> Teraz się zastanawiam, czy przypadkiem nie można wyznaczyć lokalnie również tych głównych k1 i k2?

Lokalnie nie powinno to być możliwe.

> Rysujemy trójkąt i sprawdzamy czy kąty ostre będą zawsze równe.

Uważam, że pomysł jest już w samej zasadzie chybiony, bo lokalnie suma kątów w trójkącie jest zawsze 180°, niezależnie od składowych krzywizny przestrzeni. Wynika to z uproszczonej wersji twierdzenia Gaussa-Bonneta:

Lokalnie, to znaczy, że powierzchnia trójkąta T -> 0 i całka z krzywizny = 0.

>> Teraz się zastanawiam, czy przypadkiem nie można wyznaczyć lokalnie również tych głównych k1 i k2?
>Lokalnie nie powinno to być możliwe.

Raczej jest możliwe.
W każdym razie możemy uzyskać więcej informacji o kształcie powierzchni, ponad to co daje ta krzywizna Gaussa K.
Np. mierzymy zmiany krzywizny - tej Gaussa, w zależności od kierunku, czyli gradient K, i to już będzie jakaś dodatkowa informacja;
jeśli znajdziemy tak kierunki główne, to wówczas chyba i te krzywizny główne k1 i k2.

>> Rysujemy trójkąt i sprawdzamy czy kąty ostre będą zawsze równe.
>Uważam, że pomysł jest już w samej zasadzie chybiony, bo lokalnie suma kątów w trójkącie jest zawsze 180°, niezależnie od składowych krzywizny przestrzeni.

Ależ skąd.
Chyba będzie tak dla rzutu płaskiego trójkąta na powierzchnię, i boki byłby krzywymi (linie nie geodezyjne) - pomiędzy krzywymi kąty zawsze mogą być dowolne.

> Wynika to z uproszczonej wersji twierdzenia Gaussa-Bonneta:
>
>Lokalnie, to znaczy, że powierzchnia trójkąta T -> 0 i całka z krzywizny = 0.

K jest przecież definiowana w punkcie, czyli właśnie T -> 0.

en.wikipedia.org/wiki/Gauss-Bonnet_theorem

Samo tw. Gaussa-Bonneta dotyczy czegoś innego: liczby cykli, czy dziur w powierzchni, np. torus ma jedną, sfera zero.

Ale paraboloida jest otwarta, więc nie wiem co tu wyjdzie:
Ta całka tam idzie po całej powierzchni, a po kawałku nie wiem co to będzie.

K = 4/(1+4u^2)^2; dS = u sqrt(1+4u^2) dudv

granice: u (0,oo), v(0,2pi);

int KdS = int 4u/(1+4u^2)^3/2 dudv = -2pi /(1+4u^2)^1/2 = 0 - -2pi = 2pi;

Dla sfery jest: K*S = 1/R^2 * 4piR^2 = 4pi = 2.2pi;

en.wikipedia.org/wiki/Euler_characteristic
Zwyczajne bryły mają zawsze ten współczynnik:
chi = 2 = wierzchołki - krawędzie + ściany.

Dla paraboloidy jest 1, czyli jak np. dla połówki sfery.

>>> Teraz się zastanawiam, czy przypadkiem nie można wyznaczyć lokalnie również tych głównych k1 i k2?
>> Lokalnie nie powinno to być możliwe.
> Raczej jest możliwe. W każdym razie możemy uzyskać więcej informacji o kształcie powierzchni, ponad to co daje ta krzywizna Gaussa K. Np. mierzymy zmiany krzywizny - tej Gaussa, w zależności od kierunku, czyli gradient K, i to już będzie jakaś dodatkowa informacja; jeśli znajdziemy tak kierunki główne, to wówczas chyba i te krzywizny główne k1 i k2.

Moim zdaniem to się nie uda. Wykonując wewnętrzny pomiar (nie wychodzisz poza powierzchnię, czyli jesteś "płaszczakiem" mogącym mierzyć odległości i kąty tylko na tej powierzchni) a zarazem lokalny (mierzone odległości są infinitezymalnie małe i służą w zasadzie tylko do znalezienia drugich pochodnych) znajdziesz zawsze tylko K i nie uda Ci się rozbić tej krzywizny na k1 i k2.

>Moim zdaniem to się nie uda. Wykonując wewnętrzny pomiar (nie wychodzisz poza powierzchnię, czyli jesteś "płaszczakiem" mogącym mierzyć odległości i kąty tylko na tej powierzchni) a zarazem lokalny (mierzone odległości są infinitezymalnie małe i służą w zasadzie tylko do znalezienia drugich pochodnych) znajdziesz zawsze tylko K i nie uda Ci się rozbić tej krzywizny na k1 i k2.

Na pewno można wykryć coś więcej - zatem co?

