Ja bym zrobił tak:

Jeżeli kwota z pierwszej koperty jest mniejsza niż (a+A)/2 - zamieniam.
Jak jest większa - zostaję przy pierwszej kopercie.

Nie wiem jak miałby działać generator liczb losowych z odcinka (0,1) - co mianowicie miałby wygenerować ? 0,5433333278... tzn. jakąś liczbę niewymierną która nie posiada ostatnich cyfr rozwinięcia i nie można jej zapisać ?

---

"Największy błąd popełnia ten, kto sądząc, że może zrobić niewiele, nie robi nic"

> Jeżeli kwota z pierwszej koperty jest mniejsza niż (a+A)/2 - zamieniam.
> Jak jest większa - zostaję przy pierwszej kopercie.

Przy założeniu, że kwoty w kopertach pochodzą z rozkładu jednostajnego na odcinku (a,A) - znajdziesz X z p-stwem 75%, strategia jest optymalna. Tylko czy można przyjąć takie założenie o rozkładzie kwot? Przypuszczam że Autor nie wrzucałby tak banalnej zagadki, więc szukam gdzie jest haczyk...

No ale co można zrobić z danymi, które mamy po otwarciu pierwszej koperty? Znamy wartości a, A i zaledwie jedną liczbę z przedziału (a, A). Pojedyncza obserwacja to troszkę za mało, żeby wyrokować o rozkładzie kwot. Generator liczb losowych tu nie pomoże. Zresztą - co takiego zrobi ten generator, czego nie mógłbym sobie "zasymulować" w głowie, bez jego pomocy?

Reasumując: stawiam ostrożną tezę, że zagadka jest sformułowana nieprecyzyjnie.
Hipoteza alternatywna: sformułowanie OK, ale rozwiązanie jest ponad mój wątły rozumek.

Zadanie jest sformułowane poprawnie. Dodatkowo, czy ja powiedziałem, że x i X są liczbami losowymi? Nie. Zadanie mówi wyraźnie, że x i X są NIEZNANE (ale przcież ustalone, dokładnie tak samo jak a i A). To nie jest tak, że co sekunda x i X się w kopertach zmieniają. To jest proste doświadczenie. Nie wymyślajcie jakichś niestworzonych rzeczy. Generator liczb losowych nie ma ŻADNEGO WPŁYWU NA x i X, które są NIEZNANE (graczowi), ale ustalone raz na zawsze.

---

Lepiej jest z mądrym zgubić, niż z głupim znaleźć.

> Dodatkowo, czy ja powiedziałem, że x i X są liczbami losowymi? Nie. Zadanie mówi wyraźnie, że x i X są NIEZNANE (ale przcież ustalone, dokładnie tak samo jak a i A).

'Nieznane' znaczy właśnie tyle co losowe.
Rzucam monetę i mam szansę, że będzie R. Sprawdzam co tam wypadło, i już wiem...

Zakrywam monetę i teraz ktoś inny ma odgadnąć co tam jest - on nadal ma szansę odgadnięcia 50%, bo po prostu nie ma informacji...

> To nie jest tak, że co sekunda x i X się w kopertach zmieniają.

To i tak nie ma tu znaczenia - zmienne są z założenia niezależne od siebie, czyli masz zero korelacji, zatem znając x nadal nic nie wiesz o X!

>'Nieznane' znaczy właśnie tyle co losowe.

Mylisz się i to totalnie. Czy odkrycie karty, która zawsze jest taka sama, czyni wynik losowym? Jasne, losowym, tylko że wynik ten ma prawd. 1. To jest przypadek, kiedy mówimy, że nie ma tam żadnej losowości. Rozumiesz teraz? Można powiedzieć tak: wszystko na świecie jest losowe, z tym, że niektóre wyniki mają prawd. = 1

Ech... Gadaj z nie-matematykiem o matematyce Nie rozumiesz chyba pojęcia "dowolne, ale ustalone".

---

Lepiej jest z mądrym zgubić, niż z głupim znaleźć.

>>'Nieznane' znaczy właśnie tyle co losowe.
>Mylisz się i to totalnie.

Ty mylisz się jeszcze bardziej.

