>Jednak nie jestem w stanie wyobrazić sobie innej logiki.
Tu masz odpowiedź.
To już dzisiaj więcej nie kombinuj, tylko idź spać.

>Czy jest możliwa taka inna logika w ramach naszej fizyki?
Widzisz jakiś związek między fizyką a logiką?
Logika nie ma bezpośredniego związku z fizyką. Logika to teoria relacji zachodzących między sądami, a fizyka to teoria zjawisk fizycznych.

>Wreszcie: czy w ogóle jest możliwa inna logika?
Dziwne pytanie. Przecież istnieje kilka logik: logika klasyczna, intuicjonistyczna (nie akceptuje prawa wyłączonego środka), parakonsystentna (dopuszczająca sprzeczności) i inne. Można zdefiniować nieskończenie wiele rozmaitych logik, dobierając po prostu twierdzenia, jakie mają akceptować.

Mam wrażenie, że Tobie nie chodzi wcale o logikę rozumianą jako teorię sądów, tylko o system myślenia, teorię "ruchu myśli", czyli sposobu, w jaki przebiegają procesy myślenia. Wówczas faktycznie byłby jakiś związek z fizyką, bo to, co się dzieje w mózgu, to są właśnie procesy fizyczne. To jest jednak coś innego niż teoria logiczna.

Te niejasności wynikają z faktu, że nie umiem zrozumieć o co dokładnie Ci chodzi. Piszesz np. o wyprowadzaniu z logiki eksperymentalnie weryfikowalnych twierdzeń... o co chodzi? Przecież logika to zbiór tautologii, jak można weryfikować twierdzenie, które jest prawdziwe na mocy definicji?

>Zapewne w wielu miejscach wyraziłem się niejasno i niespójnie, za co przepraszam.
Nie szkodzi, powoli się można dogadać. O wiele bardziej do portalu nazywającego się "Racjonalista" pasuje taki właśnie nieco zagmatwany wątek, niż kolejny traktujący o tym, że jakiś ksiądz poklepał w Pcimiu ministranta po tyłku.

Pozdrawiam

Myślę o logice jako procesie, w którym udowadniamy coś, w którym stwierdzamy, co jest możliwe, co nie jest. Co jest sprzeczne, co jest spójne z posiadaną wiedzą. O logice, jako procesie wnioskowania.

Nie znam zbyt dobrze teoretycznego podejścia do logiki - inżynierów kształci się raczej w kierunku jej sprawnego używania - ani do teorii matematyki. Odnoszę jednak nieodparte wrażenie, że wszystko co dziś wyprowadzamy z matematyki i logiki jest wewnętrznie spójne i nie jest zupełnie rozłączne.

Doskonale też taka logika, w sensie sposobu myślenia i opisu, aplikuje się do świata rzeczywistego.

Jestem w stanie zapisać i wyobrazić sobie inne modele rzeczywistości - inne fizyki. Opisane innymi równaniami i innymi prawami - jednak nadal sięgając do tej samej matematyki.

Owszem, mam luki w teorii i o logice parakonsystentnej pierwsze słyszę. Za wskazanie dziękuję.

Czy jednak nie jest tak, że nawet najbardziej perwersyjna teoria nie posługuje się tym samym mechanizmem? W sensie - jeżeli tworzymy, jak piszesz, nową teorię logiczną, to czy nie tworzymy jej używając swego rodzaju meta-logiki? Przez co rozumiem - nie teorię matematyczną, ale samą metodykę tworzenia teorii.

Bo tak naprawdę interesuje mnie właśnie metodyka tworzenia teorii. Jeśli buduję teorię wyjaśniającą zjawisko fizyczne - posługuję się pewną metodyką. Jeśli buduję inną algebrę (czy też logikę, rozumianą jako rachunek twierdzeń i relacji) także posługuję się tą samą metodyką. Czymś w rodzaju meta-logiki.

Interesuje mnie więc, czy istnieje inna podstawa, inna metoda budowania teorii także matematycznych, która jest spójna, pokrywa pełne spektrum możliwości (w sensie jak język - zupełny język pozwala mówić o wszystkich obserwowanych zjawiskach), równie dobrze aplikuje się do tej samej rzeczywistości a mimo to nie zawiera punktów wspólnych z naszą metodyką. Czyli - nie daje się wyprowadzić tak, jak wyprowadzamy nasze teorie i vice-versa.

Pozdrawiam,

---

Tomasz Sztejka

>Czy jednak nie jest tak, że nawet najbardziej perwersyjna teoria nie posługuje się tym samym mechanizmem? W sensie - jeżeli tworzymy, jak piszesz, nową teorię logiczną, to czy nie tworzymy jej używając swego rodzaju meta-logiki? Przez co rozumiem - nie teorię matematyczną, ale samą metodykę tworzenia teorii.

To mi wygląda na pytanie o podstawy naszego myślenia, sposób przetwarzania informacji przez mózg. Wszelkie teorie to procesy wysokopoziomowe, interpretacje procesów niskopoziomowych w ramach pewnej konwencji. Z tego można chyba wysnuć wniosek, że taka meta-logika istnieje, a nasze logiki są jedynie jej różnymi interpretacjami.
Tylko jaka ona jest, to nie mam pomysłu. Chyba zgłoszę się, jak zacznę się komunikować niskopoziomowo. Tylko kto to zrozumie?

---

Nie stosuję emoticonów

>Nurtuje mnie więc pytanie: czy możliwa jest inna logika?
Jest.
Nasza logika w sensie matematycznym opisana jest algebrą Boola. pl.wikipedia.org/wiki/Algebra_Boole'a
Najbardziej chodzi mi o paragraf Przykłady pod linkiem, który pokazuje, jak definiujemy działania. Ogólnie działania (jest ich z 16 chyba) mają własność, że są zero jedynkowe i wynik jest jeden (albo coś zachodzi, nie zachodzi). Pozostając w matematyce jaką znamy możesz zdefiniować działania jako liczby ułamkowe w sumie dające 1 (zachodzi 0,3; nie zachodzi 0,7)- byłoby to coś w rodzaju fizyki kwantowej.
Dalej w tym momencie nie daję rady odejść od standardowej logiki.

Co do wszechświatów opartych na innej logice- pomysłem jest taki, w którym prawdziwa byłaby Całka Jacksona (q-całka) pl.wikipedia.org/wiki/Całka_Jacksona
W Wiki nie jest wyczerpująco opisana- chodzi w niej o to, że wynik jej całkowania jest mniejszy od zwykłej całki i w ogólności inny.

Pozdrawiam

---

Jednakże wraz z lepszym poznaniem budowy i zjawisk mikroświata okazało się, że pole magnetyczne nie jest realnie istniejącym obiektem, a tylko teoretycznym tworem ułatwiającym opis zjawisk dokonujących się w zmiennym polu elektrycznym.

>Nasza logika w sensie matematycznym opisana jest algebrą Boola. pl.wikipedia.org/wiki/Algebra_Boole'a

A przed Boolem to ta logika/algebra była czy nie?
Sie tak zastanawiam, bo ten Boole urodził sie gdzieś na początku 19 wieku. Pewnie była, ale nikt o niej nie wiedział.
A jak sie o czymś nie wie to to cos jest czy nie?

PS
Do czego czytanie takich filozoficznych wypowiedzi moze przeciętna stara babę doprowadzić!

