 |
Szeregi dla wytężenia mózgownicy
Ten wątek jest przedawniony
Działy Forum » Nauka
| Napisano | Autor | Tytuł | | 03-10-2010 19:45 | sceptymucha (moderator, 11470 punktów) | Szeregi dla wytężenia mózgownicy
 2 na 2 | Witam!
Wstawiam wątek-zagadkę matematyczny, by rozruszać troszeczkę tę część forumowiczów, którą takie wysilanie mózgownicy lubi.
W zasadzie powyższy wątek powstał jako "pokłosie" przyglądania się szeregowi Suma n dążące do nieskończoności 1/n3.
Zagadka pierwsza: Podaj sumę szeregu postaci [1/n - 1/(n-a)] gdy n poczynając od k>a dąży do nieskończoności. Dla "k" należącego do całkowitych (co oczywiste) i "a" należącego do całkowitych dodatnich i jest dowolne.
Zagadka druga: Podaj sumę szeregu postaci [1/n - 1/(n-w)] gdy n poczynając od k>w dąży do nieskończoności. Dla "k" należącego do całkowitych, "w" należącego do dodatnich, NIE będącego całkowitą liczbą.
Zagadka pierwsza i druga posiadają rozwiązania. Druga wymaga znajomości sumy pewnego szeregu. Pierwsza wymaga tylko pomysłu.
Zagadka trzecia - coś, co mi się nasunęło, a nie znam rozwiązania. Kiedy różnica dwóch dowolnych szeregów rozbieżnych daje szereg zbieżny? Czy da się napisać warunek dla tak różnych szeregów, jak zbudowanych z n, z log, z exp, (-1)n, funkcjami trygonometrycznymi?
Miłego łamania głowy.
Pozdrawiam
|
Autor wątku ma uprawnienia do usuwania wypowiedzi, jeżeli łamią regulamin Forum lub znacznie odbiegają od tematu.
 1 na 1 | Marian (5438 punktów) | Chyba mam pierwszą. Szereg Zobaczmy, jak się zachowuje ciąg sum częściowych; rozpisując ten szereg dostaniemy Zauważmy, że od pewnego miejsca, konkretnie dla m=a, ujemne wyrazy zaczną kasować dodatnie z początku ciągu. Zatem zostanie tylko a–1 ujemnych wyrazów: gdzie Hk to tzw. liczby harmoniczne zdefiniowane jako k-ta suma częściowa szeregu harmonicznego. Można by pójść krok dalej, korzystając z faktu, że liczby harmoniczne dla dużych k zachowują się jak ln k (plus stała). > Kiedy różnica dwóch dowolnych szeregów rozbieżnych daje szereg zbieżny? Nigdy. Ale chodzi Ci pewnie o to, jakie warunki powinny spełniać ciągi an i bn aby szereg złożony z różnicy tych dwóch ciągów był zbieżny, jeśli szeregi każdego z osobna są rozbieżne. Intuicja podpowiada mi, że ciągi te powinny zachowywać się tak samo w nieskończoności, czyli granica ciągu an / bn powinna być 1 (co dla szeregu powyżej jest oczywiście spełnione). Ale czy jest to warunek wystarczający, to nie wiem. Wymaga dowodu  Pozdrawiam.
