> Jaka więc jest średnia długość odcinka zawartego w kole o średnicy jednostkowej? I jak to obliczyć?

Losujesz dwa punkty z tego koła i obliczasz średnią długość.
Chyba będzie to promień koła.

>Losujesz dwa punkty z tego koła i obliczasz średnią długość.
>Chyba będzie to promień koła.

Raczej bym obstawiał coś z pi w składzie. Jeżeli koło ma promień r to przypuszczalnie będzie to r/pi. Ale to trzeba by jeszcze uzasadnić, na razie jest to metoda postmodernistyczna otrzymywania wyników (wciąż nie akceptowana na kierunkach "ścisłych"). Obawiam się, że musi się pojawić po drodze jakaś całka.

---

Nie Bóg, lecz Człowiek potrzebuje obrony.

>>Losujesz dwa punkty z tego koła i obliczasz średnią długość.
>>Chyba będzie to promień koła.
>Raczej bym obstawiał coś z pi w składzie. Jeżeli koło ma promień r to przypuszczalnie będzie to r/pi. Ale to trzeba by jeszcze uzasadnić, na razie jest to metoda postmodernistyczna otrzymywania wyników (wciąż nie akceptowana na kierunkach "ścisłych"). Obawiam się, że musi się pojawić po drodze jakaś całka.

Co to za problem.
Losujesz pierwszy punkt w biegunowym: (r,f), ale tu nie ma znaczenia kąt f, ponieważ interesuje nas różnica kątów pomiędzy dwoma, więc tu przyjmujemy f = 0.

Drugi tak samo, ale f losujemy z jednostajnego 0-2pi.

Rozkład r nie jest równomierny, ponieważ pole rośnie z r^2, dalej od środka jest więcej punktów; rozkład chyba taki:

f(r) = r; wtedy: dp = fdr = rdr; p = 1/2 r^2, chyba dobrze - całkując po f dojdzie 2pi, co razem daje pole koła (czy pierścienia - w granicach od r1 do r2).

Odległość z tw. cosinusów: d^2 = a^2 + b^2 - 2abcos(f);
a i b - współrzędna r dla pierwszego i drugiego punktu, i f - kąt pomiędzy nimi.

I to chyba wszystko - składamy to i całkujemy... z trzy razy.
------

Numerycznie otrzymamy równomiernie punkty na kole w taki sposób:
r = R*sqrt(los()); f = 2pi*los(); los - jednostajny od 0.000000 do 1

i z tego wychodzi średnio: d = 0.905, ale jest duży rozrzut - ponad 0.001 dla miliona strzałów.

Z szybkiego przeliczenia na programowalnym kalkulatorze wynika, że dla okręgu o średnicy 1 (czyli promieniu .5) średnia długość wynosi 0.64... co pozwala podejrzewać, że jest to 2/pi. EDIT
Natomiast dla promienia 1 wychodzi .905 - Twój wynik. Co dowodzi, że zastosowaliśmy ten sam i błędny sposób wyboru punktów losowych. Poszukiwana średnia powinna być liniowo proporcjonalna do promienia - dla dwa razy większego powinna być dwa razy większa. A więc coś trzeba poprawić.
/edit

Wolę podejście analityczne (nie stochastyczne).
Wszystkie odcinki wewnątrz okręgu można podzielić na rozłączne klasy - do każdej z nich należą wyłącznie odcinki wzajemnie równoległe. Jednocześnie wszystkie te klasy zsumowane dają zbiór wszystkich odcinków zawartych w okręgu.

Do problemu więc należy podejść od strony rozwiązania zadania: jaka jest średnia długość cięciw okręgu. Wystarczy w tym celu obliczyć średnią wartość funkcji x^2+y^2=.5 na odcinku [0, 0.5], czyli potrzebna jest całka (oznaczona) z y=sqrt(0.5-x^2).

Dalej wystarczy już tylko przemnożyć uzyskaną wielkość przez 1/4 (to jest średnia długość odcinka zawartego w odcinku). Takie postępowanie ma sens ze względu na symetrię obrotową całego zbioru - wystarczy skupić się na jednej klasie określonej tak, jak to opisałem powyżej.

Natomiast zadanie w przypadku mniej symetrycznych figur jest analitycznie beznadziejne i tu już rzeczywiście pozostają metody losowe.

---

Nie Bóg, lecz Człowiek potrzebuje obrony.

>Z szybkiego przeliczenia na programowalnym kalkulatorze wynika, że dla okręgu o średnicy 1 (czyli promieniu .5) średnia długość wynosi 0.64... co pozwala podejrzewać, że jest to 2/pi.

Nie znormalizowałeś prawdopodobieństwa.
Tam jest chyba: f(r) = r/R^2, co tylko dla jednostkowego koła: R = 1, jest równe r.

Dokładny wynik jest taki: 128/45pi * R.
Dla kuli: 36/35 R.

>Do problemu więc należy podejść od strony rozwiązania zadania: jaka jest średnia długość cięciw okręgu. Wystarczy w tym celu obliczyć średnią wartość funkcji x^2+y^2=.5 na odcinku [0, 0.5], czyli potrzebna jest całka (oznaczona) z y=sqrt(0.5-x^2).

Ale to jest koło o promieniu: R = sqrt(0.5).

Skoro można numerycznie, no to można przerobić tę procedurę na analityczną, czyli całkę.

liczymy średnią z: d = sqrt(a^2 + b^2 - 2ab cosf)
gdzie a,b i f są generowane jakoś losowo;

czyli to jest numeryczne obliczanie objętości jakiegoś tworu o równaniu: d = d(a,b,f).

Takie pierwiastki nie nadają się do obliczeń numerycznych, ponieważ pochodna funkcji sqrt jest nieograniczona w zerze - ma osobliwość - i stąd ten rozrzut.

Nawet prosta całka typu: S = sqrt(1-x^2), obliczana tak wprost numerycznie,
będzie bardzo niedokładna; a to jest przecież ćwiartka zwyczajnego koła:
I = pi/4, dla x od 0 do 1.

Tu wyjdzie średnia 1, ale kwadratów odległości: <d^2> = 1

>Ale to jest koło o promieniu: R = sqrt(0.5).

Zrobiłem mały faux pas.
Swoją drogą proste pytania mogą prowadzić do całkiem ciekawych zagadnień. Szkoda, że w geometrii euklidesowej nie pozostały już żadne "białe plamy" w rodzaju kwadratur koła tudzież innych trudnych problemów. Ciekawe, czy w ogóle są jeszcze jakieś "nietrywialne zadania" w geometrii trójkąta czy planimetrii. Chyba nie - dlatego też, dla matematyków (tych "badawczych") jest to już martwa dziedzina. Szkoda.

---

Nie Bóg, lecz Człowiek potrzebuje obrony.

>Swoją drogą proste pytania mogą prowadzić do całkiem ciekawych zagadnień. Szkoda, że w geometrii euklidesowej nie pozostały już żadne "białe plamy" w rodzaju kwadratur koła tudzież innych trudnych problemów. Ciekawe, czy w ogóle są jeszcze jakieś "nietrywialne zadania" w geometrii trójkąta czy planimetrii. Chyba nie - dlatego też, dla matematyków (tych "badawczych") jest to już martwa dziedzina. Szkoda.

