zajście warunku wystarczającego p=>q:
[code]
Tabela 2
p=>q=1
1 1 =1
p=>~q=0
1 0 =0
… a jeśli nie zajdzie p ?
Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
~p~>~q=1
0 0 =1
~p~~>q=x
0 1 =x
[/code]
W tym przypadku nie interesuje nas stan logiczny ostatniej linii bowiem o zachodzeniu warunku wystarczającego decydują dwie pierwsze linie i relacje między zbiorami po stronie p i q.

W ostatniej linii może być cokolwiek:
0 – równoważność
1 – implikacja prosta

Przykłady:
1.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to na pewno => jest podzielna przez 2
P8=>P2=1 bo 8,16,24 …
Oczywiście P8 wystarcza dla P2
2.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to na pewno => nie jest podzielna przez 2
P2=>P8=0 bo 2

Zauważmy, że iloczyn logiczny tabel 1 i 2 to definicja równoważności bowiem w odpowiednich liniach
x*0=0

Definicja równoważności ukierunkowana na relacje między zbiorami p i q:
p<=>q = (p~>q)*(p=>q) =1*1=1
gdzie:
p~>q
Warunek konieczny w interpretacji na zbiorach:
Jeśli zabierzemy zbiór p i musi zniknąć zbiór q
p=>q
Warunek wystarczający między p i q

Nieznane definicje implikacji i równoważności:
A.
Równoważność <=> to jednoczesne zachodzenie warunku koniecznego i wystarczającego w działaniach na zbiorach co widać w tabelach 1 i 2.
p=>q=1 – warunek wystarczający w kierunku p=>q zachodzi
p~>q=1 – warunek konieczny w kierunku p~>q zachodzi
p<=>q = (p~>q)*(p=>q)
B.
Implikacja prosta p=>q to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego w zbiorach.
p=>q=1 – warunek wystarczający w kierunku p=>q zachodzi
p~>q=0 – warunek konieczny w kierunku p~>q nie zachodzi
C.
Implikacja odwrotna p~>q to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego w zbiorach.
p~>q=1 – warunek konieczny w kierunku p~>q zachodzi
p=>q=0 – warunek wystarczający w kierunku p=>q nie zachodzi

Powyższe definicje można wykorzystywać do rozstrzygnięć czy zdanie „Jeśli…to…” jest implikacją prostą =>, implikacją odwrotną ~> czy też równoważnością <=>.

Przykład równoważności:
Jeśli trójkąt ma boki równe to jest równoboczny
BR=>TR

Oczywiście trzy odcinki o równych długościach są wystarczające dla zbudowania trójkąta równobocznego
Wniosek:
Warunek wystarczający spełniony

Jeśli zamienimy jeden z trzech odcinków na odcinek o innej długości to zbudowania trójkąta równobocznego nie będzie możliwe.
Wniosek:
Trzy równe odcinki są warunkiem koniecznym dla trójkąta równobocznego

Między zbiorami BR i TR zachodzi jednocześnie warunek wystarczający BR=>TR i konieczny BR~>TR
co jest dowodem równoważności:
BR<=>TR = (BR=>TR)* (BR~>TR)


2.8 Znaczenie zdania „Jeśli…to…” w logice

Zdanie „Jeśli …to…” może mieć w logice tylko i wyłącznie pięć różnych znaczeń:

1.
Implikacja prosta:
p=>q
Jeśli zajdzie p to musi zajść q
p musi być wystarczające dla q
Dodatkowo musi być spełniona wyrocznia implikacji prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
Prawo Kubusia = definicja implikacji prostej
Przykład:
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to na pewno => jest podzielna przez 2
P8=>P2 = ~P8~>~P2=1 bo 3,5,7…

2.
Tylko warunek wystarczający wchodzący w skład definicji równoważności
p=>q
Jeśli zajdzie p to musi zajść q
Definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
Warunek wystarczający w równoważności p=>q jest identyczny jak w implikacji prostej wyżej p=>q, to jest nie do rozpoznania.
Prawa strona definicji równoważności to tylko i wyłącznie warunki wystarczające, nie są to implikacje proste bo nie spełniają definicji zero-jedynkowej implikacji prostej =>.
Przykład:
Jeśli trójkąt jest równoboczny to ma kąty równe
TR=>KR
To jest tylko i wyłącznie warunek wystarczający wchodzący w skład definicji równoważności:
Trójkąt jest równoboczny wtedy i tylko wtedy gdy ma kąty równe
TR<=>KR = (TR=>KR)*(~TR=>~KR)

3.
Implikacja odwrotna:
p~>q
jeśli zajdzie p to może zajść q
Plus musi być spełnione prawo Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
z czego wynika że p musi być warunkiem koniecznym dla q
Definicja warunku koniecznego autorstwa wykładowcy logiki Volratha:
Jeśli p jest konieczne ~> dla q to zajście ~p wymusza => zajście ~q
p~>q = ~p=>~q – prawo Kubusia
Prawo Kubusia = definicja implikacji odwrotnej
Przykład:
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to może ~> być podzielna przez 8
P2~>P8 = ~P2=>~P8 =1

4.
Zdaniem prawdziwym na mocy naturalnego spójnika „może” ~~>, wystarczy jedna prawda, warunek konieczny tu nie zachodzi.
Przykład:
Jeśli liczba jest podzielna przez 3 to może być podzielna przez 8
P3~~>P8 =1 bo 24
P3 nie jest konieczne dla P8 bo 8, zatem implikacja odwrotna jest tu fałszywa

5.
Zdaniem fałszywym, nie spełniającym któregokolwiek z powyższych przypadków.

Koniec 2010-12-24

Ciąg dalszy:
www.sfinia(*)gebra-kubusia,5357.html#128911