...opisana jest algebrą Boola.
Kamienie istnieją nawet, gdy żaden człowiek ich nie opisał. Ale żeby o czymś rozmawiać warto to najpierw jakoś opisać, albo odnieść się do istniejącego opisu.
Pozdrawiam

---

Jednakże wraz z lepszym poznaniem budowy i zjawisk mikroświata okazało się, że pole magnetyczne nie jest realnie istniejącym obiektem, a tylko teoretycznym tworem ułatwiającym opis zjawisk dokonujących się w zmiennym polu elektrycznym.

>...opisana jest algebrą Boola.
>Kamienie istnieją nawet, gdy żaden człowiek ich nie opisał. Ale żeby o czymś rozmawiać warto to najpierw jakoś opisać, albo odnieść się do istniejącego opisu.
No, to nie jest jednak do końca pewne!
Awangardowe teorie przewidują i taką możliwość, że coś istnieje w znanym nam sensie w chwili obserwacji = wyłania się z niebytu. Po ustaniu obserwacji do niego powraca.
Zatem istnienie obserwatora byłoby konstytucją wszelkiego istnienia.
Ale, skoro tak... obserwacja, nie nazwa desygnatu, decyduje o istnieniu desygnatu.

Jeśli cokolwiek z tego rozumiem, to znaczy, że algebra Boole'a jednak coś do istnienia powołuje. I kształt bytu nabiera konkretnego uzasadnienia. Bez algebry Boole'a kształt bytu był więc tylko pozornie taki sam, bo to samo obserwator uzasadniał inaczej.

Trochę na skróty objaśniając : poznanie natury bytu powinno się ostatecznie dokonywać przez analizę języka opisującego poznanie.
A to na koniec daje taką syntezę: Sokrates miał rację. Zaś Ptolemeusz jej nie miał, bo nie rozumiał Sokratesa. Ha! To jeszcze długo będziemy sie tak bujać...


I już zupełnie na koniec: uprzedzam, że to żart.
Tak na wszelki wypadek, bo... wiadomo

>>...opisana jest algebrą Boola.
>>Kamienie istnieją nawet, gdy żaden człowiek ich nie opisał. Ale żeby o czymś rozmawiać warto to najpierw jakoś opisać, albo odnieść się do istniejącego opisu.
>No, to nie jest jednak do końca pewne!
>Awangardowe teorie przewidują i taką możliwość, że coś istnieje w znanym nam sensie w chwili obserwacji = wyłania się z niebytu. Po ustaniu obserwacji do niego powraca.
>Zatem istnienie obserwatora byłoby konstytucją wszelkiego istnienia.
>Ale, skoro tak... obserwacja, nie nazwa desygnatu, decyduje o istnieniu desygnatu.
Ech, powiedz jeszcze co, jest obserwacją. Czy obserwacją nie jest oddziaływanie kamienia siłą elektryczną i grawitacyjną na otoczenie? Jest.
Czy oglądając przekaz z kamery z robota marsjańskiego obserwujesz Marsa czy tylko drgania płytki CCD w kamerze? A może tylko drgania anteny odbierającej sygnał wysłany przez robota?
Wiesz, że chodzi mi o wyznaczenie obserwatora, jeśli interpretowany sygnał jest przed dotarciem do niego "interpretowany" przez milion źródeł, których ten obserwator nie musi nawet widzieć ani o nich wiedzieć (szczególnie w astronomii z powodu ciemnej materii jest to prawdą!).

Pozdrawiam

---

Jednakże wraz z lepszym poznaniem budowy i zjawisk mikroświata okazało się, że pole magnetyczne nie jest realnie istniejącym obiektem, a tylko teoretycznym tworem ułatwiającym opis zjawisk dokonujących się w zmiennym polu elektrycznym.

>Ech, powiedz jeszcze co, jest obserwacją. Czy obserwacją nie jest oddziaływanie kamienia siłą elektryczną i grawitacyjną na otoczenie? Jest.
Tu się zgadzam (przynajmniej w tej chwili), choć bardzo długo wydawało mi się, że jakaś świadomość jest nieodzownym korelatem obserwacji.
Nb. być może tak jest, choć chwilowo przyjmuję identyczne z Twoim założenie.
Dlatego, że oddziaływanie przynoszące skutek tym właśnie faktem przynoszenia skutku dokonuje "pomiaru". Inaczej być nie może , bo inaczej nie działałaby zasada akcji-reakcji. Może nawet w przeciwnym wypadku energia nie była równoważna z energią.

>Czy oglądając przekaz z kamery z robota marsjańskiego obserwujesz Marsa czy tylko drgania płytki CCD w kamerze? A może tylko drgania anteny odbierającej sygnał wysłany przez robota?
Wobec powyższego akapitu - chwilowo problem mamy z głowy.

>Wiesz, że chodzi mi o wyznaczenie obserwatora, jeśli interpretowany sygnał jest przed dotarciem do niego "interpretowany" przez milion źródeł, których ten obserwator nie musi nawet widzieć ani o nich wiedzieć (szczególnie w astronomii z powodu ciemnej materii jest to prawdą!).
Patrz wyżej.
A przy tym pamiętaj, że istnieje ograniczenie w chyżości przekazywania informacji, a jest nią prędkość światła w próżni doskonałej. To graniczenie doskonale wyjaśnia (chyba), że ograniczenie jest możliwe. Zaś uzanie za wystarczające dla istnienia obserwatora istnienie jakiegokolwiek obiektu zdolnego zareagować na dowolne oddziaływanie wyjaśnia resztę.
I dlatego, zgodnie z naszą intuicją, obiekty które aktualnie obserwujemy na krańcach znanego nam Wszechświata za pomocą narzędzi astronomicznych, nie konstytuują się z chwilą naszej pośredniej obserwacji. My , faktem naszej obserwacji dalekiego przekazu, nie powołujemy więc do istnienia obserwowanego obiektu, tylko narzędzie, za pomocą którego widzimy badany obiekt.
Pamietajmy jednak, że jeśli za obserwatora przyjmiemy dowolny reagujący na oddziaływanie obiekt, a ten musi wpierw dokonać "pomiaru", żeby odpowiednio zareagować, to np. kwazary wcale nie musiały miliardy lat czekać na reakcję naszego oka i mózgu, żeby wychynąć z potencjalności w realność
>Pozdrawiam
>

---

Jednakże wraz z lepszym poznaniem budowy i zjawisk mikroświata okazało się, że pole magnetyczne nie jest realnie istniejącym obiektem, a tylko teoretycznym tworem ułatwiającym opis zjawisk dokonujących się w zmiennym polu elektryczny
Co to znaczy "nie jest realnie istniejacym obiektem"? Coś oddziałuje, więc jest.
Nie jest więc teorią, ale faktem. Czy obiektem niedostępnym naszym zmysłom? Może. Po to mamy teorie. Promieni X bez teorii też nigdy byśmy nie dostrzegli... pośrednio.
Tu znowu jesteśmy obserwatorem nośnika informacji, co uwiarygodnia informację, skoro daje się ona sfalsyfikować, przewidzieć i zbadać w pewnym zakresie, dostępnym naszym zmysłom.
No, i co? Czy to wszystko, to nie jest przypadkiem samopoznająca się materia?

