>"Jaka jest (jeśli istnieje) interpretacja geometryczna
>liczby i ?"

Może wektor jednostkowy równoległy do osi y?

>Pytanie moje brzmi: Jak można (jeśli w ogóle można)
>zinterpretować geometrycznie inne operacje na macierzach
>(na przykład odwracanie)?.

Być może można, tyle że jak przypuszczam byłoby to skomplikowane. Nie mniej niż algebraiczny opis operacji (na przykład odwracanie składa się z trzech operacji: wyznaczenia macierzy dopełnień, jej transpozycji i pomnożenia przez odwrotność wyznacznika pierwotnej macierzy).

>Jak można (jeśli w ogóle można) zinterpretować
>geometrycznie sinus (lub inną funkcje trygonometryczną)
>liczby zespolonej?

Jest to funkcja ze zbioru liczb zespolonych na zbiór liczb zespolonych, raczej ciężko zinterpretować czysto geometrycznie. Może w czterech wymiarach można przedstawić to obrazowo.
Mamy płaszczyznę i w każdym punkcie w dwu wymiarach prostopadłych do niej zawarty jest wektor, który wyznacza punkt należący do funkji. Tak jak przy funkcji rzeczywistej z=f(x,y) mamy płaszczyznę x,y i punkty należące do funkji wyznaczone przez wektory jednowymiarowe prostopadłe do płaszczyzny, których długość wyznacza f. Tylko że tutaj jest (w,z)=f(x,y), a więc muszą być dwie osie prostopadłe do płaszczyzny.

Dla sinusa sin(x+iy)=sin(x)*cosh(y)+i*cos(x)*sinh(y).

>I tyle na ten temat. Nie jestem zawodowym matematykiem,
>więc jeśli się gdzieś po drodze potknąłem, chętnie
>przeczytam sprostowania.

Ja też nie jestem więc mogę się w czymś mylić.

>Są podobno matematycy, którzy dąsają się na "interpretacje geometryczne" jako niegodne "prawdziwej matematyki".
Może matematycy tak, ale fizycy za to lubią geometrię Uważamy, że zredukowanie problemu do geometrii to wystarczający poziom zrozumienia. Tak było z redukcją równań Newtona do zasady najmniejszego działania, która ma już ściśle geometryczny sens; tak jest również ze współczesnymi teoriami wielkiej unifikacji: teorie strun, M-teoria, teoria pętlowej grawitacji, czy teorie oparte na geometrii nieprzemiennej. Sam fakt, że wiele pojęć matematycznych da się zredukować do geometrii jest ciekawą własnością matematyki.

W kwestii macierzy i liczb zespolonych zgadzam się z Volrathem.

>Sinus liczby zespolonej.
Tu analizując wzór podany przez Volratha:
sin(x+iy)=sin(x)*ch(y)+i*cos(x)*sh(y)
można zauważyć, że jest to iloczyn macierzowy:
[sinx, cosx]^T⋅ [chy, ishy], a to już przypomina trochę iloczyn skalarny, z tym, że jego produkt jest wektorem na płaszczyźnie zespolonej.

>Liczba zespolona jest parą liczb i dlatego też można ją zapisać (niektórzy tak właśnie to robią) jako (x, iy)
Mnie uczono raczej po prostu (x, y), co jawnie przywołuje analogię do punktów na płaszczyżnie z dodefiniowanymi działaniami typu dodawanie i mnożenie. Czasem mówi się też, że zbiór liczb zespolonych jest kwadratem kartezjańskim zbioru liczb rzeczywistych (R⊗R).

>Nawiasem mówiąc, jeśli przy wprowadzaniu liczby zespolonej do kalkulatora użyjemy klawisza dodawania (lub odejmowania) zamiast klawisza zmiany znaku (+/-. CHS etc.) - dostaniemy komunikat błędu!
Szczerze mówiąc na moim kalku (TI-83) używa się normalnego dodawanie i odejmowania przy liczbach zespolonych. Klawisz zamiany znaku wyświetla tylko -

>Gdyby znak plusa w wyrażeniu x+iy traktować jednak jako operację dodawania, to o liczbie zespolonej można by myśleć jako o najkrótszej drodze od początku układu mierzonej tylko odcinkami równoległymi do jednej z osi, ale to chyba dość mylące i niepotrzebne...
Z tym, że droga (odległość) jest na ogół liczbą rzeczywistą. Na tej samej zasadzie można mówić o zwykłych punktach (x, y): pójdz x po osi oX, a następnie y po prostej równoległej do oY. Może chodziło o metrykę taksówkową? Ale tam odległość jest x + y i jest zwykłą liczbą rzeczywistą.