Obawiam się, że tam jest pełno nierozwiązanych problemów.

I głównie stąd te improwizacje w fizyce, np. transformacja Lorentza -
ktoś wie co to przekształcenie reprezentuje (fizycznie)?

Stawiam milion, że żaden fizyk nie ma o tym pojęcia, a nawet gorzej:
jego to w ogóle nie interesuje!

A jak będzie na sferze - np. na powierzchni Ziemi?
Tu wszystkie punkty są równoprawne - nie ma tu brzegu.

Zatem wybieramy dowolny i mierzymy średnią do wszystkich innych.

Stoimy na biegunie, dwie połówki są jednakowe, zatem średnia odległość będzie do równika: pi/2 R?

>Stoimy na biegunie, dwie połówki są jednakowe, zatem średnia odległość będzie do równika: pi/2 R?

Tak. To znaczy, żeby nie było niejasności (pi*R)/2. To się sprowadza do kwestii średniej długości wycinka okręgu - wynik jest też ten sam. Wystarczy zauważyć, że wszystkie krzywoliniowe odcinki na sferze są wycinkami "okręgu wielkiego" (tzn. o największym promieniu).

---

Nie Bóg, lecz Człowiek potrzebuje obrony.

>>Stoimy na biegunie, dwie połówki są jednakowe, zatem średnia odległość będzie do równika: pi/2 R?
>Tak. To znaczy, żeby nie było niejasności (pi*R)/2. To się sprowadza do kwestii średniej długości wycinka okręgu - wynik jest też ten sam. Wystarczy zauważyć, że wszystkie krzywoliniowe odcinki na sferze są wycinkami "okręgu wielkiego" (tzn. o największym promieniu).

Myślałem że tu wyjdzie coś innego.

Na skróty, czyli po prostej, będzie 4/3.
Pi/2 = 1.57 a tu 4/3 = 1.33, niewiele mniej: Pi/2 / 4/3 = 3pi/8 =~ 1.178.

Tu trochę obliczają:
math.stack(*)tween-2-points-within-a-sphere

>Myślałem że tu wyjdzie coś innego.
>Na skróty, czyli po prostej, będzie 4/3.
>Pi/2 = 1.57 a tu 4/3 = 1.33, niewiele mniej: Pi/2 / 4/3 = 3pi/8 =~ 1.178.
>Tu trochę obliczają:
>math.stack(*)tween-2-points-within-a-sphere
>

Ja liczyłem "geograficznie" - odległość jako najmniejszy dystans po powierzchni, bez przekopywania tunelu

---

Nie Bóg, lecz Człowiek potrzebuje obrony.

>Jaka jest średnia długość odcinków zawartych w odcinku jednostkowym?
odcinek o długości d, dzielę na n odcinków, długość tego pod-odcinka to h=d/n

początki to: for(i=0,n, pocz=h*i

końce for(j=i,n, kon=h*j
zaczynam od "i" by dwa razy nie liczyć tego samego
a odcinek o długości 0 to chyba całkiem fajny odcinek

sumuję sd += h*(j-i), przy okazji zliczając lo++

wypróbowane odcinki miały łączną długość "sd"
było ich "lo", iloraz sd/lo to średnia długość
wychodzi 1/3

PARI/GP
f(n,d=1.0)={ my(sd=0,lo=0,h=d/n);
. for(i=0,n,
. . for(j=0,n,
. . . sd += h*abs(j-i);lo++));
. sd/lo
}

for(i=1,100,print(f(i)))

> Jaka jest średnia długość odcinków zawartych w odcinku jednostkowym?

Zafiksujmy na odcinku (0,1) punkt x.
Dla dowolnego y z przedziału (0,1) długość odcinka xy = f(y) = |x-y|

Średnia długość odcinka xy (dla zafiksowanego x) = całka oznaczona [od 0 do 1] f(y)dy
= całka [0 do x] (x-y)dy + całka [x do 1] (y-x)dy = ... = x² - x + 1/2

Teraz średnia długość odcinka dla dowolnego x to całka [0 do 1] (x² - x + 1/2)dx = ... = 1/3

> Jaka jest średnia długość odcinka zawartego w kole o średnicy jednostkowej?

Dla ułatwienia obliczeń przyjmę promień jednostkowy (potem się podzieli przez 2).

Metoda analogiczna jak poprzednio:
- najpierw fiksuję punkt x na (dowolnym) promieniu
- liczę średnią długość odcinka xy dla x zafiksowanego, a y=(r,fi) dowolnego z przedziału r(0,1), fi(0,2pi)
- liczę średnią długość odcinka dla dowolnego x
- zauważam, że to już jest rozwiązanie zadania, bo dla każdego promienia wynik będzie taki sam (symetria)
- ...a skoro już to zauważyłem, to w pierwszym punkcie wybieram oczywiście promień dla którego "fi"=0

Dodatkowo, dla ułatwienia rachunków, nie liczę długości odcinków, tylko ich kwadraty (bo pierwiaski się brzydko całkują) - a pierwiastek wyciągam na koniec.

Kwadrat długości odcinka xy dla zafiksowanego x oraz y=(r,fi) to f(r,fi) = ( x - r cos(fi) )² + ( r sin(fi) )²
= ... = x² + r² - 2xr cos(fi)

Średni kwadrat długości odcinka xy (dla zafiksowanego x) = całka [r od 0 do 1][fi od 0 do 2pi] f(r,fi)*r dr dfi / 2pi
(żeby dostać średnią dzielimy przez pole obszaru, po którym całkujemy) = ... = x²/2 + 1/2

Średni kwadrat długości odcinka dla dowolnego x to całka [0 do 1] ( x²/2 + 1/2 )dx = ... = 5/12

Średnia długość odcinka to zatem sqrt( 5/12 ) = ok. 0.6455, a dla koła o promieniu 0.5 - połowa z tego.

>- najpierw fiksuję punkt x na (dowolnym) promieniu

Tak nie wolno, ponieważ więcej punktów jest dalej od środka koła, czyli duże r są bardziej prawdopodobne.

>Średni kwadrat długości odcinka dla dowolnego x to całka [0 do 1] ( x²/2 + 1/2 )dx = ... = 5/12
>Średnia długość odcinka to zatem sqrt( 5/12 ) = ok. 0.6455, a dla koła o promieniu 0.5 - połowa z tego.

Tak też nie wolno; pierwiastek ze średniej kwadratów długości nie jest równy średniej długości.

r = 1, 2, 3; średnia: (1+2+3)/3 = 2
wtedy r^2 = 1, 4, 9; średnia (1+4+9)/3 = 14/3 != 2^2;

>> - najpierw fiksuję punkt x na (dowolnym) promieniu
> Tak nie wolno, ponieważ więcej punktów jest dalej od środka koła, czyli duże r są bardziej prawdopodobne.

Punktów jest tyle samo na każdym okręgu, niezależnie od r - chociaż rozumiem o czym piszesz.

>> Średni kwadrat długości odcinka (...)
> Tak też nie wolno; pierwiastek ze średniej kwadratów długości nie jest równy średniej długości.

No cholera niby wiem, ale tak bardzo nie chciałem liczyć tej całki z pierwiastkiem...