Powierzchnia jest chyba określona zupełnie przez te k1 i k2, ponieważ to są wartości własne tego operatora kształtu, który określa już dokładnie krzywiznę powierzchni, zatem w pełni determinuje powierzchnię.
en.wikiped(*)/Shape_operator#Shape_operator

W końcu dowolna powierzchnia (ciągła) to tylko pokrzywiona płaszczyzna - nie ma tam nic więcej.
---

Wcześniej się trochę pomyliłem: te poziome okręgi na paraboloidzie nie są geodezyjnymi, zatem bok trójkąta nie może przebiegać wzdłuż takiego okręgu.

Geodezyjne biegają tu spiralnie - wzdłuż osi z, i gdy one zbiegają w dół, wówczas w pewnym punkcie zawracają, i tylko w tym ekstremum mamy kierunek poziomo - chwilowo, i tam jest też minimum krzywizny.

Jednak te kąty będą różne, zatem można wykryć te krzywizny główne z pomiaru kątów.

Większy będzie kąt z wierzchołka, który stoi niżej na tej paraboloidzie.
Co zresztą można było ławo przewidzieć: krzywizna tej powierzchni maleje wzdłuż osi z i to jest kierunek główny, a drugi jest zawsze prostopadły.

W przypadku powierzchni obrotowych wystarczy odtworzyć po prostu tę obracaną krzywą: y = f(x), co jest dość łatwe.

Natomiast pełnego kształtu dowolnej powierzchni raczej nie wykryjemy do końca, i nie ma w tym nic nadzwyczajnego.
To jest typowy problem, znany w każdej dziedzinie, np. jak poznać wszystkie regiony, czy kultury świata bez podróżowania - siedząc w domu?

Zatem pomysł z krzywieniem przestrzeni w OTW implikuje czwarty wymiar przestrzenny, co jest raczej niepoważne.

Ale ciekawe cóż to za twór 4D tu wyjdzie:


Dla pełnej jednorodnej sfery wychodzi normalna hipersfera (wewnątrz), dopiero na zewnątrz mamy takie coś.

Zatem można sobie uprościć przyjmując r >> a, wówczas: 1/(1-a/r) =~ (1+a/r).

To będzie chyba właśnie taka paraboloida ale w 4D (oś biegnie wzdłuż czwartego wymiaru).

Ciała poruszają się spiralnie po tej hoperparaboloidzie i ze stałą prędkością = c, ale my widzimy tylko 3 składowe.
Światło biega tylko południkami - po parabolach.

w = k*(x^2+y^2+z^2); k - współczynnik, który zależy od tego a = 2GM/c^2 z metryki.

> Jednak te kąty będą różne, zatem można wykryć te krzywizny główne z pomiaru kątów.

Może tak a może nie. Podejrzewam, że potrzebne są wyższe potęgi różniczek odległości niż drugie. Problem jest ciekawy, ale nie mam czasu aby go rozpracować. Liczę na Ciebie.

> Zatem pomysł z krzywieniem przestrzeni w OTW implikuje czwarty wymiar przestrzenny, co jest raczej niepoważne.

Tłumaczenie geometrii przestrzeni N-wymiarowej jako zakrzywienia w N+1 wymiarze jest jedynie wygodną wizualizacją. Na przykład, zakrzywienie czasoprzestrzeni przez masy należy rozumieć jako zniekształcenie jej geometrii i nie wymaga wprowadzania piątego wymiaru, tym bardziej "rzeczywistego".

>> Jednak te kąty będą różne, zatem można wykryć te krzywizny główne z pomiaru kątów.
>Może tak a może nie. Podejrzewam, że potrzebne są wyższe potęgi różniczek odległości niż drugie. Problem jest ciekawy, ale nie mam czasu aby go rozpracować. Liczę na Ciebie.

Wzór na krzywiznę Gaussa, z samej metryki, jest już dość skomplikowany:

jak widać są tam już drugie pochodne.

Macierz-metrykę zawsze można zdiagonalizować i wtedy wzór będzie znacznie prostszy.

en.wikipedia.org/wiki/Gaussian_curvature

Z samej krzywizny Gaussa i tak nie można jednoznacznie odtworzyć powierzchni, ponieważ są znane różne powierzchnie z taką samą krzywizną Gaussa.
Standardowym przykładem jest katenoida (linia łańcuchowa obracana dookoła osi x), oraz helikoida - przestrzenna wersja zwyczajnej spirali (cała prosta pozioma biegnie po spirali, nie tylko jeden punkt).


Ale to można łatwo wyjaśnić fizycznie:
krzywizna zależy tylko od przyspieszenia (normalnego), a nie od prędkości.
A w tej spirali mamy przecież dodatkową i stałą prędkość wzdłuż osi z, która jest właśnie niewykrywalna lokalnie.

>> Zatem pomysł z krzywieniem przestrzeni w OTW implikuje czwarty wymiar przestrzenny, co jest raczej niepoważne.
>Tłumaczenie geometrii przestrzeni N-wymiarowej jako zakrzywienia w N+1 wymiarze jest jedynie wygodną wizualizacją. Na przykład, zakrzywienie czasoprzestrzeni przez masy należy rozumieć jako zniekształcenie jej geometrii i nie wymaga wprowadzania piątego wymiaru, tym bardziej "rzeczywistego".

