> Czy parabola i okrąg mogą mieć dokładnie dwa punkty wspólne, spośród których tylko jeden jest punktem styczności?

Nie mogą.
Rozważmy okrąg styczny do paraboli - możliwe są następujące opcje:

1. Okrąg znajduje się całkowicie na zewnątrz paraboli, tzn. w punkcie styczności obie krzywe "wyginają się" w przeciwnych kierunkach.

2. W punkcie styczności krzywe "wyginają się" w tym samym kierunku, tzn. przynajmniej część okręgu znajduje się wewnątrz paraboli. Możemy tu wyróżnić przypadek szczególny i ogólny:

2.1. (szczególny) Punkt styczności w wierzchołku paraboli. I dwa warianty:

2.1.1. okrąg całkowicie wewnątrz paraboli
2.1.2. parabola częściowo wewnątrz okręgu

2.2. (ogólny) Punkt styczności poza wierzchołkiem paraboli. Z trzema wariantami:

2.2.1. środek okręgu bliżej tego ramienia paraboli, na którym jest punkt styczności
2.2.2. środek okręgu bliżej drugiego ramienia paraboli
2.2.3. środek okręgu dokładnie na osi symetrii paraboli

Powyższe wyczerpuje wszystkie możliwości. W kolejnych wariantach mamy:

1. jeden punkt wspólny (= punkt styczności)
2.1.1. jeden punkt wspólny (= punkt styczności)
2.1.2. jeden punkt styczności + dwa punkty przecięcia
2.2.1. jeden punkt wspólny (= punkt styczności)
2.2.2. jeden punkt styczności + dwa punkty przecięcia
2.2.3. dwa punkty wspólne, będące jednocześnie punktami styczności

Edit:
Tak sobie myślę, czy w punkcie 2.1. nie dałoby się dobrać takiej paraboli, żeby wyszły 3 punkty styczności - albo 1 punkt styczności i 4 punkty przecięcia. Pewnie by się dało... Co jednak nie zmienia odpowiedzi na postawione w zagadce pytanie.

> 2.2.2. środek okręgu bliżej drugiego ramienia paraboli
> 2.2.2. jeden punkt styczności + dwa punkty przecięcia

Cholera, a może jednak...?

Warunek spełnia okrąg styczny do paraboli od strony jej wnętrza (tak jak narysowałeś) o krzywiźnie identycznej z krzywizną paraboli w punkcie styczności.
Okrąg styczny mniejszy przecina parabolę 2 razy albo wcale (nie liczymy drugiego punktu styczności zgodnie z warunkami zadania). Okrąg styczny większy przecina parabolę dwa razy. Warunku nie może spełnić okrąg styczny w wierzchołku paraboli, bo ma zawsze parzystą liczbę punktów przecięcia.

Da się to wyjaśnić opisowo. Styczny okrąg mały mieści się we wnętrzu paraboli. Przy pewnej wielkości promienia ma drugi punkt styczny. Powyżej tej wielkości pojawiają się dwa punkty przecięcia - jeden wędruje po ramieniu paraboli w stronę nieskończoności, drugi w stronę punktu styczności. Dociera do punktu styczności w chwili zrównania się krzywizn obu krzywych (tzw. styczność ścisła) i to jest jedyne rozwiązanie - zlewa się ze stycznym i pozostaje tylko jedno prawdziwe przecięcie. Powyżej tej wielkości promienia punkt przecięcia mija punkt styczności i też wędruje do nieskończoności po swoim ramieniu paraboli.

---

Są bakterie, które zabija się światłem (Boy)

W jakiej przestrzeni rozpatrujemy problem?

Szkolny układ Kartezjański? R3?

Sfera? Wstęga Mobiusa?

---

"Mądrość jest dobrem, aczkolwiek jest pożądana nie sama dla siebie, ale z uwagi na konsekwencje"

>W jakiej przestrzeni rozpatrujemy problem?
>Szkolny układ Kartezjański? R3?
>Sfera? Wstęga Mobiusa?
>

---

"Mądrość jest dobrem, aczkolwiek jest pożądana nie sama dla siebie, ale z uwagi na konsekwencje"
>

Myślę że w kartezjańskim.

>Czy parabola i okrąg mogą mieć dokładnie dwa punkty wspólne, spośród których tylko jeden jest
>punktem styczności?
>[Należy podać przykład lub wykazać brak rozwiązań.]

