>Dla treningu spróbujmy z większymi: 7^2 + 24^2 = 25^2;
>za szybko, więc jeszcze raz:
>137^2 + b^2 = c^2 - no i jak teraz wyliczyć b i c?


b=137^2/2 w dół, c=137^2/2 w górę. Wpadłem na to kiedyś, tak samo, jak Ty.

Dla x^3 poszukam.

Pozdrawiam
PS. A znałeś to: 10^2 + 11^2 + 12^2 = 13^2 + 14^2 .

---

Karp żyje, więc ma prawo do życia! Nie naruszajcie tego prawa!

>Dla x^3 poszukam.
To sobie poszukasz...

---

Ruch Poparcia / SLD / Głosuj na kobiety !

>>Dla x^3 poszukam.
>To sobie poszukasz...
Jak nie znajdę, to może podam dowód - zawsze to się rozwinę.

Pozdrawiam

---

Karp żyje, więc ma prawo do życia! Nie naruszajcie tego prawa!

Wielkie Twierdzenie Fermata, wedle wszystkich matematycznych prawideł, zostało potwierdzone:

nie istnieją żadne a, b, c całkowite, które spełniałyby równanie
a^n + b^n = c^n
dla n całkowitego, większego od dwóch.

Dowód nie mieści się w prostej matematyce, natomiast warte prześledzenia są dociekania na ten temat (powstał nawet film).

Jeżeli znajdziesz prostszy dowód to potwierdzający - uznanie nadal czeka (Fermat musiał jakoś w końcu dojść do tego w łatwiejszy sposób, nie uciekając się do nieistniejących wtedy dziedzin...).

>PS. A znałeś to: 10^2 + 11^2 + 12^2 = 13^2 + 14^2 .
   Ciekawa jest w tym względzie tzw. liczba Münchhausena (nazwana od słynnego barona):


   Podobno, obok 1 = 1¹, to jedyna liczba o takiej własności (da się wyprodukować jeszcze jedną, jeśli przyjąć 0⁰ = 0).

   Pozdrawiam.

---

Jeśli nie zaznaczono inaczej, moją twórczość należy traktować jako CC-BY-SA 3.0

>>PS. A znałeś to: 10^2 + 11^2 + 12^2 = 13^2 + 14^2 .
>   Ciekawa jest w tym względzie tzw. liczba Münchhausena (nazwana od słynnego barona):
>

3435 = 3³ + 4⁴ + 3³ + 5⁵

>   Podobno, obok 1 = 1¹, to jedyna liczba o takiej własności (da się wyprodukować jeszcze jedną, jeśli przyjąć 0⁰ = 0).
Prawdopodobnie przechodząc do innych układów liczenia niż dziesiątkowy możnaby znaleźć inne Munchhauseny.
Pisze o tym, bo jest "szczególna" w układzie dziesiątkowym, a nie wiem, jak by było w innych. Ale ogólnie fajna.

Pozdrawiam

---

Karp żyje, więc ma prawo do życia! Nie naruszajcie tego prawa!

>>Dla treningu spróbujmy z większymi: 7^2 + 24^2 = 25^2;
>>za szybko, więc jeszcze raz:
>>137^2 + b^2 = c^2 - no i jak teraz wyliczyć b i c?
>
>b=137^2/2 w dół, c=137^2/2 w górę. Wpadłem na to kiedyś, tak samo, jak Ty.

Nie, ja nie wpadłem na takie coś.

ale np. tak można:
c^2 = 1 + 3 + 5 + 7 + ... + 137^2 = 1 + 3 + ... + 137^2-2 + 137^2; hihi!
czyli b to po prostu liczba składników tego szeregu:
b = (137^2 - 1)/2 = 138*136/2 = 2*68*69;

>PS. A znałeś to: 10^2 + 11^2 + 12^2 = 13^2 + 14^2 .

1 + 2 + 3 + 4 + 567 + 89 = 666

Wygląda na to, że nie da się dostać a^3+b^3=c^3.
Dowód:
1. Dla a=b nie da się dostać, bo 2^(1/3) jest niewymierne - Jedyne rozwiązanie, to a=b=c=0.
Podobnie odpada przejście z ujemnymi, bo da się z nich wrócić do dodatnich.
2. Zatem a<b
y^3=x^3*(w^3-1), gdzie w należy do całkowitych;
jednocześnie y=kx, gdzie k należy do wymiernych,
stąd k^3=w^3-1
k=(w^3-1)^(1/3), co daje sprzeczność, bo takie k należy do niewymiernych.
Skąd to widać? Sześcian liczby minus 1 nigdy, prócz 1 i 0, nie daje sześcianu, a pierwiastek z sześcian minus 1 jest niewymierny.

Pozdrawiam

A co ta za x i y?

może lepiej z szeregów:
n^2 = 1 + 3 + ... 2n-1;
n^3 = ?
potem jedziemy dalej:
n^4 = ...