Jeśli nie zaznaczono inaczej, moją twórczość należy traktować jako CC-BY-SA 3.0
|
|
 | | sceptymucha (moderator, 11470 punktów) | Pierwsze dobrze - wychodzi suma częściowa szeregu 1/n między "k" a "a". Pokazanie, że szereg 1/(n-a) jest tym samym, co szereg 1/n, ale od innej liczny początkowej zaczynając, było dla mnie dużym odkryciem. Tym bardziej, że spędziłem dużo czasu męcząc się i szukając innych dróg. > >Kiedy różnica dwóch dowolnych szeregów rozbieżnych daje szereg zbieżny?> Nigdy. Ale chodzi Ci pewnie o to, jakie warunki powinny spełniać ciągi an i bn aby szereg złożony z różnicy tych dwóch ciągów był zbieżny, jeśli szeregi każdego z osobna są rozbieżne.Tak. > Intuicja podpowiada mi, że ciągi te powinny zachowywać się tak samo w nieskończoności, czyli granica ciągu an / bn powinna być 1 (co dla szeregu powyżej jest oczywiście spełnione). Ale czy jest to warunek wystarczający, to nie wiem. Wymaga dowodu Problem bardziej skomplikowany. Na pewno 1, jaką sugerujesz można śmiało rozszerzyć do stałej. Ale i tak bardzo szybko pojawi się problem, jeśli w szeregu (przynajmniej jednym) będzie (-1) n przed wyrazem ogólnym szeregu. Choć może można to ominąć grupując wyrazy po dwa, ale nie jestem pewien, czy zawsze tak się da bez szkody zrobić. Pozdrawiam
No cóż. Wszyscy próbujemy coś wyrazić. Niekoniecznie to, o czym myślimy, że próbujemy to wyrazić.
|
|
| | 1 na 1 | Marian (5438 punktów) | > Na pewno 1, jaką sugerujesz można śmiało rozszerzyć do stałej. Oj chyba nie. Jak się w pierwszym przykładzie pierwszy człon pomnoży przez np. 2, to szereg będzie rozbieżny, bo drugi człon zabije tylko jeden szereg harmoniczny, a drugi zostanie i się rozbiegnie. Ogony w nieskończoności muszą się zniszczyć na wzajem całkowicie. > Ale i tak bardzo szybko pojawi się problem, jeśli w szeregu (przynajmniej jednym) będzie (-1)n przed wyrazem ogólnym szeregu. Zgadza się. Jeśli to w ogóle działa, to raczej dla szeregów o wyrazach nieujemnych. Przy naprzemiennych wynik może zależeć od „różnicy w fazie”; jak „fazy” będą zgodne, ogony mogą się wyciąć, a przy przeciwnych, będą się wzmacniać. Nie wiem, czy dałoby sformułować jakieś kryterium dla tego typu przypadków. W międzyczasie, jak będę miał chwilę, to posiedzę przy drugiej zagadce Pozdrawiam.
Jeśli nie zaznaczono inaczej, moją twórczość należy traktować jako CC-BY-SA 3.0
|
|
1 na 1 kombi (1112 punktów)
(zablokowany) | > Zagadka druga: Podaj sumę szeregu postaci [1/n - 1/(n-w)] gdy n poczynając od k>aJa to załatwię ale bez tych przesunięć: 1/n - 1/(n + x) = x/[n(n+x)]; Np. dla x = 1 będzie: 1/n(n+1), czyli: s = 1/2 + 1/2*3 + 1/3*4 + ... w wersji różnicowej: s = 1/1 - 1/2 + 1/2 - 1/3 + 1/3 - 1/4 + ... zatem chyba będzie s = 1. Ale dla ułamkowych x, nie będzie tak łatwo, np. x = 0.5, i otrzymujemy: 0.5/n(n+0.5) = 1/n(2n+1); s = 1 - 2/3 + 1/2 - 2/5 + 1/3 - 2/7 + ... = 1/3 + 1/10 + 1/21 + ... no i nie wiadomo ile będzie. Ale z całek można to wyliczyć. Transformata Laplace'a z jedynki: f(t) = 1, L(f) = 1/s; natomiast: 1/(s+x), jest transformatą z funkcji: g(t) = e^{-xt}; pod to 's' wstawiamy sobie oczywiście: 1, 2, 3, ... czyli: s = k; Z definicji tr. Laplace'a suma po k = 1,2,3,...: \sum_{k=1}e^{-kt}dt=\int_0^{oo}(1-e^{-xt})\frac{e^{-t}}{1-e^{-t}}dt) podstawiamy: p = e^-t; dp = -e^-t dt; stąd: &space;=&space;\int_0^1\frac{1-p^x}{1-p}dp) W szczególności dla x = 1 mamy całkę z 1, czyli faktycznie s(1) = 1. dla x = 0.5: ))
|
|
| | sceptymucha (moderator, 11470 punktów) | Drogi kombi, ponieważ masz arogancki sposób wysławiania się mający niewiele wspólnego z wyjaśnianiem prosiłbym Cię o dwie rzeczy:
1. Policz bez przesuwania (żartuję, może być z przesuwaniem) różnicę szeregów 1/n - 1/(n+4) oraz 1/n - 1/(n+5)
2. oraz podaj wzory (lub wzór ogólny) na różnicę szeregów dla wartości niecałkowitych x=1/3, x=1/5, x=2^(1/2), x=PI.