Co do obserwatora zgoda.

>>

---

Jednakże wraz z lepszym poznaniem budowy i zjawisk mikroświata okazało się, że pole magnetyczne nie jest realnie istniejącym obiektem, a tylko teoretycznym tworem ułatwiającym opis zjawisk dokonujących się w zmiennym polu elektryczny
>Co to znaczy "nie jest realnie istniejacym obiektem"? Coś oddziałuje, więc jest.
>Nie jest więc teorią, ale faktem. Czy obiektem niedostępnym naszym zmysłom? Może. Po to mamy teorie. Promieni X bez teorii też nigdy byśmy nie dostrzegli... pośrednio.
Wszystkie efekty magnetyczne da się opisać jako efekty elektryczne przy uwzględnieniu poprawek relatywistycznych (lub nawet nierelatywistycznych) wynikających z ruchu względem źródła pola elektrycznego.

>No, i co? Czy to wszystko, to nie jest przypadkiem samopoznająca się materia?
Tak.

Pozdrawiam

---

Jednakże wraz z lepszym poznaniem budowy i zjawisk mikroświata okazało się, że pole magnetyczne nie jest realnie istniejącym obiektem, a tylko teoretycznym tworem ułatwiającym opis zjawisk dokonujących się w zmiennym polu elektrycznym.

>Wszystkie efekty magnetyczne da się opisać jako efekty elektryczne przy uwzględnieniu poprawek relatywistycznych (lub nawet nierelatywistycznych) wynikających z ruchu względem źródła pola elektrycznego.
Ja też z utęsknieniem czekam na teorię pola.
Jeśli będzie to tylko teoria łąki... z godnością przyjmę. Na klatę.
Dopiero tym bozonom pokażemy!
Że niby co?
Że tak można się migać? Tak na kredyt istnieć? Nikt nie zauważył?
To be , or not to be bez konsekwencji, bo tylko na jakieś planckowskie perskie oko?

>>No, i co? Czy to wszystko, to nie jest przypadkiem samopoznająca się materia?
> Tak.
To jest spisek wszechświatowy. Ja też kolaboruję z podziemiem...czasem.

Nie rozumiem powyższego postu.
To z magnetyzmem jest częścią oficjalnej nauki: pl.wikipedia.org/wiki/Pole_elektromagnetyczne
i paragraf Transformacja pola.
Jak pomyślisz to dla pola magnetycznego zawsze możliwa jest transformacja odwrotna sprowadzająca rzecz do pola elektrycznego.

Pozdrawiam

---

Jednakże wraz z lepszym poznaniem budowy i zjawisk mikroświata okazało się, że pole magnetyczne nie jest realnie istniejącym obiektem, a tylko teoretycznym tworem ułatwiającym opis zjawisk dokonujących się w zmiennym polu elektrycznym.

A jednak wszystkie te teorie nie są rozłączne - w sensie: zostały wyprowadzone i dają się definiować przy pomocy tej samej matematyki, jak na załączonym przez Ciebie obrazku.

Jak zwykle wyraziłem się nieściśle niestety, co próbuję ukonkretyzować w odpowiedzi powyżej.

Pozdrawiam,

---

Tomasz Sztejka

>A jednak wszystkie te teorie nie są rozłączne - w sensie: zostały wyprowadzone i dają się definiować przy pomocy tej samej matematyki, jak na załączonym przez Ciebie obrazku.
>Jak zwykle wyraziłem się nieściśle niestety, co próbuję ukonkretyzować w odpowiedzi powyżej.
Chyba żądanym opisem jest opis wszechświata za pomocą kryteriów "piękno/brzydota" lub "wzbudzające emocje/obojętne".
Pozdrawiam

---

Jednakże wraz z lepszym poznaniem budowy i zjawisk mikroświata okazało się, że pole magnetyczne nie jest realnie istniejącym obiektem, a tylko teoretycznym tworem ułatwiającym opis zjawisk dokonujących się w zmiennym polu elektrycznym.

>(...)
>Chyba żądanym opisem jest opis wszechświata za pomocą kryteriów "piękno/brzydota" lub "wzbudzające emocje/obojętne".(...)

A da się na tym oprzeć równie kompletny mechanizm jak mechanizm matematyki czy logiki?

---

Tomasz Sztejka

>>(...)
>>Chyba żądanym opisem jest opis wszechświata za pomocą kryteriów "piękno/brzydota" lub "wzbudzające emocje/obojętne".(...)
>A da się na tym oprzeć równie kompletny mechanizm jak mechanizm matematyki czy logiki?
Pewnie się da- jeśli idealnie dobrać to dla jednej osoby.
Pozdrawiam

---

Jednakże wraz z lepszym poznaniem budowy i zjawisk mikroświata okazało się, że pole magnetyczne nie jest realnie istniejącym obiektem, a tylko teoretycznym tworem ułatwiającym opis zjawisk dokonujących się w zmiennym polu elektrycznym.

Hm... szczerze mówiąc wczoraj wydawało mi się, że to co napisałeś to durnota.

Po chwili refleksji jednak uznaję, że być może wskazujesz słuszną drogę. Takie podejście bowiem zasadniczo różni się od matematycznego i zasadniczo nie daje się zeń wyprowadzić ani wte ani nazad.

Coś w tym jest.

Pozdrawiam,

---

Tomasz Sztejka

>Hm... szczerze mówiąc wczoraj wydawało mi się, że to co napisałeś to durnota.
>Po chwili refleksji jednak uznaję, że być może wskazujesz słuszną drogę. Takie podejście bowiem zasadniczo różni się od matematycznego i zasadniczo nie daje się zeń wyprowadzić ani wte ani nazad.
>Coś w tym jest.
Tylko, że zasadniczo jest niekomunikowalne.
Z drugiej strony malarz malując obraz potrafi sprawić, że się przy obrazie zatrzymam bo będę pod wrażeniem. Miliony filmów mimo że są "ruchome" i teoretycznie mają większe możliwości wywarcia wrażenia nie zostawiają wiele po sobie w moim umyśle.
Jednak cała sztuka pod względem karmienia burczącego żołądka jest bezużyteczna.

Pozdrawiam

---

Jednakże wraz z lepszym poznaniem budowy i zjawisk mikroświata okazało się, że pole magnetyczne nie jest realnie istniejącym obiektem, a tylko teoretycznym tworem ułatwiającym opis zjawisk dokonujących się w zmiennym polu elektrycznym.

>Chyba żądanym opisem jest opis wszechświata za pomocą kryteriów "piękno/brzydota" lub "wzbudzające emocje/obojętne".
Raczej nie.
Przynajmniej nam to na nic.
Matematyka jest jaka jest, bo tylko najprostszy algorytm działa skutecznie. Zawsze.*
Może kiedyś będziemy NFZ ( w co wątpię), wtedy będziemy mogli sobie tak zażyczyć.
Ale wtedy już nic szczególnego nie nada się na sens. Chyba, że dopiero wtedy okaże się, że bozia jest i objawi nam cel zupełnie inny, albo zakomunikuje, że właśnie nie zdaliśmy do następnej klasy
_________________________
*jeśli prostotę przyjmiemy za kategorie estetyczną , właściwie tak można to ująć - i tak się czasem nawet to ujmuje...
BTW : czy widział kto prostszy wzór na spory kawał Wszechświata, bardziej lapidarny, niż Albertowy?
Jak on wygląda w istocie, nie należy zapominać. Ja mam na myśli ostatnie zdanie, w którym są wszystkie poprzednie.

