>    Skończony zbiór k-elementowy ma dokładnie 2^k podzbiorów
Tak, dokładnie, ale każde wyrażenie postaci 2^k ma wartość skończoną dla skończonych k.
>.. liczba ciągów skończonych, zbudowanych z elementów tego zbioru
nie jest większa niż 2^k! (! to tylko silnia a nie wykrzyknik).

>>.. liczba ciągów skończonych, zbudowanych z elementów tego zbioru
>nie jest większa niż 2^k! (! to tylko silnia a nie wykrzyknik).

   Widzę, że próbujesz zrewolucjonizować teorię mnogości. Życzę powodzenia i pozdrawiam - M
*

Widocznie popełniłem gdzieś błąd rachunkowy albo nie dość dokładnie zrozumiałem Twoje wpisy, skoro odnosisz wrażenie rewolucji. O żadnych niezwykłościach dotyczących zbiorów ograniczonych nie może być mowy, bo tu już wszystko policzone. Natomiast wśród (wyobrażanych) nieskończoności owszem - widać możliwość ich lekkiego uporządkowania (polegającego w szczególności na rezygnacji z pojęcia nieskończoności najmniejszej (bo że nie ma największej, to chyba się zgodzimy)).

Również pozdrawiam.

> wśród nieskończoności - widać możliwość ich lekkiego uporządkowania (polegającego w szczególności na rezygnacji z pojęcia nieskończoności najmniejszej (bo że nie ma największej, to chyba się zgodzimy)).

   Nieskończoności zostały już dość dawno temu "lekko uporządkowane" tak zwaną skalą alefów. Najmniejszą nieskończonością jest alef zero. Jest ona najmniejsza w tyn sensie, że w standardowej teorii mnogości można udowodnić, iż każdy zbiór nieskończony ma moc co najmniej alef zero, tzn. albo jest równoliczny ze zbiorem liczb naturalnych, albo większy. Gdybyśmy chcieli zrezygnować z "najmniejszej nieskończoności" musielibyśmy w istotny sposób naruszyć standardowe aksjomatyki - na pewno dałoby się to jakoś zrobić, tylko czy skórka byłaby warta wyprawki?
*

>.. w standardowej teorii mnogości można udowodnić, iż każdy zbiór nieskończony ma moc co najmniej alef zero, tzn. albo jest równoliczny ze zbiorem liczb naturalnych, albo większy.
Tak wszyscy mówią. Zdaje się jednak, że wspomniany dowód bazuje na numerowaniu elementów innego zbioru indeksami z N, wobec czego staje się oczywiste, iż każdy zbiór mocy mniejszej niż alef zero da się ponumerować.
Stawiam natomiast pytanie o istnienie takiego (nieskończonego) podzbioru liczb naturalnych, którego elementami traktowanymi jako indeksy nie sposób "ponumerować" całego N.
[Chyba klasyczne metody tu zawodzą (są zbyt .. rewolucyjne?), bo dowodziłyby jakby własnych założeń.]
Moc poszukiwanego zbioru (powiedzmy: |L1|) byłaby taka, że 2^|L1|=|N| - zaś kolejne zbiory "lajtowe" takie, że 2^|L2|=|L1|, 2^|L3|=|L2|, itd..
[Należy zauważyć, że L1, L2, L3, .. nie mogą być zbiorami skończonymi.]

>.. tylko czy skórka byłaby warta wyprawki?
Może inaczej wówczas wyglądałyby twierdzenia Goedla..

>[Należy zauważyć, że L1, L2, L3, .. nie mogą być zbiorami skończonymi.]
Skoro nie są skończone, więc są nieskończone. A tym samym ich elementy można bez końca numerować liczbami naturalnymi. Są więc (co najmniej) przeliczalne. Wszystkie Twoje "definicje" typu 2^|L1|=|N|, 2^|L2|=|L1|, 2^|L3|=|L2| są zwykłą numerologią.
Każda bez wyjątku definicja wymaga dowodu istnienia definiowanego obiektu. Tutaj tego brak, jest nawet gorzej - mamy dowód, że takich zbiorów nie ma.