W ten sposób pokażesz pełne rozwiązanie. Bo to co pokazałeś dla najprostszych przypadków niekoniecznie przecież przekłada się na te trudniejsze, prawda?
Pozdrawiam
No cóż. Wszyscy próbujemy coś wyrazić. Niekoniecznie to, o czym myślimy, że próbujemy to wyrazić.
|
|
| | 1 na 1 kombi (1112 punktów)
(zablokowany) | > 1. Policz bez przesuwania (żartuję, może być z przesuwaniem) różnicę szeregów 1/n - 1/(n+4) oraz 1/n - 1/(n+5)Dla całkowitych x = n otrzymasz pod całką: (1 - p^n)/(1 - p) = 1 + p + p^2 + ... p^(n-1); Całkujemy i wyliczamy: s(n) = 1 + 1/2 + 1/3 + ... 1/(n-1); > 2. oraz podaj wzory (lub wzór ogólny) na różnicę szeregów dla wartości niecałkowitych x=1/3, x=1/5, x=2^(1/2), x=PI.Nie da rady tego scałkować dla dowolnego x (niewymiernego). dla x = 1/3: int (1 - p^1/3)/(1 - p) dp; r^3 = p; 3r^2 = dp; int 3r^2 (1 - r)/(1 - r^3) dr = 3 int r^2/(1 + r + r^2) dr = ... i tu można się pobawić z tymi całkami... podobnie dla dowolnej wymiernej x = k/n; Tobie pewnie chodzi o funkcję Digamma: en.wikipedia.org/wiki/Digamma_functionIntegral representations: =-\gamma+\int_0^1\frac{1-x^s}{1-x}dx) no i tu stoi właśnie ta całka.
|
|
| | | | sceptymucha (moderator, 11470 punktów) |
> Nie da rady tego scałkować dla dowolnego x (niewymiernego).> W takim razie się pomyliłem w obliczeniach. Robiłem podstawienia starając się doprowadzić do postaci wyrażenia pod całką 1/[v*(1-v w)] gdzie "v" jest zmienną, "w" dowolne, bo to daje się scałkować do postaci liczba* ln(1-v -w). Sprawdzę siebie jeszcze. Pozdrawiam
No cóż. Wszyscy próbujemy coś wyrazić. Niekoniecznie to, o czym myślimy, że próbujemy to wyrazić.
|
|
| | | | 1 na 1 kombi (1112 punktów)
(zablokowany) | Masz jeszcze 1/n^3 w wersji całkowej. Laplace(t^2/2) = 1/s^3; czyli: =\int_0^{oo}\frac{t^2e^{-t}}{1-e^{-t}}dt=\int_0^{oo}\frac{t^2}{e^t-1}dt)
|
|
Aby pisać w tym wątku, musisz się zalogować
Zaloguj przez OpenID..
Jeżeli nie jesteś zarejestrowany/a - załóż konto..
Szukaj na Forum Przewodnik Regulamin i instrukcja obsługi Forum Kolegium Moderatorów
|
 |
|
