Witam. Tym razem udowodnię, że |N|=|R|.

Najpierw takie małe twierdzonko:
Istnieje taka nieprzeliczalna rodzina podzbiorów N, {A(t)}, że A(t) zawiera się właściwie w A(s), jeśli tylko t jest mniejsze od s. Co więcej, każdy zbiorek A(t) jest równoliczny z N.

Dowód
Niech funkcja f z N w I=(0,1) krojone z liczbami wymiernymi Q wyznacza równoliczność obu tych zbiorów, tzn. N i wymiernych z I. Taka funkcja, oczywiście, istnieje na mocy przeliczalności zbioru liczb wymiernych. Dla każdej liczby rzeczywistej w I utwórzmy zbiór A(t) tych n należących do N, że f(n) jest mniejsze od t.

Fakt 1) Dla każdego t zbiór A(t) jest przeliczalny o mocy równej |N|.
Fakt 2) Jeśli t jest mniejsze od s, to A(t) zawiera się właściwie w A(s) na mocy gęstości zbioru liczb wymiernych.
Fakt 3) Na mocy powyższego zbiory A(t) są różne od siebie, a zatem jest ich kontinuum.

Teraz będzie dowód, że alef zero jest de facto kontinuum.

Z twierdzenia o dobrym uporządkowaniu wynika, że zbiór I daje się dobrze uporządkować, tzn. daje się uporządkować liczby rzeczywiste z I w ciąg pozaskończony tak, że każdy podzbiór ma element najmniejszy i każde dwie liczby są porównywalne. Weźmy zatem takie uporządkowanie i każdej liczbie t1 z I przyporządkujmy zbiór B(t2) = A(t2)\A(t1), gdzie t2 jest bezpośrednio następną liczbą po t1, a ta istnieje, bowiem dobrze uporządkowaliśmy zbiór I. Zbiory tak zdefiniowane nie są puste i - wobec pierwszego twierdzonka - są rozłączne. Zatem przyporządkowanie t --- B(t) i aksjomat wyboru zapewniają, że mamy co najmniej kontinuum liczb naturalnych.

C.B.D.O.