>Może inaczej wówczas wyglądałyby twierdzenia Goedla
Gödla raczej zostaw w spokoju, to już wyższa szkoła jazdy...

>.. ich elementy można bez końca numerować liczbami naturalnymi.
To oczywiste. Pytam czy może istnieć nieskończony podzbiór N, którego elementami potraktowanymi jako indeksy, nie da się ponumerować całego N (tak jak liczbami naturalnymi nie da się ponumerować continuum).
[I nie widzę niemożliwości istnienia takiego podzbioru, o ile tylko nie "wiedzieć" zawczasu, jakoby |N| było najmniejszą nieskończonością.]

> Są więc (co najmniej) przeliczalne.
Bez przesady. Chodzi o podzbiory N - można zatem powiedzieć, że są co najwyżej mocy |N|.

>Każda bez wyjątku definicja wymaga dowodu istnienia definiowanego obiektu.
Może warto spróbować..
[Na początek przydałoby się chyba ustalenie, że nie ma liczb naturalnych większych od |N|.]

>Gödla raczej zostaw w spokoju, to już wyższa szkoła jazdy...
O.K. - na razie.

>To oczywiste. Pytam czy może istnieć nieskończony podzbiór N, którego elementami potraktowanymi jako indeksy, nie da się ponumerować całego N
No niby oczywiste, ale nie oczywiste. Skoro ustaliłem poprzednio funkcję 1-1 między zbiorem N a jakimś nieskończonym podzbiorem M zbioru N, to działa to w obie strony. Tzn. elementami podzbioru M numeruję kolejne liczby zbioru N. Jest to typowa konstrukcja potwierdzająca typowe twierdzenie, że każdy nieskończony podzbiór zbioru N jest równoliczny z N.

>[Na początek przydałoby się chyba ustalenie, że nie ma liczb naturalnych większych od |N|.]
To jakiś żart? Jeśli wezmę dowolną liczbę naturalną n, to istnieje większa od niej (np. n+1). A tym samym n<|N| (w tej nierówności traktuję liczbę n jako moc zbioru skończonego).

>To jakiś żart? Jeśli wezmę dowolną liczbę naturalną n, to istnieje większa od niej (np. n+1). A tym samym n<|N| (w tej nierówności traktuję liczbę n jako moc zbioru skończonego).

Cantor zrobił wam żart, a potem Hilbert kilka innych.

>>[Na początek przydałoby się chyba ustalenie, że nie ma liczb naturalnych większych od |N|.]
>To jakiś żart?
Chodziło tylko o to, że skoro liczby naturalne są równe co do wartości swoim numerom w bijekcji N<->N, to ew. mówienie o liczbach większych od |N| byłoby tak samo pozbawione sensu jak twierdzenie, że liczb naturalnych jest więcej niż ich jest.

>Jeśli wezmę dowolną liczbę naturalną n, to istnieje większa od niej (np. n+1).
Z nierównościami dla liczb skończonych nie ma problemu. Dla nieskończonych x+1=x, 2x=x oraz x²=x (ale już 2^x>x). To całkiem odmienne rachunki.

>Chodziło tylko o to, że skoro liczby naturalne są równe co do wartości swoim numerom w bijekcji N<->N, to ew. mówienie o liczbach większych od |N| byłoby tak samo pozbawione sensu jak twierdzenie że liczb naturalnych jest więcej niż ich jest.
No właśnie! Sam widzisz, że w zasadzie nie ma potrzeby sprawdzać tego.
Chociaż mogę dać Ci przykład bijekcji f:N↔N, która nie poddaje się tak łatwej argumentacji:

• Jeśli p jest liczbą pierwszą, to f(p)=p²
  
• Jeśli n=p² i p jest liczbą pierwszą, to f(n)=p
  
• dla pozostałych n f(n)=n.
  

