 |
Ten wątek jest przedawniony
Działy Forum » Nauka
| Napisano | Autor | Tytuł | | 05-02-2010 11:54 | setarkos (10757 punktów) | O nieskończonościach | Dzień Dobry
Liczba mnoga użyta w tytule, odnosi się do historycznego odkrycia sprzed ponad wieku (Cantor), że istnieje więcej niż jedna nieskończoność.
Już samo podnoszenie pojęć pozaskończonych, na co dzień zbędnych, wydaje się niepotrzebne. Nawet rzeczy policzalnych jest na tyle wiele, że niełatwo je uporządkować (weźmy choćby chemię). Skoro jednak (podobno) zajmują one ludzką wyobraźnię i , z drugiej strony, miewają praktyczne zastosowania w postaci skutecznego rachunku różniczkowego, to może warto się nieskończonościom przyjrzeć.
Dodatkową przesłanką dla podjęcia tematu jest jego neutralność emocjonalna czy światopoglądowa - rozłączność wobec "naszej" doraźności zdaje się taką neutralność gwarantować.
.
Otóż Cantor pokazał, że oznaczając liczebność (moc) zbioru liczb naturalnych N liczbą (kardynalną) "alef zero" , nie sposób jednocześnie jednakowej mocy przypisać zbiorowi wszystkich podzbiorów z N, których jest
2[N]=c
gdzie "[N]" oznacza moc N, a "c" tzw. moc continuum.
W teorii Cantora zakłada się, że [N] jest najmniejszą możliwą nieskończonością. Tu mam wątpliwości, którymi chciałbym się podzielić - zdaje się, że istnieją mniejsze niż "alef zero" nieskończoności (istnienie większych wszyscy potwierdzają) - dopuszczalność mniejszych spróbuję później przedstawić.
.
Zapewne można wzruszyć ramionami i zupełnie pominąć 'rzeczy' pozaskończone, które raczej w domniemaniach tkwią niż w realności. Zdaje się jednak, że próby porządkowania świata mogą też 'okiełznanie' wiecznie umykających wymysłów mieć na względzie.
Pozdrawiam |
Autor wątku ma uprawnienia do usuwania wypowiedzi, jeżeli łamią regulamin Forum lub znacznie odbiegają od tematu.
| placownik (17853 punktów) |
>Dodatkową przesłanką dla podjęcia tematu jest jego neutralność emocjonalna czy światopoglądowa - rozłączność wobec "naszej" doraźności zdaje się taką neutralność gwarantować.
Moim zdaniem, to zbyt daleko posunięty optymizm. Ale, kto wie?
Pozdrawiam
Niech strój słów podkreśla urodę myśli
|
|
ollikm (2038 punktów)
(zablokowany) |
>W teorii Cantora zakłada się, że [N] jest najmniejszą możliwą nieskończonością. Tu mam wątpliwości,
>którymi chciałbym się podzielić - zdaje się, że istnieją mniejsze niż "alef zero" nieskończoności
>(istnienie większych wszyscy potwierdzają) - dopuszczalność mniejszych spróbuję później przedstawić.
Przedstaw, to podyskutujemy. O ile mi wiadomo takowych nie ma.
|
|
 1 na 1 | dstr (1474 punktów) | > Liczba mnoga użyta w tytule, odnosi się do historycznego odkrycia sprzed ponad wieku (Cantor), że istnieje więcej niż jedna nieskończoność.Dwa zbiory są równoliczne, jeżeli istnieje bijekcja między nimi. Między wieloma zbiorami nieskończonymi nie istnieje bijekcja ergo nie są równoliczne i mamy do czynienia z różnymi nieskończonościami. pl.wikiped(*)/Rozumowanie_przekątniowe> zdaje się, że istnieją mniejsze niż "alef zero" nieskończonościNie istnieją. Każdy podzbiór liczb naturalnych jest albo skończony, albo równoliczny z N (przynajmniej w teorii zbiorów Zermelo-Fraenkela z aksjomatem wyboru). > (istnienie większych wszyscy potwierdzają)OK. Zbiór potęgowy zbioru A ma większą moc niż zbiór A. > - dopuszczalność mniejszych spróbuję później przedstawić.Możesz co najwyżej poszukać między N a 2 Npl.wikipedia.org/wiki/Hipoteza_continuum
|
|
 | | jkl; (5859 punktów) | > Dwa zbiory są równoliczne, jeżeli istnieje bijekcja między nimi. Między wieloma zbiorami nieskończonymi nie istnieje bijekcja ergo nie są równoliczne i mamy do czynienia z różnymi nieskończonościami.> pl.wikiped(*)/Rozumowanie_przekątnioweCzy to znaczy, że nieskończony ser z dziurami jest mniejszy od nieskończonego sera bez dziur?
|
|
| | 1 na 1 | dstr (1474 punktów) | >Czy to znaczy, że nieskończony ser z dziurami jest mniejszy od nieskończonego sera bez dziur?
Niekoniecznie. Jeżeli weźmiesz ser nieskończony bez dziur i utworzysz jego ser potęgowy, a następnie wytniesz w serze potęgowym dziury, to ser potęgowy z dziurami może być ciągle większy od pierwotnego sera bez dziur.
|
|
| | | 2 na 2 | jkl; (5859 punktów) | >>Czy to znaczy, że nieskończony ser z dziurami jest mniejszy od nieskończonego sera bez dziur?
>Niekoniecznie. Jeżeli weźmiesz ser nieskończony bez dziur i utworzysz jego ser potęgowy, a następnie wytniesz w serze potęgowym dziury, to ser potęgowy z dziurami może być ciągle większy od pierwotnego sera bez dziur.
Ale to są jakby dwa rodzaje nieskończoności-
Nieskończoność sera w ogóle i nieskończoność gęstości sera.
Właściwie to nieskończoności sera z dziurami i bez są identycznie duże, tylko same sery się różnią...
|
|
| | | | 2 na 2 | apud (4399 punktów) | >>>Czy to znaczy, że nieskończony ser z dziurami jest mniejszy od nieskończonego sera bez dziur?
>>Niekoniecznie. Jeżeli weźmiesz ser nieskończony bez dziur i utworzysz jego ser potęgowy, a następnie wytniesz w serze potęgowym dziury, to ser potęgowy z dziurami może być ciągle większy od pierwotnego sera bez dziur.