Ja właśnie twierdzę, że to jest nieporozumienie.
Sama powierzchnia nie krzywi się sama w sobie, potrzebny jest dodatkowy wymiar, wgłąb którego się wygina.
W ogólnym przypadku potrzebne są nawet dwa ekstra wymiary, ponieważ można zdefiniować metrykę 2D, która nie zmieści się na żadnej powierzchni 3D.
Jest chyba dowód, że 4 wymiary wystarczą dla dowolnej powierzchni - więcej już nie potrzeba.

Sytuacja z krzywizną jest analogiczna do odcinka albo prostej:
wystarczą nam dwa punkty do utworzenia odcinka?
Nie, tu jest konieczny cały dodatkowy wymiar (same punkty są bezwymiarowe).

Można oczywiście ignorować ten czwarty wymiar (może i piąty) zaaplikowany niejawnie w otw, ale to nie znaczy że go tam nie ma.
Po ujawnieniu tego wymiaru pewnie okazałoby się równania otw są faktycznie bardzo proste, może nawet prymitywne.

>> Tłumaczenie geometrii przestrzeni N-wymiarowej jako zakrzywienia w N+1 wymiarze jest jedynie wygodną wizualizacją. Na przykład, zakrzywienie czasoprzestrzeni przez masy należy rozumieć jako zniekształcenie jej geometrii i nie wymaga wprowadzania piątego wymiaru, tym bardziej "rzeczywistego".

> Ja właśnie twierdzę, że to jest nieporozumienie. Sama powierzchnia nie krzywi się sama w sobie, potrzebny jest dodatkowy wymiar, wgłąb którego się wygina.

No to upierasz się, że każda przestrzeń musi być euklidesowa. A jak spotkasz nieeuklidesową, to ratujesz się dodaniem jednego lub dwóch wymiarów, tak aby całość była euklidesowa. Można tak się uprzeć, ale nie trzeba.

>No to upierasz się, że każda przestrzeń musi być euklidesowa. A jak spotkasz nieeuklidesową, to ratujesz się dodaniem jednego lub dwóch wymiarów, tak aby całość była euklidesowa. Można tak się uprzeć, ale nie trzeba.

Nie spotkasz, ponieważ nie istnieje żadna nieeuklidesowa geometria - jest niemożliwa podobnie jak np. kwadratowe koło, albo stożkowa kula.

Tak sobie tylko nazwano dział geometrii, który bada relacje na krzywych powierzchniach, czyli pewien podzbiór euklidesowej.

Np. tw. Pitagorasa a^2 + b^2 = c^2 jest prawdziwe dla płaskich trójkątów po prostu, a nie pokrzywionych (a płaski to taki z płaszczyzny, czyli metryka = diag(1,1))

Rozważ sobie taki przypadek: geometria euklidesowa na powierzchni sfery w przestrzeni hiperbolicznej.
Cóż to miałoby być?

Bzdura, która wynika z próby tworzenia innych - alternatywnych geometrii.

>Tam wyraźnie widać, i chyba jest to nawet formalnie udowodnione, że bez trzeciego >wymiaru nie można utworzyć krzywej powierzchni!
Chyba żartujesz - może chcesz powiedzieć, że bez trzeciego wymiaru trudno jest zwizualizowac powierzchnie zakrzywioną.
Jak nie można skoro wyraźnie korzystasz tylko z dwóch wymiarów - powierzchnia jest bowiem odwzorowaniem płata dwuwymiarowego - trzeci wymiar dla "niej" formalnie nie istnieje. We wszystkich wzorach są tylko współczynniki metryki dwuwymiarowej.

>Teraz się zastanawiam, czy przypadkiem nie można wyznaczyć lokalnie również tych >głównych k1 i k2?
Ale czy to nie jest pseudo problem ?
Są odpowiednie wzory - mając metrykę znajdujemy odpowiednie wielkości - I i II formę powierzchni, krzywizny - sekcyjne, główne, średnie, Gaussa lub inne - bierzesz odpowiednią książkę do geometrii różniczkowej i liczysz według wzorów.

>>Tam wyraźnie widać, i chyba jest to nawet formalnie udowodnione, że bez trzeciego >wymiaru nie można utworzyć krzywej powierzchni!
>Chyba żartujesz - może chcesz powiedzieć, że bez trzeciego wymiaru trudno jest zwizualizowac powierzchnie zakrzywioną.

W ogóle ma mowy o krzywiźnie bez dodatkowego wymiaru, w który krzywimy.
Jest tylko jeden rodzaj krzywizny, znaczy wewnętrzna i zewnętrzna jest tym samym.
Są możliwe dwa sposoby obserwacji: lokalny i globalny, no i stąd te nieporozumienia.