W tej bijekcji (myślę, że nie wątpisz w to, iż jest to bijekcja) łatwo wskazać dowolnie duże liczby naturalne, które są o wiele większe od swojego numeru.

>Z nierównościami dla liczb skończonych nie ma problemu. Dla nieskończonych x+1=x, 2x=x oraz x2=x (ale już 2x>x). To całkiem odmienne rachunki.
Zbiór liczb naturalnych N zawiera wyłącznie liczby skończone, dlatego pytanie o liczbę naturalną większą od |N| potraktowałem jak żart.

>.. łatwo wskazać dowolnie duże liczby naturalne, które są o wiele większe od swojego numeru.
Tak. Wartości podanej funkcji nie są jednak większe niż wartości funkcji f(n)=n², które dla n dążących do |N| dążą do |N|²=|N|.

>>.. łatwo wskazać dowolnie duże liczby naturalne, które są o wiele większe od swojego numeru.
>Tak. Wartości podanej funkcji nie są jednak większe niż wartości funkcji f(n)=n², które dla n dążących do |N| dążą do |N|²=|N|.

A co powiesz na taką funkcję?

• Jeśli p jest liczbą pierwszą, to f(p)=p ^p
  
• Jeśli n=p ^p i p jest liczbą pierwszą, to f(n)=p
  
• dla pozostałych n f(n)=n.
  

Poczucie humoru Cię nie opuszcza
Jeśli podana funkcja ma mieć wartości w N, to w wyrażeniu p^p nie sposób rozważać p bliskich |N|, ponieważ dla p dążących do |N| wartości wyrażenia dążą do |N|^|N|=c, co prowadzi do sprzeczności (bo istniałyby liczby naturalne bliskie c>|N|).
To samo dotyczy dziedziny.
Zatem podana przez Ciebie funkcja ma (dla n pierwszych) sens tylko gdy n nie większe niż log₂|N|.

>Poczucie humoru Cię nie opuszcza
Potraktowałeś to jako żart? Niesłusznie! Ja chciałem tym wymyślonym przeze mnie i dość wyszukanym przykładem pokazać, że bijekcja N↔N zupełnie nie narzuca zależności między wartością wyrazu i jego numerem. Nie przyszło mi jednak do głowy, że można tak bałamutnie to skomentować.

>Jeśli podana funkcja ma mieć wartości w N, to w wyrażeniu pp nie sposób rozważać p bliskich |N|, ponieważ dla p dążących do |N| wartości wyrażenia dążą do |N||N|=c, co prowadzi do sprzeczności (bo istniałyby liczby naturalne bliskie c>|N|).
Po pierwsze: z Twoich rozważań wynika, że w ogóle nie uważasz funkcji f za bijekcję N↔N
Po drugie: x^x → ∞, gdy x → ∞ i jest to jedna z prostszych granic (niewłaściwych) do wyliczenia
Po trzecie: Kto Cię prosił o liczenie jakiś granic i grzebanie się w jakiś nieskończonościach? Dałem Ci prosto zdefiniowaną funkcję o argumentach i wartościach naturalnych.
Po czwarte: Tu nie ma żadnej sprzeczności a raczej jest dowód na błędne rozumienie i stosowanie pojęcia funkcji.

>To samo dotyczy dziedziny.
>Zatem podana przez Ciebie funkcja ma sens jedynie dla n nie większych niż log2|N|.
Funkcja x^x jest dobrze określona dla wszystkich liczb rzeczywistych dodatnich (a więc tym bardziej dla liczb naturalnych).

---

Wnioskuję, że prawdopodobnie masz problemy ze zwykłymi funkcjami wykładniczymi 2^x, e^x . One też pewnie są określona tylko dla x<log₂|N|. Bo dla dowolnych argumentów ich wartości mogłyby uciekać diabli wiedzą gdzie np. do 2^alef0. Czyli poza liczby rzeczywiste? do jakiegoś continuum?