Odpowiedź 1 (konkretna).
===============================

Przede wszystkim - dzięki za szybkie i wyczerpujące odpowiedzi. Wyjaśniły mi wiele, ale nie wszystko. A konkretnie...
   
Dla Volratha:
   
>Może wektor jednostkowy równoległy do osi y?
   
Jest to standardowe wyjaśnienie, na jakie już trafiłem, i pewnie poprawne, jednakże coś nadal pozostaje niedopowiedziane. Otóż można tu zauważyć, że wektor jednostkowy równy i powoduje obrót o 90 stopni osi urojonej względem rzeczywistej. Dalej zresztą byłoby to -1, -i, 1, i ... etc. Wydaje mi się więc, że tkwi tu jeszcze jakaś głębsza prawidłowość (trygonometryczna?), której po prostu nie rozumiem. Bardziej konkretnie - dlaczego każda kolejna potęga i odpowiada 90 stopniom, a nie na przykład radianowi, albo czemukolwiek innemu (można by przecież przedstawiać liczby urojone w siatce współrzędnych romboidalnych, czy w ogóle inaczej na przykład na dwóch niepowiązanych ze sobą prostych)?
   
>Jest to funkcja ze zbioru liczb zespolonych na zbiór liczb zespolonych, raczej ciężko zinterpretować czysto geometrycznie.
   
Jedyna uczciwa odpowiedź brzmi - nie wiem. Ale... Funkcja zespolona zmiennej zespolonej ma wyjątkowo prosty intuicyjny sens geometryczny - jest to po prostu odwzorowanie, więc może pesymizm jest zbyt wczesny. Spróbuję jeszcze nad tym pomyśleć.
   
Dla Mariana:
   
>zredukowanie problemu do geometrii...
   
Tego nie rozumiem. Dlaczego "zredukowanie" a nie na przykład "przedstawienie w sposób geometryczny" (interpretacja?!)
   
> a to już przypomina trochę iloczyn skalarny, z tym, że jego produkt jest wektorem na płaszczyźnie zespolonej.
   
To, szczerze mówiąc też nie do końca rozumiem. O ile wiem, iloczyn skalarny określa kąt między dwoma wektorami. Miałoby więc to jakoś odpowiadać kątowi "zwykłego sinusa na zwykłej płaszczyźnie"? Czy tak?
   
Rzeczywiście wkradło się do mojej wypowiedzi nieco nieścisłości (czy można w ogóle bez nich... . Spróbuje więc wyjaśnić:
   
• Co do (x,y) albo (x,iy) spotkałem obydwa oznaczenia. Jeśli nie prowadzi to do nieporozumień - nie warto chyba kruszyć kopii.
   
• Co do kalkulatora, to napisałem wprawdzie "przy wprowadzaniu liczby zespolonej", ale jeśli nie wyraziłem się ściśle, to spróbuje naprawić. Mam podobny - TI-85, więc chyba arytmetyka jest taka sama. Przez "+" i "-" rozumiem klawisze działań (z prawej strony), przez CHS - ten pod trójką . I teraz:
   
Operacja dodawania liczb zespolonych na przykład:
   
(1,CHS2)+(3,- CHS 4) daje rezultat (4,-6) czyli 4-6i, zaś

(1,-2)+(3,-4) daje ERROR 07 SYNTAX - co, moim zdaniem,
dowodzi, że minus (plus jest domyślny) przed częścią urojoną jest operatorem zmiany znaku, a NIE operatorem dodawania.

Pozdrowienia,

Marek Czeszek.

Odpowiedź 2 (mętna; kto nie ma czasu - niech nie czyta)

=====================================================
   
Z góry zaznaczam, że opieram się tu na niekonkretnych intuicjach.
   
Jak już napisałem, nie jestem zawodowym matematykiem, ale z matematyką miałem sporo do czynienia - pisałem programy do kompozycji komputerowej muzyki eksperymentalnej. Nasuwają mi się trzy rzeczy, o których może ciekawie byłoby pogawędzić:
   
1.Przeczytałem sobie w kiedyś w słowniku, co to jest matematyka. Otóż jest to (na wypadek, gdyby ktoś nie wiedział ):
   
matematyka - zespół nauk posługujących się metodą dedukcyjną, zajmujących się głównie badaniem zbiorów liczb, punktów i innych elementów abstrakcyjnych.
   