>Punktów jest tyle samo na każdym okręgu, niezależnie od r - chociaż rozumiem o czym piszesz.

Rozkład współrzędnej r na kole ma jednoznaczny rozkład - nie ma tu paradoksu.

> No cholera niby wiem, ale tak bardzo nie chciałem liczyć tej całki z pierwiastkiem...

No właśnie. Na studiach ćwiczy się liczenie całek, przez części, przez podstawienie, funkcje wymierne, takie, siakie, owakie... A potem okazuje się, że cała ta umiejętność jest mało użyteczna, bo 90% całek napotkanych w praktyce nie da się policzyć żadną z tych metod. Ja przestałem liczyć całki analitycznie. Jak potrzebnej mi całki nie ma w tablicach, to liczę numerycznie.

>Ja przestałem liczyć całki analitycznie. Jak potrzebnej mi całki nie ma w tablicach, to liczę numerycznie.
   No, przecież właśnie po to wymyślono komputery.

>> Jaka jest średnia długość odcinków zawartych w odcinku jednostkowym?
>Zafiksujmy na odcinku (0,1) punkt x.
>Dla dowolnego y z przedziału (0,1) długość odcinka xy = f(y) = |x-y|
>Średnia długość odcinka xy (dla zafiksowanego x) = całka oznaczona [od 0 do 1] f(y)dy
>= całka [0 do x] (x-y)dy + całka [x do 1] (y-x)dy = ... = x² - x + 1/2
>Teraz średnia długość odcinka dla dowolnego x to całka [0 do 1] (x² - x + 1/2)dx = ... = 1/3

Wydaje mi się, że to błędne obliczenie.

Ja rozumowałem następująco:
1. Jaka jest średnia długość odcinków o punkcie "początkowym" w zerze? Odpowiedź jest dość oczywista - 1/2.
2. Dla każdego następnego "początkowego" punktu równie oczywiście średnia długość odcinków wynosi połowę odległości do "końca" odcinka jednostkowego. Co więcej, liniowo zbiega do zera.
3. Zatem ustalamy funkcję, przyporządkowującą każdemu "początkowi" odcinka zawartego w inkryminowanym odcinku jednostkowym wartość średniej długości wszystkich odcinków, które się w tym punkcie "zaczynają". Jest to funkcja liniowa, która w punkcie 0 a wartość 1/2 a w punkcie 1 wartość 0.
4. Obliczamy średnią wartość tej funkcji: jest to 1/4.

W ten sposób każdy z odcinków został policzony tylko raz. Obawiam się, że w Twoim rozumowaniu ukryty błąd polega na tym, że niektóre odcinki liczysz podwójnie.

---

Nie Bóg, lecz Człowiek potrzebuje obrony.

> 2. Dla każdego następnego "początkowego" punktu równie oczywiście średnia długość odcinków wynosi połowę odległości do "końca" odcinka jednostkowego.

Zaraz Ci Hetman Twardowski napisze, że nie wolno tak losować...

Dla punktu początkowego z lewej wylosujesz N odcinków średniej długości, a dla punktu z prawej: N bardzo króciutkich.
I to Ci zaniży średnią. Musisz losować oba punkty równocześnie, wtedy równomiernie pokryjesz odcinek jednostkowy.

Jeżeli chcesz zafiksować punkt początkowy (x) i rozważać tylko y>x, to powinieneś policzyć całkę po trójkącie:
Całka [x: od 0 do 1][y: od x do 1] ( y - x ) dx dy = ... = 1/6

...co następnie dzielimy przez pole trójkąta (1/2) i dostajemy średnią długość odcinka = 1/3

>> 2. Dla każdego następnego "początkowego" punktu równie oczywiście średnia długość odcinków wynosi połowę odległości do "końca" odcinka jednostkowego.
>Zaraz Ci Hetman Twardowski napisze, że nie wolno tak losować...
>Dla punktu początkowego z lewej wylosujesz N odcinków średniej długości, a dla punktu z prawej: N bardzo króciutkich.
>I to Ci zaniży średnią. Musisz losować oba punkty równocześnie, wtedy równomiernie pokryjesz odcinek jednostkowy.

Muszę to przemyśleć. Postaram się odpowiedzieć w przeciągu miesiąca

---

Nie Bóg, lecz Człowiek potrzebuje obrony.

>Jeżeli chcesz zafiksować punkt początkowy (x) i rozważać tylko y>x, to powinieneś policzyć całkę po trójkącie:
>Całka [x: od 0 do 1][y: od x do 1] ( y - x ) dx dy = ... = 1/6
>...co następnie dzielimy przez pole trójkąta (1/2) i dostajemy średnią długość odcinka = 1/3

Brawo. Przypomniało mi się, jak to obliczałem na kółku matematycznym.

Na marginesie - skoro odkryliśmy troistość odcinka to należałoby się zastanowić nad troistością przestrzeni. I Absolutu. Może to ślad obecności Trójcy Świętej. Zlecam przemyślenie tematu jako pracę domową.

---

Nie Bóg, lecz Człowiek potrzebuje obrony.

Pojawia się w tym wątku obliczenie tytułowej średniej jako odległości dwu punktów na odcinku. Ojciec Ateusz mnie początkowo przekonał zważywszy na to, że przypomniałem sobie odpowiednie zadanie z czasów zainteresowania tą szlachetną dziedziną wiedzy.

Jednak po głębszym namyśle podtrzymuję swoją tezę, że inkryminowana średnia wynosi 1/4 a nie 1/3.

Nie znaczy to, bym miał jakiekolwiek zastrzeżenia do obliczeń Ateusza, są maksymalnie poprawne. Tylko że...

Średnia długość odcinka w figurze nie jest tym samym, co średnia odległość punktów należących do tej figury.

Wynika to z takiego niuansu (a niuanse w matematyce mają wielką historię), że para punktów nie jest tym samym, co odcinek wyznaczany przez tę parę. Oczywiście w wielu sytuacjach można pominąć to rozróżnienie.

Jednak nie w tym.

Jako przykład podam pierścień o dużym promieniu 1 i małym 1/2. Oczywiste jest, że należą do niego pary punktów odległe o 2, ale żaden taki odcinek nie należy do takiego pierścienia. Co oczywiście ma wpływ na wielkość średniej długości odcinków wewnątrz tej figury.

W przypadku odcinka sytuacja jest o tyle ciekawa, że musimy przecież potraktować odcinek jako pewną "gotową" całość a nie konstruować go dopasowując ich rozmiar do odcinka. Stąd więc najpierw bierzemy odcinek o dowolnej długości (każda długość jest jednakowo prawdopodobna), sprawdzamy, czy mieści się w odcinku jednostkowym i jedziemy dalej ze statystyką całkową po continuum. Wynik będzie właśnie taki: 0.25. Co mnie - przyznam, zdziwiło, zważywszy na to, że istotnie pary punktów są średnio oddalone o 1/3. Tylko, że ich wybór jako podzbioru danego odcinka nie jest geometrycznie tożsamy wyborowi w pełni losowego odcinka.

Piękna jest matematyka, już myślałem, że nic mnie w niej nie zaintryguje, a tu masz

---

Nie Bóg, lecz Człowiek potrzebuje obrony.

To są jedynie próby uzasadnienia jakichś swoich domniemań, czyli interpretacje.

