>S0 = Suma 1/n^2, dla n = 1,2,3,...;
>Ta suma jest skończona, co już Euler obliczył: pi/6.
Skończona to jest, ale do czegoś większego niż pi/6, o czym zresztą może świadczyć porównanie pierwszego wyrazu z domniemaną sumą...

W rzeczywistości
\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}=3\sum_{n=1}^\infty \frac{[(n-1)!]^2}{(2n)!}
skąd nietrudno wyznaczyć sumę szeregu po lewej stronie, równą \frac{Pi^2}{6}. Ten wynik faktycznie należy do Eulera. Co do szeregów podwójnych (czy też potrójnych), o których tu mowa, to sprawa jest znacznie bardziej skomplikowana. W tym przypadku mamy do czynienia z szeregiem o wyrazach dodatnich. Można więc pokusić się o zastosowanie łatwego kryterium:
Tw. Jeżeli wyrazy a_n szeregu \sum_{n=1}^\infty a_n są nieujemne, to szereg ten jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy ciąg jego sum częściowych jest ograniczony.

Pobieżny rzut oka mówi mi, że nie mam pojęcia jak ograniczyć sumy częściowe tego szeregu, ale nie wykluczam, że po głębszym zastanowieniu byłoby to możliwe. To uzasadniałoby tylko istnienie sumy szeregu. Jak wyznaczyć tę sumę? To zadanie pozostawiam Panu Hetmanowi Wielkiemu Koronnemu Twardowskiemu - żywię niezachwianą wiarę w jego zwycięstwo

>Sumy są coraz mniejsze, ale czy razem będzie to zbieżne?
Nie będzie, ale (cytując klasyków) margines jest zbyt mały aby to dokładnie omówić. A poważniej to jak ten ciąg nieco przeorganizujesz to powinno Ci wyjść co trzeba (na razie więcej nie podpowiadam z dwóch względów - po pierwsze, nie chcę Ci zabierać frajdy z samodzielnego rozwiązania, po drugie, musiałbym to wszystko co wymyśliłem uporządkować i dokładnie zapisać krok po kroku, zwłaszcza że rysunków nie za bardzo mogę tu używać).

>>Sumy są coraz mniejsze, ale czy razem będzie to zbieżne?
>Nie będzie, ale (cytując klasyków) margines jest zbyt mały aby to dokładnie omówić. A poważniej to jak ten ciąg nieco przeorganizujesz to powinno Ci wyjść co trzeba (na razie więcej nie podpowiadam z dwóch względów - po pierwsze, nie chcę Ci zabierać frajdy z samodzielnego rozwiązania, po drugie, musiałbym to wszystko co wymyśliłem uporządkować i dokładnie zapisać krok po kroku, zwłaszcza że rysunków nie za bardzo mogę tu używać).

Z całki można to załatwić.
I chyba można sumować okręgami: n^2 + m^2 < N^2, zamiast kubikami.

Wychodzi że to faktycznie idzie liniowo z dystansem, czyli tu N.
Dla 3D podobnie.

>I chyba można sumować okręgami: n^2 + m^2 < N^2, zamiast kubikami.

mniej więcej ten sam pomysł - ja sumowałem "przekątnymi" po których suma m+n była stała, po krótkich rozważaniach wychodziły z tego składniki proporcjonalne do 1/n skąd już bezpośrednio wynika rozbieżność... a skoro 2D jest rozbieżne to już 3D "tym bardziej".

Tu chyba w 2D wyjdzie ln(N), a dopiero w 3D będzie N.

I to jest właśnie ten paradoks Olbersa w wersji oryginalnej: nieskończona temperatura w całym kosmosie.

int I/r^2 dV = int I/r^2 * 4pir^2 dr = 4pi I r, i dla r = oo, I - jakiś tam średni parametr gwiazdy...

A teraz uwzględnijmy zakrywanie.
Wcześnie wyliczyłem dla przypadku równomiernego coś w stylu:
(1-p)^n = e^(n ln(1-p)) =~ exp(-pn);

I ten czynnik wejdzie tam pod całkę, co oczywiście da nam piękną zbieżność.
Wynik będzie ewidentnie zależał od gęstości gwiazd, zatem nie uzyskamy tu pełnego zakrycia (takie coś byłoby przecież niezależne od gęstości).

Czyżby to było aż tak śmieszne, czy też to ja już zupełnie zgłupiałem?

Podobne sumy rozważa się np. przy liczeniu energii kryształu: en.wikipedia.org/wiki/Madelung_constant
Jeśli interesuje Cię tylko zbieżność, raczej wystarczy sprawdzić czy całka jest zbieżna:
\int_{m,n} 1/(m^2+n^2) dmdn = 2pi\int_{r=0..\infty} r /r^2 = \infty
czyli wkład z odległych spowoduje że suma wybuchnie.
A jak chcesz porządne powiązanie sumy i całki, to en.wikiped(*)uler-Maclaurin_formula