> Czy odkrycie karty, która zawsze jest taka sama, czyni wynik losowym?

Jeśli nie wiesz jaka to karta, wtedy wynik będzie losowy (dla ciebie).

> Jasne, losowym, tylko że wynik ten ma prawd. 1.

Albo 0.

> To jest przypadek, kiedy mówimy, że nie ma tam żadnej losowości. Rozumiesz teraz? Można powiedzieć tak: wszystko na świecie jest losowe, z tym, że niektóre wyniki mają prawd. = 1

Faktycznie w ogóle nie ma losowości - jest tylko ta niewiedza.
>Ech... Gadaj z nie-matematykiem o matematyce Nie rozumiesz chyba pojęcia "dowolne, ale ustalone".

Takich matematyków zjadam na śniadanie.

x = random(a,B); X = random(a,B);
Oblicz średnią 'odległość': d = |x - X|;

Spadaj trollu.

---

Lepiej jest z mądrym zgubić, niż z głupim znaleźć.

normalizujemy: a = 0, A = 1.

1. twoja strategia daje: 1/2 + 1/12;

2. prosta metoda połowienia
if( x < 0.5 ) zmieniamy; else zostawiamy;
i tu wygrywamy: 1/2 + 1/8;

Widzisz różnicę?

>normalizujemy: a = 0, A = 1.
>1. twoja strategia daje: 1/2 + 1/12;
>2. prosta metoda połowienia
>if( x < 0.5 ) zmieniamy; else zostawiamy;
>i tu wygrywamy: 1/2 + 1/8;
>Widzisz różnicę?

Miałem nie odpowiadać, ale... Moja strategia daje w ogólnym przypadku prawd., że wygramy X: 1/2 + (X - x)/(2*(A-a)). Nawet jeśli przyjmę a = 0 i A = 1, to dla różnych liczb x i X dostaję różne prawd. Skąd twoje 1/2 + 1/12? Już ci ktoś tutaj napisał, że prawd. to wzrasta od 1/2 do 1 wraz ze wzrostem X-x od 0 do A-a, ale widzę, że nawet czytać ze zrozumieniem nie potrafisz. Twoja sprawa. Gdybym wiedział, że masz dostatecznie dużo wiedzy z matematyki i programowania, to bym ci powiedział: idź, synu, zaprogramuj to i zbadaj sprawę empirycznie. Ale wiem, że NIE MASZ, więc ograniczę się do:

Zastanów się jeszcze raz, czy ROZUMIESZ ZADANIE.

---

Lepiej jest z mądrym zgubić, niż z głupim znaleźć.

>Jeżeli kwota z pierwszej koperty jest mniejsza niż (a+A)/2 - zamieniam.

To nie działa, jeżeli x i X są obie mniejsze lub obie większe od (a+A)/2. Nie wiemy, jak x i X są dobrane, więc ...

>Nie wiem jak miałby działać generator liczb losowych z odcinka (0,1) - co mianowicie miałby wygenerować ?

... bezpieczniej jest wybrać losową liczbę (wtedy mamy pewność, że zwiększamy prawdopodobieństwo wybrania X).

>... bezpieczniej jest wybrać losową liczbę (wtedy mamy pewność, że zwiększamy prawdopodobieństwo wybrania X).

Ciekawi mnie, w jaki sposób to wybranie losowej liczby zwiększa prawd. wybrania X. Możesz się w tym temacie rozwinąć? Dzięki.

---

Lepiej jest z mądrym zgubić, niż z głupim znaleźć.

>Ciekawi mnie, w jaki sposób to wybranie losowej liczby zwiększa prawd. wybrania X. Możesz się w tym temacie rozwinąć? Dzięki.

W zadaniu nie jest podane, w jaki sposób wybierane są liczby x i X. Może więc być tak, że x i X są ZAWSZE różne o 1 albo ZAWSZE większe niż 7 (bez względu na a i A) albo ZAWSZE mniejsze niż 10a-5A etc.

Może tez się zdarzyć, że rzucamy monetą i jak wypadnie orzeł, to x i X są losowane z przedziału (a; (3a+A)/4) a jak reszka, to z ((a+2A)/3;A).