Nie wiem jakich elementów matematyki nie da się sprowadzić do liczb lub punktów. Chyba nie ma takich! A jeśli pozostają tylko liczby i punkty, to (w świetle pomysłu Kartezjusza) wszystko, co możemy wyrazić geometrycznie - możemy też wyrazić przy pomocy liczb. Zatem cały podział matematyki na geometrię i resztę jest jedynie kwestią praktycznej wygody. Dla przykładu: dane statystyczne można traktować jako zbiór punktów, lub jak zbiór liczb. Trzeba tu oczywiście zastrzec, że przestrzeń geometryczna nie musi być trójwymiarowa. Wynikałoby z tego, że ZAWSZE istnieje jakaś interpretacja geometryczna??!! Inna sprawa, czy dostępna dla naszej małpiej wyobraźni...
   
2.Czasy "zdrowego rozsądku" w naukach ścisłych powoli, jak się wydaje, odchodzą w przeszłość. Szczęście liczenia baranów, pieniędzy i pól pod rzodkiewkę już chyba nie wróci. Interpretacja geometryczna jest tym, co pozwala nam jakoś unaocznić sobie mechanizmy matematyczne. Myślę jednak, że kłopot NIE tkwi w matematyce, tylko w naszej bezwładności umysłowej. W mechanizmach, które ewolucja dała na do walki z mamutami i sąsiadami. Czy zastanawialiście się kiedyś dlaczego tak niewielu ludzi fascynuje matematyka, a inni godzinami mogą międlić kretyńskie plotki? To chyba właśnie to. Nie zamierzam tu jednak biadolić. Liczę na to, że może ktoś zdradzi mi sprytne sposoby pozbywania się tego zdroworozsądkowego bagażu - jeśli je zna...
   
3.Kiedy próbowałem używać matematyki do zastosowań kompozytorskich, często uderzał mnie fakt, że pewne rzeczy dają się zrobić zaskakująco łatwo, a inne nie dają się ugryźć. Tak jest chyba zresztą i w innych obszarach zastosowań matematyki. Możemy obliczyć położenie Saturna za 5000 lat, a położenie 50 kamieni wyrzuconych z worka nie daje się praktycznie przewidzieć (choć znane są wszystkie potrzebne wzory z mechaniki klasycznej!). Nie jest to chyba i tu sprawa matematyki, lecz raczej tego, czego od niej akurat wymagamy.
   
Tych, którzy nie umarli jeszcze z nudów zapraszam do przejrzenia 2 artykulików na te tematy w moim pisemku internetowym AdRem! numer III ( www.marekczeszek.com). Nazywają się one 3.141592653589... oraz "Matematyka najwyższa". Są to teksty odczytów, jakie wygłosiłem na sesji "MUSICA MODERNA" w Akademii muzycznej w Łodzi. Maja wprawdzie popularny charakter, ale myśli w nich zawarte mogą kogoś, jak sądzę zainteresować...

Pozdrowienia,

Marek Czeszek.

Zapoznałem się z oboma esejami, choć muszę powiedzieć, że zupełnie nie znam się na muzyce. Pamiętam, że kiedyś zademonstrowano mi krótki utworek muzyczny napisany na podstawie fraktala - liścia paproci. Wydaje sie że fraktale w wyjątkowy sposób łączą matematykę i piękno (zapewne poprzez wysoki stopień symetrii). Z pewnym zaciekawiem przeczytałem również o Mozarcie rzucającym kośćmi co z kolei przywiodło mi na myśl klasyczny przykład działania chaosu deterministycznego: rysujemy trójkąt, wybieramy (losowo) punkt w jego wnętrzu, a następnie losujemy wierzchołek i w połowie odległości między danym punktem a wylosowanym wierzchołkiem rysujemy punkt, który będzie nowym punktem startu; następnie losujemy następny wierzchołek. Wydaje się niesamowite, że im dłużej losujemy, tym bardziej obraz zaczyna przypominać trójkąt Sierpińskiego. Nawet w losowości może tkwić jakiś porządek

