>Czy istnieje szersze spektrum ciągów takich, że logarytmy wyrazów jednego są elementami drugiego?
   Wydaje mi się, że to jest trochę kwestia semantyczna. Mogę sobie wziąć dowolną klasę ciągów i nazwać je ciągami „takimi a takimi”, następnie wziąć ciąg eksponent wyrazów ciągu „takiego a takiego” i nazwać ciągiem „śmakim owakim” i udawać zdziwionego, że ciągi „śmakie owakie” mają taką osobliwą własność, że ciągi logarytmów ich wyrazów są ciągami „takimi a takimi”. Potem mogę wziąć ciąg eksponent ciągu „śmakiego owakiego”, itd., ad infinitum, ad nauseam. I oczywiście również w drugą stronę, biorąc logarytmy (tylko wtedy muszą to być ciągi dodatnie, oczywiście).
   Tyle matematyka abstrakcyjna Weźmy przykład. Mamy ciąg geometryczny a_n=qⁿ dla pewnego q. Następnie weźmy drugi ciąg b_n=exp(qⁿ). Ten ciąg ma taką właście własność, że ciąg logarytmów jego wyrazów jest ciągiem geometrycznym.

   Pozdrawiam.

---

Jeśli nie zaznaczono inaczej, moją twórczość należy traktować jako CC-BY-SA 3.0

Ciąg z exp to ciąg geometryczny.
Pytanie jest dlatego ciekawe, bo trzeba znaleźć ciąg niegeometryczny.

Pozdrawiam

---

Architekt projektując opiera się na wyliczeniach inżyniera. Inżynier szacuje parametry, opierając się na prawach fizyki. Fizyk korzysta z równań i tożsamości matematyki. Matematyk udowadniał twierdzenia nie zastanawiając się, czy opisują rzeczywistość.

>Ciąg z exp to ciąg geometryczny.
   Chyba nie. Co jest mnożnikiem ciągu exp(qⁿ)? To nie to samo co (exp(q))ⁿ.

   Pozdrawiam.

---

Jeśli nie zaznaczono inaczej, moją twórczość należy traktować jako CC-BY-SA 3.0

Racja, to nie to samo.
Niemniej wydaje mi się, że rzecz polega na tym, by znaleźć taki ciąg w tym sensie, że nie konstruowało by się go przez odwrotność logarytmu, ale by jego elementy miały "własne życie".
Rozwiązałeś zadanie, ale jest pewien niedosyt, czy są ciekawsze rozwiązania.

Pozdrawiam

---

Architekt projektując opiera się na wyliczeniach inżyniera. Inżynier szacuje parametry, opierając się na prawach fizyki. Fizyk korzysta z równań i tożsamości matematyki. Matematyk udowadniał twierdzenia nie zastanawiając się, czy opisują rzeczywistość.

   Zobaczymy zatem, czy ktoś pokaże coś innego. Mi na razie nie przychodzi nic do głowy.

   Pozdrawiam.

---

Jeśli nie zaznaczono inaczej, moją twórczość należy traktować jako CC-BY-SA 3.0

>.. by jego elementy miały "własne życie".
Tak. Miałyby tworzyć coś w rodzaju 'niezłego ciała'.

Wydaje mi się, że szukasz kolejnego działania matematycznego z własnością rozdzielności wobec potęgowania.
+,*,^,?

Pozdrawiam

---

Architekt projektując opiera się na wyliczeniach inżyniera. Inżynier szacuje parametry, opierając się na prawach fizyki. Fizyk korzysta z równań i tożsamości matematyki. Matematyk udowadniał twierdzenia nie zastanawiając się, czy opisują rzeczywistość.

>+,*,^,?
Także z drugiej strony
?,+,*

Pozdrawiam

Ja idąc w stronę ^, ? doszedłem do "liczb Sierpińskiego" wynikających z równania:
a^b=b^a, ale nie umiem ich ogarnąć.
Taka liczba wygląda:
a = (1+1/w)^(1+w); b = (1+1/w)^w, gdzie 'w' należy do 'R' większych od zera. Z mniejszymi od zera bywa różnie. Jeśli a>b, to w = b/(a-b), jak b>a to zamieniasz literki.
Nie umiem jednak skonstruować działania, bo mam sporo pytań, jak "grupa liczb Sierpińskiego" działa i jak w niej wybrać podgrupy, by to się składało wszystko.

Pozdrawiam

---

Architekt projektując opiera się na wyliczeniach inżyniera. Inżynier szacuje parametry, opierając się na prawach fizyki. Fizyk korzysta z równań i tożsamości matematyki. Matematyk udowadniał twierdzenia nie zastanawiając się, czy opisują rzeczywistość.