Po lewej stronie aby otrzymać punkt styczności należy założyć punkt wspólny z warunkiem iż nie istnieje argument dla którego wartość z równania okręgu jest na lewo od wartości z równania paraboli. Po prawej stronie chcemy otrzymać punkt przecięcia więc zapisujemy po prostu rownania krzywych przyjmując punkt wspolny i warunek iż istnieje wartość okręgu na prawo od paraboli dla jakiegoś argumentu. Przyjmujemy fakt ciągłości obu funkcji. Potem należy pokazać przez sprzeczność że to niemożliwe ale komu właściwie chce się to robić

Można by się też pobawić w przybliżanie paraboli z pomocą pochodnych lub korzystanie z całek oznaczonych do badania obszaru, co da nam warunki na punkt styczności(obszar miedzy wystającym za parabole okregiem = 0) i warunek na przecięcie (tutaj nie moge jakiegos sensownego wymyślić ale pewnie coś z obszarem równym oo, tylko nie wiem jak go umiejscowić bo trudno sobie coś niemożliwego wyobrazić, tzn trzeba by sobie wyobrazić jak się ma jakieś pole przy styczności do pola przy przecięciu np prostą. )

Na dowód wprost nie mam pomysłu i myślę że jedynie dowód nie-wprost, zapisany przy pomocy sensownych warunków da odpowiedź.

Rozumowanie kolegi wyżej choć prawdziwe to jednak niepoprawne bo nie opiera się na żadnych aksjomatach

>Czy parabola i okrąg mogą mieć dokładnie dwa punkty wspólne, spośród których tylko jeden jest punktem styczności?

By spełnić zadany warunek punkt styczny musi być punktem przegięcia jednej z podanych figur. Jak wiadomo ani parabola, ani okrąg nie posiadają punktu przegięcia.

>>Czy parabola i okrąg mogą mieć dokładnie dwa punkty wspólne, spośród których tylko jeden jest punktem styczności?
>By spełnić zadany warunek punkt styczny musi być punktem przegięcia jednej z podanych figur. Jak wiadomo ani parabola, ani okrąg nie posiadają punktu przegięcia.

Mógłbyś jakoś rozwinąć ten wątek z punktem przegięcia? Bo chciałbym zrozumieć tok rozumowania który jak wynika z komentarza odnosi się tylko do jednego punktu.

Mam wrażenie że chodzi o to iż jeżeli w punkcie styczności damy przegięcie to jednocześnie otrzymamy punkt styczności określony jako dobre odwzorowanie jednej funkcji przez drugą (w otoczeniu tego punktu) i jednocześnie punkt przecięcia.

>Mógłbyś jakoś rozwinąć ten wątek z punktem przegięcia? Bo chciałbym zrozumieć tok rozumowania który jak wynika z komentarza odnosi się tylko do jednego punktu.

Dana jest funkcja y = tg x; x należy do (-Pi/2; Pi/2). Czy można narysować okrąg tak by miał dwa punkty wspólne z funkcją tangens, tak by jeden z nich był równocześnie punktem styczności?

-----------

Jak już znajdziesz jedyny możliwy punkt styczności to drugi punkt "znajduje się sam".

>By spełnić zadany warunek punkt styczny musi być punktem przegięcia jednej z podanych figur.
Okazuje się, że niekoniecznie - może to być jakby 'punkt przegięcia' jednej krzywej względem drugiej.

Umieszczając zagadkę na forum nie znałem rozwiązania (pamiętałem tylko, że (o dziwo) istnieje).
Teraz z trudem wyprodukowałem taki przykład:

równanie paraboli - : y=x²
równanie okręgu -- : (x+1/2)²+(y-5/4)²=2

Chyba dobrze..

Nie sprawdzę, bo mam już serdecznie dosyć własnych rachunków... Mój przykład:

parabola: y = x²
okrąg: (x + 1)² + (y - 1.75)² = 4.5
styczna: y = x - 0.25
punkt styczności: ( 0.5, 0.25 )

Sympatyczne zadanko.

Edit:
Sprawdziłem rachunki, oczywiście walnąłem się w równaniu okręgu.
Dla punktu styczności w ( 0.5, 0.25 ) okrąg powinien być jak u Ciebie.

Drugi punkt wspólny (punkt przecięcia okręgu z parabolą): ( -1.5, 2.25 )

Chwila narady z poradnikiem matematycznym (Bronsztejn-Siemiendiajew) dała mi taki wynik:
dla paraboli ogólniejszej: y = ax ²
okrąg szukany dla dowolnego punktu paraboli o współrzędnej x_p (i oczywiście y _p = ax_p²) ma równanie:

(x + 4a²x_p³)² + (y - 3ax_p² - 1/(2a))² = (1 + 4a²x_p²)³/(4a²)

Paskudne, nie... Spełnia Twoje równanie dla a=1, x_p=1/2

Edit: z nudów sobotnich poszukałem punktu przecięcia: wyszło z tego równanie czwartego stopnia, ale po chwili namysłu zauważyłem, że x = x_p jest jego potrójnym pierwiastkiem, więc czwarty wyszedł zaraz jako x = -3x_p, co daje zresztą -1,5 dla Waszego przykładu. Ciekawe, współrzędna x przecięcia nie zależy od "a".