>Jak nie można skoro wyraźnie korzystasz tylko z dwóch wymiarów - powierzchnia jest bowiem odwzorowaniem płata dwuwymiarowego - trzeci wymiar dla "niej" formalnie nie istnieje. We wszystkich wzorach są tylko współczynniki metryki dwuwymiarowej.

Przecież sama metryka jest wyliczana z równań powierzchni, gdzie masz nie tylko x,y ale i h(x,y) - wysokość, czyli są tu przynajmniej trzy wymiary.

Np. bierzemy koło z metryki Schwarzschilda (z=0):
ds^2 = 1/(1-a/r) dr^2 + r^2 df^2;

co odpowiada powierzchni:
R = (rcosf, rsinf, 0, f(r)); f - tyle to wystaje w 4-ty wymiar.

pochodne: R_r = (cosf,sinf,0, f_r); R_f = (-rsinf, rcosf, 0,0);
stąd: E = 1 + f_r^2; G = r^2

zatem: f_r^2 = 1/(1-a/r) - 1 = a/(r-a);
czyli: f(r) = 2a sqrt(r-a) + C

Nie ma tu innych możliwości - dokładnie takie coś proponuje otw.
Jeździmy sobie po geodezyjnych tej hiperpowierzchni i to wszystko.

Można łatwo obliczyć z tego skeczu te efekty relatywistyczne: ugięcie światła, zamrożenie na horyzoncie, itp. (nie ma tu stabilnych orbit - ciała spadają wolno spiralnie do centrum, albo wychodzą w górę - geodezyjne są przecież dwukierunkowe).

Z uwagi na symetrię wystarczy zbadać prostą powierzchnię:
R(r,f) = (rcosf, rsinf, 2sqrt(r-1));

Przy okazji, po tym pierwiastku, od razu widać, że nie ma tu obszaru r < 1; co jednoznacznie ujawnia bezsensowność wszelkich obliczeń dla wnętrza czarnych dziur.

>>Teraz się zastanawiam, czy przypadkiem nie można wyznaczyć lokalnie również tych >głównych k1 i k2?
>Ale czy to nie jest pseudo problem ?
>Są odpowiednie wzory - mając metrykę znajdujemy odpowiednie wielkości - I i II formę powierzchni, krzywizny - sekcyjne, główne, średnie, Gaussa lub inne - bierzesz odpowiednią książkę do geometrii różniczkowej i liczysz według wzorów.

Chodzi o wyznaczenie tych krzywizn za pomocą pomiarów wykonywanych z powierzchni.

Formy II nie wyliczamy z metryki.

>W ogóle ma mowy o krzywiźnie bez dodatkowego wymiaru, w który krzywimy.
Weź teraz analog jednowymiarowy - tj. krzywą płaską. Ty stwierdzisz, że linia krzywa musi z konieczności leżec na powierzchni, ale tak nie jest pojęcie krzywej tj. linii o niezerowej krzywźnie nie wymaga wprowadzania drugiego wymiaru. To że w rachunkach odwołujemy się np. do pojęcia wektora normalnego lub stycznego do krzywej, leżących w innej płaszczyźnie nie oznacza, że krzywa, jako nic więcej jak tylko odwzorowanie odcinka ( zatem tworu jednowymiarowego ) wymaga dla swej matematycznej realizowalności wprowadzenia płaszczyzny. Analogicznie - to, że płaszczyznę tniemy płaszczyznami ( aby np. zdefiniować krzywizny w dwu kierunku ) do niej prostopadłymi nie znaczy, że sama płaszczyzna jest determinowana przez takie ciecia.

>Jest tylko jeden rodzaj krzywizny, znaczy wewnętrzna i zewnętrzna jest tym samym.
>Są możliwe dwa sposoby obserwacji: lokalny i globalny, no i stąd te nieporozumienia.
Oczywiście, że sposoby obserwacji mogą być różne i oczywiście, że tu tkwi cały problem. Jak wiadomo każda rozmaitość możne być włożona do odpowiedniej przestrzeni Euklidesa. Jeżeli zatem patrzysz z perspektywy takiego włożenia, tj. zakładasz, że przestrzeń Euklidesa jest zawsze czymś nadrzędnym wobec rozmaitości, to zakładasz sensowność pojęć krzywizny wewnętrznej i zewnętrznej. Bo w tym akurat przypadku są to różne pojęcia. Ale można również bez sprzeczności rozważać rozmaitość jako obiekt nie zanurzony w żadnej przestrzeni Euklidesa i wtedy pojecie krzywizny zewnętrznej traci sens. To są dwa spójnie matematyczne punkty widzenia. ( zobacz np. Sokołowski "Elementy analizy tensorowej" str. 232 paragraf pt. Krzywizna przestrzeni )

>Przecież sama metryka jest wyliczana z równań powierzchni, gdzie masz nie tylko x,y ale i h(x,y) - wysokość, czyli są tu przynajmniej trzy wymiary.
Czym jest funkcja h(x,y) ? - według mnie jest to właśnie równanie powierzchni, a nie wysokośc.
Powierzchnie zadaje się przez funkcje dwóch zmiennych np. u = u(x, y) lub dwie wektoro-funkcje ( albo jeszcze inaczej ), ale nie ma tam żadnej wysokości.

