 |
Dla tych, którzy nie rozumieją zwrotu "dowolne, ale ustalone
Ten wątek jest przedawniony
Działy Forum » Nauka
| Napisano | Autor | Tytuł | | 28-04-2010 18:20 | darlove (2804 punktów) | Dla tych, którzy nie rozumieją zwrotu "dowolne, ale ustalone | Witam  Najpierw małe przypomnienie: *************************************************** POCZĄTEK ZAGADKI ************ Witam. Teraz ja Wam zapodam zagadkę. Załóżmy, że macie do wyboru dwie jednakowe koperty. W jednej z nich jest kwota x, w drugiej kwota X, przy czym x < X. Dodatkowo wiecie, że a < x < X < A i znacie kwoty a i A, tzn. z góry wiecie, przed grą, jakie jest a i A. Nie znacie jedynie x i X i nie wiecie, która koperta zawiera którą kwotę. Załóżmy też, że macie do dyspozycji generator liczb losowych, który daje wam jedną losową liczbę z odcinka (0,1), czyli losowanie odbywa się z rozkładu jednostajnego na (0,1). Teraz reguły gry: Jeśli wybierzecie sobie jedną kopertę, to zostaje ona otwarta i kwota, którą skrywa jest wam oznajmiana (np. 20 PLN). Teraz macie wybór - albo zostać z tą kwotą, albo zmienić na drugą kopertę, przy czym gra na tym się kończy, tzn. albo zostajecie z pierwszą otwartą kopertą, albo zmieniacie kopertę. Teraz pytanie. Czy da się obrać taką strategię, aby prawd. wygrania kwoty X było większe od 1/2? ***************************************************** KONIEC ZAGADKI ************* Wielu z Was, jak się okazało, miało problem ze zrozumieniem, że wielkości x i X NIE SĄ LOSOWE. Ok. No to teraz załóżmy, że SĄ LOSOWE. Tzn. niech np. x ma rozkład jednostajny na odcinku (a,A) (uwaga: a i A są USTALONE, choć... niestety, zupełnie dowolnie na potrzeby zadania Niech X ma rozkład... też jednostajny na tym samym odcinku i dodatkowo zakładamy, że x i X są NIEZALEŻNYMI zmiennymi losowymi. Teraz pytanie. Proszę podać prawd. wylosowania max(X,x) przy strategii, która czyni zadość pytaniu w oryginalnym zadaniu. Taką strategię podał dstr (i rozwinął Ojciec Ateusz) w wątku dotyczącym oryginalnego zadania zatytułowanym: Rach. prawd. - następna zagadka... . Dodatkowa trudność: jaka jest wartość oczekiwana wygranej przy tej strategii? |
Autor wątku ma uprawnienia do usuwania wypowiedzi, jeżeli łamią regulamin Forum lub znacznie odbiegają od tematu.
Krzysztof Jóźwiak (20202 punktów)
(zablokowany) | >Taką strategię podał dstr (i rozwinął
>Ojciec Ateusz)
Czy mógłbym prosić abyś jeszcze raz powtórzył to rozwiązanie (tą strategię) z jak najdokładniejszym wytłumaczeniem poszczególnych kroków ?
Pozdrawiam
"Największy błąd popełnia ten, kto sądząc, że może zrobić niewiele, nie robi nic"
|
|
 |  1 na 1 | -jad- (18783 punktów) | > >Taką strategię podał dstr (i rozwinął> >Ojciec Ateusz)> Czy mógłbym prosić abyś jeszcze raz powtórzył to rozwiązanie (tą strategię) z jak najdokładniejszym wytłumaczeniem poszczególnych kroków ? Proszę.Posty dstr, darlove, Ojciec Ateusz.
Tak widzę to do momentu, gdy znajdziesz kolejną nieścisłość.
|
|
| | darlove (2804 punktów) | > >Taką strategię podał dstr (i rozwinął> >Ojciec Ateusz)> Czy mógłbym prosić abyś jeszcze raz powtórzył to rozwiązanie (tą strategię) z jak najdokładniejszym wytłumaczeniem poszczególnych kroków ?> PozdrawiamOk. Zrobię to dla Ciebie. Strategia wygląda tak: Wyciągam liczbę z pierwszej koperty, którą sobie wybrałem. Następnie losuję liczbę z odcinka (0,1) używając mojego generatora. Przekształcam tę liczbę tak, aby wpadała w odcinek (a,A) przez wzór [nowa liczba] = a + [wylosowana liczba z generatora] * (A - a). Moja [nowa liczba] wpada w odcinek (a,A) i jest wylosowana z rozkładu jednostajnego na tymże odcinku. Jeśli ta [nowa liczba] jest mniejsza od wyciągniętej z koperty, wówczas zatrzymuję sobie tę kopertę, a jeśli jest większa, wówczas biorę sobie drugą kopertę. Heurystyczne uzasadnienie strategii brzmi tak. Jeśli wylosowałem większą liczbę za pierwszym razem, czyli X, to spodziewam się, że będzie ona ponad (a+A)/2 (to jest czysta spekulacja), a zatem szansa, że wylosowana [nowa liczba] będzie ponad X jest mniejsza od 1/2 skoro losuję z rozkładu jednostajnego na (a,A). Stąd wnioskuję, że gdy wyjdzie [nowa liczba] > wylosowanej przeze mnie liczby w kopercie, to jest większa szansa, że w kopercie była mniejsza z dwóch liczb, czyli x, a nie X. Można podać bardziej dokładne uzasadnienie, ale nie chcę się wgłębiać w szczegóły, bo nie ma to wpływu na zadanie. Moja "czysta spekulacja" może zostać zastąpiona dokładnym rozumowaniem matematycznym, ale sobie to darujemy na razie Zadanie obecne jest znacznie trudniejsze, bo x i X mają rozkłady niezdegenerowane na (a,A), ale wrzuciłem je tutaj, aby pokazać niektórym, że jest różnica pomiędzy x i X dowolnymi, a ustalonymi, a x i X mającymi niezdegenerowany rozkład prawdopodobieństwa. Pozory mylą
Lepiej jest z mądrym zgubić, niż z głupim znaleźć.