>.. "liczb Sierpińskiego"
Podobnie kombinowałem. Te wymierne liczby oscylują jakby wokół e*, co sugeruje, że e będzie elementem neutralnym pewnego hiper-działania.
Jakimś obrazem "liczb Sierpińskiego" może być zbiór rozwiązań w R+ równania:
lnx/x=lna/a (dla a ustalonych).
Funkcja lnx/x ma maksimum akurat w e, asymptotę poziomą 0 i punkt przegięcia bodaj w e^3. Z jej intrygującego przebiegu wynikają pary rozwiązań zależności: a^b=b^a (jako rzędne przecięcia odciętą)).
Podlegają one jednak działaniu tylko dwuargumentowemu - stanowią jakby nie grupę, a 'węzeł'.

(*) Wystarczy metodą prób i błędów czyli kolejnych iteracji spróbować znaleźć niebanalne rozwiązania równania a^b=b^a, by bardzo szybko uzyskać niezłe przybliżenie e. Można np. zacząć od liczb spomiędzy 2 i 4. Wynikałoby stąd, że podstawa logarytmu naturalnego jest hiper-średnią (lub granicą ciągu średnich) z 2 i 4? Ciekawe jaka wyszłaby hipo-średnia..

Dzięki za inspiracje (choć coraz mniej czasu i natchnienia dla abstrakcji).
Pozdrawiam.

Mi pozostał ostatni krok, którego nie potrafię dokonać - znalezienia/wyznaczenia w ciele "liczb Sierpińskiego" pierścieni.

Pozdrawiam

---

... należy upraszczać najbardziej, jak to jest możliwe. Ale nie bardziej!
A. 1stein

>.. udawać zdziwionego,
Nie idzie o udawanie. Skoro łatwo z samej kombinacji językowej pokazać poszukiwane ciągi, to może równie łatwo podać działania na wskazanych ciągach zgrabnie wyliczające średnią hipergeometryczną i hipoarytmetyczną (dowolnego rzędu)..
Czy te działania będą równie zwykłe jak mnożenie i dodawanie?

   Czyli chodzi o rodzaj uogólnienia średniej geometrycznej na te przypadki. Spróbujmy.

   Średnią geometryczną liczy się w sposób następujący:


   Zauważmy, że


czyli liczy się ją de facto biorąc eksponentę średniej arytmetycznej logarytmów wyrazów (które już stanowią ciąg arytmetyczny).
   Podobnie możemy zrobić w przypadku ciągu typu exp(qⁿ); logarytmujemy dwukrotnie, liczymy średnią arytmetyczną i bierzemy eksponentę dwukrotnie:


Alternatywnie, bierzemy średnią geometryczną logarytmów wyrazów i potem eksponentę jednokrotnie.
   Analogicznie z ciągami „wyższych typów”, tylko musimy wiedzieć ile razy trzeba logarytmować, żeby otrzymać ciąg arytmetyczny. W ogólności każda funkcja sprowadzająca dany ciąg do arytmetycznego i posiadająca odwrotną będzie dobra. Z ciągami nie będącymi „pochodnymi” ciągów arytmetycznych (czyli nie dającymi się żadną funkcją do nich sprowadzić) może być pewien problem, ale w takim przypadku pojęcie średniej jakiejkolwiek prawdopodobnie nie ma w ogóle sensu.

   Pozdrawiam.

---

Jeśli nie zaznaczono inaczej, moją twórczość należy traktować jako CC-BY-SA 3.0

> Czyli chodzi o rodzaj uogólnienia średniej
Tak, oraz o uogólnienie 'łańcuszka' działań, przy użyciu których konstruuje się pojęcie średniej.
Przykładowo wystarczy wziąć n elementów, umieścić między nimi działanie (powiedzmy "plus") i do całości (w tym wypadku sumy czyli hipo_iloczynu) zastosować działanie przeciwne/odwrotne do działania wyższego rzędu (tu iloczynu czyli hipo_sumy) względem n, czyli podzielić przez n. Podobnie dla innych tego typu działań.

> czyli liczy się ją [średnią] de facto biorąc eksponentę średniej arytmetycznej logarytmów wyrazów (które już stanowią ciąg arytmetyczny).
Chyba wynik działania zasadniczego (przed uśrednieniem) będzie zależny od przyjętej podstawy ekspozycji/logarytmu - jak je uniezależnić?

> Podobnie (..) logarytmujemy dwukrotnie, liczymy średnią arytmetyczną i bierzemy eksponentę dwukrotnie:
Dla coraz wyższych rzędów chyba należy brać działania też wyższych rzędów - zwykłe dodawanie i mnożenie połączone z wielokrotnym eksponowaniem/logarytmowaniem bodaj nie wystarczy..