>Trzeba tu oczywiście zastrzec, że przestrzeń geometryczna nie musi być trójwymiarowa. Wynikałoby z tego, że ZAWSZE istnieje jakaś interpretacja geometryczna??!!
No właśnie. Któż potrafi sobie wyobrazić np. czterowymiarowy obiekt drgający w 11-wymiarowej przestrzeni

>Liczę na to, że może ktoś zdradzi mi sprytne sposoby pozbywania się tego zdroworozsądkowego bagażu
Jako fizyk, niestety nie mogę się zupełnie wyzbyć "zdroworozsądkowego bagażu"; pamiętam jak kiedyś pewien wykładowca skomentował: "To rozwiązanie odpowiada fali retardowanej (poruszającej się wstecz w czasie), nie jest realizowane fizycznie". Niemniej jednak wydaje się, że dzięki częstemu używaniu pewnych abstrakcyjnych pojęć i wyrobieniu sobie pewnej intuicji to po prostu wchodzi w krew. Wtedy nawet fale poruszające się wstecz w czasie można rozważać

>Możemy obliczyć położenie Saturna za 5000 lat, a położenie 50 kamieni wyrzuconych z worka nie daje się praktycznie przewidzieć
Tu kolejny przykład działania chaosu (już niezupełnie deterministycznego). 50 kamieni wyrzucanych z worka, czy nawet 10 kul na stole bilardowym - to są układy, które są niesamowicie czułe na warunki początkowe. Minimalna zmiana warunków początkowych powoduje olbrzymią zmianę w zachowaniu się układu.

>Otóż można tu zauważyć, że wektor jednostkowy równy i powoduje obrót o 90 stopni osi urojonej względem rzeczywistej. Dalej zresztą byłoby to -1, -i, 1, i ... etc. Wydaje mi się więc, że tkwi tu jeszcze jakaś głębsza prawidłowość (trygonometryczna?), której po prostu nie rozumiem.
Może wejdę tu troche w kompetencje Volratha, ale to bardzo ciekawe zagadnienie. Otóż przywołując postać trygonometryczną liczby zespolonej z = r(cosφ + isinφ ) (r - moduł, φ - kąt mierzony od dodatniej części osi x) albo jeszcze bardziej zwięzłą postać wykładniczą re^iφ (właściwie łatwiej to pokazać na wyładniczej; w trygonometrycznej trzeba jeszcze stosować wzory na sinus i cosinus sumy kątów) można zauważyć, że mnożenie przez liczbą zespoloną jest równoważne skalowaniu o r i obrotowi o φ. W przypadku i modół wynosi 1, a φ (tzw. argument liczby zesp.) wynosi 90^o. Obrotowi o radian odpowiadalałaby liczba eⁱ = cos1 + isin1.
W przypadku współrzędnych romboidalnych trzebaby napewno zmienić postać trygonometryczną, ale trzeba mieć na względzie, żeby dalej i² = -1.

>>zredukowanie problemu do geometrii...

>Tego nie rozumiem. Dlaczego "zredukowanie" a nie na przykład "przedstawienie w sposób geometryczny" (interpretacja?!)
Cóż.. właściwie cała fizyka polega na redukcji. Jeśli cały zbiór zjawisk uda się sprowadzic do jednej prostej relacji to można mówić o sukcesie. Trzeba się było nieźle nagimnastykować, żeby z równania różniczkowego drugiego rzędu zrobić jakąś relację geometryczną.

>> a to już przypomina trochę iloczyn skalarny, z tym, że jego produkt jest wektorem na płaszczyźnie zespolonej.

>To, szczerze mówiąc też nie do końca rozumiem. O ile wiem, iloczyn skalarny określa kąt między dwoma wektorami. Miałoby więc to jakoś odpowiadać kątowi "zwykłego sinusa na zwykłej płaszczyźnie"? Czy tak?
Właśnie nie poprowadziłem tej analogii dalej. Oczywiście możnaby się nie przejmować, że po prawej stronie też stoi wektor (tylko troche inny) i powiedzieć, że to po prostu funkcja skalarna dwóch zmiennych (co też jest prawdą), a następnie wnioskować, że skoro po lewej stoją dwa wektory funkcji skalarnych, a po prawej funkcja skalarna, to relacja ma ścisły sens iloczynu skalarnego. Następnie zauważmy, że dla każdego x, y oba wektory mają długość 1, zatem po prawej stronie stałby istotnie cosinus kąta pomiędzy tymi wektorami. Dla konkretnych x i y nawet daje się to obliczyć, ale oczywiście wychodzi liczba zespolona, więc co z kątem? Definiując arcus cosinus (np. rozwijając w szereg zwykły arc cos, podstawiając a+bi, następnie separując część rzeczywistą i urojoną i licząc granicę) można się spodziewać, że ten kąt będzie zespolony! Tu moja wyobraźnia wysiada; nie potrafię sobie wyobrazić zespolonego kąta Takie "michałki" wynikają zapewne z tego, że tak naprawdę te wektory należą do odrębnych podprzestrzeni (pierwszy działa na części rzeczywistej, drugi na urojonej).

