>a. Jaka jest srednia liczba dni, ktora rzeczywiscie odsiedzi?
Min. 50 , max. 100 : średnio 75. Dlaczego to nie może być takie proste ? ;p
>b. Dla ilu dni prawdopodobienstwo ich odsiedzenia jest najwieksze?
Też 75 - wedle powyższej 'logiki'

> Mam nadzieje, ze sformulowanie zadania jest jasne.
Jaśniejsze niż poprzednio: Myślałem, że chodzi o jakieś ciągi sum 11 - jedenaście i 12 - dwanaście na początku ...

---

Największy błąd popełnia ten, kto sądzi, że nieskończoność to jakaś bardzo duża liczba

>>a. Jaka jest srednia liczba dni, ktora rzeczywiscie odsiedzi?
>Min. 50 , max. 100 : średnio 75. Dlaczego to nie może być takie proste ? ;p
>>b. Dla ilu dni prawdopodobienstwo ich odsiedzenia jest najwieksze?
>Też 75 - wedle powyższej 'logiki'

Logika powyzsza nie dziala. Znacznie mniej odsiedzi, sredio rzecz biorac. Odpowiedz na to drugie pytanie tez brzmi: mniej. Przez te zadania chce pokazac, ze prawdopodobienstwo i intuicja (prostota rozumowania) nie ida w parze.

---

Lepiej jest z mądrym zgubić, niż z głupim znaleźć.

>a. Jaka jest srednia liczba dni, ktora rzeczywiscie odsiedzi?

66

>b. Dla ilu dni prawdopodobienstwo ich odsiedzenia jest najwieksze?

Tak na oko - 65

>>a. Jaka jest srednia liczba dni, ktora rzeczywiscie odsiedzi?
>66

Prawie dobrze. Odpowiedz brzmi: 66.(5).

>>b. Dla ilu dni prawdopodobienstwo ich odsiedzenia jest najwieksze?
>Tak na oko - 65

Oko masz dobre, bo to 66 dni.

A jeszcze jedno pytanie: ile wynosi to prawdopodobienstwo?

---

Lepiej jest z mądrym zgubić, niż z głupim znaleźć.

>A jeszcze jedno pytanie: ile wynosi to prawdopodobienstwo?

Szacuję to prawdopodobieństwo na około 8%.

>Prawie dobrze. Odpowiedz brzmi: 66.(5).

Tu chyba masz drobny błąd - powinno być 66.(6).

Na pewno nie mniej niż 50 dni, bo nawet, gdyby cały czas wypadał mu orzeł, to odsiedzi 50 dni, zanim liczba dni spędzonych w więzieniu zrówna się z liczbą dni pozostałych do odsiadki. Musi odsiedzieć 1 dzień, na każdy dzień, który odejmuje mu się od wyroku. Zatem 50 dni to minimum.

Średnia liczba dni odsiadki maleje, jeśli prawdopodobieństwo wypadnięcia orła rośnie.

Najbardziej prawdopodobna liczba dni odsiadki to 67.
Średnia liczba dni to praktycznie tyle samo.

A teraz to, co przyszło mi do głowy:

Niech A oznacza liczbę dni zaoszczędzonych skazanemu (tzn. liczba dni, która wypadła z wyroku)

Niech B oznacza liczbę dni, którą skazany realnie odsiedzi.

p - prawdopodobieństwo wyrzucenia orła.

S - liczba dni wyroku zasądzona przez Sąd ( u nas S = 100).

Uznałem, że musimy tak dobrać obie liczby (A i B), aby

A/B = p

oraz

A+B = S

Mamy zatem

B = S - (S*p)/(1+p)

Dlatego, przy p = 0.5 liczba dni odsiadki B = 100 - (100*0.5)/(1+0.5) = 100 - 50/1.5 = 66.666

To jest oczekiwana liczba dni odsiadki dla p = 0.5

A dla p = 0.25, przykładowo, B = 80.