> Z ciągami nie będącymi „pochodnymi” ciągów arytmetycznych (czyli nie dającymi się żadną funkcją do nich sprowadzić) może być pewien problem, ale w takim przypadku pojęcie średniej jakiejkolwiek prawdopodobnie nie ma w ogóle sensu.
Tu chyba nie bardzo widzę gdzie miałby być problem. Konstrukcja powinna być jakoś symetryczna - skoro istnieją ciągi "pochodne" arytmetycznego, to i takie, dla których arytmetyczny jest "pochodny" są chyba możliwe.

Pozdrawiam

[Jednak "może być pewien problem", bo coś się zdaje, że poszczególne działania tworzące odpowiednie średnie, lepiej lub gorzej 'pasują' do zbiorów o różnych mocach alefowych.]

>Przykładowo wystarczy wziąć n elementów, umieścić między nimi działanie (powiedzmy "plus") i do całości (w tym wypadku sumy czyli hipo_iloczynu) zastosować działanie przeciwne/odwrotne do działania wyższego rzędu (tu iloczynu czyli hipo_sumy) względem n, czyli podzielić przez n.
   Można zdefiniować takie działania. Załóżmy, że funkcja f odwracalna, sprowadza dany ciąg do arytmetycznego. Zdefiniujmy operację „dodawania” w taki sposób:
(zauważmy, że taka operacja jest przemienna i łączna) a „dzielenie”:
W ten sposób „średnią” możemy zapisać jako
W przypadku ciągu geometrycznego funkcja f(x)=ln(x).

>Chyba wynik działania zasadniczego (przed uśrednieniem) będzie zależny od przyjętej podstawy ekspozycji/logarytmu - jak je uniezależnić?
   Zanim zastosujemy funkcję odwrotną – tak, wynik będzie zależny od podstawy logarytmu. Tą zależność zlikwiduje dopiero funkcja odwrotna i średnie będą te same, niezależne od wybranej podstawy.
   Jedynym sposobem na ujednoznacznienie operacji „dodawania” byłoby ustalenie funkcji f.

>Dla coraz wyższych rzędów chyba należy brać działania też wyższych rzędów - zwykłe dodawanie i mnożenie połączone z wielokrotnym eksponowaniem/logarytmowaniem bodaj nie wystarczy..
   W tym rzecz. Według mnie potrzeba jakiejkolwiek funkcji odwracalnej, przeprowadzającej dany ciąg w arytmetyczny, żeby zdefiniować średnią. Dla ciągu exp(qⁿ) taką funkcją jest akurat podwójne logarytmowanie, ale nie ma powodu do ograniczania się do logarytmów/eksponent; to może być jakakolwiek bijekcja.

>Tu chyba nie bardzo widzę gdzie miałby być problem. Konstrukcja powinna być jakoś symetryczna - skoro istnieją ciągi "pochodne" arytmetycznego, to i takie, dla których arytmetyczny jest "pochodny" są chyba możliwe.
   Oczywiście, jest symetryczna. Mając parę funkcji f, f^-1, zawsze można zamienić je rolami. Chodziło mi raczej o takie ciągi, których żadną operacją nie da się sprowadzić do ciągu arytmetycznego. Typu na przykład takie osobliwości, jak ciąg charakterystyczny liczb pierwszych, 1 gdy liczba jest pierwsza, 0 gdy nie jest.

>[Jednak "może być pewien problem", bo coś się zdaje, że poszczególne działania tworzące odpowiednie średnie, lepiej lub gorzej 'pasują' do zbiorów o różnych mocach alefowych.]
   Nie bardzo rozumiem to zdanie. Wszystkie ciągi (nieskończone) są równoliczne, bo ich dziedziną jest zbiór liczb naturalnych. Skąd zatem różne moce?

   Pozdrawiam.

---

Jeśli nie zaznaczono inaczej, moją twórczość należy traktować jako CC-BY-SA 3.0

Doprawdy świetnie się czyta wypowiedzi tak przejrzyście i starannie sformułowane jak Twoje. Dzięki

Spróbuję wpierw odpowiedzieć na pytanie:
> Wszystkie ciągi (nieskończone) są równoliczne, bo ich dziedziną jest zbiór liczb naturalnych. Skąd zatem różne moce?
Owszem, każdy ciąg mocy nie większej niż alef_zero (ozn: |N|) można indeksować elementami N. Wiadomo jednak, że:

Oznacza to mniej więcej tyle, że choć można naturalnie ponumerować wymiary wszystkich 'kostkek o krawędzi 2', to nie sposób ponumerować wszystkich elementów takiej |N|-wymiarowej kostki.
Jeśli wziąć pod uwagę zależność wykładniczo/logarytmiczną między działaniami 'sąsiednich' rzędów, to trudno się oprzeć wrażeniu, że ta sama operacja stoi i za zmianą działań i za zmianą mocy..