Żeby pokazać Ci, jak niespójny jest ten Twój rachunek na liczbach kardynalnych wymieszanych z rzeczywistymi skorzystam z rozwinięcia w szereg potęgowy funkcji eksponencjalnej

e^|N| = |N|⁰/0! + |N|¹/1! + |N|²/2! + |N|³/3! + ...

Po lewej stronie jest to Twoje continuum. Po prawej zaś stronie masz przeliczalną ilość składników, z których każdy jest potęgą |N| podzieloną przez pewną liczbę czyli każdy z nich jest równy |N|. Ich przeliczalna suma jest równa |N|*|N|. Prawa strona jest więc równa |N|. I nagle to continuum widniejące po lewej stronie znika! Chociaż przypuszczam, że jesteś gotów wmawiać, iż tych składników powinno być odpowiednio więcej (ile dokładnie? - tyle ile trzeba. Np. continuum ).
Podobnie wyjdzie przy obliczaniu logarytmu

Ln|N| = |N|/1 - |N|²/2 + |N|³/3 - |N|⁴/4 + ... = |N|/1 - |N|/2 + |N|/3 - |N|/4 + ...= ln2*|N| = |N|

Przepraszam z góry, jeśli to Cię dotknie, ale uważam, że masz fatalnie spaczone intuicje liczb naturalnych N, zbioru liczb rzeczywistych R, ciągów liczbowych i funkcji rzeczywistych.

pozdrawiam

>Potraktowałeś to jako żart? Niesłusznie!
Widocznie zmylił mnie znaczek w Twej poprzedniej wypowiedzi.
>.. bijekcja N↔N zupełnie nie narzuca zależności między wartością wyrazu i jego numerem.
Wybacz - przypuszczałem, że celowo a przewrotnie wskazujesz konstrukcję, w której trudniej oszacować od góry wartości funkcji jako nie większe niż |N|.
>.. z Twoich rozważań wynika, że w ogóle nie uważasz funkcji f za bijekcję N↔
Dla każdego skończonego podzbioru N Twoja funkcja wyczerpuje cały podzbiór i daje różne wartości przy różnych n - jest zatem jedno-jednoznaczna. Produkuje jednak przy okazji wymyślne twory wymykające się ograniczeniu do |N| liczebności N. Za chwilę przy użyciu nⁿ gotowiśmy ponumerować n-ami całe continuum (albo i więcej, jeśli za mieszczące się w N uznać wyrażenie 2²ⁿ dla n bliskich alef₀). Zmierzamy do wniosku, że w zasadzie istnieje jedna tylko nieskończoność? Jeśli tak, to nie ma sprawy.
>Po drugie: x^x → ∞, gdy x → ∞
Jeśli uznajemy istnienie więcej niż jednej nieskończoności, to proponuję w dalszych rozważaniach każdą nazywać 'po imieniu', by ich nie mylić. W takim ujęciu limes przy n dążącym do alef zero dla wyrażenia nⁿ wynosi 2^|N|=c, zaś x^x dla x dążących do c daje 2^c, itd...
>Po trzecie: Kto Cię prosił o liczenie jakiś granic i grzebanie się w jakiś nieskończonościach? Dałem Ci prosto zdefiniowaną funkcję o argumentach i wartościach naturalnych.
Jeśli podany przez Ciebie przykład ma dotyczyć liczb skończonych, to naprawdę nie staję w opozycji.
...
>e^|N| = |N|⁰/0! + |N|¹/1! + |N|²/2! + |N|³/3! + ...
Raczysz Waść dworować sobie ze mnie (ale wolno Ci, bo masz za sobą ogrom matematycznych autorytetów). Nigdzie nie twierdzę, jakoby rachunek na (nieskończonych) liczbach kardynalnych stosował się do liczb skończonych - przeciwnie - są to całkiem inne rachunki (z wyjątkiem operacji eksponowania/logarytmowania, gdzie widać podobny mechanizm).
Skoro już jednak raczyłeś podać rozwinięcie używające silni, to pozwolę sobie dolać oliwy do ognia i wyrazić następującą herezję:
Zbiór (wszystkich) liczb wymiernych nie tworzy ciała, ponieważ nie jest zamknięty ze względu na dodawanie - suma niektórych elementów: odwrotności silni (jak najbardziej wymiernych) daje w efekcie e (które wymierne bynajmniej nie jest).