>Np. bierzemy koło z metryki Schwarzschilda (z=0):
>ds^2 = 1/(1-a/r) dr^2 + r^2 df^2;
>co odpowiada powierzchni:
>R = (rcosf, rsinf, 0, f(r)); f - tyle to wystaje w 4-ty wymiar.
>pochodne: R_r = (cosf,sinf,0, f_r); R_f = (-rsinf, rcosf, 0,0);
>stąd: E = 1 + f_r^2; G = r^2
>zatem: f_r^2 = 1/(1-a/r) - 1 = a/(r-a);
>czyli: f(r) = 2a sqrt(r-a) + C
Wybacz, ale przykład nie jest dla mnie czytelny.

>Nie ma tu innych możliwości - dokładnie takie coś proponuje otw.
>Jeździmy sobie po geodezyjnych tej hiperpowierzchni i to wszystko.
>Można łatwo obliczyć z tego skeczu te efekty relatywistyczne: ugięcie światła, >zamrożenie na horyzoncie, itp. (nie ma tu stabilnych orbit - ciała spadają wolno >spiralnie do centrum).
A tego to już całkiem nie rozumie - w metryce Schwarzschilda nie ma według ciebie stabilnych orbit ?

>Przy okazji, po tym pierwiastku, od razu widać, że nie ma tu obszaru r < 1; co >jednoznacznie ujawnia bezsensowność wszelkich obliczeń dla wnętrza czarnych dziur.
No bo dla badania wnętrza czarnej dziury stosuje się rozszerzenia w/w metryki, ale to jest poza tematem.

>Chodzi o wyznaczenie tych krzywizn za pomocą pomiarów wykonywanych z powierzchni.
No tak, tego nie da się zrobić, z samej definicji tych krzywizn.

>Formy II nie wyliczamy z metryki.
To chyba nie jest aż tak ważne - pierwszej chyba też nie liczymy z metryki. Chciałem powiedzieć, ze są po prostu określone wzory - mając równanie powierzchni(gładkiej) na pewno obliczymy obie formy.

>>W ogóle ma mowy o krzywiźnie bez dodatkowego wymiaru, w który krzywimy.
>Weź teraz analog jednowymiarowy - tj. krzywą płaską. Ty stwierdzisz, że linia krzywa musi z konieczności leżec na powierzchni, ale tak nie jest pojęcie krzywej tj. linii o niezerowej krzywźnie nie wymaga wprowadzania drugiego wymiaru.

Oczywiście że krzywa wymaga kolejnych wymiarów.
W standardowej terminologii jest to właśnie typowy przypadek krzywizny zewnętrznej.
Nie mówi się tu o krzywiźnie wewnętrznej, ponieważ krzywizna krzywej jest zupełnie niewykrywalna lokalnie (możemy sobie jedynie chodzić wzdłuż tej krzywej i to wszystko).

Widać tu że krzywizna jest konsekwencją zmian kierunku biegu, a kierunek biegu zmienia się zawsze w kierunku prostopadłym do bieżącego, czyli w inne wymiary - inaczej nie można.

Każda krzywizna jest z natury zewnętrzna, a ta wewnętrzna to tylko pewna wielkość geometryczna, powiązana z krzywizną, którą można wykryć lokalnie. W przypadku powierzchni jest to ten iloczyn krzywizn: K = k1.k2, co nazwano krzywizną Gaussa, a dla przestrzeni jednowymiarowych, tj. krzywych, nie ma nic.

>Oczywiście, że sposoby obserwacji mogą być różne i oczywiście, że tu tkwi cały problem. Jak wiadomo każda rozmaitość możne być włożona do odpowiedniej przestrzeni Euklidesa. Jeżeli zatem patrzysz z perspektywy takiego włożenia, tj. zakładasz, że przestrzeń Euklidesa jest zawsze czymś nadrzędnym wobec rozmaitości, to zakładasz sensowność pojęć krzywizny wewnętrznej i zewnętrznej. Bo w tym akurat przypadku są to różne pojęcia. Ale można również bez sprzeczności rozważać rozmaitość jako obiekt nie zanurzony w żadnej przestrzeni Euklidesa i wtedy pojecie krzywizny zewnętrznej traci sens. To są dwa spójnie matematyczne punkty widzenia. ( zobacz np. Sokołowski "Elementy analizy tensorowej" str. 232 paragraf pt. Krzywizna przestrzeni )

Nie ma dwóch różnych odmian krzywizny - definicja jest tylko jedna.
Możesz się jedynie ograniczyć do badania tej wykrywanej lokalnie krzywizny, ale to jest samoograniczanie się - utrudnianie problemu, komplikowanie sprawy (sprawdź wzór na krzywiznę gaussa z samej metryki, który wcześniej podałem).