>Mam podobny - TI-85
No to widzę, że Kolega też jest fanem najlepszych kalkulatorów

>(1,CHS2)+(3,- CHS 4) daje rezultat (4,-6) czyli 4-6i
U mnie niestety ta notacja nawiasowa w ogóle nie działa

>(1,-2)+(3,-4) daje ERROR 07 SYNTAX - co, moim zdaniem,
>dowodzi, że minus (plus jest domyślny) przed częścią urojoną jest operatorem zmiany znaku, a NIE operatorem dodawania.
W tym wypadku tak, ale kalkulator poprawnie przyjmie np. 2-i. Wydaje, że cały problem polega na tym, że kalkulator najprawdopodobniej fizycznie liczy w odwrotnej notacji polskiej (jast bardziej naturalna dla komputerów), ale najpierw konwertuje do niej wyrażenia zapisane w notacji naturalnej. Projektantom łatwiej było wprowadzić dwa odrębne znaki, niż warunkować kiedy minus traktować jako zamianę znaku, a kiedy jako działanie. Ludzie nie mają tego problemu; -2 to skrótowy zapis 0-2

Pozdrawiam.

Witam ponownie,

>Może wejdę tu troche w kompetencje Volratha, ale to bardzo ciekawe zagadnienie.
   
Bardzo mnie cieszy to zdanie, a i dalszy wywód też wydaje mi się w zasadzie (zaraz wyjaśnię dlaczego "w zasadzie") OK. Mnie jednak fascynuje tu coś innego. Otóż te współrzędne romboidalne podałem jako przykład i chyba nie najlepszy. Lepsze dla porównania byłyby tu dwie niezależne osie. Liczby zespolone, to pary liczb. Moglibyśmy więc w zasdzie przedstawiać je na dwu niezależnych osiach (niekoniecznie prostopadłych; na upartego nawet na tej samej osi). Jednakże obecność i - "wymusza" niejako prostopadłość tych osi i szczerze mówiąc nie bardzo rozumiem dlaczego.
   
Napiszę tu coś jeszcze, mimo, że jestem już na przedniej linii swoich wiadomości .
   
O ile wiem - można dalej tworzyć liczby zespolone "następnego rzutu". Dla przykładu w przestrzeni czterowymiarowej będą to kwaterniony (jakich podobno używał Maxwell). Ponadto istnieje też pojęcie ortogonalności (uogólnionej prostopadłości). Wygląda mi więc na to, że każde dodanie kolejnej jednostki urojonej powoduje (by tak rzec) "dodanie wymiaru". Co mnie zastanawia, to fakt - dlaczego te kolejne wymiary (w tym także "zwykły" drugi) powiązane są za pomocą jednostki urojonej prostopadłością (ortogonalnością)?

Obawiam się jednak, że jestem na jak najlepszej drodze do zapytania "jaka jest istota całego wszechświata" , więc jeśli mówię od rzeczy - proszę mnie zastopować.

A teraz - "w zasadzie". Obawiam się, że wyjaśnianie własności jednostki urojonej za pomocą postaci trygonometrycznej (zawierającej przecież jednostkę urojoną) może być błędnym kołem (lub raczej ignotum per ignotum).

>Cóż... właściwie cała fizyka polega na redukcji.
Pewnie tak i pewnie nie tylko ona, ale ja powiedziałbym raczej, że jest to niekoniecznie redukcja do geometrii, a raczej do prostej postaci (jak na przykład wzór F=m*a). Dirac powiedział podobno kiedyś: "Trzeba szukać pięknych równań".

>Właśnie nie poprowadziłem tej analogii dalej.
Wywód chyba rzecz wyjaśnia, ale jeszcze pomyślę.