>Ale to są jakby dwa rodzaje nieskończoności-
>Nieskończoność sera w ogóle i nieskończoność gęstości sera.
>Właściwie to nieskończoności sera z dziurami i bez są identycznie duże, tylko same sery się różnią...
Ciekawy problem, w końcu sam Einstein doszedł do wniosku ze wszechświat jest nieskończony i ludzka głupota.
Jako prawdziwy uczony obiektywnie stwierdził, ze co nieskończoności wszechświata sa pewne wątpliwości.
|
|
| | | | 5 na 5 big_zyd (37761 punktów)
(zablokowany) | > Ale to są jakby dwa rodzaje nieskończoności-> Nieskończoność sera w ogóle i nieskończoność gęstości sera.> Właściwie to nieskończoności sera z dziurami i bez są identycznie duże, tylko same sery się różnią...O, Cheesus! 
|
|
| | | jankw (453 punktów) | A jak traktujesz ser? Jeśli jest on bryłą (zbiorem punktów w przestrzeni R3), to z punktu widzenia teorii mnogości jest on równoliczny z każdym innym niezredukowanym do punktu serem dowolnego kształtu i gatunku rozumianym tak samo. W takim pojęciu nawet mały okruszek sera jest równoliczny z całą ciężarówką serów, ponieważ zarówno on i ciężarówka będą zbiorami mocy continuum. W tym wypadku ma tu większego znaczenia, czy ma on "skończoną" objętość.
Jeśli ma on być zbiorem cząsteczek/atomów, to wtedy cząsteczki te można ustawić w ciąg nieskończony. Jeśli ser wypełnia całą przestrzeń R3, to wycinając w nim dziury, wycinamy z tego ciągu pewne wyrazy-cząsteczki - ale ciąg nadal pozostaje nieskończony i zbiór ma moc alef zero.
|
|
| | | | jkl; (5859 punktów) | >Jeśli ser wypełnia całą przestrzeń R3, to wycinając w nim dziury, wycinamy z tego ciągu pewne wyrazy-cząsteczki - ale ciąg nadal pozostaje nieskończony i zbiór ma moc alef zero.
Dziury można wycinać w nieskończoność?
|
|
| | | | 1 na 1 | jankw (453 punktów) | Dopóki "objętość" sera pozostanie nieskończona, tak. W przeciwnym wypadku, ilość cząsteczek będzie już konkretną liczbą.
|
|
| | | | setarkos (10757 punktów) | > .. Jeśli ser wypełnia całą przestrzeń R3
Nie wiadomo czy R3 jest "cała", czy stanowi zbiór dziur w 'superserze' (2R)3..
|
|
| | 1 na 1 | pavvel (8272 punktów) |
>Czy to znaczy, że nieskończony ser z dziurami jest mniejszy od nieskończonego sera bez dziur?
>
Dokładnie tak jak mówisz.
Wystarczy prosty przykład - których liczb jest "więcej": naturalnych czy rzeczywistych?
|
|
| | | 1 na 1 | jkl; (5859 punktów) | Rozumiem, tylko "mniejsza" lub "większa" nieskończoność jakoś intuicyjnie kłóci się z pojęciem nieskończoności.
Ciekawa rzecz.
|
|
| | | | Jacek Tabisz (30006 punktów) | Nieskończoności są w matematyce, lecz w rzeczywistości ich nie stwierdzono. Rozmiar Plancka zapobiega krojeniu sera w nieskończoność, nasz wszechświat, wbrew poglądom z XIX wieku też ma określony, nie nieskończony rozmiar. Również nieskończoności w czarnych dziurach zostały rozbrojone przez Hawkinga.
|
|
| | | | | pavvel (8272 punktów) | No to podaj mi, proszę, największą liczbę naturalną 
|
|
| | | | | | Jacek Tabisz (30006 punktów) | Idealny język matematyki nie zawsze opisuje naszą rzeczywistość. Nie ma w niej nieskończoności. Chyba, że przyjmiesz nieskończoną ilość wszechświatów równoległych, lecz na przykład teoria strun przyjmuje ich ogromną ilość, lecz nie nieskończoną.
|
|
| | | | | | | pavvel (8272 punktów) | >Idealny język matematyki nie zawsze opisuje naszą rzeczywistość. Nie ma w niej nieskończoności.
Najnizsza możliwa do zaistnienie temperatura to oczywiście 0K
Podaj mi proszę, jaka jest najwyższa temperatura.
|
|
| | | | | | | | Jacek Tabisz (30006 punktów) | Nie będę szukał, ale poza pierwszymi momentami naszego wszechświata, nie ma żadnej mowy o temperaturach o nieskończonej wysokości, zaś nieskończoności z "pierwszego momentu wszechświata" nie są zapewne prawdziwe - to po prostu czekająca na wyjaśnienie zagadka, jest wiele hipotez redukujących te nieskończoności. Raczej nie zakładałbym, iż nieskończona temperatura dodatnia ma jakiekolwiek miejsce w naturze.
|
|
| | | | | | | | | pavvel (8272 punktów) | Informuję cię, że nawet na pewno nie ma. Każda, którą zmierzymy, będzie skończona.
Ja tylko prosiłem o wskazanie górnej granicy. Istnieją pewne próby, ale raczej żadna z nich nie daje pewności.
Równie dobrze możesz podać mi jaką maksymalną energię kinetyczną może osiągnąć ciało. Jeżeli uważasz, że jest ona ograniczona, to w jaki sposób i dlaczego.
|
|
| | | | | | | | | | Jacek Tabisz (30006 punktów) | Gdyż ilość materii i energii we wszechświecie jest skończona.
|
|
| | | | | | | | | | 1 na 1 | pavvel (8272 punktów) | >Gdyż ilość materii i energii we wszechświecie jest skończona.
Wszechśiwat jest najprawdopodobniej skończony, ale i to nie musi nas ograniczać.