>Przynajmniej nam to na nic.
Wolałbyś mieszkać w domu brzydkim (okropnym) czy ładnym?
Pozdrawiam

---

Jednakże wraz z lepszym poznaniem budowy i zjawisk mikroświata okazało się, że pole magnetyczne nie jest realnie istniejącym obiektem, a tylko teoretycznym tworem ułatwiającym opis zjawisk dokonujących się w zmiennym polu elektrycznym.

Logiki modalne są używane w konstrukcji robotów humanoidalnych. Tzn. roboty te posługują się w interpretacji świata logikami modalnymi (jedną z nich jest logika zdefiniowana przez Leśniewskiego). Takie logiki także znajdują zastosowanie w innych sztucznych inteligencjach. Oczywiście nie jest to dokładna odpowiedź na twoje pytanie, bo konstruktorzy robotów tworzą je tylko i wyłącznie z wykorzystaniem logiki klasycznej. W dobrze zdefiniowanym systemie dedukcyjnym nie ma miejsca na wartość pośrednią między prawdą a fałszem. To pewne. Żaden matematyk nigdy nie pracował z inną logiką niż klasyczna przy odkrywaniu twierdzeń w dziedzinach matematycznych.

Wydaje mi się, że z dwóch zdań: p i ~p, jedno musi być prawdziwe, a drugie fałszywe. Jest to tak mocne przekonanie, że dałbym się za to posiekać. Oczywiście, zdanie p musi być sensowne w danym systemie. Nie może być tak, że operujemy zdaniami języka naturalnego, który jest z natury rzeczy nieostry. Na temat pojęcia prawdy dużo pisał polski logik światowej sławy Alfred Tarski (uprzedzam, że lektura jego dzieł jest ogromnie trudna), równy takim wielkim jak Goedel, Frege, Russell. Dowiódł on, że prawdę daje się tylko zdefiniować w ściśle określonych systemach dedukcyjnych, natomiast nie jest to w żadnym wypadku możliwe w językach naturalnych.

Logika jest wspaniałym narzędziem. Ostatnio właśnie zajmuję się podstawami matematyki, czyli teorią mnogości i logiką właśnie. Zachęcam do lektury książek Raymonda Smullyana, bo są to prawdziwe cacka, mimo że utrzymane w formie zabawowej. Facet tłumaczy w bardzo przystępny sposób to, co stało się przełomem w świecie matematyczno-logicznym: wielkie twierdzenia Goedla o nierozstrzygalności w systemach dedukcyjnych. Z grubsza chodzi o to (to dla tych, którzy nie wiedzą), że w każdym dostatecznie mocnym systemie formalnym zawsze istnieją zdania PRAWDZIWE, których nie daje się w żaden sposób dowieść za pomocą logiki (czyli: logika jest mocna, ale nie jest wszechmocna). Na www.ebookee.com znajdziecie jego książki takie jak "What is the name of this book?", czy "The Lady and the Tiger". Zachęcam do przeczytania, bo jest to prawdziwa uczta dla umysłu, a dodatkowo pokazuje, jak bardzo mocna jest Nauka, a jak bardzo słaby jest człowiek.

---

Lepiej jest z mądrym zgubić, niż z głupim znaleźć.

>(...) bo konstruktorzy robotów tworzą je tylko i wyłącznie z wykorzystaniem logiki klasycznej.(...)

Mniej więcej o to mi chodzi - wszelkie wskazane dotychczas w odpowiedziach odmiany logiki są w sensie technicznym cały czas tym samym: wyrażeniem matematycznym tudzież algorytmem postępowania. Wszystkie są wyprowadzone tą samą metodyką, mają ten sam korzeń, wreszcie - opierają się na tym samym nadrzędnym mechanizmie.

Zastanawia mnie przede wszystkim więc: mogę wyobrazić sobie a nawet zamodelować matematycznie świat o skrajnie innej fizyce, nie mający z naszym, w sensie fizycznym, niczego wspólnego. Czy można pójść krok dalej? Czy można założyć istnienie innej matematyki/logiki w sensie zupełnie innej metodyki tworzenia teorii "matematycznych", innej "meta-matematyki". Takiej, z której nie da się wyprowadzić naszej matematyki i vice versa?

Skoro można powiedzieć: teoretycznie możliwym jest świat o czterech wymiarach przestrzennych i dwu wymiarach czasowych (możliwym - bo potrafimy opisać go przy pomocy matematyki), to czy teoretycznie możliwym jest inna matematyka?

W powyższym sensie: matematyka jest nadrzędna wobec fizyki, bo różne fizyki (w sensie zbiorów praw) daje się opisać tą samą matematyką (w najszerszym tego słowa rozumieniu). Rodzi się więc pytanie: co jest nadrzędne dla matematyki? Czy istnieje inna, równie uniwersalna ale rozłączna matematyka?

Wiem, że gonię tu co nieco w piętkę, używając pojęcia "matematyka/logika" dla opisu "naszej matematyki/logiki" i "innej matematyki/logiki" w zupełnej niezgodności z ich słownikowym znaczeniem, za co pokornie przepraszam.

Pozdrawiam,

---

Tomasz Sztejka

Matematyka to język - narzędzie służące ludziom do uzgadniania obrazów rzeczywistości. Czemuż by nie mógł powstać inny taki język? Ludzkość stworzyła ich już dziesiątki tysięcy - matematycznie prcyzyjnych mogło wśród nich być też wiele, tyle że dziś po prostu nie znajdujemy, być może, po nich żadnych śladów.

---

Rozum to umiejętność naginania poglądów do faktów

>Matematyka to język -(...)

Nie. To nie język a mechanizm pojęciowy, sposób myślenia, budowania i weryfikowania hipotez.

>(...) narzędzie służące ludziom do uzgadniania obrazów rzeczywistości.

Nie. Matematyka daje się aplikować do rzeczywistości ale z niej nie wynika.

Patrząc bardzo prymitywnie algebra, arytmetyka binarna, szesnastkowa, algebra zespolona, macierzowa, rachunek wektorowy, operatorowy, różniczkowy itp. wydają się być osobnymi językami. Jednak są elementami tej samej matematyki. Zdaję sobie sprawę, że podane przeze mnie przykłady są bardzo prymitywne z punktu widzenia matematyka. Matematyk niewątpliwie potrafi wymienić dużo więcej, nazwijmy to trzymając się językowej analogii: dialektów. Wszystkie jednak będą tą samą matematyką.

O tym jak pojemny jest to mechanizm niech świadczy fakt, że jak na razie nie napotkaliśmy na zjawisko fizyczne którego opis matematyczny nie jest możliwy.

Pozdrawiam,

---

Tomasz Sztejka

>Nie. To nie język a mechanizm pojęciowy, sposób myślenia, budowania i weryfikowania hipotez.

Brawo. Dobre ujęcie.

>Nie. Matematyka daje się aplikować do rzeczywistości ale z niej nie wynika.