---

Są bakterie, które zabija się światłem (Boy)

Ojciec Ateusz podał wcześniej przykład dla okręgu o promieniu 3/2^.2^1/2,
który ma z parabolą: y=x² 3 punkty wspólne.
A jak będzie np. dla kręgu o promieniu 3/4^.2^1/2?

Próbuję sprawdzić czy okrąg: (x+1/4)² + (y-1)² = 9/8
spełnia warunki zadania.

[Podejrzewam, że podany przez Ciebie wzór ogólny nie wyczerpuje możliwości dla: y=ax²,
tylko do tych marudnych rachunków brak już cierpliwości.]

> Próbuję sprawdzić czy okrąg: (x+1/4)² + (y-1)² = 9/8 spełnia warunki zadania.

Podstaw y = ax² i spróbuj otrzymany wielomian 4 stopnia przekształcić do postaci (x - x₁)³ * (x - x₂) = 0.

Mi wychodzi, że się nie da. Czyli trzeba parabolę przesunąć - ale nie każ mi już tego liczyć...

>> Próbuję sprawdzić czy okrąg: (x+1/4)² + (y-1)² = 9/8 spełnia warunki zadania.
>.. Mi wychodzi, że się nie da.
Zgadza się. Oszacowałem istnienie innych punktów przecięcia, więc odpowiednie równanie stopnia czwartego nie może mieć potrójnego pierwiastka.

Dzięki za podanie rozwiązania popartego eleganckim rysunkiem.

>[Podejrzewam, że podany przez Ciebie wzór ogólny nie wyczerpuje możliwości dla: y=ax²,

Wydaje mi się, że wyczerpuje wszystkie dla każdej paraboli:

1. Każdą parabolę da się przez przesunięcie i obrót sprowadzić do y = ax² (i to z a>0, czyli skierowaną w górę)

2. Wzór podaje równanie okręgu ściśle stycznego dla KAŻDEGO punktu paraboli, tj. dla dowolnego x_p (od minus do plus nieskończoności)

3. Rozwiązanie układu równania okręgu i równania paraboli (czyli szukanie punktów wspólnych) daje równanie czwartego stopnia, które ma potrójny pierwiastek x = x_p (czyli punkt styczności, który jest pierwiastkiem podwójnym, i dodatkowo w nim ukryty jeden z punktów przecięcia), oraz jeden pierwiastek x = -3x_p, czyli oddalony punkt przecięcia. Rozwiązanie to dotyczy dowolnie obranego punktu styczności x_p na paraboli.

4. Dla x_p = 0 pojawia się poczwórny pierwiastek x = 0, i tylko tu brak poprawnego rozwiązania.

Jeśli szukasz paraboli dla okręgu o danym R, to musisz rozwiązać:


Uzyskasz nieskończenie wiele kombinacji x_p i a, albo dwa lub zero rozwiązań przy a = 1 [x_p = ((2aR)^2/3 - 1)^1/2/(2a)]

No, naturalnie, chyba że się gdzieś pomyliłem

---

Są bakterie, które zabija się światłem (Boy)

>>[Podejrzewam, że podany przez Ciebie wzór ogólny nie wyczerpuje możliwości dla: y=ax²,
>Wydaje mi się, że wyczerpuje wszystkie dla każdej paraboli:
OK. Zgoda. Sprawdziłem, że w moim przykładzie: (x+1/4)2 + (y-1)2 = 9/8
muszą istnieć dodatkowe dwa punkty przecięcia w przedziale (0; 0,5).

Dzięki za podanie ogólnego (z dokładnością do symetrii) rozwiązania.
To faktycznie dość zaskakujące, że same warunki zadania generują automatycznie stałość współrzędnej punktu 'uczciwego' przecięcia, niezależnie od kształtu paraboli.
Można powiedzieć, że krzywa: y=ax² ma ze względu na przecinanie się z okręgiem dokładnie dwa (niezależne od "a") argumenty charakterystyczne: -1,5 oraz 1,5.

[Chyba można je nazwać "argumentami Appenzellera" ..]

>[Chyba można je nazwać "argumentami Appenzellera" ..]
Rumienię się

---

Są bakterie, które zabija się światłem (Boy)