>nie potrafię sobie wyobrazić zespolonego kąta.
A ja potrafię!! I kto mi udowodni, że nie????!!!!

>Jako fizyk, niestety nie mogę... i reszta akapitu...

Wygląda więc, że trzeba się cierpliwie wdrażać, jak akrobata do robienia coraz to trudniejszych salt. A co do czasu wstecz, to Feynmann proponował po prostu film puszczony do tyłu.

>No to widzę, że Kolega też jest fanem najlepszych kalkulatorów

Słowo "też" zachęca mnie do korespondencji na ten temat, ale żeby nie "zamulać wątku" przenoszę ją do działu "Bazgroły" jako wątek "kalkulatory"

Pozdrowienia,

Marek Czeszek.

>Liczby zespolone, to pary liczb. Moglibyśmy więc w zasdzie przedstawiać je na dwu niezależnych osiach (niekoniecznie prostopadłych; na upartego nawet na tej samej osi). Jednakże obecność i - "wymusza" niejako prostopadłość tych osi i szczerze mówiąc nie bardzo rozumiem dlaczego.
O ile ja się orientuję, to niekoniecznie wymusza. Jak napisałeś, liczby zespolone to po prostu pary punktów i można na nich działać nie przywołując żadnej interpretacji geometrycznej. Tak się jakoś dziwnie składa, że akurat jak się wybierze osie prostopadłe to działania na liczbach zespolonych sprowadzają się do prostych relacji - obrotów, skalowania i translacji, ale oczywiście nikt nie może nikomu zabronić pracować na układzie skośnokątnym, czy jakimkolwiek innym. To nie jedyny przykład, gdzie prostopadłość (czy ogólniej - ortogonalność) upraszcza relacje; ortogonalność po prostu "nie miesza" współrzędnych.
>Wygląda mi więc na to, że każde dodanie kolejnej jednostki urojonej powoduje (by tak rzec) "dodanie wymiaru".
Dokładnie. Podobnie dodanie do układu wersorów kolejnego, niezależnego liniowo od pozostałych. Żeby w takiej przestrzeni opisać każdy wektor, potrzebujemy dodatkowej liczby - rzutu wektora na nowy wersor.
>Co mnie zastanawia, to fakt - dlaczego te kolejne wymiary (w tym także "zwykły" drugi) powiązane są za pomocą jednostki urojonej prostopadłością (ortogonalnością)?
Nie ulega wątpliwości, że jednostka urojona i jednostka rzeczywista są liniowo niezależne (podobnie kwaterniony jednostkowe). Jako takie, oczywiście tworzą przestrzeń. Aby określić, czy baza tej przestrzeni jest ortogonalna, trzeba by zdefiniować iloczyn skalarny w tej przestrzeni. A tu mamy pewną dowolność.
>A teraz - "w zasadzie". Obawiam się, że wyjaśnianie własności jednostki urojonej za pomocą postaci trygonometrycznej (zawierającej przecież jednostkę urojoną) może być błędnym kołem
Zgadza się. Postać trygonometryczna "zakłada" interpretację liczby zespolonej jako punktu w prostokątnym układzie współrzędnych, ale pytałeś dlaczego i powoduje obrót o 90^o, a tak się dzieje tylko w prostokątnym układzie.
>ale ja powiedziałbym raczej, że jest to niekoniecznie redukcja do geometrii, a raczej do prostej postaci (jak na przykład wzór F=m*a)
Jednak okazuje się, że w tym równaniu zawarty jest głębszy, geometryczny sens. A jeśli już coś da się narysować, to trudno pomyśleć o czymś jeszcze prostszym.
>A co do czasu wstecz, to Feynmann proponował po prostu film puszczony do tyłu.
Cóż można sobie wyobraźić czas płynący wstecz. Pytanie tylko, czy my jesteśmy w stanie zarejestrować cząstkę poruszającą się wstecz w czasie (hipotetyczne tachiony). Niektórzy są zdania, że takie cząstki burzyłyby zasadę przyczynowości, więc takie rozwiązanie nie jest realizowane. Zawsze trzeba mieć na oku fizyczny sens tego wszystkiego. Chyba, że jest się matematykiem lubiącym abstrakcję dla samej abstrakcji