Wówczas strategie z wartością progową (A+a)/2 są bezwartościowe, bo x i X leżą w albo obie ponad progiem albo obie poniżej.

Wyobraź sobie taką sytuację:

Wykładowca prawdopodobieństwa podaje to zadanie jako przykład i każe studentom napisać 2 liczby z przedziału 1-100 na oddzielnych kartach i grają w powyższą zabawę. Wykładowca wybiera sobie próg 50 i przy dużej grupie studentów demonstracja jest sukcesem.

Za rok nowi studenci dowiadują się zawczasu o prezentacji i postanawiają zrobić wykładowcy psikusa. Wszyscy wybierają tylko liczby poniżej 20 albo powyżej 60... I wykładowca leży...

... a jeżeli u każdego studenta próg sobie wylosuje, to ma szansę ich przechytrzyć.

Nie przeczytałeś dokładnie. Powtarzam. Liczby a, x, X, A są dowolne, ale USTALONE. Co to znaczy? Tyle, że w konkretnej grze są one konkretnymi wartościami, mimo że x i X są graczowi nieznane. To tak, jakbyś np. kupował stół. Są różne stoły, ale jeśli już jakiś kupiłeś, to na nim codziennie będziesz jadł i jego wymiary się nie będą już nigdy zmieniać.

Jeszcze inaczej. Załóżmy, że w tę grę będą grać miliony osób. Odseparujmy te osoby od siebie tak, aby nie mogły sobie przekazywać informacji. Wówczas, mimo że x i X są niewiadome dla każdej z nich, te wielkości się nie zmieniają z gry na grę. To, co jest tutaj losowe, to twoja wiedza co do tego, w której kopercie jest która wielkość. Nie znasz też samych wielkości, a jedyna wiedza, którą masz jest taka, że a < x < X < A, przy czym z góry znasz a i A. Już chyba bardziej wytłumaczyć nie umiem.

---

Lepiej jest z mądrym zgubić, niż z głupim znaleźć.

>Już chyba bardziej wytłumaczyć nie umiem.

Chyba nie...

Bez względu na to, jak na to patrzeć próg ustalony losowo daje zawsze prawdopodobieństwo powyżej 1/2, a próg ustalony odgórnie daje prawdopodobieństwo 1 lub 1/2, a jeżeli daje prawdopodobieństwo 1/2 to strategia jest bezużyteczna.

>Ja bym zrobił tak:
>Jeżeli kwota z pierwszej koperty jest mniejsza niż (a+A)/2 - zamieniam.
>Jak jest większa - zostaję przy pierwszej kopercie.
>Nie wiem jak miałby działać generator liczb losowych z odcinka (0,1) - co mianowicie miałby wygenerować ? 0,5433333278... tzn. jakąś liczbę niewymierną która nie posiada ostatnich cyfr rozwinięcia i nie można jej zapisać ?

Twoja strategia, niestety, nie zwiększa prawdopodobieństwa wygranej X ponad 1/2. Jak działa generator liczb losowych z odcinka (0,1)? Zapuść sobie Excela i znajdź w funkcjach (dodatek Analysis Toolpak) taki generator, potem przeczytaj opis i już będziesz wiedział.

---

Lepiej jest z mądrym zgubić, niż z głupim znaleźć.

W wyborze strategii wcale niepotrzebne są liczby a i A, ale ułatwiają sprawę.

Po prostu wybieram liczbę h (w tym przypadku z przedziału a i A) najlepiej z jakiegoś rozkładu (kawałkami) ciągłego na zbiorze a i A (przy generatorze z = (0,1) może to być liczba h = a + z * (A-a)). Jeżeli kwota w kopercie jest mniejsza niż h, to zmieniam kopertę, a jak nie, to nie.

Prawdopodobieństwo trafienia h między x a X jest dodatnie, a w pozostałym przypadku mamy X z pr. 1/2.