Dobrze?

> A teraz to, co przyszło mi do głowy:Niech A oznacza liczbę dni zaoszczędzonych skazanemu (tzn. liczba dni, która wypadła z wyroku)
>Niech B oznacza liczbę dni, którą skazany realnie odsiedzi.
>p - prawdopodobieństwo wyrzucenia orła.
>S - liczba dni wyroku zasądzona przez Sąd ( u nas S = 100).
>Uznałem, że musimy tak dobrać obie liczby (A i B), aby
>A/B = p

Mozesz to bardziej rozwinac, bo przyznaje, ze nie widze od razu, dlaczego mialoby to byc dobrze...
Piszes: uznalem. Chcialbym wiedziec, dlaczego tak uznales.

>oraz
>A+B = S
>Mamy zatem
>B = S - (S*p)/(1+p)
>Dlatego, przy p = 0.5 liczba dni odsiadki B = 100 - (100*0.5)/(1+0.5) = 100 - 50/1.5 = 66.666

Nie jestes daleko od prawdy, synu

>Dobrze?

Wytlumacz, dlaczego twoim zdaniem srednia liczba dni odsiadki bedzie taka sama jak najbardziej prawdopodobna liczba dni odsiadki.

---

Lepiej jest z mądrym zgubić, niż z głupim znaleźć.

>Możesz to bardziej rozwinąć, bo przyznaje, ze nie widzę od razu, dlaczego miałoby to być dobrze...
>Piszesz: uznałem. Chciałbym wiedzieć, dlaczego tak uznałeś.

Do myślenia mi dało to, że gdyby p=1 to B = 50 a przy p=0 B=100.
Po prostu przyszło mi to głowy. To Ty znasz gotowe rozwiązanie. Nie ja. Dlatego opieram się na tym, co mi przyjdzie do głowy.

Pomyślałem, że przez "p" można by ująć związek między liczbą dni, które odejmuje się od wyroku za jeden dzień odsiadki. Jeśli p=1, to za każdy odsiedzony dostaję jeden dzień odjęty z wyroku. Przy p < 1 dostaję mniej niż jeden dzień. Można to "p" policzyć dzieląc A przez B.
Daje to prawidłowe rozwiązanie dla przypadków granicznych p=0 i p=1 dlatego pytałem, czy jest to dobrze policzone.

Patrz na to w ten obrazkowy sposób.

Masz pojemnik z napisem "Misio" ze 100 kulkami. Liczba kulek w nim to liczba dni, które masz do odsiadki (i liczba przyszłych losowań oczywiście).

Dodatkowo masz 2 dodatkowe pojemniki. Jeden z napisem "Fisio" a drugi z napisem "Ekstaza". Za każdy odsiedzony dzień wyjmujesz kulkę z Misia i wkładasz do Fisia. Dodatkowo rzucasz monetą. Jeśli wypadnie orzeł, to zabierasz jedną kulkę z pojemnika Misio i wkładasz ją do pojemnika Ekstazy. Codziennie możesz wiec wybrać jedną lub dwie kulki z Misia. Kończysz odsiadkę jeśli w Misiu nie ma już kulek.

Liczba kulek w Fisiu = B a w Ekstazie równa się p*B = A.
A+B = 100

Losuje orła z prawdopodobieństwem "p". Bez względu na to, ile dni będę musiał siedzieć (nieznane B), a tym samym losować, to w pudełku Fisio będę miał B kulek a w pudełku Ekstaza będę miał p*B kulek, bo nie zawsze wyjmę kulkę z Misia do Ekstazy - to zależy od tego, czy wypadł orzeł. Zawsze jednak Wyjmę kulkę z Misia do Fisia.

Zatem na koniec, gdy w Misiu nie będzie już kulek, stosunek liczby kulek w Ekstazie równy p*B do liczby kulek w Fisiu, równy B, da mi poszukiwane "p", gdyż

p*B/B = p.