Pozdrawiam

>O ile ja się orientuję, to niekoniecznie wymusza.
Rzeczywiście. Pomyliłem się. Przestawiłem w mózgu. Dzięki.
>ortogonalność po prostu "nie miesza" współrzędnych.
Trafne i zabawne spostrzeżenie.
>Jednak okazuje się, że w tym równaniu zawarty jest głębszy, geometryczny sens.
Jeśli jest tam coś poza wektorami na jednej prostej - to nie wiem co i proszę o wyjaśnienie.
>A jeśli już coś da się narysować, to trudno pomyśleć o czymś jeszcze prostszym.
Hmmm... W zasadzie jakby tak, ale dla przykładu zapis funkcji
y=sin(x/[1,2,3,4... lista do powiedzmy... ,48]
wydaje mi się jednak prostszy od wykresu tej rodziny funkcji.
>Zawsze trzeba mieć na oku fizyczny sens tego wszystkiego.
"Fizyk, w przeciwieństwie do matematyka, zawsze powinien wiedzieć o czym mówi." Tako rzecze Richard Feynmann...
>Chyba, że jest się matematykiem lubiącym abstrakcję dla samej abstrakcji.
Matematykiem nie jestem, ale zdaje mi się, ża mam taki lekki nałóg.
Na razie tyle.
Pozdrawiam i dzięki za wyjaśnienia.

Marek Czeszek.

P.S. Ciekawostka kalkulatorowa. TI-81 oraz TI 85 maja nieudokumentowaną funkcję! Podręcznik podaje tylko, że "rand" generuje liczby z zakresu 0..1. To prawda, ale rand (r), dla rzeczywistych r, generuje liczby losowe z zakresu 0..r.
Mało tego!! rand (r,s) generuje pary liczb (0..r,0..s), co może być wykorzystane jako generator liczb zespolonych!
Jak jest na TI-83?

>Jeśli jest tam coś poza wektorami na jednej prostej - to nie wiem co i proszę o wyjaśnienie.
Właściwie poprawne rówanie Newtona mówi, że F=dp/dt, gdzie p - pęd, F - funkcja zależna od polożenia i prędkości. Okazuje się, że takie równanie różniczkowe odpowiada warunkowi na ekstremum (najczęściej minimum) pewnego funkcjonału postaci S=∫_t1^t2Ldt zwanego działaniem, gdzie L to tzw. funkcja Lagrange'a zależna od położenia, prędkości i czasu, zasadniczo równa różnicy energii kinetycznej i potencjalnej cząstki. Działanie jest wielkością charakteryzującą tor czątki w przedziale między chwilami czasu t1 i t2. Zatem ostatecznie można powiedzieć, że cząstka w polu sił porusza się po torze, na którym działanie jest najmniejsze (lub największe) z możliwych. To jest treść zasady najmniejszego działania. Następnie można zauważyć pewnien związek działania z pojęciem długości (czterowymiarowej) i geodezyjnej. W nieobecności sił, ciało porusza się po lini prostej, co odpowiada geodezyjnej w płaskiej przestrzeni. Rzeczywiście związek siły z krzywizną przestrzeni badał Barnhard Riemann, a na jego pracach wzorował się później Einstein konstruując swoją Ogólną Teorię Względności. Również we współczesnej elektrodynamice działanie swobodnej cząski relatywistycznej jest proporcjonalne do interwału, czyli ścisłej długości w przestrzeni Minkowskiego.
>Hmmm... W zasadzie jakby tak, ale dla przykładu zapis funkcji
>y=sin(x/[1,2,3,4... lista do powiedzmy... ,48]
>wydaje mi się jednak prostszy od wykresu tej rodziny funkcji.
Niby wydaje się faktycznie proste. Troche widać tutaj pewne ograniczenia interpretacji geometrycznej. Trzeba mieć faktycznie niezłą cierpliwość, żeby narysować sobie 48 takich krzywych Ale wystarczy sobie wykreślić kilka pierwszych, aby zauważyć pewną prawidłowość.
>Ciekawostka kalkulatorowa. TI-81 oraz TI 85 maja nieudokumentowaną funkcję!
U mnie rand(n) (n naturalne) powoduje wypisanie n-elementowej listy losowych liczb z przedziału (0,1). Podanie drugiego argumentu skutkuje błędem ERR:ARGUMENT. Oczywiście można inaczej rozwiązać generowanie zespolonych liczb losowych: rand+i*rand.

Pozdrawiam.