P.S.
Proponuję zachowanie dystansu wobec omawianych tu kwestii i unikanie wynurzeń dewaluujących interlokutora - zajmujemy się wszak tylko nie mającą praktycznej wartości próbą porządkowania wyobrażeń, z których żaden piekarz chleba nie upiecze.

Pozdrawiam

>>Potraktowałeś to jako żart? Niesłusznie!
>Widocznie zmylił mnie znaczek w Twej poprzedniej wypowiedzi.
Dopowiem. Śmiałem się sam do siebie zacierając ręce, że tym przykładem z dziecinną radością obalę Twoją argumentację. Tobie powinienem dać wtedy znaczek . Kiedy jednak zobaczyłem Twoją replikę, to targnęły mną sprzeczne emocje .

>>.. bijekcja N↔N zupełnie nie narzuca zależności między wartością wyrazu i jego numerem.
>Wybacz - przypuszczałem, że celowo a przewrotnie wskazujesz konstrukcję, w której trudniej oszacować od góry wartości funkcji jako nie większe niż |N|.
Nie, moja konstrukcja miała być bijekcją, w której wartość wyrazu i jego numer mogą "rozjeżdżać" się z szybkością eksponencjalną. A mimo to cały czas OBIE SĄ LICZBAMI NATURALNYMI.

>Dla każdego skończonego podzbioru N Twoja funkcja wyczerpuje cały podzbiór i daje różne wartości przy różnych n - jest zatem jedno-jednoznaczna. Produkuje jednak przy okazji wymyślne twory wymykające się ograniczeniu do |N| liczebności N. Za chwilę przy użyciu nⁿ gotowiśmy ponumerować n-ami całe continuum (albo i więcej, jeśli za mieszczące się w N uznać wyrażenie 2²ⁿ dla n bliskich alef0). Zmierzamy do wniosku, że w zasadzie istnieje jedna tylko nieskończoność? Jeśli tak, to nie ma sprawy.
Dwója z arytmetyki liczb naturalnych

>Jeśli uznajemy istnienie więcej niż jednej nieskończoności, to proponuję w dalszych rozważaniach każdą nazywać 'po imieniu', by ich nie mylić. W takim ujęciu limes przy n dążącym do alef zero dla wyrażenia nⁿ wynosi 2^|N|=c, zaś x^x dla x dążących do c daje 2^c, itd...
Dwója z analizy matematycznej

>> Dałem Ci prosto zdefiniowaną funkcję o argumentach i wartościach naturalnych.
>Jeśli podany przez Ciebie przykład ma dotyczyć liczb skończonych, to naprawdę nie staję w opozycji.
A znasz jakąś nieskończoną liczbę naturalną?

>>e|N| = |N|0/0! + |N|1/1! + |N|2/2! + |N|3/3! + ...
>Nigdzie nie twierdzę, jakoby rachunek na (nieskończonych) liczbach kardynalnych stosował się do liczb skończonych
Ja nie twierdzę, że twierdzisz. Ja tylko powielam Twoją argumentację użytą do funkcji f(n)=n² choćby w wypowiedzi 10-10-2012 23:01 gdzie pisałeś |N|²=|N|. Oczywiście w odniesieniu do liczby kardynalnej jest to prawdą, więcej |N|ⁿ=|N| dla każdego n naturalnego. Prawdą jest też, że k|N|=|N| gdzie k jest dowolnym współczynnikiem liczbowym. Zatem każdy składnik sumy z prawej strony jest równy |N|. Przed czym więc tak się wzbraniasz? Stosując Twoje rachunki dostałem równość e^|N|=|N|

>Zbiór (wszystkich) liczb wymiernych nie tworzy ciała, ponieważ nie jest zamknięty ze względu na dodawanie
Zbiór liczb wymiernych jest ciałem, nie jest jednak przestrzenią zupełną. Nie, nie, takimi "zaczepkami" nie sprowokujesz mnie.