Takimi metodami pracują obecnie fizycy teoretyczni.
Wymyślają sobie teorię - względnie prostą i dopasowaną do wyników kilku eksperymentów, a potem dorabiają coraz bardziej wariackie interpretacje (pojawiają się tu zupełnie nowe i niepojęte pojęcia, zjawiska, efekty oraz rekurencyjne definicje), żeby tylko utrzymać tę teorię.
Ostatecznie nikt i nic z tego już nie rozumie, no i jest pełen konsensus wśród ekspertów... no, a ekspert to ten który rozumie najlepiej, oczywiście.

> najpierw bierzemy odcinek o dowolnej długości (każda długość jest jednakowo prawdopodobna)
Z ciekawości - jak losujesz tę długość z rozkładu jednostajnego na (0, nieskończoność)?

> sprawdzamy, czy mieści się w odcinku jednostkowym
Prawdopodobieństwo = 0 nie jest problemem?

> Wynik będzie właśnie taki: 0.25.
Mógłbyś przybliżyć szczegóły metody, żebym sobie to zasymulował?

> pary punktów (...) ich wybór jako podzbioru danego odcinka nie jest geometrycznie tożsamy wyborowi w pełni losowego odcinka
Dlaczego odcinek wylosowany na prostej metodą długość->położenie uważasz za "w pełni losowy", a metodą punkt->punkt już nie?

> Teraz średnia długość odcinka ... = 1/3

Plus za odcinek, koło wymaga poprawek.

> Plus za odcinek, koło wymaga poprawek.

Dziękuję, ale raczej nie w pełni zasłużyłem.

Koło numerycznie wychodzi mi tak jak tutaj, aczkolwiek ta ich metoda z pierwiastkiem z r nie jest dla mnie intuicyjnie oczywista, więc odcinek w kole losuję sobie (po bożemu?) strzelając w punkty na kwadracie [-1,1]x[-1,1] i odrzucając trafienia poza koło. Dlaczego wychodzi nam tyle samo (128/45pi), to już Bertrand jeden wie.

>Koło numerycznie wychodzi mi tak jak tutaj, aczkolwiek ta ich metoda z pierwiastkiem z r nie jest dla mnie intuicyjnie oczywista, więc odcinek w kole losuję sobie (po bożemu?) strzelając w punkty na kwadracie [-1,1]x[-1,1] i odrzucając trafienia poza koło. Dlaczego wychodzi nam tyle samo (128/45pi), to już Bertrand jeden wie.

Tak też można.
A pierwiastek jest tam dlatego, że pole koła rośnie z kwadratem promienia, a nie liniowo.

> Koło numerycznie wychodzi mi tak jak tutaj, aczkolwiek ta ich metoda z pierwiastkiem z r nie jest dla mnie intuicyjnie oczywista...

Ten pierwiastek bierze się z jakobianu przekształcenia ze współrzędnych kartezjańskich do biegunowych; jest to wyjaśnione na tej stronie.

Dziękuję za podanie tych stron. Kiedyś symulowałem rozkłady kątowe dysocjacji jonów molekularnych i nabiedziłem się z wyprowadzeniem wzoru na równomierny rozkład prawdopodobieństwa na sferze a tu jest to ładnie zrobione.

> ... więc odcinek w kole losuję sobie (po bożemu?) strzelając w punkty na kwadracie [-1,1]x[-1,1] i odrzucając trafienia poza koło. Dlaczego wychodzi nam tyle samo (128/45pi), to już Bertrand jeden wie.

Wychodzi tyle samo bo obie metody są poprawne. Jak używasz współrzędnych kartezjańskich, to pierwiastek z r jest niepotrzebny.

>Ten pierwiastek bierze się z jakobianu przekształcenia ze współrzędnych kartezjańskich do biegunowych;

Ja powiedziałbym raczej odwrotnie - ten pierwiastek nie tyle bierze się z jakobianu, ale ten pierwiastek musi być użyty (ogólniej: funkcje transformacyjne muszą być tak dobrane), aby jakobian był stały tzn. niezależny od zmiennych.
A tak ogólniej. Nie masz wrażenia, że dyskusja dryfuje z daleka od ciekawych spraw?
Hodża zabrnął w jakieś mętne rozważania topologiczno-mnogościowe zamiast trzymać się istoty bardzo ciekawego problemu, który sam postawił: Jak zrobić z gotowego zbioru odcinków przestrzeń probabilistyczną.
Tymczasem wszyscy tu zajmują się strzelaniem punktami a to w odcinek, a to koło...

>Hodża zabrnął w jakieś mętne rozważania topologiczno-mnogościowe zamiast trzymać się istoty bardzo ciekawego problemu, który sam postawił: Jak zrobić z gotowego zbioru odcinków przestrzeń probabilistyczną.

Chyba nie ma na to ogólnej odpowiedzi. Nie możemy przecież trzymać się tylko najprostszych przykładów. Poza tym nie da się uciec od tych wcale nie mętnych dzięki wielkiemu Cantorowi rozważań. Wystarczy zważyć, że średnia długość odcinka na zbiorze liczb niewymiernych w [0;1] wynosi zero. Podobnie jak i na zbiorze wymiernych. A tu już trzeba uwzględnić wszystkie właściwości R.

---

Nie Bóg, lecz Człowiek potrzebuje obrony.

>Chyba nie ma na to ogólnej odpowiedzi.
Chyba jest - dałem ją w kilku wypowiedziach tego wątku. Ale nikt nie chce tego przeczytać ze zrozumieniem.

>Wystarczy zważyć, że średnia długość odcinka na zbiorze liczb niewymiernych w [0;1] wynosi zero.
Możesz rozwinąć tę myśl? Jakoś ją uzasadnić? Bardzo mnie to intryguje.

>>Wystarczy zważyć, że średnia długość odcinka na zbiorze liczb niewymiernych w [0;1] wynosi zero.
>Możesz rozwinąć tę myśl? Jakoś ją uzasadnić? Bardzo mnie to intryguje.

Nie ma bata, zero

Zważ, że ten zbiór jest "dziurawy". Nie wyjmiesz z niego żadnego odcinka. Odcinka, rozumiesz - nie jakiegoś sita

---

Nie Bóg, lecz Człowiek potrzebuje obrony.

Nie baw się tak beztrosko zbiorami, bo jeszcze jakie nieszczęście z tego wyniknie. Daruję sobie polemikę z Twoimi argumentami i krótko zreferuję Ci, co matematyka ma na ten temat do powiedzenia:

Wprowadza się pojęcie miary, które jest uogólnieniem pojęcia długości (pola, objętości...) na zbiory nieco bardziej skomplikowane niż przedziały ( prostokąty, prostopadłościany...). Jest to nieujemna, przeliczalnie addytywna funkcja na pewnym sigma-ciele podzbiorów prostej (płaszczyzny, przestrzeni...). Miarę czyli funkcję spełniającą te warunki można definiować na różne sposoby.

Oznaczmy zbiór liczb wymiernych w odcinku [0;1] przez A, zbiór liczb niewymiernych w odcinku [0;1] przez B.