Istnieją hipotezy o energii ujemnej. Jeżeli istnieje, to suma może być stała, ale ograniczeń brak.
|
|
| | | |  -1 na 1 kombi (1112 punktów)
(zablokowany) | >Nieskończoności są w matematyce, lecz w rzeczywistości ich nie stwierdzono. Rozmiar Plancka zapobiega krojeniu sera w nieskończoność, nasz wszechświat, wbrew poglądom z XIX wieku też ma określony, nie nieskończony rozmiar. Również nieskończoności w czarnych dziurach zostały rozbrojone przez Hawkinga.
Hawking niedawno wycofał się z tych swoich naiwnych spekulacji.
Co takiego rewelacyjnego odkryto w sprawie Wszechświata w XIXw?
Poglądy starożytnych są w pełni aktualne.
Newton też myślał początkowo, że Wszechświat jest skończony, ale potem zmienił zdanie.
Dzisiejsza kosmologia to tylko seria wolnych parametrów w przypadkowych równaniach, które się zmieniają co kilka lat.
Model Big Bang nie rozwiązuje wyjściowego problemu: paradoksu grawitacyjnego... bez tego nie ma podstaw, więc nie ma racji bytu.
|
|
| | | | | | Jacek Tabisz (30006 punktów) | Nie słyszałem o aż tak pewnym podważaniu teorii Wielkiego Wybuchu. Zmierzono promieniowanie tła, które jest ogromnie silnym dowodem na to, iż Wielki Wybuch miał miejsce.
|
|
| | | | | | -1 na 1 kombi (1112 punktów)
(zablokowany) | >Nie słyszałem o aż tak pewnym podważaniu teorii Wielkiego Wybuchu. Zmierzono promieniowanie tła, które jest ogromnie silnym dowodem na to, iż Wielki Wybuch miał miejsce.
Promieniowanie tła przewidziano, wyliczono z teorii, i nawet zmierzono dużo wcześniej - koniec XIXw.
Po dokładniejszych pomiarach nie stwierdzono plam, które potwierdziłyby hipotezę Big Bang.
Tło jest praktycznie idealnie jednorodne i izotropowe - standardowe promieniowanie ciała czarnego, zgodne z wzorami Plancka.
Kosmos jest w równowadze termodynamicznej - brak globalnej ekspansji, itd.
|
|
| | | | | | | | Jacek Tabisz (30006 punktów) | Z pewnością nie można było tego dokonać w XIX wieku. Nie istniała wtedy wogóle teoria Wielkiego Wybuchu, nie wiedziano nawet, że atomy rzeczywiście istnieją. Elektromagnetyzm nie był w żaden sposób powiązany z innymi elementami rzeczywistości. Proszę o źródła dla twoich poglądów.
|
|
| | | | | | | | kombi (1112 punktów)
(zablokowany) | > Z pewnością nie można było tego dokonać w XIX wieku. Nie istniała wtedy wogóle teoria Wielkiego Wybuchu, nie wiedziano nawet, że atomy rzeczywiście istnieją.en.wikipedia.org/wiki/Prout's_hypothesisNie znali atomów? > Elektromagnetyzm nie był w żaden sposób powiązany z innymi elementami rzeczywistości.Elektromagnetyzm powstał w XIXw: Ampere: publikuje swoje prace w 1823r; Gauss: en.wikipedia.org/wiki/Gauss"number theory, statistics, analysis, differential geometry, geodesy, geophysics, electrostatics, astronomy and optics" i jeszcze: magnetyzm, ziemskie pole magnetyczne, prawo Gaussa, jednostki Gaussa, itd. Weber (uczeń Gaussa): en.wikipedia.org/wiki/Wilhelm_Eduard_WeberTam niewiele napisali o jego pracy. 1843r tworzy ogólną elektrodynamikę opierając się na odkryciach Ampere'a i Gaussa. Wyjaśnia również ferromagnetyzm, paramagnetyzm, itd. Potem tworzy modele atomów (całych - razem z jądrami). Wyprowadził do fizyki stałą elektrodynamiczną, którą dzisiaj oznaczamy symbolem c (on użył takiego symbolu); zmierzył eksperymentalnie wartość c = ~320 tyś km/s (mierzył prędkość propagacji sygnału w 'linii długiej'). > Proszę o źródła dla twoich poglądów.Historia CMB - koniec XIXw i początek XXw: www.ifi.unicamp.br/~assis/Apeiron-V2-p79-84(1995).pdf "We show that the models based on a Universe in dynamical equilibrium without expansion predicted the 2.7 K temperature prior to and better than models based on the Big Bang".
|
|
| | | | | setarkos (10757 punktów) | >Nieskończoności są w matematyce, lecz w rzeczywistości ich nie stwierdzono.
Skończoność energii fotonu może być kombinacją jego nieskończenie małej masy spoczynkowej z nieskończonym wzrostem tej masy przy prędkości światła.
|
|
| | | | | 1 na 1 | Jacek Tabisz (30006 punktów) | Nie jest to jednak hipoteza ciesząca się szczególnym uznaniem.
|
|
| | | | | | | setarkos (10757 punktów) | >Nie jest to jednak hipoteza ciesząca się szczególnym uznaniem.
Szczególne uznanie czy poklask to domena królewskiej (a nie matematycznej) drogi ;]
|
|
| | | | | | | | Jacek Tabisz (30006 punktów) | Oczywiście, kiedy Einstein przedstawił swoją teorię, większość uczonych potraktowała to jako czyste szaleństwo. Ale powrót do nieskończoności (nieskończenie mały rozmiar, nieskończona prędkość itp) to pod wieloma względami krok w stronę dawnych koncepcji. Dlatego też proszę cię o źródła.
|
|
| | | | | | 2 na 2 | setarkos (10757 punktów) | >Nie jest to jednak hipoteza ciesząca się szczególnym uznaniem.
Nawet na miano hipotezy nie zasługuje - ot podstawienie masy spoczynkowej fotonu wziętej z tablic do wzoru na tzw. masę relatywistyczną (rosnącą jakoby nieskończenie dla skończonej c).
Nie zamierzam tu doprawdy nowych cudów wymyślać - przeciwnie - mniej kategorycznie rzeczy traktując, masę spoczynkową fotonu nazywam infinitezymalną, co dla prędkości nieskończenie bliskich c, po podstawieniu do wzoru Einsteina, daje skończoną energię (masę m=hf/c2, gdzie h-stała Plancka a f-częstotliwość związanej z nim fali elektromagnetycznej) fotonu.
