RÓWNANIA VOLTERRY
Jeśli ktoś nie wie, lub nie pamięta które to - może zajrzeć tutaj:
en.wikipedia.org/wiki/Volterra-Lotka_equations [en],
lub tutaj:
de.wikipedia.org/wiki/Volterra-Gesetze [de],
a poniżej na wszelki wypadek "po naszemu" (w moim tłumaczeniu z niemieckiego):
============================================================
Oznaczenia:
--------------
x: liczba drapieżników,
y: liczba ofiar,
x • y: częstotliwość kontaktów obydwu rodzajów (tzn. drapieżników i ofiar).
a) Równanie I - zmiana liczby drapieżników w funkcji czasu:
dx/dt = Zx• x • y - Ax • x ; gdzie:
Zx: częstość narodzin drapieżników,
Zx • x • y: przyrost drapieżników,
Ax: częstotliwość umierania drapieżników,
Ax • x: ubywanie drapieżników.
b) Równanie II - zmiana liczby ofiar w funkcji czasu:
dy/dt = Zy • y - Ay • x• y ; gdzie:
Zy: częstość narodzin ofiar,
Zy • y: przyrost ofiar,
Ay: częstotliwość umierania ofiar,
Ay • x • y: ubywanie ofiar.
=============================================================
W dalszym ciągu dyskusji, jeśli zajdzie potrzeba, będę się odwoływał, do wersji niemieckiej, która wydaje mi się nieco staranniej opracowana.
Aby było jasne: nie tyle chodzi mi tu o wyjaśnianie samych tych równań, ile raczej o relacje między tymi równaniami, a rzeczywistością, na ich przykładzie. A zatem:
Co wiemy o tych równaniach?
1. Znamy ich postać.
2. Wiemy, że V. Volterra opracował je na podstawie rzeczywistych danych o zwierzętach z lat 1845..1935.
3. Wiemy, że mają modelować dynamiczne zależności pomiędzy drapieżnikami, a ofiarami. Jako model możemy przyjąć dwa gatunki zwierząt żyjące na wyspie (lisy i zające, powiedzmy).
4. Równania te wyrażają pewne "zdroworozsądkowe" zależności, typu "im więcej drapieżników, tym mniej ofiar".
A co wydaje mi się niejasne?
1. Rzeczywiste zwierzęta są "skwantowane", a równania nic o tym fakcie nie mówią. Jeśli jest tylko jeden lis i królik - nie mają one pewnie sensu. Zatem - od ilu mają? Czy "tym bardziej mają - im więcej zwierząt"?
2. Równania te muszą być jakąś idealizacją. Przecież lisy polują na różne inne drobne stworzenia, a króliki mają także innych wrogów. Pomija się wpływ wahań klimatu (a tym samym ilość paszy i wody dla ofiar!), obecność innych zwierząt etc. Co więc właściwie opisują te równania w rzeczywistym lesie
3. Jak się układa takie równania na podstawie danych liczbowych (takich na przykład, jakimi dysponował Volterra)? Innymi słowy - jak wiążą się te (lub w ogóle takie!) równania z danymi? Nie całkiem poważnie to piszę... ale przecież, aby ułożyć takie zależności wystarczyłaby kartka papieru, ołówek i zdrowy rozsądek (bez danych)?!
4. Niepokoi mnie fakt, że można myśleć inaczej i otrzymać inne równania. Dla przykładu:
Zx • x • y:,
Ax • x: ubywanie drapieżników.
Przyrost drapieżników jest proporcjonalny do współczynnika Zx oraz do ilości samych drapieżników i ich ofiar. Niby w porządku; im nas więcej i im więcej mamy "papu", tym lepiej się rozmnażamy. Ale dlaczego ubywanie drapieżników jest proporcjonalne tylko do ilości osobników i tego współczynnika? Przecież mogłoby być na przykład tak:
Ax • x / y - czyli im nas więcej, tym więcej nas umiera, oraz im mniej pożywienia (mniejszy mianownik) tym też nam trudniej przeżyć.
5. Dlaczego (na przykład) częstotliwość kontaktów drapieżników i ofiar wyrażona jest iloczynem? Czy ta liniowa zależność nie jest zbyt grubym uproszczeniem? Jeśli zwierząt jest więcej - częściej trafiają na siebie (z tym zgoda), ale kiedy jest bardzo mało, drapieżniki muszą się znacznie więcej "nabiegać" (ofiary siedzą tylko cicho pod krzakiem). Czynnik zmęczenia u drapieżników wcale nie musi zmieniać się liniowo! Przykład wprawdzie fikcyjny, ale chodzi o mechanizm myślenia.
6. Płodność drapieżników i ofiar jest przeważnie bardzo różna. Nie wydaje mi się, aby (znowu na przykład) płodność drapieżników miała zależeć liniowo tylko od ilości pożywienia. Nawet mocno głodny lis może ulec wdziękom pięknej koleżanki, zaś najbardziej syta lisica też nie urodzi więcej małych niż pozwala na to jej fizjologia. Skąd więc ta liniowa zależność?
A teraz najważniejsze (dla mnie) pytania:
6. Dlaczego właśnie te równania? Przecież rozumując nieco inaczej można by otrzymać nieco inne (może i trafniejsze).
7. Wygląda mi na to, że równania te bazują na różnych dość grubych uproszczeniach i założeniach. Innymi słowy, że są w zasadzie "tylko" przymiarkami bazującymi na aktualnym stanie informacji i potrzeb. Innymi słowy, że jest to taka zdroworozsądkowa łatanina oparta na empirii (wzory empiryczne?). Niech sobie i tak będzie - tylko niech wiem, że tak właśnie jest!
8. Równania te opisują jakiś wyidealizowany przypadek, który o konkretnych lasach niewiele (choć nie wiem ile) mówi; dlaczego więc stały się takie znane (ja przynajmniej słyszałem o nich wiele razy)? Czy to nie jest przypadkiem tak, że te właśnie równania stały się po prostu MODNE?!?!?!?!? jako dosyć proste i efektowne?!
Nota bene: Podobnie było z sieciami neuronowymi. Jak to bystro zauważył jeden z krytyków: Gdyby one się nazywały na przykład "sieci zbieżne", to pies z kulawą nogą by o nich nie słyszał. Zresztą zainteresowanie nimi przygasło do poziomu ich rzeczywistej, rozsądnej przydatności - to daje do myślenia.
---------------------------------------------------------------------
P.S. Wątek ten dedykuję "celcrinowi" jako odtrutkę przeciw tematom, od których go mdli (mnie, zresztą też).