Odwracając zadanie, gdy podasz mi "p" i sumę A+B (liczbę zasadzonych dni wyroku), mogę wyliczyć oczekiwaną liczbę B i A, czyli liczbę kulek w Fisiu (dni realnej odsiadki) oraz liczbę kulek w Ekstazie (dni "darowane").

Oczywiście B i A są zmiennymi losowymi, więc także A/B jest zmienną losową, lecz mówię tu o wartości oczekiwanej B.

>Wytlumacz, dlaczego twoim zdaniem średnia liczba dni odsiadki będzie taka sama jak najbardziej prawdopodobna liczba dni odsiadki.

Nie napisałem, że te dwie liczby będą równe. Napisałem, że praktycznie takie same, ale nie równe. Najbardziej prawdopodobna liczba dni odsiadki jest liczbą całkowitą a średnia liczba nie musi nią być, jednak przypuszczam, że nie będą zbyt różne.

Powiedzmy, że jestem leniwy i chcę korzystać z gotowych wzorów. Wymyślilem więc metodę przejścia do rozkładu dwumianowego.

Więzień ma N = 100 dni odsiadki. Na pewno odsiedzi 100/2 = 50 niezależnie od prawdopodobieństwa "p" kasowania mu wyroku. To, czy odsiedzi więcej zależy od wartości oczekiwanej rozkładu Bernoulliego dla 50 rzutów z prawdopodobieństwem sukcesu "1-p". Nasza wartość oczekiwana dla tego rozkladu wynosi "ilość rzutów * (1-p)", czyli 50* (1-p).
Doszliśmy do tego, że odsiedzi 50 dni i jeszcze zostanie mu 50*(1-p) zaokrąglone w górę do całkowitej dni - ale w tych 50*(1-p) dni więzień będzie mógł rzucać monetą!
Mamy 100/2 + [50*(1-p)]/2 zaokrąglone w górę + zaokrąglone w dół [50*(1-p)]/2 *(1-p)/2 +...
Wzór ogólny, jeśli pominiemy zaokrąglanie wygląda tak: (SUMA po i=1 do...) N/(2^i)*[(1-p)^(i-1)]. Sumujemy, aż zaokrąglanie przestaje dawać sensowny wynik.

Policzmy pierwszy przypadek:
Dla p=1/2, 1-p=1/2 mamy -
50 + 13 + 3 + 0 = 66

Pozdrawiam

---

Aktualnie brak stopki.

>Wzór ogólny, jeśli pominiemy zaokrąglanie wygląda tak:
(SUMA po i=1 do...) N/(2^i)*[(1-p)^(i-1)]. Sumujemy, aż zaokrąglanie przestaje dawać sensowny wynik.

Ten wzór jest dobry.

Wg tego wzoru, oczekiwana liczba spędzonych w więzieniu dni, dla p=0.5, wynosi 66.66667

Ja, na podstawie innego rozumowania doszedłem do tego samego wyniku.
Wg mnie, oczekiwana liczba dni wynosi N/(1+p).

To jest dobre przybliżenie wyniku.

Autor zadania ma rację. Odpowiedź prawidłowa to 66.5555

Doszedłem do tego, że N/(1+p) nie jest dokładnym rozwiązaniem, po rozpisaniu wszystkich scenariuszy odsiadki dla N=3.
Przykładowo, są 3 sposoby aby więzień siedział 2 dni, ale nie mają one tego samego prawdopodobieństwa. Dwa z nich mają prawd. = 0.25 a jeden scenariusz 2-dniowej odsiadki ma prawd. = 0.125.

Dlatego, oczekiwana liczba dni spędzonych w więzieniu przy N = 3 wynosi 1.875 a nie 3/1.5=2 dni. Błąd mojego przybliżenia bierze się stąd, że nie wszystkie scenariusze odsiadki tej samej ilości dni są równie prawdopodobne.

Mam nadzieję, że mam rację.