[proponuję zachować w tym wątku pewien poziom dyskusji i "nieskończonych prędkości" nie rozważać]
|
|
| | | | | | | kombi (1112 punktów)
(zablokowany) | >Nie zamierzam tu doprawdy nowych cudów wymyślać - przeciwnie - mniej kategorycznie rzeczy traktując, masę spoczynkową fotonu nazywam infinitezymalną, co dla prędkości nieskończenie bliskich c, po podstawieniu do wzoru Einsteina, daje skończoną energię (masę m=hf/c2, gdzie h-stała Plancka a f-częstotliwość związanej z nim fali elektromagnetycznej) fotonu.
Zdecyduj się: energia fali, czy fotonu (cząstki)?
|
|
| | | | | | | | 1 na 1 | setarkos (10757 punktów) | >Zdecyduj się: energia fali, czy fotonu (cząstki)?
He he. Tertium datur i nazywa się dualizm (a fizycy chętnie wyrażają masę spoczynkową w elektronowoltach).
Chodziło o podkreślenie, że skończone wielkości fizyczne, które badamy, opisuje się wzorami zawierającymi pojęcia pozaskończone, co tych (wyidealizowanych) wzorów poznawczo nie dyskwalifikuje. Operacje na nich mogą przewidywać nowe eksperymenty i nawet cieszyć się niejaką popularnością (np. transformacja Lorentza).
Można zatem nieskończonościami posługiwać się jak narzędziami (choćby wydumanymi), które nie muszą być straszne, gdy ich nie zabraniać.
|
|
| | setarkos (10757 punktów) |
>Możesz co najwyżej poszukać między N a 2N
Tu nie warto. Zostało rozstrzygnięte, że nie sposób rozstrzygnąć hipotezy continuum. Zamiast analizy tego co pomiędzy, warto się może przyjrzeć samej operacji zmiany N na 2N, potem na 22N, itd.. Przypuszczam, że operacja odwrotna pokaże czy musimy stanąć w "alef zero", czy 'szlaban' dla kierunku malejącego jest pozorny.
|
|
| | setarkos (10757 punktów) | >>zdaje się, że istnieją mniejsze niż "alef zero" nieskończoności
>Nie istnieją.
Na prywatny użytek definiuję je prosto:
- biorę log2"alef_zero"
- zauważam, że otrzymana wielkość nie jest skończona oraz jest mniejsza od "alef_zero"
- nazywam ją 'alef_minus_jeden'
- logarytmuję ponownie
- wynik nazywam 'alef_minus_dwa'
- itd..
Jeśli teoria zbiorów jest zbudowana poprawnie, to nie ma cudów - muszą istnieć odpowiednie podzbiory N, których zbiory potęgowe dają alefy ujemne (i alef_zero). Należy zatem 'odczarować' teorię zbiorów.
[Osoby o skłonnościach mistycznych zainteresuje może, że wielokrotne logarytmowanie nieskończoności wydaje się niezłym 'przepisem na produkcję' skończoności - czegoś z "wszystkiego" - i to w malejącej (ostro) liczbie kroków]
|
|
| | | tusziwa (48 punktów) | jak definiujesz log2alef_zero?
|
|
| | | | setarkos (10757 punktów) | >jak definiujesz log2alef_zero?
Jako moc takiego podzbioru N, którego zbiór potęgowy jest równoliczny z N.
Analogicznie do log2c=alef_zero (zbiór potęgowy zbioru mocy alef_zero jest mocy c).
|
|
| | | | | tusziwa (48 punktów) | >>jak definiujesz log2alef_zero?
>Jako moc takiego podzbioru N, którego zbiór potęgowy jest równoliczny z N.
>Analogicznie do log2c=alef_zero (zbiór potęgowy zbioru mocy alef_zero jest mocy c).
>
Załóżmy że taki zbiór istnieje.
Wówczas elementy jego zbioru potęgowego możemy ułożyć w ciąg A1, A2... Wybierzmy z tego ciągu podciąg zbiorów jednoelementowych, jest on skończony lub nie.
Jeśli jest skończony, to suma jego elementów C jest zbiorem skończonym.
Jeśli jest nieskończony to C ma moc alef_zero.
Ale przecież C=log2alef_zero, zatem mamy sprzeczność, zatem log2alef_zero nie istnieje.
|
|
| | | | | | setarkos (10757 punktów) |
>Załóżmy że taki zbiór istnieje
tzn. istnieje podzbiór N mocy alef-1.
>Wówczas elementy jego zbioru potęgowego możemy ułożyć w ciąg A1, A2...
o mocy alef0.
> Wybierzmy z tego ciągu podciąg zbiorów jednoelementowych. Jeśli jest nieskończony, to
jego moc jest niewiększa niż alef-1,
.
.
[więcej nie zrozumiałem]
|
|
| | | | | | | tusziwa (48 punktów) | >>Załóżmy że taki zbiór istnieje
>tzn. istnieje podzbiór N mocy alef-1.
tak.
>>Wówczas elementy jego zbioru potęgowego możemy ułożyć w ciąg A1, A2...
>o mocy alef0.
Zgadza się. Zbiór elementów ciągu nieskończonego ma moc alef0.
>> Wybierzmy z tego ciągu podciąg zbiorów jednoelementowych. Jeśli jest nieskończony, to
>jego moc jest niewiększa niż alef-1,
To prawda. Ale równocześnie jego moc jest równa alef0, gdyż jest to ciąg. Sprzeczność.
|
|
| | | | | | | | setarkos (10757 punktów) | > Zbiór elementów ciągu nieskończonego ma moc alef0.Założyliśmy, że istnieje zbiór o mocy mniejszej niż alef0 > >jego moc jest niewiększa niż alef-1,> To prawda. Ale równocześnie jego moc jest równa alef0, gdyż jest to ciąg.Z faktu, że zbiór mocy alef -1<alef 0 można ułożyć w ciąg, tzn. ponumerować jego elementy elementami z N, nie wynika, że cały N można ponumerować elementami zakładanego zbioru. Należy jeszcze stwierdzić czy przyporządkowanie odwrotne jest "na".
|
|
| setarkos (10757 punktów) | Zgodnie z aksjomatem nieskończoności istnieje takie X, że X=X+1. Z tego i z określenia mocy zbioru potęgowego wynika rachunek liczb kardynalnych.