>Proponuję zachowanie dystansu wobec omawianych tu kwestii i unikanie wynurzeń dewaluujących interlokutora - zajmujemy się wszak tylko nie mającą praktycznej wartości próbą porządkowania wyobrażeń, z których żaden piekarz chleba nie upiecze.
Wszystkie wojny religijne, wszystkie stosy z płonącymi heretykami też były "próbą porządkowania wyobrażeń". Nie dziw się więc, że czasami i ja tracę dystans do omawianego tematu. Przepraszam, jeśli coś skomentuję za ostro.

Pozdrawiam

> Stosując Twoje rachunki dostałem równość e^|N|=|N|
Musiało się coś pomylić, bo wg moich rachunków e^ln|N|=|N|.
[Ale ty wzbraniasz się przed liczbą ln|N|, więc pewnie stąd błąd.]

>.. stosy z płonącymi heretykami też były "próbą porządkowania wyobrażeń".
Jednakowoż matematycy przedkładają chyba rozum nad dogmatyczny fanatyzm, dzięki czemu unikają ślepej furii.

>> Stosując Twoje rachunki dostałem równość e|N|=|N|
>Musiało się coś pomylić, bo wg moich rachunków e^ln|N|=|N|.
>[Ale ty wzbraniasz się przed liczbą ln|N|, więc pewnie stąd błąd.]
No wiesz!? Proszę, nie traktuj mnie jak kogoś bardziej nierozgarniętego, niż faktycznie jestem!
Przecież dotarliśmy wspólnie do miejsca, w którym widać jak na dłoni sprzeczność w całej wymyślonej przez Ciebie konstrukcji. Tak trudno się przyznać? Dopominałeś się przecież, abym Ci wskazał jakąkolwiek sprzeczność w Twoich wywodach.

Zacznijmy jeszcze raz od początku:

• Powołałem się na ogólnie znane rozwinięcie funkcji wykładniczej
  e^x = x⁰/0! + x¹/1! + x²/2! + x³/3! + ...
  wzór jest prawdziwy dla dowolnego rzeczywistego x (więcej - dla dowolnego zespolonego).
  
• Następnie skorzystałem z Twojej beztroskiej para-matematyki i podstawiłem pod x liczbę kardynalną |N|
  e^|N| = |N|⁰/0! + |N|¹/1! + |N|²/2! + |N|³/3! + ...
  
• Przechodząc do arytmetyki na liczbach kardynalnych stwierdzam, że prawa strona jest sumą równą |N|+ |N|+ |N|+ |N|+ ... czyli |N|. A lewa tyle ile jest , tzn. e^|N|.
  
• Ostatecznie e^|N| = |N|. No a w arytmetyce liczb kardynalnych e^|N| lewituje gdzieś w okolicy c. Czyli c=alef₀
  

Wnioski z powyższej nieprawdy są następujące:

• Nie wolno we wzorach / funkcjach zdefiniowanych dla liczb rzeczywistych/naturalnych podstawiać liczb kardynalnych. I nic tu nie pomogą rozpaczliwe próby ograniczania dziedziny do jakichś zmyślonych fantazyjnych nieskończoności mniejszych od alef₀. Nie wolno i już. Bo to prowadzi poza obszar definicji tych wzorów/funkcji.
  
• Funkcja zdefiniowana dla liczb rzeczywistych/naturalnych o wartościach rzeczywistych/naturalnych ma ZAWSZE wartości rzeczywiste/naturalne. Nawet jeśli wartość ucieka eksponencjalnie w stosunku do argumentu (np. f(x)=2^x ).
  