>>Można łatwo obliczyć z tego skeczu te efekty relatywistyczne: ugięcie światła, >>zamrożenie na horyzoncie, itp. (nie ma tu stabilnych orbit - ciała spadają wolno >>spiralnie do centrum).
>A tego to już całkiem nie rozumie - w metryce Schwarzschilda nie ma według ciebie stabilnych orbit ?

Tak. W otw orbity są niestabilne. Z tym że tam planety zawsze spadają spiralnie na Słońce, zatem pewnie przeoczono przypadek odwrotny - geodezyjne są dwukierunkowe (być może lokalnie tego nie widać, albo trudniej to zauważyć).

Na samym horyzoncie jest orbita kołowa: r = a, ale taka na ostrzu noża - równowaga nietrwała, wystarczy minimalne zaburzenie i zawsze wylatujemy spiralnie na zewnątrz.

>>Formy II nie wyliczamy z metryki.
>To chyba nie jest aż tak ważne - pierwszej chyba też nie liczymy z metryki. Chciałem powiedzieć, ze są po prostu określone wzory - mając równanie powierzchni(gładkiej) na pewno obliczymy obie formy.

Forma I to właśnie metryka.

>W standardowej terminologii jest to właśnie typowy przypadek krzywizny zewnętrznej.
>Nie mówi się tu o krzywiźnie wewnętrznej, ponieważ krzywizna krzywej jest zupełnie >niewykrywalna lokalnie (możemy sobie jedynie chodzić wzdłuż tej krzywej i to >wszystko)
No dobrze, ale odpowiedz czy krzywa może, czy nie możne zostać zdefiniowana bez użycia drugiego wymiaru ? ( tak albo nie )
Kwestią drugorzędną jest jakich środków należy użyć aby zdefiniować pojęcia krzywizny krzywej.

>Widać tu że krzywizna jest konsekwencją zmian kierunku biegu, a kierunek biegu >zmienia się zawsze w kierunku prostopadłym do bieżącego, czyli w inne wymiary - >inaczej nie można.
Tak to widzisz "stojac" w wyższym wymiarze. Jak sam stwierdziłes, poruszajac sie po krzywej pozostajemy w jednym wymiarze.

>Każda krzywizna jest z natury zewnętrzna, a ta wewnętrzna to tylko pewna wielkość >geometryczna, powiązana z krzywizną, którą można wykryć lokalnie. W przypadku >powierzchni jest to ten iloczyn krzywizn: K = k1.k2, co nazwano krzywizną Gaussa, a >dla przestrzeni jednowymiarowych, tj. krzywych, nie ma nic.
Skoro jednak istnieje wielkość niezmienna od sposobu wygięcia powierzchni w wyższym wymiarze, to jest to wielkość wewnętrzna tj. nie wymagająca wyższych wymiarów i będąca obiektywnym wskaźnikiem "odchylenia" od płaszczyzny ( tj. powierzchni o zerowej krzywiźnie (wewnętrznej) ) - chyba sam to przyznasz ?

>Nie ma dwóch różnych odmian krzywizny - definicja jest tylko jedna.
Jaka ?

>Możesz się jedynie ograniczyć do badania tej wykrywanej lokalnie krzywizny, ale to >jest samoograniczanie się - utrudnianie problemu, komplikowanie sprawy (sprawdź >wzór na krzywiznę gaussa z samej metryki, który wcześniej podałem).
Co zatem proponujesz ?

>Tak. W otw orbity są niestabilne. Z tym że tam planety zawsze spadają spiralnie na >Słońce, zatem pewnie przeoczono przypadek odwrotny - geodezyjne są dwukierunkowe >(być może lokalnie tego nie widać, albo trudniej to zauważyć).
Rozumiem, mówisz - w OTW nie wszystkie orbity są stabilne. ( bo już z samego faktu poprawności OTW dla Układu Słonecznego widać, że istnieją również orbity stabilne )

>Na samym horyzoncie jest orbita kołowa: r = a, ale taka na ostrzu noża - równowaga >nietrwała, wystarczy minimalne zaburzenie i zawsze wylatujemy spiralnie na zewnątrz.
że co ?

>Forma I to właśnie metryka.
Całkowita racja.

>No dobrze, ale odpowiedz czy krzywa może, czy nie możne zostać zdefiniowana bez użycia drugiego wymiaru ? ( tak albo nie )

Nie znam takiej definicji.
y = f(x) lub F(x,y) = 0 albo x(t),y(t) - dwa wymiary.

W trzech x(t),y(t),z(t) albo układ równań z trzema zmiennymi:
F(x,y,z)=0 i G(x,y,z)=0.

Jeden wymiar: x; ale to jest prosta.