Weźmy zbiór o mocy
X0=X0+1
Moc jego zbioru potęgowego
X1=2X0+1=2X1
Zatem istnieje takie X, że X=2X (ogólniej X=kX gdzie k skończone)
Weźmy kolejny zbiór potęgowy (zbioru mocy X1)
X2=22X1=X22
Zatem istnieje takie X, że X=X2
Ogólnie dla każdej liczby kardynalnej X=kX=Xk (gdzie k skończone)
.
Wynika stąd przykładowo, że liczb naturalnych jest tyle co parzystych (i tyle co całkowitych) oraz, że tyle samo jest kwadratów, sześcianów, ... k-wymiarowych 'kostek' czy pierwiastków skończonego stopnia. Liczby algebraiczne należą do wspólnej z naturalnymi klasy równoliczności [N].
Może się wydawać dziwna równoliczność N np. ze zbiorem sześcianów {1, 8, 27, 64, ...}. Łatwo je ponumerować naturalnymi, ale w drugą stronę czy ich wystarczy? Wystarczy. [N]3=[N]= [N]1/3 Można policzyć liczby naturalne sześcianami.
A co z 'kostkami nieskończenie-wymiarowymi'? A to całkiem inna bajka, bo już 2[N]>[N]..
[Powyższy, dla wielu pewnie nudny skrót z teorii mnogości, niech będzie wstępem. Cdn..]
|
|
| | setarkos (10757 punktów) | .. Dla dalszych rozważań przyjmę oznaczenie [N]0 dla mocy liczb naturalnych, [N]1 dla c, [N]2 dla mocy 2c, itd..
Ew. liczności mniejsze niż [N]0 oznaczę jako [N]-1, [N]-2, itd.. Dodatkowo posłużę się spostrzeżeniem, które mogłoby pozostać milczącym założeniem, ale które, dla jasności, warto może uwidocznić. Oto one:
(*) Każda liczba naturalna jest mniejsza od alef_zero (od [N]0)
Następujące stwierdzenia zdają się konsekwentnie z powyższym wiązać:
1. Nie wszystkie wyrażenia postaci 2n (gdzie n naturalne) wolno uznać za naturalne - dla n dążących do [N]0 wartość wyrażenia 'wybiega' do 2[N]0>[N]0. Należałoby przyjąć dla n ograniczenie górne w postaci takiego [N]-1, że 2[N]-1=[N]0.
2. Jest tyle samo liczb naturalnych ile ich k-tych potęg, ale prawie wszystkie liczby naturalne nie są potęgami k (gdzie k naturalne >1)
3. Istnieją zbiory o mocy mniejszej niż [N]-1. Pomiędzy różnymi alefami zachodzi zależność [N]k=2[N]k-1 (gdzie k całkowite).
.
.
Ciekawe jakie jeszcze wnioski można tu wysnuć - zdaje się, że niektóre pozwolą inaczej spojrzeć na twierdzenie Godla.
Przyznam, że do pomysłu uproszczenia teorii mnogości, przez rezygnację z pojęcia minimalnej nieskończoności, mam subiektywnie pozytywne nastawienie. Może ktoś z Was zechce chłodniejszym, krytycznym okiem ocenić, czy nie popełniam jakiego zasadniczego błędu w przytoczonym szkicu rozumowania..
Pozdrawiam
|
|
| | kombi (1112 punktów)
(zablokowany) | Naturalne: 1, 2, 3, ...
Sumujemy odwrotności wszystkich naturalnych - szereg harmoniczny:
H1 = 1/1 + 1/2 + ... -> ln(n) -> oo, rozbieżne, czyli jest za dużo składników.
Bierzemy mniej liczb, np. co drugą: H2 = 1/1 + 1/3 + 1/5 + ... = też rozbieżne;
jeden wyraz ze stu: 1 + 1/101 + 1/202 + ... = 1 + 1/101 * H1;
Zatem ile wyrazów trzeba pominąć żeby szereg był zbieżny?
Wtedy otrzymasz nieskończoność niższego rzędu, np. sqrt(n) - zostawiamy tylko kwadraty: 1 + 1/4 + 1/9 + ..., albo log2(n) - tylko potęgi 2.
|
|
| | | | setarkos (10757 punktów) | >Naturalne: 1, 2, 3, ...
>Sumujemy odwrotności wszystkich naturalnych - szereg harmoniczny:
>H1 = 1/1 + 1/2 + ... -> ln(n) -> oo, rozbieżne, czyli jest za dużo składników.
Składników jest tyle ile jest czyli alef_zero. Hn zbiega do ln[N],[N] (do [N]-1
>Bierzemy mniej liczb, np. co drugą: H2 = 1/1 + 1/3 + 1/5 + ... = też rozbieżne;
>jeden wyraz ze stu: 1 + 1/101 + 1/202 + ... = 1 + 1/101 * H1;
>Zatem ile wyrazów trzeba pominąć żeby szereg był zbieżny?
Dokładnie alef_zero. Nie jest to jednak warunek wystarczający.
>Wtedy otrzymasz nieskończoność niższego rzędu, np. sqrt(n) - zostawiamy tylko kwadraty: 1 + 1/4 + 1/9 + ..., albo log2(n) - tylko potęgi 2.
Niestety sqrt[N]=[N] a log2[N]<[N].
[Moje propozycje uporządkowania nieskończoności są częściowe. W szczególności nie mają ambicji rozstrzygania zbieżności dowolnego szeregu. Jest to zresztą niemożliwe, ponieważ już wszystkich (różnych) sum częściowych z 1/n jest 2^[N]=c]
|
|
| | | | kombi (1112 punktów)
(zablokowany) | >>Wtedy otrzymasz nieskończoność niższego rzędu, np. sqrt(n) - zostawiamy tylko kwadraty: 1 + 1/4 + 1/9 + ..., albo log2(n) - tylko potęgi 2.
>Niestety sqrt[N]=[N] a log2[N]<[n].> sqrt(n) <n> oo.
lim sqrt(n)/n = 0;
lim ln(n)/sqrt(n) = 0.
1 < ... < ln(ln(n)) < ln(n) < n^0.5 < n < n^2 < 2^n < n! < n^n < ...