Tutaj miałbym obiekcje. Matematyka wynika z rzeczywistości jak najbardziej. Umysł pozostawiony sam sobie w ciemnym pokoju przez całe życie, bez dostępu do świata, nie potrafiłby wytworzyć pojęć matematyczno-logicznych. Logika i matematyka zostały zapoczątkowane przez obserwacje świata. To pewne. Liczenie, jako podstawowa czynność matematyczna, ma swój początek w rzeczywistości materialnej. Gdyby rzeczywistość materialna nie była logiczna, nigdy nie powstałaby logika, jaką znamy. To dlatego właśnie logika się sprawdza - bo świat jest logiczny.

>Patrząc bardzo prymitywnie algebra, arytmetyka binarna, szesnastkowa, algebra zespolona, macierzowa, rachunek wektorowy, operatorowy, różniczkowy itp. wydają się być osobnymi językami. Jednak są elementami tej samej matematyki. Zdaję sobie sprawę, że podane przeze mnie przykłady są bardzo prymitywne z punktu widzenia matematyka. Matematyk niewątpliwie potrafi wymienić dużo więcej, nazwijmy to trzymając się językowej analogii: dialektów. Wszystkie jednak będą tą samą matematyką.

Okazuje się, że wszystkie pojęcia matematyki, WZSZYSTKIE, daje się sprowadzić, lub wyprowadzić z - jak kto woli, do teorii mnogości i logiki. Wszystkie twory matematyczne są zbiorami. Także liczby. Zbiór to pojęcie pierwotne matematyki i wraz z relacją należenia do zbioru stanowi wszystko, co potrzeba, aby zdefiniować wszystkie pojęcia znane matematyce. Czyż to nie jest prawdziwy CUD? Aksjomaty teorii Zermelo-Fraenkla + Aksjomat wyboru - to wszystko, na czym opiera się najbardziej wyszukany system matematyczny. Nie pamiętam dokładnie, ale tych aksjomatów jest bodajże coś koło 8-9. To niesamowite, że tylko tyle zdań wystarczy do zbudowania WSZYSTKIEGO. Jak na tym tle wypadają religie???

---

Lepiej jest z mądrym zgubić, niż z głupim znaleźć.

>(...) bez dostępu do świata, nie potrafiłby wytworzyć pojęć matematyczno-logicznych. Logika i matematyka zostały zapoczątkowane przez obserwacje świata. (...)

Rzeczywiście, słuszna uwaga.

>(...) To dlatego właśnie logika się sprawdza - bo świat jest logiczny.(...)
>(...)Okazuje się, że wszystkie pojęcia matematyki, WZSZYSTKIE, daje się sprowadzić, lub wyprowadzić z - jak kto woli, do teorii mnogości i logiki(...)

Celna uwaga. Wrócę jednak do mojego pierwotnego zadumania.

Jak sądzisz, czy jesteśmy w stanie pomyśleć inną, równie skuteczną i pasującą do rzeczywistości (choć może zeń nie wynikającą) bazę dla matematyki, która nie posiada teoretycznej części wspólnej z obecną? Czy może taki pomysł jest wewnętrznie sprzeczny, bo skoro matematyka A i matematyka B mają pasować do tego samego świata, to muszą one mieć część wspólną?

Jeśli jednak oderwać się od adekwatności do naszego świata - czy sądzisz, że możliwym jest inna baza o równie olbrzymim potencjale?

Pozdrawiam

---

Tomasz Sztejka

>Jak sądzisz, czy jesteśmy w stanie pomyśleć inną, równie skuteczną i pasującą do rzeczywistości (choć może zeń nie wynikającą) bazę dla matematyki, która nie posiada teoretycznej części wspólnej z obecną? Czy może taki pomysł jest wewnętrznie sprzeczny, bo skoro matematyka A i matematyka B mają pasować do tego samego świata, to muszą one mieć część wspólną?

Pytanie filozoficzne. Odpowiedź równie filozoficzna: nie wiem. Czy możliwe jest, aby 2+2 nie było 4? Oto jest pytanie.

>Jeśli jednak oderwać się od adekwatności do naszego świata - czy sądzisz, że możliwym jest inna baza o równie olbrzymim potencjale?

Nie mam pojęcia. Mogę tylko powiedzieć, co myślę, ale to mam małe znaczenie. Myślę, że to jest niemożliwe, ale... to tylko mój przesąd.

---

Lepiej jest z mądrym zgubić, niż z głupim znaleźć.

>Okazuje się, że wszystkie pojęcia matematyki, WZSZYSTKIE, daje się sprowadzić, lub wyprowadzić z - jak kto woli, do teorii mnogości i logiki. Wszystkie twory matematyczne są zbiorami. Także liczby. Zbiór to pojęcie pierwotne matematyki i wraz z relacją należenia do zbioru stanowi wszystko, co potrzeba, aby zdefiniować wszystkie pojęcia znane matematyce. Czyż to nie jest prawdziwy CUD? Aksjomaty teorii Zermelo-Fraenkla + Aksjomat wyboru - to wszystko, na czym opiera się najbardziej wyszukany system matematyczny.

   Nie znając tej Twojej wypowiedzi pisałem sobie na boku. A teraz widzę, że to co napisałem doskonale tutaj pasuje. Więc wklejam.

   Fundamentem matematyki jest teoria mnogości. Najpowszechniej stosowaną aksjomatyką teorii mnogości jest tzw. aksjomatyka Zermelo-Fraenkla uzupełniona o aksjomat wyboru. Ten aksjomat od początku budził podejrzenia matematycznego ludu. Podejrzewany był o to, że da się go wyprowadzić z pozostałych aksjomatów, innymi słowy starano się udowodnić jego prawdziwość. Pomimo, iż starania te nie przynosiły zadowalającego rezultatu szerokie rzesze matematyków wierzyły w tę prawdziwość. Przypomnę, że rzecz dotyczy fundamentów matematyki, a znaczy to tyle, że niezliczona ilość twierdzeń i dowodów, wprost, lub znacznie częściej pośrednio, zakładała i zakłada nadal, tę prawdziwość.

   Tymczasem stała się rzecz nieoczekiwana. Niejaki Cohen udowodnił, że aksjomat wyboru jest niezależny od pozostałych aksjomatów teorii mnogości, a skoro tak, to jego prawdziwość jest kwestią - nomen omen- wyboru. Można więc wyobrazić sobie teorię mnogości opartą na zestawie aksjomatów z zanegowanym aksjomatem wyboru, co więcej, można sobie wyobrazić matematykę zbudowaną na takim zmienionym fundamencie. Musiałaby to być matematyka różna od tej znanej obecnie. Inna matematyka.

   Jedźmy dalej. Matematyka, a przynajmniej jej część, wykorzystywana jest do opisu świata. Fakt, że tak dobrze się do tego nadaje jest źródłem różnych niebanalnych refleksji. Niektórzy wręcz twierdzą, że matematyka przenika świat. Michał Heller idzie jeszcze dalej i stwierdza, że Bóg jest matematyką. Którą matematyką?. Ano tą opartą na aksjomatyce teorii mnogości zawierającej aksjomat wyboru! Innej przecież jeszcze nie znamy.

   A co z tą inną matematyką? Czy ona również może opisywać świat? Czy jest to w ogóle możliwe, a jeśli jest, to jak taki fakt można by interpretować?