Miara Jordana:
W tej mierze oba zbiory A,B są niemierzalne tzn. nie mają miary (długości). Nie mają ani 0, ani 1 ani żadnej innej. Wynika to z tej prostej przyczyny, że dla nich miary wewnętrzne i zewnętrzne nie "schodzą się"

Miara Lebesgue'a
Tu zbiór A ma miarę 0, zbiór B ma miarę 1. Dowodzi się że A i B są mierzalne w sensie Lebesgue'a. A ma miarę 0, bo jest przeliczalnym zbiorem punktów (korzystamy tu z tego, że każdy pojedynczy punkt ma miarę 0 i z przeliczalnej addytywności miary). Z kolei B jako dopełnienie zbioru miary 0 sam ma miarę 1.
Podobnie sprawa wygląda z dowolnymi pododcinkami zawierającymi tylko niewymierne albo tylko wymierne ( w pierwszym przypadku wystarczy policzyć różnicę między prawym i lewym końcem, w drugim mamy zawsze zero)

> Miara Lebesgue'a

Zważ, że gdybym chciał się bawić w teorię miary, tracąc przy okazji część czytelników wątku, zaznaczyłbym to wyraźnie na wstępie Interesują mnie tylko odcinki w znaczeniu geometrycznym - a te są zbiorami wszędzie gęstymi a więc nie mogą się składać tylko z punktów wymiernych albo tylko niewymiernych.

Oczywiście, że można wprowadzać miary, ba nawet z metrykami można się rozmaicie bawić i w zależności od wybranego sposobu mierzenia będziemy otrzymywać inne rezultaty.

---

Nie Bóg, lecz Człowiek potrzebuje obrony.

>Zważ, że gdybym chciał się bawić w teorię miary, tracąc przy okazji część czytelników wątku, zaznaczyłbym to wyraźnie na wstępie
To, że nie bawisz się teorią miary i wieloma innymi działami matematyki, widać po infantylności Twoich komentarzy. Ale to naprawdę żaden wstyd. Zważ jednak Ty z kolei, że bawiąc się nią i pisząc o tym na wstępie mógłbyś przyciągnąć wielu innych czytelników zachęconych i zainspirowanych głębią i dociekliwością poruszanych spraw.

>Interesują mnie tylko odcinki w znaczeniu geometrycznym
Teoria miary także interesuje się odcinkami w znaczeniu geometrycznym. A teorię tę tworzyły naprawdę giganty intelektualne. Im chodziło, żeby rozciągnąć pojęcie intuicyjnie oczywiste jakim jest długość na zbiorze zwykłych odcinków na możliwie największą klasę podzbiorów prostej (płaszczyzny itd.). I by zachowana była fundamentalna zasada: miara sumy ma być sumą miar (w Twoim dziecinnym pomyśle przypisałeś zarówno zbiorowi liczb wymiernych i niewymiernych miarę 0, gdy tymczasem suma mnogościowa tych zbiorów czyli kompletny odcinek ma miarę 1 tzn. nie jest ona sumą miar swoich komponentów). Dałem Ci dwa przykłady miar Jordana i Lebesgue'a aby Ci uświadomić, że niebanalny jest problem powiększania klasy zbiorów mierzalnych (czyli tych dla których istnieje miara). Jest jeszcze wiele innych miar, ale we wszystkich, w których udało się uczynić mierzalnym zbiór liczby niewymiernych z odcinka [0;1], tam ma on miarę 1.

>...a te są zbiorami wszędzie gęstymi a więc nie mogą się składać tylko z punktów wymiernych albo tylko niewymiernych.
Gdybyś najpierw sprawdził określenie "zbiór wszędzie gęsty", to nie pisałbyś takich banialuk - zbiorami wszędzie gęstymi są zarówno kompletny odcinek [0;1], odcinek złożony z samych liczby wymiernych jak i wreszcie odcinek złożony z samych liczby niewymiernych.

>Oczywiście, że można wprowadzać miary, ba nawet z metrykami można się rozmaicie bawić i w zależności od wybranego sposobu mierzenia będziemy otrzymywać inne rezultaty.
Można, można. Można też robić pompki albo ćwiczyć stanie na rękach. Ale jeśli już chcesz wprowadzać metryki, to powinieneś wiedzieć, że są one funkcjami określonymi na parach punktów a nie na podzbiorach i mają baaaardzo luźny związek z pojęciem miary.

Używasz słów, których nie rozumiesz. Jeśli tak ma wyglądać promowanie zainteresowania naukami ścisłymi, to ...

>>Zważ, że gdybym chciał się bawić w teorię miary, tracąc przy okazji część czytelników wątku, zaznaczyłbym to wyraźnie na wstępie
>To, że nie bawisz się teorią miary i wieloma innymi działami matematyki, widać po infantylności Twoich komentarzy.

Przyznam, że nie jestem matematykiem i mogę popełniać błędy. W szczególności jeśli chodzi o to, co nazwałem gęstością jest postulatem, by każdy zbieżny ciąg punktów zbioru miał granicę w tym zbiorze. Podejrzewam, że chodzi w przypadku odcinków o zbiory zwarte. Mam nadzieję, że teraz jest wszystko jasne - doprawdy, mamy do czynienia z dyskusją a nie kolokwium i z pewnością załapałeś, o co mi mogło chodzić; jednak zamiast tego wykorzystałeś ten błąd, by zdyskredytować dyskutanta.

I tu dochodzimy do drugiego problemu, a mianowicie sposobu prowadzenia dyskusji. Twoje argumenty ad personam dotyczące infantylizmu są przykre i nie zachęcają do tego, by z taką osobą kontynuować dyskusję. Można bowiem z dużym prawdopodobieństwem przewidywać, że negatywne emocje, które wylewają się z takiej stylistyki Twoich wypowiedzi również w przyszłości mogą być powodem konsternacji ze strony tych, którzy z dobrą wolą podchodzą do podejmowanych dyskusji zakładając pewien poziom kultury osobistej dyskutantów.

W związku z tym byłbym Ci niezmiernie wdzięczny, gdybyś powstrzymał się od tego typu komentarzy, a o ile to możliwe, w ogóle od komentarzy w tym wątku. Obawiam się bowiem, że próbujesz przekierować dyskusję na jakieś boczne tory dość odległe od prostej treści poruszonego tematu. Mam nadzieję, że dostatecznie jasno dałem Ci do zrozumienia, że nasza dyskusja jest zakończona.

Pozdrawiam.

P.S. Wątek uważam za zamknięty - jeśli ktoś ma coś do dodania, niech zakłada nowy.

---

Nie Bóg, lecz Człowiek potrzebuje obrony.