>>.. stosy z płonącymi heretykami też były "próbą porządkowania wyobrażeń".
>Jednakowoż matematycy przedkładają chyba rozum nad dogmatyczny fanatyzm, dzięki czemu unikają ślepej furii.
Chyba przeceniasz pod tym względem matematyków. Owszem, mają tresurę w ścisłym wyrażaniu myśli, w czystości i precyzji rozumowań, zdarza im się pewnie częściej niż u innych błyskotliwe dostrzeganie zależności, związków między elementami zjawiska. Ale z nimi chyba jest podobnie jak z poetami - matematykiem się bywa. Może częściej i łatwiej niż u poetów, ci drudzy muszą czekać na tzw. natchnienie. W życiu codziennym matematycy jednak też mają poglądy, ulegają emocjom. Jak wszyscy. Zdarzają się tacy (nazwisko znam, ale nie napiszę go publicznie), co nie stronili od usług wróżek. A Newton twórca nowoczesnej mechaniki i współtwórca rachunku różniczkowego napisał poradnik, w którym był instruktaż, jak w kobiecie rozpoznać czarownicę.

pozdrawiam

>Nie wolno we wzorach / funkcjach zdefiniowanych dla liczb rzeczywistych/naturalnych podstawiać liczb kardynalnych.
Zgoda. Z reguły nie wolno. Ale nie było to moim zamiarem. Poszerzam tylko zakres stosowalności wzoru: c=2^alef₀, by w ten sposób konstruować większe i mniejsze moce nieskończone. Dodatkowo próbuję badać korelacje między zbiorami różnych mocy a określonymi w nich (na podzbiorach) działaniami, przeprowadzającymi do innej skali. Odnoszę wrażenie, że to się powinno jakoś nieprzypadkowo poukładać.
>.. matematykiem się bywa.
Trafna uwaga. Czasami można nawet odnieść wrażenie, że i człowiekiem tylko się bywa..
[Tu jednak zajmują mnie raczej te 'fragmenty' matematyków, które są matematyczne.]

Pozdrawiam

>Powołałem się na ogólnie znane rozwinięcie funkcji wykładniczej
>e^x = x⁰/0! + x¹/1! + x²/2! + x³/3! + ...
>Następnie skorzystałem z Twojej beztroskiej para-matematyki i podstawiłem pod x liczbę kardynalną |N|
>e^|N| = |N|⁰/0! + |N|¹/1! + |N|²/2! + |N|³/3! + ...
>Przechodząc do arytmetyki na liczbach kardynalnych stwierdzam, że prawa strona jest sumą równą |N|+ |N|+ |N|+ |N|+ ... czyli |N|.

To błędne stwierdzenie, ponieważ n-ty wyraz szeregu po podstawieniu oszacowania Stirlinga na n! przyjmuje postać:
e^{n .} (|N|ⁿ/nⁿ) ^. (2pi n)^-0,5,
co w granicy (przy n dążącym do |N|) daje: e^|N|/|N|^1/2,
czyli istotnie więcej, niż "stwierdzone" przy użyciu Twoich para-rachunków |N|.
[Skąd taka beztroska w ocenianiu ciągu czy szeregu na podstawie początkowych wyrazów, podczas gdy dalsze wymykają się naiwnym (klasycznym?) intuicjom?]

> A lewa tyle ile jest , tzn. e^|N|.
Tak - tyle co continuum.

>...przy użyciu Twoich para-rachunków |N|
To nie są moje para-rachunki ani moja para-matematyka. Bawię się w Twoją grę i nawet mnie to trochę śmieszy, Ty zaś traktujesz to śmiertelnie poważnie. Ciągle mnie zaskakujesz różnymi kwiatkami, które kwitną w tej para-matematyce. Oto dwa z nich

• Zbudowałeś szereg, którego n-tym wyrazem jest eⁿ . (|N|ⁿ/nⁿ) . (2pi n)^-0,5 . Następnie obliczyłeś 'granicę' tego czegoś. Czy zauważyłeś, że każdy wyraz szeregu jest taki sam i ma wartość |N| (wystarczy opanować elementarny rachunek na liczbach kardynalnych, aby to stwierdzić)? Czyli mamy ciąg stały (no, może od drugiego wyrazu począwszy)!
  Moje pytanie: czy nie przeszkadza Ci, że ta tzw. 'granica' ciągu ma inną wartość niż poszczególne wyrazy ciągu stałego? Naprawdę? Bo jeśli znasz poprawną definicję granicy, to nie powinieneś używać tego pojęcia w tym kontekście.
  