Zawsze porównujemy obliczając granice.
>[Moje propozycje uporządkowania nieskończoności są częściowe. W szczególności nie mają ambicji rozstrzygania zbieżności dowolnego szeregu. Jest to zresztą niemożliwe, ponieważ już wszystkich (różnych) sum częściowych z 1/n jest 2^[N]=c]
Faktycznie c == N;
Można ponumerować kwadraty: N x N = N^2, sześciany: N^3, itd.; zatem i wyrazy szeregu geometrycznego: 2 x 2 x 2 x ... = 2^N.
|
|
| | | | | | setarkos (10757 punktów) |
> Można ponumerować (..) 2 x 2 x 2 x ... = 2^N.
Od czasów Cantora wiadomo, że [2^N]>[N]* - zatem nie da się ponumerować naturalnymi.
(*) [X] oznacza moc X
|
|
| | | | | | kombi (1112 punktów)
(zablokowany) | > > Można ponumerować (..) 2 x 2 x 2 x ... = 2^N.> Od czasów Cantora wiadomo, że [2^N]>[N]* - zatem nie da się ponumerować naturalnymi.> (*) [X] oznacza moc XMasz jakiś problem z ponumerowaniem liczby od 1 do 2^n, dla dowolnego naturalnego n? Cantor założył sobie, że istnieje liczba = oo i otrzymał sprzeczność, która ujawnia się w różnych paradoksach, np. ten hotel Hilberta: pl.wikipedia.org/wiki/Paradoks_Hilberta"Wyobraźmy sobie, że jesteśmy portierem w Grand Hotelu, w którym jest nieskończona liczba pokoi". Nieskończoności jest zawsze niekończona, czyli inaczej: nierealizowalna. "Opisany tu paradoks tak naprawdę nie jest sprzeczny z logiką, lecz tylko z intuicyjnym pojmowaniem...". Standardowa regułka amatorów, którzy liczyć nie potrafią. Dowód formalny się liczy, a nie zaklęcia! en.wikiped(*)roversy_over_Cantor's_theoryCytat:"Actual infinity does not exist. What we call infinite is only the endless possibility of creating new objects no matter how many exist already" (Poincaré quoted from Kline 1982).
|
|
| | | | | | | | setarkos (10757 punktów) |
>Masz jakiś problem z ponumerowaniem liczby od 1 do 2^n, dla dowolnego naturalnego n?
Żadnego dla n skończonych i żadnego dla nieskończonych, o ile tylko 2^n zbiega do n.
>Cantor założył sobie, że istnieje liczba = oo i otrzymał sprzeczność, która ujawnia się w różnych paradoksach ..
Jeśli założenie istnienia tylko skończonych wielkości prowadzi do mniejszej liczby paradoksów, to z nieskończoności można zrezygnować.
|
|
| | | | | | | | kombi (1112 punktów)
(zablokowany) | >>Masz jakiś problem z ponumerowaniem liczby od 1 do 2^n, dla dowolnego naturalnego n?
>Żadnego dla n skończonych i żadnego dla nieskończonych, o ile tylko 2^n zbiega do n.
Procedura jest jedna:
nie ponumerujesz 1..2^n, więc również 1..n nie dasz rady.
>>Cantor założył sobie, że istnieje liczba = oo i otrzymał sprzeczność, która ujawnia się w różnych paradoksach ..
>Jeśli założenie istnienia tylko skończonych wielkości prowadzi do mniejszej liczby paradoksów, to z nieskończoności można zrezygnować.
To byłby dokładnie taki sam niewypał.
|
|
| | | | | | | | | | setarkos (10757 punktów) |
>Procedura jest jedna:
>nie ponumerujesz 1..2^n, więc również 1..n nie dasz rady.
Jasne. Tylko że wartość 2^n w granicy zbiega do c większego od alef_zero, czyli nie mieści się w naturalnych (a powinna!).
[Jeśli z teorii Cantora wynikają sprzeczności, to może już czas trochę w niej posprzątać ;]
|
|
| | | | | | | | | | kombi (1112 punktów)
(zablokowany) | > >Procedura jest jedna:> >nie ponumerujesz 1..2^n, więc również 1..n nie dasz rady.> Jasne. Tylko że wartość 2^n w granicy zbiega do c większego od alef_zero, czyli nie mieści się w naturalnych (a powinna!).Niestety, ale musisz to wykazać, a nie założyć. zapis binarny liczb 0 do 1 (tylko cyfry po przecinku): 0 = 00 = 2^0 1 = 10 Argument Cantora: en.wikipedia.org/wiki/Cantor's_diagonal_argumentnegujemy przekątną i otrzymujemy = 11. Widzimy że tu takiej liczby nie ma. 2 = 01 = 2^1 3 = 11 już jest. Negacja przekątnej: 111 - nie ma takiej. 4 = 001 = 2^2 5 = 101 6 = 011 7 = 111 już jest. itd. > [Jeśli z teorii Cantora wynikają sprzeczności, to może już czas trochę w niej posprzątać ;]To tylko zabawa w nieskończone wyliczanki...
|
|
| | | | | | | | | | | | setarkos (10757 punktów) | >>> .. wartość 2^n w granicy zbiega do c większego od alef_zero, czyli nie mieści się w naturalnych (a powinna!).
>Niestety, ale musisz to wykazać, a nie założyć.
Definicja z teorii Cantora (współczesnej): 2alef_zero=c
- co tu wykazywać?
>zapis binarny liczby..
to co innego niż wartość liczby (podobnie jak słoń to nie "słoń")
>negujemy przekątną
rozumowanie przekątniowe należy pozostawić lecz 'podrasować'
>To tylko zabawa w nieskończone wyliczanki...
Jeśli nawet, to jeszcze nie powód, by miała być poplątana (choć może i masz rację - podobno: "szczęśliwe dziecko to brudne dziecko"))
|
|
| | | | | | | | | | | | kombi (1112 punktów)
(zablokowany) | >>>> .. wartość 2^n w granicy zbiega do c większego od alef_zero, czyli nie mieści się w naturalnych (a powinna!).
>>Niestety, ale musisz to wykazać, a nie założyć.
>Definicja z teorii Cantora (współczesnej): 2alef_zero=c- co tu wykazywać?