>W wyborze strategii wcale niepotrzebne są liczby a i A, ale ułatwiają sprawę.
>Po prostu wybieram liczbę h (w tym przypadku z przedziału a i A) najlepiej z jakiegoś rozkładu (kawałkami) ciągłego na zbiorze a i A (przy generatorze z = (0,1) może to być liczba h = a + z * (A-a)). Jeżeli kwota w kopercie jest mniejsza niż h, to zmieniam kopertę, a jak nie, to nie.
>Prawdopodobieństwo trafienia h między x a X jest dodatnie, a w pozostałym przypadku mamy X z pr. 1/2.

W doborze strategii liczby a i A są KONIECZNE. To raz. Dlaczego? Bez nich bowiem, skoro liczby x i X są NIEZNANE (choć ustalone), nie mogę skutecznie użyć generatora, bo w jaki niby przedział mam odwzorować odcinek (0,1)??? Druga sprawa. Chciałbym zobaczyć w miarę poprawny dowód, że twoja strategia daje ZAWSZE prawd. wygrania X większe od 1/2. Może jeszcze doprecyzuję, co znaczy ZAWSZE. Chodzi o to, że przy dowolnym wyborze kwot x i X, ale tak, aby było a < x < X < A, muszę tak wybierać, aby prawd. trafienia w X było większe od 1/2.

>> h = a + z * (A-a)
>> Jeżeli kwota w kopercie jest mniejsza niż h, to zmieniam kopertę, a jak nie, to nie.

> Chciałbym zobaczyć w miarę poprawny dowód, że twoja strategia daje ZAWSZE prawd. wygrania X większe od 1/2.

To może ja spróbuję:

Pierwsza koperta, którą otworzymy, zawiera x lub X - z równym prawdopodobieństwem.
Teraz zapuszczamy generator, który może trafić w któryś z odcinków poniżej, a wówczas:

(a,x]: jeżeli mam w ręku x to nie zmienię i przegram, a jeżeli X to nie zmienię i wygram; 50% na wygraną
(x,X]: jeżeli mam w ręku x to zmienię i wygram, a jeżeli X to nie zmienię i wygram; 100% na wygraną
(X,A): jeżeli mam w ręku x to zmienię i wygram, a jeżeli X to zmienię i przegram; 50% na wygraną

Prawdopodobieństwo wygranej = 1/2 * ( 1 + (X-x)/(A-a) ) i rośnie liniowo z odległością (X-x), od 1/2 do 1.

Dzięki And the Oskar goes to...

---

Lepiej jest z mądrym zgubić, niż z głupim znaleźć.

> Dzięki And the Oskar goes to...

...dstr. To Jego rozwiązanie, ja tylko "popularyzuję".

>Pierwsza koperta, którą otworzymy, zawiera x lub X - z równym prawdopodobieństwem.
>Teraz zapuszczamy generator, który może trafić w któryś z odcinków poniżej, a wówczas:
>(a,x]: jeżeli mam w ręku x to nie zmienię i przegram, a jeżeli X to nie zmienię i wygram; 50% na wygraną
>(x,X]: jeżeli mam w ręku x to zmienię i wygram, a jeżeli X to nie zmienię i wygram; 100% na wygraną
>(X,A): jeżeli mam w ręku x to zmienię i wygram, a jeżeli X to zmienię i przegram; 50% na wygraną
>Prawdopodobieństwo wygranej = 1/2 * ( 1 + (X-x)/(A-a) ) i rośnie liniowo z odległością (X-x), od 1/2 do 1.

Musisz wyliczyć jeszcze wartość oczekiwaną - średnią kwotę wygraną.

>Musisz wyliczyć jeszcze wartość oczekiwaną - średnią kwotę wygraną.

Popełniasz błąd, który jest tak powszechny wśród ludzi niewyrobionych matematycznie: ja nie pytałem o wartość oczekiwaną, a jedynie o prawd. Czytaj dobrze zadania

---

Lepiej jest z mądrym zgubić, niż z głupim znaleźć.

>>Musisz wyliczyć jeszcze wartość oczekiwaną - średnią kwotę wygraną.
>Popełniasz błąd, który jest tak powszechny wśród ludzi niewyrobionych matematycznie: ja nie pytałem o wartość oczekiwaną, a jedynie o prawd. Czytaj dobrze zadania

Aha, ustalone, ale nieznane... zatem takie prawdopodobieństwo nie istnieje, bo x i X są tu nieokreślone (nie istnieją).