No, i chyba wyjdzie że to wielkie twierdzenie Fermata to problem dla gimnazjalisty.
pl.wikipedia.org/wiki/Wielkie_twierdzenie_Fermata

Cóż ten biedny Wiles tworzył z tymi eliptycznymi, że potrzebował na to aż 200 stron?!

x i y to a i b, sorki, u mnie na kartce tak wyglądało.
No przecież dla n=3 pokazałem. Możliwe opcje to 0^3+0^3=0^3; 0^3+1^3=1^3;
Mówisz, że to działa dla n>3?
Dobry jestem.
Najsłabszym miejscem mojego rozumowania, jest to, że liczba wymierna do potęgi 3 może dać liczbę całkowitą tylko w przypadku, gdy sama jest całkowita.

Pozdrawiam

---

Karp żyje, więc ma prawo do życia! Nie naruszajcie tego prawa!

Nie wiem czy to działa... może coś tam zgubiłeś.

>Nie wiem czy to działa... może coś tam zgubiłeś.
'w' może być wymierne, co kladzie dowód. Zrobiłem szczególny przypadek.

Pozdrawiam

---

Karp żyje, więc ma prawo do życia! Nie naruszajcie tego prawa!

>Cóż ten biedny Wiles tworzył z tymi eliptycznymi, że potrzebował na to aż 200 stron?!

Dowód tego, że: "dla liczby naturalnej n>2, nie istnieją takie liczby naturalne x, y, z, które spełniałyby równanie x^n + y^n = z^n". Obecnie został on kilkukrotnie skrócony ale bez topologii i krzywych eliptycznych się nie obejdzie.

---

Ruch Poparcia / SLD / Głosuj na kobiety !

>>Cóż ten biedny Wiles tworzył z tymi eliptycznymi, że potrzebował na to aż 200 stron?!
>Dowód tego, że: "dla liczby naturalnej n>2, nie istnieją takie liczby naturalne x, y, z, które spełniałyby równanie x^n + y^n = z^n". Obecnie został on kilkukrotnie skrócony ale bez topologii i krzywych eliptycznych się nie obejdzie.

Bajki. Z geometrii będzie łatwiej i szybciej.
Kwadraty to powierzchnie, a nie skalary kwadratowe traktowane jako jednowymiarowe wielkości - odcinki, podobnie sześciany i dalej.

a^3 + b^3 = c^3 - tu jest za mało swobody: 3 wymiary a tylko dwa stopnie swobody (trzy litery - jedno równanie = 2).
Wyżej podobnie.

No i to powinno szybko wyjść - z elementarnych własności geometrycznych.

a + b = c; 1 wymiar i dwa stopnie swobody - nieskończenie wiele rozwiązań (dla ustalonego a; jedna liczba wyznacza nam tu chyba tylko skalę - jednostkę długości... ).

a^2 + b^2 = c^2; 2 na 2 zatem remis, i tylko jedno rozwiązanie (dla ustalonej jednostki)!

2^2 + b^2 = c^2;

>Można to rozwiązać na całkowitych?
Z odpowiedzi (których nie poprawiasz, więc rozumiem że się z nimi zgadzasz) wynika że raczej miałeś na myśli naturalne... bo na całkowitych wystarczy choćby (-x)^3 + x^3 = 0^3

>Można to rozwiązać na całkowitych?

a^3 + b^3 = c^3

a^3 + a^3 (b/a)^3 = c^3

a^3 (1 + (b/a)^3 ) = c^3

c = a * sqrt₃(1+(b/a)^3)

c w Z <=> (1+(b/a)^3)^(1/3) w Z

Po ostatnim przekształceniu widać jasno, że dla a i b w Z

0) kiedy b=0, a=0 to nierówność spełniona.

1) kiedy b/a nie jest w Z to c również nie jest w Z, z własności Z

2) z własności Z b/a w Z <=> (b/a = x <=> x*a=b) szukamy więc takiego x w Z, że (1+x^3)^(1/3) w Z

Możemy ładnie graficznie "narysować" y=(1+x^3)^(1/3). Oczywiście jak zauważono już w wątku trzeba by jakoś ładnie udowodnić, że w całej dziedzinie nie ma więcej takich liczb. Ja to intuicyjnie pomijam Z wykresu widzimy, że są dwie takie liczby -1 oraz 0. Stąd otrzymujemy wszystkie cztery (czy dwie?) trójki:

a, b=-a, c=0
a, b=0, c=a
a=0, b, c=0
a=-b, b, c=b

dla których spełnione jest a³+b³=c³

@up, stąd też widać że mamy dwa (jedno?) rozwiązania dla naturalnych, jeśli uznamy, że 0 w Z₊

PS. A ponadto uważam, że przydałby się nam Tex na forum.

---

"Mądrość jest dobrem, aczkolwiek jest pożądana nie sama dla siebie, ale z uwagi na konsekwencje"

Tak chyba nie da rady... Euler ten przypadek udowodnił, ale nie widziałem tego.

>Tak chyba nie da rady... Euler ten przypadek udowodnił, ale nie widziałem tego.

Pitagorasów do potęgi na tym forum nie znajdziemy.