|
|
| Ojciec Ateusz (9201 punktów) | > Dodatkowa trudność: jaka jest wartość oczekiwana wygranej przy tej strategii?
Jeżeli generator "trafi" w odcinek (x,X] to wygrywamy X, a jeżeli nie to mamy 50% szans na x lub X.
Wartość oczekiwana wygranej wynosi zatem: E = [ (X-x)/(A-a) ] * X + [ 1 - (X-x)/(A-a) ] * (x+X)/2
Edit:
Nie doczytałem, że zmieniły się warunki zadania - powyższa odpowiedź jest oczywiście dla USTALONYCH x, X.
Edit2:
Nie dam głowy za swoje intuicje, ale wydaje mi się, że - w nowych warunkach zadania, czyli x, X z jednostajnego na (a, A) - wartość oczekiwana zmiennej X jest równa wartości oczekiwanej średniej z (x, X), czyli (a+A)/2. Co by "zdegenerowało" mój powyższy wzór do krótkiego: E = (a+A)/2
Edit3:
...a p-stwo zdobycia (nie: "wylosowania") max(x, X) wynosi 2/3. O ile dobrze przyjąłem, że E(|X-x|/|A-a|)=1/3.
|
|
| 1 na 1 | darlove (2804 punktów) | > Edit:> Nie doczytałem, że zmieniły się warunki zadania - powyższa odpowiedź jest oczywiście dla USTALONYCH x, X.> Edit2:> Nie dam głowy za swoje intuicje, ale wydaje mi się, że - w nowych warunkach zadania, czyli x, X z jednostajnego na (a, A) - wartość oczekiwana zmiennej X jest równa wartości oczekiwanej średniej z (x, X), czyli (a+A)/2. Co by "zdegenerowało" mój powyższy wzór do krótkiego: E = (a+A)/2Zważ, że pytanie jest o max(x,X), bo teraz już nie ma założenia, że x jest mniejsze od X. Musi być max, a nie samo X, bo zadanie by straciło (większy) sens. Chodzi o wartość oczekiwaną WYGRANEJ przy naszej strategii. Zapewniam cię, że nie jest to połowa odcinka a,A, ale coś więcej (po to jest właśnie strategia, aby wrt. oczekiwaną zwiększyć). > Edit3:> ...a p-stwo zdobycia (nie: "wylosowania") max(x, X) wynosi 2/3. O ile dobrze przyjąłem, że E(|X-x|/|A-a|)=1/3.To się zgadza. Widać tutaj różnicę pomiędzy losowymi x i X, a dowolnymi, ale ustalonymi. W pierwszym przypadku jest 2/3 bez względu na a i A. W drugim p-stwo to zależy od x i X oraz a i A; dokładniej: prawd. zależy od stosunku różnic X-x i A-a. Niektórzy nie potrafili pojąć, jak to możliwe... (nie pisze o Tobie, rzecz jasna).
Lepiej jest z mądrym zgubić, niż z głupim znaleźć.
|
|
| | | Ojciec Ateusz (9201 punktów) | > Zważ, że pytanie jest o max(x,X)
Racja. W tym przypadku E = [ |X-x|/(A-a) ] * max(x,X) + [ 1 - |X-x|/(A-a) ] * avg(x,X)
Czyli podstawiając wartości liczbowe:
E = 1/3 * [ a + 2/3 * (A-a) ] + 2/3 * (a+A)/2
E = (5A+4a)/9
E = avg(a,A) + (A-a)/18
Jeżeli się nie rąbnąłem przy przekształceniach, wychodzi o 1/18 długości |A-a| więcej niż średnia.
|
|
| | | | darlove (2804 punktów) | >> Zważ, że pytanie jest o max(x,X)
>Racja. W tym przypadku E = [ |X-x|/(A-a) ] * max(x,X) + [ 1 - |X-x|/(A-a) ] * avg(x,X)
>Czyli podstawiając wartości liczbowe:
>E = 1/3 * [ a + 2/3 * (A-a) ] + 2/3 * (a+A)/2
>E = (5A+4a)/9
>E = avg(a,A) + (A-a)/18
>Jeżeli się nie rąbnąłem przy przekształceniach, wychodzi o 1/18 długości |A-a| więcej niż średnia.
O ile sobie przypomnę moje rachunki, to masz racyję.
Lepiej jest z mądrym zgubić, niż z głupim znaleźć.
|
|
Aby pisać w tym wątku, musisz się zalogować
Zaloguj przez OpenID..
Jeżeli nie jesteś zarejestrowany/a - załóż konto..
Szukaj na Forum Przewodnik Regulamin i instrukcja obsługi Forum Kolegium Moderatorów
|
 |
|