Musisz wykazać, że nie można ponumerować podzbiorów dowolnego zbioru... oraz, że nieskończoność się kończy (na jakiejś liczbie)... a dalej jest seria nieskończoności - już nieskończona... same nonsensy.
|
|
| | | | | | | | | | | | | | setarkos (10757 punktów) |
>Musisz wykazać, że nie można ponumerować podzbiorów dowolnego zbioru... oraz, że nieskończoność się kończy (na jakiejś liczbie)... a dalej jest seria nieskończoności - już nieskończona... same nonsensy.
Nie twierdzę, że uporządkowanie nieskończoności jest łatwe. Przypuszczam, że sam nie dam rady.
Pozdrawiam
|
|
| | | | | | | | | | | | | | kombi (1112 punktów)
(zablokowany) | Masz jeszcze raz: Cytat:The infinite was deemed to have at most a potential existence, rather than an actual existence. " Actual infinity does not exist. What we call infinite is only the endless possibility of creating new objects no matter how many exist already" (Poincaré quoted from Kline 1982). Gauss's views on the subject can be paraphrased as: 'Infinity is nothing more than a figure of speech which helps us talk about limits. The notion of a completed infinity doesn't belong in mathematics'. In other words, the only access we have to the infinite is through the notion of limits, and hence, we must not treat infinite sets as if they have an existence exactly comparable to the existence of finite sets.
|
|
| | | | | | | | | | | | | | | | setarkos (10757 punktów) | >Masz jeszcze raz:
Dziękuję - nie znam angielskiego (ale też mi wyszło, że nie sposób zbudować zbioru wszystkich nieskończoności i określić jego mocy).
Podpowiedz czy założenie, że każda liczba naturalna jest mniejsza od alef_zero, można przyjąć za aksjomat.
|
|
1 na 1 | spiech (5 punktów) | Witam
Ja temat (o nieskończonościach) zamieniłbym na liczbę pojedynczą , chyba, że wstawimy pewne ograniczenia (ograniczenia dla nieskończoności?). Przyjmijmy, że ograniczymy rozważania do bieżni stadionu na której nie ma wykreślonej lini startu i mety. Po bieżni biegnie człowiek , który przebiega jedno okrążenie, dwa, trzy, biegnie dzień, tydzień, miesiąc, cały rok, itd. o ile się zbliżył do celu - końca ? , czy w stosunku do nieskończoności cokolwiek się przemieścił ? - nie , ani się nie przybliżył do końca, ani się nie oddalił od początku - oczywiście dlatego, że nieskończoność nie ma początku i końca. Gdy na bieżni będzie biegł drugi człowiek szybciej od pierwszego to odległości między nimi będą się zmieniały, lecz w stosunku do nieskończoności zostaną w tym samym miejscu. Na bieżni innego stadionu przeprowadzimy ten sam tok myślenia. Mamy dwie nieskończoności ? Tak ,tylko z ograniczeniami które przyjęliśmy na początku.Możemy te przykłady umieścić w różnych czasach, będzie ich więcej. Usuwając wszystkie ograniczenia , długościowe, powierzchniowe, przestrzenne, czasowe, itd. Mamy jedną nieskończoność.
Nasuwają Mi się pytania na które nie znam odpowiedzi.
Nieskończoności takiej nie można podzielić, bo jak można podzielić coś co nie ma początku i końca ?
Każda część nieskończoności jest zerem, bo coś nieskończonego nie może być zbiorem rzeczy " skończonych "
Jak się ma zero do nieskończoności ?
Czy materia to iluzja ?
Czym jest Życie jak je przyrównać do Nieśmiertelności ?
Na razie wystarczy pytań.Gdy to kogoś zainteresuje możemy do tego powrócić.
Pozdrowienia
|
|
| | setarkos (10757 punktów) | >Witam
>Ja temat (o nieskończonościach) zamienił bym na liczbę pojedynczą
witam
Do tego należałoby np. pokazać, że dysponując (nieskończonym) alfabetem nie sposób utworzyć 'więcej' słów, zdań, ksiąg, księgozbiorów,... niż samych liter. Takich dowodów nie ma - są za to 'dowody', że tych drugich jest (fundamentalnie) więcej.
>Nieskończoności takiej nie można podzielić, bo jak można podzielić coś co nie ma początku i końca?
Zasadna wątpliwość. Nawet wybrać jakiegoś konkretnego elementu nie sposób, bo prawdopodobieństwo trafienia zerowe. Problem został w teorii mnogości dostrzeżony przez Zermelo (ucznia Cantora) i sformułowany w postaci "aksjomatu wyboru", który ma ogólniejsze brzmienie ale chyba oddaje istotę rzeczy.
> .. coś nieskończonego nie może być zbiorem rzeczy "skończonych".
Tak. Prawdopodobnie może zawierać jednak mniej liczny zbiór nieskończony, którego 'litery rozpinają się na' (eksponują) rozważane "coś nieskończonego". [Nie znam przepisów przerabiających rzeczy skończone na nieskończone ani na odwrót - próbuję tylko różne nieskończoności między sobą poukładać]
> Jak się ma zero do nieskończoności?
Najprościej przyjąć, że pierwsze jest przeciwieństwem drugiej (myślenie addytywne). Inny pomysł, to uznanie je za wzajemne odwrotności (myślenie multiplikatywne).
Konsekwentne podejście odwrotnościowe, przy założeniu nieistnienia "jednej tylko nieskończoności", prowadzi do wniosku o nieistnieniu "jednego tylko zera". Zero może być zeru nierówne, co 'potwierdza' teoria granic nie określając symbolu 0/0 jako jednoznacznie 1.
>Czy materia to iluzja?
>Czym jest Życie jak je przyrównać do Nieśmiertelności?
>Na razie wystarczy pytań.
Na razie wystarczy Szanowny Panie Pośpieszalski-Męczyduszo ;]
>Pozdrowienia
Z wzajemnością
|
|
| | | spiech (5 punktów) |
>witam
>Do tego należałoby np. pokazać, że dysponując (nieskończonym) alfabetem nie sposób utworzyć 'więcej' słów, zdań, ksiąg, księgozbiorów,... niż samych liter. Takich dowodów nie ma - są za to 'dowody', że tych drugich jest (fundamentalnie) więcej.
