>W związku z poprzednim tematem w dziale Nauka próbowałem ogarnąć a^3+b^3=c^3 na liczbach
>naturalnych. Okazało się to trudne.

To nie jest trudne - to jest nieosiągalne dla 'śmiertelników'
Polecam: i-ksiazka.(*)k.php?kid=4327&informacje=opis

edit: sorki, dla samego przypadku n=3 jest to osiągalne
edit2: Osiągnął to Euler - odnajdziesz gdzieś Jego rozumowanie albo podasz inne ? ;p Powodzenia.

---

Ruch Poparcia / SLD / Głosuj na kobiety !

>edit2: Osiągnął to Euler - odnajdziesz gdzieś Jego rozumowanie albo podasz inne ?
Na razie wygląda, że łatwiej jest dla potęgi o wykładniku 2*t, gdzie t jest całkowite dodatnie.
W każdym razie poświęce temu troszkę czasu.

Poświęciłem troszkę czasu problemowi Ramseya i okazuje się, że dla K5 da się zrobić na moim kompie.

Pozdrawiam

---

Karp żyje, więc ma prawo do życia! Nie naruszajcie tego prawa!

>y=x*(3m+1)/(2m+1)
>z=x*(3m+2)/(2m+1)
>Powyższe wyczerpuje wszystkie przypadki liczb naturalnych spełniających twierdzenie

I jak ma to działać - wstawiam kolejne liczby pod m i szukam x,y,z?

m = 1: 4/3, 5/3; 3, 4, 5
m = 2: 7/5, 8/5; 5, 7, 8
m = 3: 10/7, 11/7; 7,10,11

x = 6 nie było, czyli tu tylko nieparzyste wychodzą: x = 2m+1.

m = 7: 22/15, 23/15; 15, 22, 23

Zatem tu tylko wyliczyłeś ten skrajny przypadek - ostatni składnik z szeregu = x^2:
z^2 = 1 + 3 + 5 + ... 2z-3 + | 2z-1;
z składników, z tego z-1 to y^2, a ostatni to x^2;

Ale ten podział szeregu może wystąpić wcześniej, np.:
x = 8^2 = 64;
z^2 = 1 + 3 + ... 29 + | 31 + 33;
i widać że tu dwa ostanie dają: x^2 = 31 + 33 = 64;
z = 34/2 = 17; y = 15;

-----
m = 7: 22/15, 23/15; 15, 22, 23 - ten nie jest prostokątny.
wzór dział dobrze chyba tylko dla liczb typu: x = pierwsza^k, np. 9 = 3^2, a 3*5 już nie.

Sprawdzasz tak:
Wybierasz "x" - weźmy 22.
x*(3m+1)/(2m+1) ma dać liczbe całkowitą, stąd 2m+1=11 i m=5.
y=2*16=32
z=2*17=34

Jeśli nie chcesz zaczynać od najmniejszej liczby x<y<z, to możesz przekształcić wzór, by Ci od "y" lub od "z" wyliczał dwie pozostałe liczby.

Jakbyś chciał ten wzór wyprowadzić, to musisz założyć, że y=k*x+R1 z=m*x+R2. Znaleźć powiązanie między R1 i R2. Na koniec wstawić wszystko do równania x^2+y^2=z^2 i rozpatrzeć dwie możliwości, które Ci wyjdą.
Wzór da się udowodnić ściśle, to znaczy "bez machania rękoma" tylko wszystko na papierze.

Pozdrawiam

---

Karp żyje, więc ma prawo do życia! Nie naruszajcie tego prawa!

No, ale chyba nie działa - nie generuje wszystkich trójkątów... przynajmniej nie wprost, czyli to jest połowiczne rozwiązanie.

Twoja wersja: n, n(3m+1)/(2m+1), n(3m+2)/(2m+1);

zatem:
n^2 + n^2(3m+1)^2/(2m+1)^2 = n^2(3m+2)^2/(2m+1)^2;

tu n^2 można skasować... jeden wymiar nam ucieka, czyli bardzo dużo rozwiązań.

zostaje: (2m+1)^2 + (3m+1)^2 = (3m+2)^2; no, ale to chyba nie jest tożsamość!

(2m+1)^2 = (3m+2)^2 - (3m+1)^2 = 6m+3

Poprawny wzór może być np. taki: 2mn, n^2-m^2, n^2 + m^2; n,m z N;

i masz od razu Piagorasa:
(2nm)^2 + (m^2-n^2)^2 = (n^2 + m^2)^2; no, gra i pasuje... jak byk do obory.

Wyprowadź to, albo coś w tym stylu.

Zanim coś tam skasujesz uwzględnij, że n i m są powiązane: 2m+1 jest dzielnikiem n. "m" nie może być dowolne, tylko pasujące do "n". Stąd na przykład m nie może być równe 0, bo łamie założenie, że "n" jest najmniejsze z trzech liczb.
Chcesz podważyć podany wzór:
1. Wskaż, że generuje on liczby, które nie dają twierdzenia Pitagorasa lub
2. Pokaż, że są liczby dające twierdzenie Pitagorasa, których on nie obejmuje.