   Pozdrawiam

---

Niech strój słów podkreśla urodę myśli

Problem polega tylko na tym, że bez aksjomatu wyboru wiele twierdzeń, które WYDAJĄ SIĘ BYĆ OCZYWISTE, bądź niepodobna myśleć, że mogłyby być nieprawdziwe, nie daje się dowieść. To dlatego większość matematyków wybiera matematykę z tym aksjomatem. Powiem więcej. Skoro twierdzenia matematyczne oparte na ZF+C nie prowadzą do rzeczywistych sprzeczności (są pożyteczne w świecie realnym), to chyba nie ma powodu wątpić w jego "prawdziwość". Oczywiście, "prawdziwość" nie oznacza PRAWDY absolutnej. Problemem są twierdzenia kompletnie nieintuicyjne, jak np. twierdzenie o paradoksalnym rozkładzie kuli Banacha-Tarskiego. Ale... no właśnie. W świecie realnym taki rozkład jest NIEMOŻLIWY, albowiem punkty matematyczne nie istnieją realnie. Matematyka, jakkolwiek cudownie opisująca rzeczywistość, jest - stety/niestety - tylko przybliżeniem, lub - jak kto woli - świat jest przybliżeniem matematyki, tworu wyidealizowanego. Wiele matematycznych pojęć i twierdzeń nie daje się zrealizować w rzeczywistości. Prosty przykład - liczby niewymierne, do których każdy w miarę wyrobiony umysłowo nie ma żadnych "ale". Czy istnieją w świecie realnym? Wątplię. Dlaczego? Ano dlatego np., że nie ma żadnej możliwości zmierzenia czegokolwiek z nieskończoną precyzją. Wszystkie liczby, którymi operujemy na codzień, to liczby wymierne. Czy da się zobaczyć nieskończone rozwinięcie liczby niewymiernej? NIE DA SIĘ. Czy da się zobaczyć takie rozwinięcie liczby wymiernej? Poniekąd tak, bo tam cyfry się powtarzają, więc wystarczy napisać okres i powiedzieć - i tak w nieskończoność. Przy niewymiernych tego się zrobić nie da. Można oczywiście uprawiać matematykę bez aksjomatu wyboru. Problem tylko polega na tym, że nie będziemy w stanie udowodnić wielu twierdzeń, które w pewnym sensie POWINNY BYĆ "prawdziwe". Ale, ale... pytanie brzmi: czy można uprawiać matematykę z zanegowanym aksjomatem wyboru?

---

Lepiej jest z mądrym zgubić, niż z głupim znaleźć.

> .. - liczby niewymierne, do których każdy w miarę wyrobiony umysłowo nie ma żadnych "ale". Czy istnieją w świecie realnym? Wątpię. Dlaczego? Ano dlatego np., że nie ma żadnej możliwości zmierzenia czegokolwiek z nieskończoną precyzją. Wszystkie liczby, którymi operujemy na codzień, to liczby wymierne.
Skoro realnie nie ma możliwości zmierzenia czegokolwiek z nieskończoną precyzją, to właśnie liczby wymierne można uznać za nieistniejące w świecie realnym.

> .. Można oczywiście uprawiać matematykę bez aksjomatu wyboru. Problem tylko polega na tym, że nie będziemy w stanie udowodnić wielu twierdzeń, które w pewnym sensie POWINNY BYĆ "prawdziwe".
Nawet "w pewnym sensie" nie powinno się narzucać matematyce powinności - to 'królowa' apolityczna. Może co najwyżej estetykę warto w niej ocalić.

> Ale, ale... pytanie brzmi: czy można uprawiać matematykę z zanegowanym aksjomatem wyboru?
Z okrojonym do rodzin i działań skończonych tak. Dla mnogości liczniejszych .. to ciekawe choć trudne pytanie - znów elegancja konstrukcji może tu być niezłym kryterium.

> Wszystkie liczby, którymi operujemy na co dzień, to liczby wymierne.

Tak, tak, nawet byli tacy co próbowali wydać ustawę, że π = 3,2. en.wikipedia.org/wiki/Indiana_Pi_Bill

>Powiem więcej. Skoro twierdzenia matematyczne oparte na ZF+C nie prowadzą do rzeczywistych sprzeczności (są pożyteczne w świecie realnym), to chyba nie ma powodu wątpić w jego "prawdziwość". Oczywiście, "prawdziwość" nie oznacza PRAWDY absolutnej.

   Ech! Aż nie chce mi się wierzyć w to, że pisząc to, nie pomyślałeś o geometrii euklidesowej. Przez wieki, dokładnie w ten sam sposób argumentowano o jej "prawdziwości". Mało tego, bardzo długo ta właśnie geometria pretendowała do roli fundamentu całej matematyki!

>Można oczywiście uprawiać matematykę bez aksjomatu wyboru.

   Bez? Można. Ale tylko fragment matematyki. A do tego granice tego fragmentu wcale nie są proste do określenia.

>Problem tylko polega na tym, że nie będziemy w stanie udowodnić wielu twierdzeń, które w pewnym sensie POWINNY BYĆ "prawdziwe".

   No właśnie. Do tego dochodzi jeszcze problem tego "sensu". Jak go określić? I co to znaczy, że powinny być prawdziwe? Nawet jeśli "prawdziwe" weźmiemy w cudzysłów.

>Ale, ale... pytanie brzmi: czy można uprawiać matematykę z zanegowanym aksjomatem wyboru?

   Otóż to właśnie. A czy widzisz choć cień jakiegoś racjonalnego uzasadnienia tezy głoszącej, że nie można?

   Pozdrawiam

---

Niech strój słów podkreśla urodę myśli

Nie do końca się rozumiemy. Oczywiście, że można uprawiać bez. Tyle tylko, że będzie to matematyka bardzo uboga. Chyba nie chcielibyśmy np. mieć dwóch różnych analiz: wg Cauchy'ego i wg Heinego. Co więcej, gdyby nie AC, to nie dałoby się dowieść, że każde dwa zbiory są porównywalne w sensie mocy. A przecież ma się nieodparte wrażenie, że albo jeden zbiór jest bardziej liczny od drugiego, albo mają tę samą moc. Prawo trychotomii mocy, przy okazji, jest równoważne AC. Więcej, bez AC nie da się np. dowieść, że dowolny iloczyn kartezjański niepustych zbiorów jest niepusty X{A(t), t\in T} =/= 0, a przecież byłoby nadzwyczaj źle, gdyby tak nie było, prawda? AC, jak się okazuje, jest konieczny do tego, aby pewne "oczywiste" twierdzenia dało się dowieść. Dodatkowo, lemat Zorna, zasada dobrego uporządkowania, istnienie mocy zbiorów (o ile dobrze pamiętam)... te wszystkie twierdzenia są równoważne AC.

---

Lepiej jest z mądrym zgubić, niż z głupim znaleźć.

>Nie do końca się rozumiemy.

   Spróbujmy więc się zrozumieć.

>Oczywiście, że można uprawiać bez.

    B e z. To ważne.

>Tyle tylko, że będzie to matematyka bardzo uboga.

   Zgoda. A dalej zgoda się kończy (i zrozumienie). Opisujesz bowiem przemożną potrzebę dołączenia do aksjomatyki TM aksjomatu wyboru. Bo bez niego... No ciężko, to prawda. Ciężko, to za mało powiedziane. Bez niego trudno wprost sobie wyobrazić matematykę.