Jeśli przyjąć tę analogię za dobrą monetę, oraz bacząc na sugerowaną wcześniej symetrię hipo/hiper działań, to (strach powiedzieć) funkcja wykładnicza 'produkuje' jakąś nie-bijekcję. W takim razie logarytmiczna może też..
W tej (hipotetycznej) sytuacji istniałyby ciągi, które łatwo indeksować naturalnie, ale których elementami nie sposób ponumerować całego N.

Czy wolno zatem cantorowski fakt istnienia najmniejszej nieskończoności uznać za postulat i .. zawiesić?

Pozdrawiam

   Nie wiem, czy dobrze rozumiem. 2^|N| to jest moc zbioru wszystkich podzbiorów zbioru liczb naturalnych, więc podobno continuum (przyznam, dowodu nie znam). Żaden ciąg nie może mieć takiej liczności, bo jego elementów nie dałoby się ponumerować.
   Ciąg logarytmów/eksponent jakiegoś ciągu to wciąż jednak ciąg. Logarytm/eksponenta przeprowadza zbiór elementów ciągu w podzbiór zbioru liczb rzeczywistych, niemniej jednak podzbiór przeliczalny, to w końcu bijekcja. Jego elementy dają się ponumerować elementami oryginalnego ciągu, które z kolei są numerowane liczbami naturalnymi.

   Pozdrawiam.

---

Jeśli nie zaznaczono inaczej, moją twórczość należy traktować jako CC-BY-SA 3.0

>.. elementy dają się ponumerować elementami oryginalnego ciągu, które z kolei są numerowane liczbami naturalnymi.
Czy mogą istnieć zbiory nieskończone (hipo-ciągi wynikłe z hiper-działań?), których elementami nie da się ponumerować N?

[i dlaczego nie]

>>.. elementy dają się ponumerować elementami oryginalnego ciągu, które z kolei są numerowane liczbami naturalnymi.
>Czy mogą istnieć zbiory nieskończone (hipo-ciągi wynikłe z hiper-działań?), których elementami nie da się ponumerować N?
   Masz chyba na myśli po prostu funkcje, określone na zbiorze liczb rzeczywistych, powiedzmy, lub innym o kardynalności continuum. Ciągi to szczególne przypadki funkcji, gdzie dziedziną jest zbiór liczb naturalnych po prostu.
   Tak ja to rozumiem. Ale części w nawiasie nie rozumiem. W owych działaniach jest funkcja odwracalna, więc wykonując je na ciągach, nie można zwiększyć ich kardynalności.

   Pozdrawiam.

---

Jeśli nie zaznaczono inaczej, moją twórczość należy traktować jako CC-BY-SA 3.0

>.. wykonując je na ciągach, nie można zwiększyć ich kardynalności.
Powiedzmy (choć mówi się o czymś takim jak indukcja pozaskończona (pozaprzeliczalna)), tu jednak chodziło o możliwość zmniejszenia kardynalności.

Pozdrawiam.

>>.. wykonując je na ciągach, nie można zwiększyć ich kardynalności.
>Powiedzmy (choć mówi się o czymś takim jak indukcja pozaskończona (pozaprzeliczalna)), tu jednak chodziło o możliwość zmniejszenia kardynalności.
   Nie widzę, jak to mogłoby być możliwe. Funkcje odwracalne pozostawiają kardynalność bez zmian. De facto są one zawarte w definicji równoliczności: dwa zbiory są równoliczne, jeśli istnieje funkcja odwracalna, przeprowadzająca jeden w drugi. Czyli dziedzina i przeciwdziedzina każdej funkcji odwracalnej muszą być, w myśl tej definicji, równoliczne.
   Niestety, nie mam praktycznie żadnej wiedzy o indukcji pozaskończonej, więc w tym temacie nie mogę się wypowiedzieć...

   Pozdrawiam.

---

Jeśli nie zaznaczono inaczej, moją twórczość należy traktować jako CC-BY-SA 3.0

>II. Zagadnienie
>Czy istnieje szersze spektrum ciągów takich, że logarytmy wyrazów jednego są elementami drugiego?
Istnieją. Zakładając że każdą funkcję możemy zapisać w postaci szeregu potęgowego. Możemy otrzymać takie ciągi, przy rozwiązaniu równań różniczkowych drugiego stopnia. Gdzie różnica pierwiastków odpowiedniego równania określającego jest liczbą całkowitą.
>III. Zadanie
>Podać przykłady (ciągów nazwanych w tytule wątku).
Ciągami hipergeometrycznymi są ciągi Gausa, bądź Konfluentne(?)

Za znawcę się nie uważam, ale może chociaż nakieruje kogoś innego