Uprzedzam tylko, że mam na papierze wyprowadzenie.

Zresztą sprawdźmy:
n=3 => m=1
y=4, z=5

Działa jak widać powyżej.

Edit: 7, 24, 25 wywraca wzór.

Pozdrawiam

---

Karp żyje, więc ma prawo do życia! Nie naruszajcie tego prawa!

Edit
x=n
y=2n*(m^2+m)/(2m+1)
z=n*(2*m^2+2m+1)/(2m+1)

Co powiesz na ten wzór? W tamtym niestety zgubiłem kwadrat i się dodały składniki.

Pozdrawiam

---

Karp żyje, więc ma prawo do życia! Nie naruszajcie tego prawa!

Nadal o jeden wymiar za mało (skalowanie nie liczy się).

Kombi sprawdziłem swoje papierowe zapiski w poszukiwaniu błędów - bo czasem gubie minuski czy kwadraty. O ile mogę stwierdzić jest wszystko ogarnięte.
Masz dwa pola wyboru n i m. "m" nie jest dowolne, tylko związane z "n".
Jak możesz, to przetestuj wzór na kompie - popodstawiaj liczby.
Jeśli n jest liczbą pierwszą, to m=(n-1)/2. Dla liczb nieparzystych to też działa, ale nieparzyste liczby złożone mają jeszcze dodatkowe możliwości podstawienia innych m.

Mógłbym pewnie Cię przekonać wyprowadzeniem wzoru, ale to by chyba było za szybko podawać Ci go od razu.

W każdym razie dziękuje za pomoc w korekcie.

Pozdrawiam

---

Karp żyje, więc ma prawo do życia! Nie naruszajcie tego prawa!

A ten wychodzi: 8, 15, 17?

i inne podobne przypadki:
20, 21, 29
20, 99, 101

i takie same c:
16, 63, 65
33, 56, 65

Brawo.
Wrzucę później wyprowadzenie wzoru.

Pozdrawiam

---

Karp żyje, więc ma prawo do życia! Nie naruszajcie tego prawa!

Wyprowadzenie pełne:

x^2+y^2=z^2, założenie 1. 0<x,>Karp żyje, więc ma prawo do życia! Nie naruszajcie tego prawa!

>a)k+1=m i wtedy
>x=4R2*m, więc R2=x/4m, R1=x-x/4m=x(4m-1)/4m
>z=x(4m^2+1)/4m
>y=x(m-1)+x(4m-1)/4m=x(4m^2-1)/4m
>b)k=m
>x=R2(2m+1)/(m+1)
>z=x(2m^2+2m+1)/(2m+1)
>y=x(2m^2+2m)/(2m+1)

Coś tu nie gra, jestem za Kombim, czyli:
x = m²-n²
y = 2mn
z = m²+ n²
m>n>0, naturalne

Słabość jest przy 3. założeniu. Jeśli ono "pokrywałoby" wszystkie przypadki to byłoby ok.
Kombi podał trojkąt 33, 56, 65, gdzie x=33, R1=23, R2=32. R1+R2 != x, a trójkąt jest prostokątny!

Teraz muszę rozszerzyć (jesli będe potrafił) regułę z założenia 3.

Pozdrawiam

---

Karp żyje, więc ma prawo do życia! Nie naruszajcie tego prawa!

Znajdź trzy trójkąty prostokątne z których można zrobić narożnik sześcianu.

Ścinasz narożnik płaszczyzną i tam są od razu trzy trójkąty na ścianach, no i czwarty zamyka bryłę.

Trzy trójkąty tak połączone muszą spełniać tylko zależność równości boków:
a1 = b2; a2 = a3; b3 = b2;
no i chodzi oczywiście o całkowite długości.

Z tego chyba można przejść do takiej zależności:
a^4 + b^4 + c^4 = d^4;

Przemyśle.
Ja myślalem, że rozkminiając x^2+y^2=z^2 dojde do x^4+y^4=z^4.

Pozdrawiam

---

Karp żyje, więc ma prawo do życia! Nie naruszajcie tego prawa!

>Przemyśle.
>Ja myślalem, że rozkminiając x^2+y^2=z^2 dojde do x^4+y^4=z^4.

Takiego nie ma.

Możesz spróbować tak:

jeśli masz już dobry wzór na trójkąty, no to stosujesz go po prostu dwa razy, żeby uzyskać boki kwadratowe, znaczy o długościach a^2, b^2, c^2, a nie tylko a, b, c.

a = 2mn = k^2; b = n^2-m^2 = l^2;
jeśli uda się tak dobrać m i b, wtedy byłoby:
a^2 + b^2 = c^2, czyli (k^2)^2 + (l^2)^2 = (o^2)^2;