   No i co z tego? Wracając do analogii z geometrią. Bez piątego postulatu Euklidesa też trudno. No bo przecież trzeba by zrezygnować z twierdzenia Pitagorasa. No bo przecież temu, że przez dowolny punkt wnętrza kąta wypukłego można poprowadzić prostą przecinającą oba jego ramiona nie można zaprzeczyć. Każdy to widzi!. A przecież bez piątego postulatu udowodnić prawdziwości tej oczywistości nie sposób!

   Dlatego jeśli piszesz, że "AC, jak się okazuje, jest konieczny do tego, aby pewne "oczywiste" twierdzenia dało się dowieść" to do niczego mnie to nie przekonuje. A jeśli już, to chyba tylko do tego, że wyobrażenie sobie matematyki z zanegowanym aksjomatem wyboru jest niepomiernie trudniejsze, od wyobrażenia sobie geometrii nieeuklidesowej. Ale czy dasz głowę - bo o dowodzie lepiej nie mówić - że jest to niemożliwe?

   Pozdrawiam

---

Niech strój słów podkreśla urodę myśli

Dziękuję wam obu za bardzo pouczające wypowiedzi.

Po raz kolejny widzę więc, jak moje wyobrażenia o tym co można, a co nie wynikają z moich ograniczeń

Pozdrawiam!

---

Tomasz Sztejka

Dziękuję wam obu za bardzo pouczające wypowiedzi.

Po raz kolejny widzę więc, jak moje wyobrażenia o tym co można, a co nie wynikają z moich ograniczeń

Pozdrawiam!

---

Tomasz Sztejka

>Mniej więcej o to mi chodzi - wszelkie wskazane dotychczas w odpowiedziach odmiany logiki są w sensie technicznym cały czas tym samym: wyrażeniem matematycznym tudzież algorytmem postępowania. Wszystkie są wyprowadzone tą samą metodyką, mają ten sam korzeń, wreszcie - opierają się na tym samym nadrzędnym mechanizmie.
To jest dobry trop.

>Zastanawia mnie przede wszystkim więc: mogę wyobrazić sobie a nawet zamodelować matematycznie świat o skrajnie innej fizyce, nie mający z naszym, w sensie fizycznym, niczego wspólnego. Czy można pójść krok dalej?
Otóz to!
Nie.
Bo niby jak?
Jesteś demonem Maxwella? I do tego uniwersalnym ponad uniwersalność?

>Czy można założyć istnienie innej matematyki/logiki w sensie zupełnie innej metodyki tworzenia teorii "matematycznych", innej "meta-matematyki". Takiej, z której nie da się wyprowadzić naszej matematyki i vice versa?
Założyć można wszystko.
Ale jak z tego potem wybrnąć?

>Skoro można powiedzieć: teoretycznie możliwym jest świat o czterech wymiarach przestrzennych i dwu wymiarach czasowych (możliwym - bo potrafimy opisać go przy pomocy matematyki), to czy teoretycznie możliwym jest inna matematyka?
Nie gadaj tyle, tylko daj choć parę sensownych zdań w tej cztero-dwu-sześcio matematyce, a uwierzę Ci na słowo!
To ile jest dwa a dwa?
Siedem?
(Lem sie kłania)

>W powyższym sensie: matematyka jest nadrzędna wobec fizyki, bo różne fizyki (w sensie zbiorów praw) daje się opisać tą samą matematyką (w najszerszym tego słowa rozumieniu).
A ja dam się posiekać na plasterki, że odwrotnie.
Pod warunkiem, że są inne fizyki.

>Rodzi się więc pytanie: co jest nadrzędne dla matematyki?
Fizyka.

>Czy istnieje inna, równie uniwersalna ale rozłączna matematyka?
Teoretycznie tak.
Ale najpierw musi istnieć inna fizyka.
Nie z matematyki świat pochodzi, a z fizyki.
Matematyka nie ma nic do roboty, gdy nie ma fizyki.
Czyż to nie oczywiste?

>(...)
>Matematyka nie ma nic do roboty, gdy nie ma fizyki.
>Czyż to nie oczywiste?

Nie. Najwyraźniej nie. No, ale zgodnie z życzeniem: przestaję tyle gadać.

Dobrej nocy.

Pozdrawiam,

---

Tomasz Sztejka

Matematyka była inspirowana światem rzeczywistym, to jasne. Ale, ale... po okresie intuicjonizmu wkroczyła matematyka w okres formalnych systemów dedukcyjnych, a do uprawiania tego typu działalności nie jest potrzebne żadne odniesienie do rzeczywistości fizycznej. Najlepszym przykładem jest powstawanie ciał liczbowych, włącznie z zespolonymi i liczbami Cayleya. Liczby zespolone nie były inspirowane fizyką, a pragnieniem posiadania rozwiązań równań matematycznych i to dowolnych, a nie tylko takich, które mają odniesienie do rzeczywistości. To nie było tak, że fizyka dała liczby zepolone, a potem matematyka zaczęła je studiować. Było akurat kompletnie odwrotnie. Matematyka jest językiem fizyki, ale istnieje od fizyki niezależnie w sensie idei (bo do pisania matematyki potrzeba oczywiście nośnika fizycznego, ale to banał; sama idea jest niematerialna i istnieje tylko w naszych umysłach, choć w pewnym sensie jest od tych umysłów niezależna). Wystarczy zdać sobie sprawę, że tylko podzbiór zdań prawdziwych matematycznie jest użyteczny w fizyce.

---

Lepiej jest z mądrym zgubić, niż z głupim znaleźć.

>Zachęcam do lektury książek Raymonda Smullyana, bo są to prawdziwe cacka, mimo że utrzymane w formie zabawowej.
Za Wiki:
Cytat: Magik?

>Na www.ebookee.com znajdziecie jego książki takie jak "What is the name of this book?", czy "The Lady and the Tiger".
Obydwie pozycje są dostępne w polskim tłumaczeniu (B. Chwedeńczuka - więc to musi być coś dobrego).

Dzięki za wskazówki, jak tylko się skończy sesja to skoczę do biblioteki i chętnie poczytam.

Pozdrawiam

Tak, także magik, ale taki, co to do "magikowania" używa ROZUMU. Ostatnimi czasy czytałem w jakiejś książce do matematyki dyskretnej, jak można za pomocą wnioskowania logicznego popełniać takie sztuczki, o których się czarnoksiężnikom nie śniło. Są na to odpowiednie twierdzenia, zupełnie ścisłe matematycznie.

---

Lepiej jest z mądrym zgubić, niż z głupim znaleźć.

>Wydaje mi się, że z dwóch zdań: p i ~p, jedno musi być prawdziwe, a drugie fałszywe. Jest to tak mocne przekonanie, że dałbym się za to posiekać. Oczywiście, zdanie p musi być sensowne w danym systemie.

W takim razie co z Goedla twierdzeniem o niezupełności. Jeśli możemy sformułować zdanie, którego nie można udowodnić ani obalić, to nie jest ono ani prawdziwe, ani fałszywe (jego zaprzeczenie też). Przynajmniej tak to wygląda na mój rozumek, który jest raczej mało matematyczny.