>Tak chyba nie da rady... Euler ten przypadek udowodnił, ale nie widziałem tego.

Myślisz że nie da się udowodnić, że y=(1+x³)^(1/3) przyjmuje tylko 2 wartości całkowite w swojej dziedzinie? :> Mnie to w tej chwili przerasta, ale nie wydaje mi się, że jest to niewykonalne. Jakby nie było dowód Wilesa musiał też opierać się na podobnej analizie.

---

"Mądrość jest dobrem, aczkolwiek jest pożądana nie sama dla siebie, ale z uwagi na konsekwencje"

>>Tak chyba nie da rady... Euler ten przypadek udowodnił, ale nie widziałem tego.
>Myślisz że nie da się udowodnić, że y=(1+x³)^(1/3) przyjmuje tylko 2 wartości całkowite w swojej dziedzinie? :> Mnie to w tej chwili przerasta, ale nie wydaje mi się, że jest to niewykonalne.

Można udowodnić, np. udowadniając że a^3 + b^3 = c^3 nie ma rozwiązań w N.

> Jakby nie było dowód Wilesa musiał też opierać się na podobnej analizie.

Nie. Zresztą ten jego dowód to śmiech na sali, a nie dowód.

>Można to rozwiązać na całkowitych?
>
Polecam w tej kwestii "Śladami Pitagorasa" Szczepana Jeleńskiego.
Fermat: "Znalazłem istotnie zadziwiający dowód tego twierdzenia, ale za mało tu miejsca, aby go umieścić" - bezczelny typ...

---

Są bakterie, które zabija się światłem (Boy)

>>Można to rozwiązać na całkowitych?
>>
>Polecam w tej kwestii "Śladami Pitagorasa" Szczepana Jeleńskiego.
>Fermat: "Znalazłem istotnie zadziwiający dowód tego twierdzenia, ale za mało tu miejsca, aby go umieścić" - bezczelny typ...
A to nie było tak, że to, co zacytowałeś, to był dopisek na marginesie?


Pozdrawiam

---

Karp żyje, więc ma prawo do życia! Nie naruszajcie tego prawa!

>A to nie było tak, że to, co zacytowałeś, to był dopisek na marginesie?
Tak pisze Jeleński, i w istocie najpierw dopisek na marginesie Diofantosa, a potem wprowadzono to do tekstu jako Observatio Domini Petri de Fermat.
Też pozdrawiam w ciepły dzionek.

---

Są bakterie, które zabija się światłem (Boy)

>Można to rozwiązać na całkowitych?
>Z kwadratami można, np.: 3^2 + 4^2 = 5^2;
>Dla treningu spróbujmy z większymi: 7^2 + 24^2 = 25^2;
>za szybko, więc jeszcze raz:
>137^2 + b^2 = c^2 - no i jak teraz wyliczyć b i c?
>
NIE MOŻNA ROZWIĄZAĆ w liczbach całkowitych a^3 + b^3 = c^3 (poza trywialnymi rozwiązaniami tzn. gdy któreś z a,b,c jest zerem).

Udowodnił to m. in. Euler w XVIII wieku (są jeszcze inne dowody).

A tu nie wystarczy przypadkiem użyć twierdzenia typu:

sześcianu (o wymiernym boku, np. jednostkowego) nie można podzielić na dwa mniejsze i o wymiernych bokach.
c^3 = a^3 + b^3 wtedy i tylko wtedy, gdy: 1 = x^3 + y^3; x,y wymierne, bo: x = a/c; y = b/c;

Jednak szeregiem momentalnie to wychodzi.

c^3 = a^3 + b^3, co rozkładamy na drobne:
c^3 = 1 + 7 + 19 + 37 + 61 + 91 + ... 3a(a-1)+1 + ... + 3c(c-1)+1
[b^3 to suma wyrazów od końca - c-a sztuk]

i dalej:
3c(c-1)+1 = 1 + 6 + 12 + 18 + 24 + 30 + 36 + ... + 6(c-1);

czyli sumujemy same szóstki i tylko sporadycznie 1 - raz na wyraz (pierwszego szeregu)... no i dlatego tam nie ma sześcianów (za mała swoboda).

Można zliczyć te szóstki i zapisać w postaci:
b^3 = 6n + k; k - liczba tych jedynek i modulo 6 oczywiście.

Ale poprawny sześcian musi dodatkowo spełniać warunek typu:

a^3 = 6n + k i jednocześnie: k = a mod 6;

4^3 = 6*10 + 4; 5^3 = 6*20 + 5; 6^3 = 6*36 + 0; itd.

No, a w naszym przypadku tak nie będzie: dopiero ostatnia 1 to zapewni, czyli zostaniemy z: a = 0, więc otrzymamy tylko takie rozwiązanie: b^3 = c^3.

Dla wyższych powerów jest podobnie... Fermat faktycznie znał prosty dowód, ale przecież to jest problem dla amatora, więc gość się nawet nie fatygował tego zapisać.

Wniosek? Dzisiaj mamy tylko pełno amatorów i komputery - matematycy dawno przepadli.