>to, co nazwałem gęstością jest postulatem, by każdy zbieżny ciąg punktów zbioru miał granicę w tym zbiorze
>Podejrzewam, że chodzi w przypadku odcinków o zbiory zwarte
Już trochę lepiej, sam teraz widzisz jak subtelne są to pojęcia i jak ostrożnie trzeba ich używać.
To, co piszesz o ciągu zbieżnym, w zasadzie sprowadza się do tego, żeby zbiór zawierał w sobie swoje punkty skupienia. Odpowiada to pojęciu zbioru domkniętego. Wzmocnienie warunku do zwartości jest niezłe, ale zwarty jest także każdy skończony zbiór z złożony np. z 5 punktów, albo zbiór nieskończony typu {1/1, 1/2, 1/3, 1/4,... 1/n,... , 0}. Zwarty jest nawet zbiór Cantora (to jest dopiero sito!)
Myślę, że w charakteryzacji zbiorów, o które Ci chodzi, bardziej od zwartości brakuje spójności.
Połączenie zwartości i spójności daje zamierzony cel - jedynymi zbiorami zwartymi i spójnymi na prostej są odcinki domknięte. Takie zbiory nazywane są continuami.
Reasumując, continuum jest doskonałą charakteryzacją odcinków domkniętych na prostej. Ale trzeba zachować ostrożność, bo tak łatwo i ładnie wygląda to tylko na prostej. Na płaszczyźnie continua mogą być naprawdę dziwaczne np. dywan Sierpińskiego (2-wymiarowy odpowiednik zbioru Cantora) jest strasznym sitem.

>jednak zamiast tego wykorzystałeś ten błąd, by zdyskredytować dyskutanta.
Oj nie bierz tego tak osobiście. Popatrz na to z innej strony. Jeśli ktoś przetłumaczy ten wątek na angielski , to błędna informacja "Wystarczy zważyć, że średnia długość odcinka na zbiorze liczb niewymiernych w [0;1] wynosi zero. Podobnie jak i na zbiorze wymiernych. A tu już trzeba uwzględnić wszystkie właściwości R." i dalej "Nie ma bata, zero." nie powinna pozostać bez komentarza! A może miała tak wisieć do końca świata? A jakiś gimnazjalista przeczyta to z pełną powagą i przyjmie do wiadomości!!! Bo przecież wyczyta na stronie Racjonalisty.

>mamy do czynienia z dyskusją a nie kolokwium
No pewnie, że nie kolokwium. Dlaczego jednak nie przeszkadzały Ci wpisy z tęgimi rachunkami, całkami? Toż to prawie jakieś seminarium.

>Obawiam się bowiem, że próbujesz przekierować dyskusję na jakieś boczne tory dość odległe od prostej treści poruszonego tematu.
Ależ racjonalisto! Bądź racjonalny. Ja od początku próbowałem - przyznaję że nieskutecznie - nakierować ten wątek na właściwe tory. Stąd moje wzmianki o paradoksie Bertranda, stąd moje rozpaczliwe próby uświadamiania dyskutantom w tym wątku, gdzie leży sedno całego problemu. Nikt nie reagował, zamiast tego wrzucano jakieś poboczne wątki. A to o liczbach niewymiernych, a to o upakowaniu punktów na odcinku. A z Tobą musiałem się jeszcze wykłócać, jak się liczy średnią arytmetyczną. Ludzie, co się z wami dzieje?!?! Czy tu nikt nie jest w stanie odróżnić przestrzeni probabilistycznej od zmiennej losowej, czy nikt tu nie rozumie definicji przestrzeni probabilistycznej? I wreszcie, czy nikt nie jest w stanie zrozumień, na czym polega paradoks Bertranda?! Przecież omawiany problem z losowaniem odcinka cały czas krąży jak natrętna mucha wokół tego "bertranda"! I zamiast z tym się zmierzyć wszyscy tu zawzięcie i na wyścigi liczyli jakieś całki.

>Można bowiem z dużym prawdopodobieństwem przewidywać, że negatywne emocje, które wylewają się z takiej stylistyki Twoich wypowiedzi również w przyszłości mogą być powodem konsternacji ze strony tych, którzy z dobrą wolą podchodzą do podejmowanych dyskusji zakładając pewien poziom kultury osobistej dyskutantów.
Przyjmuję z pokorą Twoje cierpkie uwagi. A jeśli choć połowa, choć ćwierć, jedna ósma, 1/16 moich wpisów trafi do Twojego przekonania, to obok pokory będzie we mnie także ogromna radość.

Pozdrawiam

>Oj nie bierz tego tak osobiście.

Wiesz, trochę za bardzo się zaangażowałem w to 1/4 Przyznaję, w żaden sposób z granicy i symulacji stochastycznych nie da się tego wycisnąć, chyba że poczyni się pewne założenia. Ale będę obstawał przy tym, że zbiór odcinków zawartych w figurze nie jest tym samym, co zbiór par punktów w niej zawartych. Pozdrawiam i teraz już naprawdę się wyłączam, gdyż obowiązki wzywają

---

Nie Bóg, lecz Człowiek potrzebuje obrony.

>Wiesz, trochę za bardzo się zaangażowałem w to 1/4 Przyznaję, w żaden sposób z granicy i symulacji stochastycznych nie da się tego wycisnąć
Teraz mówisz (i piszesz) jak zawodowiec. Po prostu wycofujesz z hipotezy, której nie da się obronić. To się ceni.

>... chyba że poczyni się pewne założenia.
Tymi założeniami mogą być inne rozkłady prawdopodobieństw na parach punktów (zamiast domyślnie przyjmowanych rozkładów jednostajnych).
Np. wystarczy odcinek [0;1] podzielić na dwie połowy: dla jednej połowy przyjmujemy gęstość prawdopodobieństwa 1+ b a dla drugiej 1-b. Doświadczenie polega - jak zwykle - na dwukrotnym losowaniu punktu z takiego odcinka. Wówczas wartość oczekiwana nowej zmiennej losowej ustalającej odległość między dwoma wylosowanymi punktami (średnia odległość) będzie równa 1/3-b²/6 (specjalnie dla Ciebie to policzyłem).
W szczególności dla b=0 dostajemy moje EX=1/3, dla b=sqrt(2)/2=0.7071 dostajemy to Twoje EX=1/4. Dla b=1 mamy EX=1/6 (tutaj jedna z połówek odcinka nie daje szans na wylosowanie punktu, wszystko "kotłuje się" w tej drugiej połówce i "średnia" jest dwukrotnie mniejsza).

Dziwaczne rachunki? Niekonieczne

• - mamy wąski i długi trawnik (np. 1 km) jedna połowa tego trawnika ma ziemię normalną, druga zakwaszoną. Pytamy o średnią odległość między wyrosłymi w sezonie grzybów (na zakwaszonej grzyby rosną chętniej).
  
• - mamy wzdłuż plaży rozciągniętą długą sieć powstrzymującą rekiny. W jednej połowie sieci oczka są mniejsze niż w drugiej. Pytamy o średnią odległość między dwoma pierwszymi rekinami, którym udało się przedostać przez sieć.
  

Regulując różnicę kwasowości albo wielkości oczek możemy tę "średnią" ustalać w granicy między 1/6 i 1/3.

>Ale będę obstawał przy tym, że zbiór odcinków zawartych w figurze nie jest tym samym, co zbiór par punktów w niej zawartych.

Ależ tak!!! Po trzykroć tak. Ja też przy tym obstaję. Czym innym jest odcinek a czym innym jego końce. To pierwsze jest zbiorem wszystkich punktów pomiędzy dwoma zadanymi punktami, to drugie zbiorem dwuelementowym (ewentualnie uporządkowaną parą punktów). A to przecież są elementarne wiadomości z liceum.
Gdyby zadanie polegało na losowaniu pary punktów, to ewentualnie można się czepiać, czy na pewno losowanie każdego z tych dwóch punktów podlega rozkładowi jednostajnemu (przy braku takiej informacji można udawać, że domyślnie o taki układ chodzi).
Gdy jednak mowa o losowaniu odcinka, to nijak nie mogę zrozumieć, dlaczego wszyscy uparli się odcinek utożsamiać z jego końcami. I wszyscy losowanie odcinka zastępują dwoma (niezależnymi) losowaniami punktów z odcinka.