---

Nie stosuję emoticonów

Twierdzenie Goedla stwierdza, że w dostatecznie mocnym systemie dedukcyjnym, w którym możliwe jest zbudowanie arytmetyki liczb naturalnych, istnieją zdania PRAWDZIWE, które są niedowodliwe. Dlatego zasada wyłączonego środka jest jak najbardziej spełniona. W wielgachnym skrócie, to, co zrobił Goedel wygląda tak. Weźmy maszynę, która produkuje tylko zdania prawdziwe (nasz system). Istnieje takie zdanie, które jest prawdziwe, a jednak nigdy ta maszyna go nie "wyprodukuje". Zdanie to brzmi: Jestem zdaniem niedowodliwym. Gdyby bowiem maszyna go wyprodukowała, to znaczy, że wyprodukowałaby nieprawdę - a to z założenia jest niemożliwe. Zatem zdania tego nie da się wyprodukować, co znaczy, że jest prawdziwe. TAK WYGLĄDA twierdzenie Goedla w wielkim skrócie. Jednym z przykładów takiego zdania jest hipoteza kontinuum. Kwestia PRAWDY w naukach dedukcyjnych nie jest prosta i odbiega od potocznego pojęcia używanego w życiu codziennym.

---

Lepiej jest z mądrym zgubić, niż z głupim znaleźć.

>Weźmy maszynę, która produkuje tylko zdania prawdziwe (nasz system).

Rozumiem, że chodzi o zdania prawdziwe wewnątrz tego systemu, wyprowadzone dedukcyjnie z bardziej ogólnych. To wskazuje na istnienie pewnej hierarchii sąsiadujących ze sobą poziomów ogólności (dotyczy to również pojęć istniejących w tym systemie). W związku z tą hierarchicznością mam parę pytań.

1. Konkretnie, które z matematycznych pojęć i stwierdzeń uważasz za najogólniejsze (w sensie zajmowania przez nie najwyższego poziomu ogólności w matematyce)?
2. Które są z najniższego poziomu ogólności?
3. Jeśli poczynając od zdań najwyższego poziomu ogólności jako przesłanek przeprowadzimy serię (dostatecznie długą) rozumowań dedukcyjnych, to dojdziemy do najniższego poziomu ogólności. Co się stanie, gdy jako przesłanki do kolejnego rozumowania dedukcyjnego weźmiemy zdania z tego najniższego poziomu? Czy takiego rozumowania nie da rady przeprowadzić (czego chyba nie można wykluczyć), czy może uzyskany wniosek będzie już poza tym systemem?

> Istnieje takie zdanie, które jest prawdziwe, a jednak nigdy ta maszyna go nie "wyprodukuje". Zdanie to brzmi: Jestem zdaniem niedowodliwym. Gdyby bowiem maszyna go wyprodukowała, to znaczy, że wyprodukowałaby nieprawdę - a to z założenia jest niemożliwe.

Zachodzę w głowę, jak może istnieć w danym systemie zdanie, którego ten system nie może wyprodukować. Wygląda mi to jak stwierdzenie, że w matematyce abstrakcyjnej istnieje dzielenie przez zero, ale nie można go wykonać.

>Kwestia PRAWDY w naukach dedukcyjnych nie jest prosta i odbiega od potocznego pojęcia używanego w życiu codziennym.

Oj, ni ma letko.

---

Nie stosuję emoticonów

Nie mam miejsca na wytłumaczenie tego tematu tak dogłębnie, abyś zaczął rozumieć, o co chodzi. Jeśli naprawdę interesuje cię to, co zrobił Goedel, to proponuję ci sięgnąć po książki Raymonda Smullyana, które miałem okazję na ten temat czytać i muszę powiedzieć, że dopiero one trochę mi w temacie wyjaśniły, choć do tej pory nie rozumiem wszystkiego. Jest taka strona www.ebookee.com, na której znajdziesz te książki. Są specyficzne w tym sensie, że są to puzle logiczne i służą bardziej rekreacji niż uprawianiu ciężkiej matematyki, ale niektóre z nich mają dodatki, w których Smullyan tłumaczy twierdzenia Goedla i to w sposób, który wydaje mi się najbardziej zrozumiały ze wszystkich książek, jakie miałem przyjemność czytać na ten temat. Książki są po angielsku - oczywiście. Nie czytam polskich książek, bo nie mam takiej potrzeby, ale pewnie gdzieś znajdziesz tłumaczenia.

Spróbuję odnieść się tylko do tego:

>Zachodzę w głowę, jak może istnieć w danym systemie zdanie, którego ten system nie może wyprodukować.

Otóż, Goedel do swojego dowodu użył tego, co dzisiaj nazywa się metodą przekątniową Cantora. Cantor dzięki niej udowodnił (a szukał dowodu na coś przeciwnego przez 12 lat), że zbiór podzbiorów liczb naturalnych jest WIĘKSZY od zbioru liczb naturalnych (potem przyszło twierdzenie ogólne, tzn. że zbiór podzbiorów dowolnego zbioru jest bardziej liczny niż ów zadany zbiór). Tzn. nie da się wylistować na nieskończonej liście wszystkich podzbiorów liczb naturalnych. Problem sprowadza się do tego: powiedzmy, że mamy książkę, która ma tyle stron, ile jest liczb naturalnych i na każdej stronie jest opisany pewien podzbiór liczb naturalnych. Pytanie: Czy istnieje takie listowanie, które wyczerpuje zbiór podzbiorów? Okazuje się, że nie. Gdyby bowiem tak było, to moglibyśmy utworzyć podzbiór taki, że n do niego należy wtedy i tylko wtedy, gdy nie należy do zbioru opisanego na stronie n-tej. Czyli np. 1 należy do naszego nowego zbioru iff nie należy do A1 (zbiór na stronie 1) i tak dla każdego n. Nasz zbiorek, nazwijmy go S, jest zatem różnych od wszystkich zbiorów zapisanych na stronach książki, a to jest niemożliwe, bowiem z założenia musi być na którejś ze stron. Zatem nie da się wylistować wszystkich podzbiorów. To jest fundament, który Goedel wziął, "poobracał" umiejętnie i wyprodukował na tej podstawie swoje dwa fundamentalne Incompleteness Theorems.

---

Lepiej jest z mądrym zgubić, niż z głupim znaleźć.

Niewiele rozumiem, ale... Przede wszystkim dzięki za link do bardzo fajnej strony. Bardzo lubię zestawienie "book" i "free" szczególnie wkurzany często multum stron które za jeden artykuł naukowy życzą sobie lekko 30$.

Dzięki!

---

Tomasz Sztejka

> To jest fundament, który Goedel wziął, "poobracał" umiejętnie i wyprodukował na tej podstawie swoje dwa fundamentalne Incompleteness Theorems.

Ja mam trochę dziwaczny sposób patrzenia na różne sprawy i dlatego uważam, że jeśli coś "istnieje" to znaczy, że zostało "wyprodukowane". Inaczej mówiąc, bez "wyprodukowania" nie ma "istnienia". Pewnie inaczej rozumiemy te terminy.

---

Nie stosuję emoticonów

>czy w ogóle jest możliwa inna logika?

Logika psychiatryka.

---

Okres ważności moich postów kończy się z chwilą ich opublikowania.

>>czy w ogóle jest możliwa inna logika?
>Logika psychiatryka.

Zgadza się - została zapisana formalnie (no, może prawie...) w 1905r, a następnie intensywnie rozwijana... przez kolejne pokolenia pacjentów.