>>>Musisz wyliczyć jeszcze wartość oczekiwaną - średnią kwotę wygraną.
>>Popełniasz błąd, który jest tak powszechny wśród ludzi niewyrobionych matematycznie: ja nie pytałem o wartość oczekiwaną, a jedynie o prawd. Czytaj dobrze zadania
>Aha, ustalone, ale nieznane... zatem takie prawdopodobieństwo nie istnieje, bo x i X są tu nieokreślone (nie istnieją).

Dla ciebie mogą nie istnieć. Nie od dzisiaj wiadomo, że ignorantom Nauka i myślenie sprawia trudność. Ale nie martw się! Nie jesteś sam!

---

Lepiej jest z mądrym zgubić, niż z głupim znaleźć.

>W doborze strategii liczby a i A są KONIECZNE. To raz. Dlaczego? Bez nich bowiem, skoro liczby x i X są NIEZNANE

z = losowa na (0,1)
h = 1/(2 * z - 1) -1(jeżeli z jest większe niż 0,5) +1(jeżeli z jest mniejsze niż 0,5)

Wówczas prawdopodobieństwo, że h jest w dowolnym ustalonym niepustym przedziale rzeczywistym jest dodatnie. x i X mogą być dowolne.

Obliczenia już ktoś podał więc nie będę powtarzał.

>>W doborze strategii liczby a i A są KONIECZNE. To raz. Dlaczego? Bez nich bowiem, skoro liczby x i X są NIEZNANE
>z = losowa na (0,1)
>h = 1/(2 * z - 1) -1(jeżeli z jest większe niż 0,5) +1(jeżeli z jest mniejsze niż 0,5)
>Wówczas prawdopodobieństwo, że h jest w dowolnym ustalonym niepustym przedziale rzeczywistym jest dodatnie. x i X mogą być dowolne.

Dalej nie rozumiem, co ma do wyboru strategii to, że można przekształcić odcinek jednostkowy na całą prostą rzeczywistą... Jak wobec tego, bez wiedzy co do wartości a i A, wykorzystać taki generator? Przepraszam, ale nie rozumiem jak to powiązać ze strategią... Jeśli potrafisz to zrobić, to proszę o wytłumaczenie.

Przy okazji, Ojciec Ateusz podał prawidłowe rozwiązanie, ale jego obliczenia nie są kompatybilne z tym, co opisałeś, bo on korzysta z wiedzy co do a i A.

Dodatkowo podpowiem, że nie każdy generator ma rozkład, który sprzyja w danej sytuacji wyborowi X... To tak ku rozwadze

>Dalej nie rozumiem, co ma do wyboru strategii to, że można przekształcić odcinek jednostkowy na całą prostą rzeczywistą... Jak wobec tego, bez wiedzy co do wartości a i A, wykorzystać taki generator? Przepraszam, ale nie rozumiem jak to powiązać ze strategią... Jeśli potrafisz to zrobić, to proszę o wytłumaczenie.
>Przy okazji, Ojciec Ateusz podał prawidłowe rozwiązanie, ale jego obliczenia nie są kompatybilne z tym, co opisałeś, bo on korzysta z wiedzy co do a i A.
>Dodatkowo podpowiem, że nie każdy generator ma rozkład, który sprzyja w danej sytuacji wyborowi X... To tak ku rozwadze

Zacytuję sam siebie:

Po prostu wybieram liczbę h (w tym przypadku z osi liczb rzeczywistych) najlepiej z jakiegoś rozkładu (kawałkami) ciągłego na zbiorze R (przy generatorze z = (0,1) może to być liczba h = 1/(2 * z - 1) -1(jeżeli z jest większe niż 0,5) +1(jeżeli z jest mniejsze niż 0,5)). Jeżeli kwota w kopercie jest mniejsza niż h, to zmieniam kopertę, a jak nie, to nie.

Prawdopodobieństwo trafienia h między x a X jest dodatnie (wówczas mamy X z pr. 1), a w pozostałym przypadku mamy X z pr. 1/2.