Jeśli powiem: wyobraź sobie wszystkie podzbiory odcinka, to wszyscy sobie to wyobrażą jako zbiór, którego elementami są podzbiory danego odcinka.
Jeśli jednak powiem: wyobraź sobie wszystkie pododcinki odcinka, to niemal wszyscy automatycznie utworzą zbiór, którego elementami są pary punków. No bo każdy odcinek można jednoznacznie wyznaczyć wyznaczając jego końce. A ja mogę dać tysiąc, milion innych sposobów i nikt mi nie wmówi, że są one gorsze od tutaj uprawianego "boskiego" sposobu.

Przecież na tej "subtelności" zasadza się paradoks Bertranda. Polecenie "losuj odcinek" nie niesie informacji, jak ten odcinek losować. A możliwości jest nieskończenie wiele.

pozdrawiam

>(specjalnie dla Ciebie to policzyłem).

Dziękuję.

>Pytamy o średnią odległość między dwoma pierwszymi rekinami, którym udało się przedostać przez sieć.



>Przecież na tej "subtelności" zasadza się paradoks Bertranda. Polecenie "losuj odcinek" nie niesie informacji, jak ten odcinek losować. A możliwości jest nieskończenie wiele.
>pozdrawiam

Zgoda, zgoda. Te punkty wywołują dużo więcej zamieszania niżby wynikać to miało z ich wielkości.

---

Nie Bóg, lecz Człowiek potrzebuje obrony.

Dlaczego nie można nadać miary odcinkowi złożonemu z liczb wymiernych?
To chyba całkiem niezły odcinek, bo każdy punkt można przybliżyć z dowolną dokładnością czyli z zerowym błędem.

[Gdyby skonstruować odcinek mocy 2^c - a wiadomo od wspomnianego Cantora, że każdy zbiór da się ułożyć liniowo - to wtedy co - odcinek osi rzeczywistej o mizernej mocy c byłby zbyt dziurawy?]

>Dlaczego nie można nadać miary odcinkowi złożonemu z liczb wymiernych?
>To chyba całkiem niezły odcinek, bo każdy punkt można przybliżyć z dowolną dokładnością czyli z zerowym błędem.

Ok. Ja rozumiem odcinek jako "zbiór wszędzie gęsty"

>[Gdyby skonstruować odcinek mocy 2^c - a wiadomo od wspomnianego Cantora, że każdy zbiór da się ułożyć liniowo - to wtedy co - odcinek osi rzeczywistej o mizernej mocy c byłby zbyt dziurawy?]

Nie jestem pewien, czy Cantora, chyba Zermelo?

---

Nie Bóg, lecz Człowiek potrzebuje obrony.

Moim zdaniem:

Średnia długość odcinków w odcinku jednostkowym to 1/2. Albowiem każdej długości odcinków od 0 do 1 jest tyle samo (diabli wiedzą ile, nieskończoność tego samego rzędu). Tylko odcinek o długości 1 jest jeden i można go spokojnie pominąć.

Średnia długość równoległych do siebie odcinków w kole jednostkowym to 1/2 pi. Idea jest taka - wyobraźmy sobie, że dzielimy koło na pionowe paski równej szerokości na tyle wąskie, że można przyjąć, że są prostokątami (na tym w końcu polega całkowanie). W każdym prostokącie jest tyle samo (nieskończenie wiele tego samego rzędu) odcinków, a długość wszystkich odcinków w danym prostokącie jest taka sama. Wystarczy więc po prostu policzyć średnią wysokość prostokątów. Średnia wysokość prostokątów to średnie pole prostokąta podzielone przez jego szerokość. Czyli inaczej pole wszystkich prostokątów podzielone przez szerokość łączną prostokątów. Przy przechodzeniu do nieskończonej liczby prostokątów nieskończenie małej szerokości jest to po prostu pole figury podzielone przez jej szerokość. Dla koła pi * r²/2r, czyli 1/2 pi * r.
Taka zasada (pole przez szerokość) powinna być prawdziwa dla każdej figury wypukłej. Dla niewypukłych będzie bardziej złożona.

---

Są bakterie, które zabija się światłem (Boy)

> Średnia długość odcinków w odcinku jednostkowym to 1/2.

Niestety, wyżej jest już analitycznie policzone, że 1/3. Całka locuta, causa finita.

> Albowiem każdej długości odcinków od 0 do 1 jest tyle samo (diabli wiedzą ile, nieskończoność tego samego rzędu).

No to, analogicznie rozumując - jakie jest p-stwo, że losowy punkt z odcinka <0,10> trafi w odcinek <0,1>?
Odp.: 1/2, bo w <0,1> jest tyle samo punktów co w <1,10>.

>> Średnia długość odcinków w odcinku jednostkowym to 1/2.
>Niestety, wyżej jest już analitycznie policzone, że 1/3. Całka locuta, causa finita.

Sprawdzę, nie przeczytałem, na szczęście nie ma spraw zamkniętych, chyba że "reforma" emerytalna.

>> Albowiem każdej długości odcinków od 0 do 1 jest tyle samo (diabli wiedzą ile, nieskończoność tego samego rzędu).
>No to, analogicznie rozumując - jakie jest p-stwo, że losowy punkt z odcinka <0,10> trafi w odcinek <0,1>?
>Odp.: 1/2, bo w <0,1> jest tyle samo punktów co w <1,10>.
Po pierwsze, to nie są dwa różne punkty z dwu odcinków, tylko jeden wspólny dla obu. Ale nie w tym rzecz. Zdaje mi się, że mylisz długość odcinka z liczbą punktów odcinka. Każdy odcinek niezerowy ma tyle samo punktów, moc zbioru liczb rzeczywistych. Pozwolę sobie zilustrować:



Linia poprowadzona z każdego punktu odcinka b do punktu 0 przechodzi przez każdy punkt odcinka a. Odwzorowanie jest 1:1.

Jeśli na odcinku <0, 1> położymy odcinek <0, a> o długości a < 1, to pozostałe odcinki o długości a uzyskuje się przesuwając odcinek w prawo po <0, 1> tyle razy, ile jest punktów na odcinku <a,1>. A jest ich nieskończenie wiele, tyle samo na odcinku <0,3, 1> jak i np. <0,6, 1>. Stąd mój wniosek, że różnych odcinków <0, 0,3> jest w odcinku <0, 1> tyle samo, co i różnych odcinków <0, 0,5>, etc.

---

Są bakterie, które zabija się światłem (Boy)

> Zdaje mi się, że mylisz długość odcinka z liczbą punktów odcinka.
> Każdy odcinek niezerowy ma tyle samo punktów, moc zbioru liczb rzeczywistych.

Nie mylę i zdaję sobie sprawę.

> (...) różnych odcinków <0, 0,3> jest w odcinku <0, 1> tyle samo, co i różnych odcinków <0, 0,5>, etc.