>Skoro jednak istnieje wielkość niezmienna od sposobu wygięcia powierzchni w wyższym wymiarze, to jest to wielkość wewnętrzna tj. nie wymagająca wyższych wymiarów i będąca obiektywnym wskaźnikiem "odchylenia" od płaszczyzny ( tj. powierzchni o zerowej krzywiźnie (wewnętrznej) ) - chyba sam to przyznasz ?

Krzywizna zawsze wymaga wyższych wymiarów, a sprawa wykrywalności (lokalnie) jest tu drugorzędna: niekiedy można wykryć wszystko - sfera, innym razem nic - różne walce.

Krzywizna jest po prostu wielkością emergentną zbioru punktów i dlatego jest tak kłopotliwa - trudna do uchwycenia (zwłaszcza gdy mamy ograniczone pole obserwacji).

>>Możesz się jedynie ograniczyć do badania tej wykrywanej lokalnie krzywizny, ale to >jest samoograniczanie się - utrudnianie problemu, komplikowanie sprawy (sprawdź >wzór na krzywiznę gaussa z samej metryki, który wcześniej podałem).
>Co zatem proponujesz ?

Traktowanie w pełni zgodnie ze stanem faktycznym oraz definicjami.
A w praktyce obliczeniowej należy odtwarzać te krzywizny zewnętrzne na podstawie wewnętrznych, ponieważ tylko wtedy uzyskamy pełny obraz sytuacji.

Być może niekiedy sytuacja byłaby niejednoznaczna, jak ten przypadek katenoidy i helikoidy, ale to chyba nie przeszkadza.
Zresztą ta helikoida to chyba właśnie przypadek przestrzeni typu Lorentza: powierzchnia zakreślana przez prostą, a w ogólnym przypadku przez dowolną krzywą, czy nawet podprzestrzeń.

>Rozumiem, mówisz - w OTW nie wszystkie orbity są stabilne. ( bo już z samego faktu poprawności OTW dla Układu Słonecznego widać, że istnieją również orbity stabilne )

Nie sądzę. Prawdopodobnie ekspandujemy wolno, co sugerują zmiany odległości do Słońca.

>Nie znam takiej definicji.
>y = f(x) lub F(x,y) = 0 albo x(t),y(t) - dwa wymiary.
Czy nie jest to właśnie pierwsza z podanych zależnosci - krzywą określa odwzorowanie( funkcja ) jednej zmiennej. Otrzymujemy krzywą, oczywiście że na płaszczyźnie, ale to jest tylko artefakt tego, że inaczej jej sobie nie wyobrazimy.

>Jeden wymiar: x; ale to jest prosta.
Dlaczego - czy np. prosta leżąca w przestrzeni jest trój wymiarowa?

>Krzywizna zawsze wymaga wyższych wymiarów, a sprawa wykrywalności (lokalnie) jest >tu drugorzędna: niekiedy można wykryć wszystko - sfera, innym razem nic - różne >walce.
No właśnie to jest klasyczny przykład - powierzchnie sfery i walca ( jeszcze lepszy jest dla tego przypadku torus ). Pojęcie niezerowej krzywizny wewnętrznej dla sfery i zerowej dla walca z jednej strony i niezerowa krzywizna zewnętrzna dla obu tych obiektów geometrycznych z drugiej.

>Traktowanie w pełni zgodnie ze stanem faktycznym oraz definicjami.
No ale to właśnie stan faktyczny ( patrz przykład sfery i walca ) wymusza wprowadzenie omawianych pojęć.

>Nie sądzę. Prawdopodobnie ekspandujemy wolno, co sugerują zmiany odległości do >Słońca.
To są tylko twoje hipotezy.

>>y = f(x) lub F(x,y) = 0 albo x(t),y(t) - dwa wymiary.
>Czy nie jest to właśnie pierwsza z podanych zależnosci - krzywą określa odwzorowanie( funkcja ) jednej zmiennej. Otrzymujemy krzywą, oczywiście że na płaszczyźnie, ale to jest tylko artefakt tego, że inaczej jej sobie nie wyobrazimy.

Bierzesz jakby jedną składową z tej postaci parametrycznej:
x(t),y(t),z(t), ... powiedzmy x(t), czyli: x = x(t) i mówisz że to jest jednowymiarowa krzywa, ponieważ nie ma tu współrzędnej t?

To byłoby zwyczajna funkcja, np.: t -> t^2
0-1----2---------3--------

geometrycznie nic się tu nie zmienia - to tylko takie przypisanie numerów do punktów na prostej (od numeru 2 do 3 jest tu nadal całe 9-4 = 5 jednostek, a nie 1).

Numerowanie elementów zbioru nie zmienia przecież stanu tych elementów.

Podobnie powierzchnia: x(u,v), y(u,v), i pomijamy z;
to byłoby tylko przemapowanie punktów w ramach płaszczyzny - zero krzywizny.

Ale teraz mierzymy sobie wzdłuż tej powierzchni - współrzędne u i v są przyklejone jakby do tej powierzchni, więc możemy wyznaczyć krzywiznę, np. z pomiaru pola, czy kątów.