Pstwo zdobycia X jest równe 1/2 + 1/2 * P(x < h < X)
>1/2.

> Po prostu wybieram liczbę h (w tym przypadku z osi liczb rzeczywistych)
> Prawdopodobieństwo trafienia h między x a X jest dodatnie

No nie bardzo. Jeżeli losujesz z R, to p-stwo trafienia w skończony odcinek wynosi 0.

> Pstwo zdobycia X jest równe 1/2 + 1/2 * P(x < h < X)

... = 1/2, ponieważ P(x<h<X) = 0.

>> Prawdopodobieństwo trafienia h między x a X jest dodatnie
>No nie bardzo. Jeżeli losujesz z R, to p-stwo trafienia w skończony odcinek wynosi 0.
hmmm... O tym już chyba było...

Ale jeżeli nie, to polecam:

pl.wikipedia.org/wiki/Rozkład_normalny

Prawdopopdobieństwo trafienia w każdy skończony odcinek jest małe, ale dodatnie.

Zwracam honor. Zapomniałem, że Twój generator losuje z (0,1) i wymyśliłem sobie jakieś (niezbyt sensowne) rozszerzenie rozkładu jednostajnego na cały zbiór R.

>Teraz pytanie. Czy da się obrać taką strategię, aby prawd. wygrania kwoty X było większe od 1/2?

Zbędne komplikacje.
Nic tu nie wyczarujesz - generator losowy nie dostarcza żadnej informacji.

Przyjmując x i X - jednostajne w (a,A), czyli zero wiedzy - średnio zgarniasz (a+A)/2.
W innych rozkładach można wygrać więcej, ale trzeba znać ten rozkład (więcej informacji).

>>Teraz pytanie. Czy da się obrać taką strategię, aby prawd. wygrania kwoty X było większe od 1/2?
>Zbędne komplikacje.
>Nic tu nie wyczarujesz - generator losowy nie dostarcza żadnej informacji.
>Przyjmując x i X - jednostajne w (a,A), czyli zero wiedzy - średnio zgarniasz (a+A)/2.
>W innych rozkładach można wygrać więcej, ale trzeba znać ten rozkład (więcej informacji).

Znajdź sobie w tym wątku rozwiązanie (dlaczego nie czytasz, chłopie???), a zobaczysz, że SIĘ MYLISZ. Dodatkowo, popełniasz błąd, który już tutaj niektórzy robili. x i X nie mają żadnego rozkładu. Chyba że jednopunktowy, jeśli wiesz, co to znaczy.

>Znajdź sobie w tym wątku rozwiązanie (dlaczego nie czytasz, chłopie???), a zobaczysz, że SIĘ MYLISZ. Dodatkowo, popełniasz błąd, który już tutaj niektórzy robili. x i X nie mają żadnego rozkładu. Chyba że jednopunktowy, jeśli wiesz, co to znaczy.

Nie ma zmiennych losowych bez rozkładu, a dla ustalonych nie ma o czym tu gadać:
ustalone: x i X, wiec zawsze wygram.

np. ustalamy x = 5, i X = 150.
wybieram 5, czyli x, zatem co zrobisz?

Ustalone, ale nie znane?
Grasz w kości: gość trzęsie kubeczkiem z kostkami, potem stawia go na stole, kości leżą - są już ustalone... no i obstawiaj teraz swoje p = 1.

Twierdzisz, że zawsze wygrasz? To ciekawe, bo by oznaczało, że widzisz chyba przez papier. No, ale katolicy nie takie rzeczy robią. Ach, byłbym zapomniał. Chętnie zagram z Tobą w taką grę, w której znam z góry x i X. Chciałbym tylko, abyś ty wkładał do tych kopert SWOJE PIENIĄŻKI.

Synu, zrozumieć chciej, że Ignorancja mnie nie interesuje. Żyj w swoim świecie, jeśli ci dobrze, ale nie zatruwaj życia innych swoimi rewelacjami. Uprzejmie proszę. Dziękuję z góry.

Powiedziałem ci, że głupie posty będę kasował.

---

Lepiej jest z mądrym zgubić, niż z głupim znaleźć.