Czy mógłbyś - w ramach rozrywkowego ćwiczenia - zaproponować praktyczną metodę losowania odcinków z <0,1>, tak żeby można było (numerycznie, w milionie prób) otrzymać średnią długość bliską postulowanej przez Ciebie 1/2?

Edit:
Już nie trzeba, sam sobie wymyśliłem:
1. wylosuj długość odcinka z rozkładu jednostajnego na [0,1]
2. dla wylosowanej długości d wylosuj punkt początkowy ze zbioru [0, 1-d]

No i wyjdzie piękne 1/2
Co potwierdza znany fakt, że formułując zadania dla zbiorów nieskończonych, trzeba precyzyjnie określać metodę losowania.

>1. wylosuj długość odcinka z rozkładu jednostajnego na [0,1]
>2. dla wylosowanej długości d wylosuj punkt początkowy ze zbioru [0, 1-d]
dla d=1, daje nam to średnią długość zaczepionych o początek odcinka, zgadza się 1/2

A co do sposobów losowania, proponujesz całe Monte Carolo wyrzucić na śmietnik?

Choć z drugiej strony... znam "kilka" sposobów policzenia wartości średniej WSZYSTKICH liczb wymiernych, numerycznie pięknie się to zbiega np. do 1.367878 albo 3.7022679, albo ile by się chciało

> A co do sposobów losowania, proponujesz całe Monte Carolo wyrzucić na śmietnik?

Nie ja, mi wyszło "po bożemu" 1/3, analitycznie i numerycznie.
Ja się tylko rozrywkowo zastanawiam, jakie wygibasy trzeba robić, żeby "usprawiedliwić" inne wyniki.

>Nie ja, mi wyszło "po bożemu" 1/3, analitycznie i numerycznie.
>Ja się tylko rozrywkowo zastanawiam, jakie wygibasy trzeba robić, żeby "usprawiedliwić" inne wyniki.

Aby spróbować ogarnąć pewien bałagan, jaki się wkradł w nasze rozważania na temat średniej długości odcinka zawartego w odcinku jednostkowym, zacznę od odpowiedzi na pytanie - czym jest w istocie wynik 1/3 podawany jako średnia odległość dwu punktów w odcinku a zatem przez niektórych uważany również za średnią szukaną w tytułowym zagadnieniu.

Otóż, przy bliższym oglądzie musimy uznać, że nie jest to średnia odległość dwu punktów w odcinku. Nie może być nią z tego prostego powodu, że każda para punktów w tym obliczeniu jest uwzględniana podwójnie. Co oznacza, że w rzeczywistości ta średnia odległość punktów w odcinku powinna zostać podzielona przez dwa - zatem wynosi 1/6 !

Jak to się więc dzieje, że symulując numerycznie losowanie dwu punktów na odcinku otrzymujemy zbieżność do wartości 1/3 ? Ano stąd, że uzyskany wynik nie odzwierciedla średniej odległości dwóch punktów, tylko średnią odległość losowo wybranego punktu od wszystkich pozostałych punktów odcinka. Jest to zasadnicza różnica.

Aby uzasadnić tę tezę, która już powinna być oczywista z uwagi na fakt podwójnego obliczania dla wyniku 1/3, skonstruujmy analitycznie całkę dla rzeczywistej odległości dwóch punktów.
Dla każdej pary odległych o x miarą prawdopodobieństwa jej wylosowania jest (1-x). Jako że te odległości (zmienna x) przebiegają jednostajnie cały zakres [0;1], funkcja, której całka da nam odpowiedź na pytanie o średnią odległość dwu punktów ma postać x*(1-x). Całkując i obliczając całkę oznaczoną na [0;1] otrzymujemy wynik 1/6 .

Czemu ja się upieram przy wyniku 1/4 dla średniej długości odcinka ? Wynika to stąd, że miara, która powinna być w tym obliczeniu zastosowana powinna być niezależna od długości pododcinka. Wynika to z konieczności uwzględnienia geometrycznej właściwości odcinka, jaką jest jego samopodobieństwo. W istocie więc zadanie polega na umiejętności rozróżnienia między odcinkiem jako zbiorem punktów a odcinkiem jako zbiorem par punktów.

Wartość średniej odległości 1/6 jest opisem odcinka jako zbioru par punktów. Średnia odległość losowo wybranego punktu od wszystkich pozostałych wynosi 1/3.

Jednak w przypadku odcinka musimy uwzględnić to, że odcinków o długości 0,001 w odcinku jednostkowym jest dokładnie tyle samo, co odcinków o długości 0,999 ! A to wynika z konieczności zastosowania tej samej miary dla całego odcinka co i każdego jego spójnego podzbioru (zastanawiamy się tu tylko nad zbiorami obustronnie domkniętymi). Ta konieczność jest niczym innym, jak tylko uwzględnieniem geometrycznej właściwości odcinka jako zbioru pojedynczych właśnie punktów polegającej na tym, że dowolne dwa odcinki są sobie w sensie teoriomnogościowym równe. W przeciwnym razie mamy do czynienia z fałszywym założeniem, że geometryczne właściwości (a o nie właśnie chodzi w zadaniu), skutkujące "wagą" czyli "liczebnością", zmieniają się wraz ze stosunkiem długości wybranego pododcinka do odcinka, w którym go wyróżniliśmy. Mówiąc najprościej - dowiadujemy się, jaka jest spodziewana długość odcinka, którego jeden z punktów skrajnych wskazaliśmy( a wskazujemy po całym zbiorze). Nie możemy bowiem prawdopodobieństwa wskazania drugiego punktu czynić niezależnym od prawdopodobieństwa wskazania pierwszego; musimy to prawdopodobieństwo uzależnić od pokazania konkretnego punktu. Jest tak z tego powodu, że zakładamy zależność obydwu punktów połączonych strukturą geometryczną odcinka. To uzależnienie jest konieczne z uwagi na ogólniejsze stwierdzenie, że dla dowolnej figury geometrycznej prawdopodobieństwo tego, czy punkt p2 należy do odcinka z rodziny odcinków p1 zależy od prawdopodobieństwa wylosowania odcinka z punktem p1, jako że zależy od położenia punktu p1. A skoro tak, prawdopodobieństwo wskazania pierwszego musi wpływać na wskazanie drugiego; w przeciwnym razie uzyskamy wyniki dotyczące tylko i wyłącznie par punktów, nie całych odcinków.

Natomiast odległość 1/6 ma swój praktyczny aspekt w optymalizacji. Zakładając bowiem, że pewien odcinek autostrady o długości 600 km jest uczęszczany przez nieskończoną liczbę pojazdów, które mogą przejechać na jednym baku najwyżej cały ten odcinek drogi zaś samochodów, które mogą przejechać dany dystans z przedziału [0;600] jest tyle samo (i wszystkie te dystanse są reprezentowane we właściwościach samochodów), to, aby uzyskać maksymalną dostępność autostrady przy jak najmniejszej ilości stacji benzynowych powinny być te stacje rozmieszczone co 100 km.

A odległość 150 km to średni dystans lotu rakiety wystrzelonej przez taliba, który namierzył na tej autostradzie jakiś cel. (Dla odległości zero uzyskujemy szahida)

---

Nie Bóg, lecz Człowiek potrzebuje obrony.