Witam
Piszesz o (nieskończonym) alfabecie i dowodzisz, że słów, zdań, itd. jest więcej. Wydaje mi się, że takie 'dowody' możemy przeprowadzać na alfabecie skończonym, ograniczonym, np. (od a do z). W alfabecie nieskończonym słowo może być literą, np.@ - litera małpa, rozumiesz co mam na myśli, inny przykład słowo ja, mogli byśmy zastąpić jednym znakiem, (literą) nie, ograniczonym alfabetem (a - z), nieskończony alfabet literą może określać zdanie, księgę, księgozbiór,... Literę możemy napisać np,'a',ta litera jest dżwiękiem, falą dżwiękową, którą możemy przedstawić na wykresie, wykresy te będą się różnić przy wypowiedziach różnych ludzi. Ludzki umysł nie ma nieograniczonej pojemności i nie zapamiętał by nieskończonego alfabetu. Żeby móc się ze sobą porozumiewać, musimy posługiwać się alfabetem skończonym , bo w ten sposób możemy się porozumieć.
Te "dowody' o których piszesz nazwałbym jednak - paradoksami, których jest wiele, gdy dotyczą nieskończoności.
>>Nieskończoności takiej nie można podzielić, bo jak można podzielić coś co nie ma początku i końca?
>Zasadna wątpliwość. Nawet wybrać jakiegoś konkretnego elementu nie sposób, bo prawdopodobieństwo trafienia zerowe. Problem został w teorii mnogości dostrzeżony przez Zermelo (ucznia Cantora) i sformułowany w postaci "aksjomatu wyboru", który ma ogólniejsze brzmienie ale chyba oddaje istotę rzeczy.
Masz rację , ale my jesteśmy, zostaliśmy trafieni, mimo że prawdopodobieństwo trafienia było zerowe - zastanawiające ?
>Tak. Prawdopodobnie może zawierać jednak mniej liczny zbiór nieskończony, którego 'litery rozpinają się na' (eksponują) rozważane "coś nieskończonego". [Nie znam przepisów przerabiających rzeczy skończone na nieskończone ani na odwrót - próbuję tylko różne nieskończoności między sobą poukładać]
Wiesz, kiedy słyszę lub czytam o mniejszym, większym zbiorze nieskończoności zapala mi się w głowie "czerwone światełko" i pytanie, dlaczego ograniczamy nieskończoność, dlaczego chcemy ją umieścić w jakiś ramach, zbiorach, wydaje mi się, ze jest to założenie błędne i zaraz przypominają mi się paradoksy Zenona z Elei.
>Najprościej przyjąć, że pierwsze jest przeciwieństwem drugiej (myślenie addytywne). Inny pomysł, to uznanie je za wzajemne odwrotności (myślenie multiplikatywne).
Musiałem przypomnieć sobie o (myśleniu addytywnym i multyplikatywnym), liznąłem to tylko. Jak można nieskończoność rozłożyć na części pierwsze i z niej stworzyć np. podzbiory nieskończoności. Zapala mi się "czerwone światełko"
> Konsekwentne podejście odwrotnościowe, przy założeniu nieistnienia "jednej tylko nieskończoności", prowadzi do wniosku o nieistnieniu "jednego tylko zera". Zero może być zeru nierówne, co 'potwierdza' teoria granic nie określając symbolu 0/0 jako jednoznacznie 1.
Czy pisząc o zerze, myślisz o niczym, bo jeżeli tak, to jak 'czegoś czego nie ma' może być więcej.
Pozdrawiam.
|
|
| | | | setarkos (10757 punktów) | > .. zostaliśmy trafieni, mimo że prawdopodobieństwo trafienia było zerowe - zastanawiające?Prawdopodobnie "traf" dysponował/uje/ nieskończoną mnogością prób (bo dlaczego skończoną?) i już. > .. kiedy słyszę lub czytam o mniejszym, większym zbiorze nieskończoności zapala mi się w głowie "czerwone światełko"Proszę, oto "zielone": OMEGA=2 2222...wówczas 2 OMEGA=OMEGA oraz log 2OMEGA=OMEGA a także OMEGA OMEGA=OMEGA ... > i pytanie, dlaczego ograniczamy nieskończoność,Z OMEGĄ nic się nie da zrobić. > Jak można nieskończoność rozłożyć na części pierwsze i z niej stworzyć np. podzbiory nieskończoności.Można - np. liczby "rzeczywiste" (mocy c) są sumą zbioru liczb algebraicznych (mocy alef_zero) i przestępnych (mocy c). > Czy pisząc o zerze, myślisz o niczym 'Wielkościami' nieskończenie małymi planuję zająć się w innym wątku Pozdrawiam
|
|
| | | | | spiech (5 punktów) | >> .. zostaliśmy trafieni, mimo że prawdopodobieństwo trafienia było zerowe - zastanawiające?
>Prawdopodobnie "traf" dysponował/uje/ nieskończoną mnogością prób (bo dlaczego skończoną?) i już.
>> .. kiedy słyszę lub czytam o mniejszym, większym zbiorze nieskończoności zapala mi się w głowie "czerwone światełko"
>Proszę, oto "zielone":
>OMEGA=22222...wówczas 2OMEGA=OMEGA
>oraz log2OMEGA=OMEGA
>a także OMEGAOMEGA=OMEGA
>...
Witam
Apropos "zielonego" - mamy trzy podstawowe kolory - żółty , czerwony , niebieski . Zielony jest mieszaniną koloru żółtego i niebieskiego , oczywiście wiemy o tym.
Matematyka jednoznacznie nie określa nieskończoności. tworzy teorie, które wyznaczają następne niewiadome.
Czy "zielone światełko" to jedyna droga, czy jedna z wielu ?
Pozdrawiam.
|
|
| | | | | | setarkos (10757 punktów) | > .. to jedyna droga, czy jedna z wielu?
Najwięcej dróg prowadzi na manowce
>Pozdrawiam.
Pozdrawiam
|
|
Aby pisać w tym wątku, musisz się zalogować
Zaloguj przez OpenID..
Jeżeli nie jesteś zarejestrowany/a - załóż konto..
Szukaj na Forum Przewodnik Regulamin i instrukcja obsługi Forum Kolegium Moderatorów
|
 |
|