Oczywiście, ale tylko dlatego że takie u i v uwzględniają już ten zjazd wzdłuż z, ponieważ jeździmy przecież po tej powierzchni, a nie po płaszczyźnie (co metryka ujawnia)!

>>Traktowanie w pełni zgodnie ze stanem faktycznym oraz definicjami.
>No ale to właśnie stan faktyczny ( patrz przykład sfery i walca ) wymusza wprowadzenie omawianych pojęć.

Nie ma niezależnej krzywizny wewnętrznej, jak cienia bez światła.

Sprawdźmy trochę metrykę Schwarzschilda - co to reprezentuje w wersji geometrycznej.

Ta metryka implikuje powierzchnię obrotową:

Trzecia składowa = z, reprezentuje tu czwarty wymiar, oczywista.

To jest taka odwrotna parabola (leżąca): z = 2a sqrt(x/a-1) obracana dookoła osi z;
nie wiem, czy to ma jakąś swoją nazwę.
Zwykle mówi się o paraboloidach obrotowych, które powstają z obrotu y = ax^2 dookoła y, a o wersji obracanej dookoła x nie za bardzo się wspomina.

I teraz traktujemy to normalnie jak każdą inną powierzchnię.

to są znane już składowe metryki.

Forma II (która pokazuje jak dana powierzchnia się krzywi):


Krzywizna Gaussa: K = (eg-f^2)(EG-F^2) = -a/2r^3

Krzywizny główne: k_r = sqrt(a/r)/2r; k_f = -sqrt(a/r)/r

Można sprawdzić: K = kr.kf = -a/r / 2r^2 = -a/2r^3

I co to nam daje?

1. k_f = -2k_r, krzywizna radialna jest dwa razy mniejsza od stycznej; i to jest ten słynnych czynnik 2, który podwaja ugięcie światła.

Poruszamy się po geodezyjnych, czyli zwyczajnie toczymy się swobodnie po tej powierzchni. Siły są tylko prostopadłe do toru - i do powierzchni, zatem prędkość jest stała: v = c = const, a przyspieszenie jest równe po prostu c^2 razy krzywizna tego toru.

Zatem gdy jedziemy radialnie - prosto do centrum, wówczas przyspieszenie wynosi:
A = c^2k_r = c^2 sqrt(a/r)/2r
No, ale to przecież nie jest raczej zgodne ze znanym prawem grawitacji.

Według OTW przyspieszenie jest takie:

jest to zgodne z Newtonem dla dużych r.

widać że to jest:

zatem należy uwzględnić jedynie zmiany czasu po r:

Dylatacja czasu oraz zmiany długości wzajemnie się znoszą, i ostatecznie odzyskujemy c = const (w 3D mierzymy oczywiście mniej).

Razem mamy tu ruch w 5D, ale nie wiem, czy czas można tu zupełnie zgeometryzować... pewnie tak.
A gdzieś kiedyś jam słyszał, że ponoć do odwzorowania geometrycznego równań OTW potrzeba 40 kilka wymiarów!
Cóż, chyba komuś się coś z lekka pozajączkowało.

>Ta metryka implikuje powierzchnię obrotową:
>
W pierwszym kroku, jak rozumie wychodzisz od standardowo zapisanej metryki Schwarzschilda, odrzucasz współrzędną czasową tj. dokonujesz cięcia t= const.
Jak zatem otrzymałeś w/w parametryzacje ?

>W pierwszym kroku, jak rozumie wychodzisz od standardowo zapisanej metryki Schwarzschilda, odrzucasz współrzędną czasową tj. dokonujesz cięcia t= const.
>Jak zatem otrzymałeś w/w parametryzacje ?

jest powierzchnia: R = (rcosf, rsinf, f(r));
zatem znając metrykę mamy:

E = R_r^2 = 1 + f_r^2 = 1/(1 - a/r), i z tego obliczamy funkcję f.
--------

Tam wychodzi pewna ciekawostka z tą krzywizną Gaussa:
K = a/2r^3 [1/m^2]

zatem gdy pomnożymy to przez c^2 otrzymamy III Keplera:
w^2 = c^2K = c^2 2GM/c^2/2r^3 = GM/r^3 [1/s^2]

Być może nie jest to przypadkowa zbieżność, lecz właśnie to prawo w wersji geometrycznej.

----
1/(1 - a/r) = r/(r-a), a tam często się pojawia: 1/s = 1/(r/a-1) = a/(r-a)
i teraz:
r/(r-a) - a/(r-a) = 1

zatem tu mamy jakieś kombinacje funkcji hiperbolicznych:
ch(p)^2 - sh(p)^2 = 1

Pewnie można uprościć istotnie obliczenia, podstawiając:
ch(p) = 1/sqrt(1 - a/r), wówczas 1/s = sh(p),
i teraz pochodne po p będą tylko przewracać z sh na ch i odwrotnie.