• Widzę, że intensywnie stosujesz nowe, nikomu jeszcze nie znane prawa arytmetyki liczb kardynalnych - prawo rozdzielności potęgowania względem dzielenia: (x/y)ⁿ=xⁿ/yⁿ oraz prawo skracania liczb kardynalnych w ułamkach. Myślę, że wyśledzisz w Twoich para-obliczeniach miejsca, w których użyłeś tych praw. Ja zaś stosując Twoje prawa udowodnię, że np. dla dowolnej nieskończonej liczby kardynalnej X zachodzi X=1:
  X = X*1 = X*(X/X) = (X*X)/X = X²/X = X/X = 1.
  Stąd w szczególności c=1, alef₀=1. Jak widać znając wcześniej te prawa nie musiałbym się tak wysilać z funkcją wykładniczą e^x i jej rozwinięciami.
  

>[Skąd taka beztroska w ocenianiu ciągu czy szeregu na podstawie początkowych wyrazów, podczas gdy dalsze wymykają się naiwnym (klasycznym?) intuicjom?]
A te dalsze to niby które? Te od milionowego począwszy? A może od trylionowego? Gdzie zaczynają się te dalsze wyrazy??? Czy Ty w ogóle rozumiesz definicję ciągu? Co to jest zasada indukcji matematycznej? Co to jest zbiór liczb naturalnych? Które to niby wyrazy wymykają się naiwnym intuicjom? Ty naprawdę wierzysz, że w N oprócz liczb 1,2,3,.. siedzą jeszcze pochowane gdzieś jakieś "smugi cienia", za którymi zmieniają się prawa arytmetyki!!! I tam, do badania trzeba dysponować jakąś nie-naiwną (nieklasyczną) intuicją.

pozdrawiam

> Ciągle mnie zaskakujesz różnymi kwiatkami,
To miłe. Dziękuje za zainteresowanie.
>Zbudowałeś szereg, którego n-tym wyrazem jest eⁿ . (|N|ⁿ/nⁿ) . (2pi n)^-0,5 . Następnie obliczyłeś 'granicę' tego czegoś. Czy zauważyłeś, że każdy wyraz szeregu jest taki sam i ma wartość |N|
Nie do końca.
>.. udowodnię, że np. dla dowolnej nieskończonej liczby kardynalnej X zachodzi X=1:
>X = X*1 = X*(X/X) = (X*X)/X = X²/X = X/X = 1.
Nie wiem czego dowodzisz - chyba własnych naditerpretacji.
>A te dalsze to niby które? Te od milionowego począwszy?
Większe od ln|N|.
[Dla n dążących do ln|N| wyjdzie |N|, czyli tyle, ile intuicyjnie oczekujesz.]

>>Czy zauważyłeś, że każdy wyraz szeregu jest taki sam i ma wartość |N|
>Nie do końca.
Do końca, do końca. Każdy wyraz tego ciągu ma "wartość" |N|. Każdy tzn. o dowolnym numerze naturalnym n. Innych wyrazów w ciągu nie ma! o jakichś dziwacznych numerach w rodzaju alef₀, albo za przeproszeniem ln₂alef₀. Każdy wyraz ciągu ma jakiś konkretny numer naturalny!

>>.. udowodnię, że np. dla dowolnej nieskończonej liczby kardynalnej X zachodzi X=1:
>>X = X*1 = X*(X/X) = (X*X)/X = X²/X = X/X = 1.
>Nie wiem czego dowodzisz - chyba własnych naditerpretacji.
Dowodzę (przez reductio ad absurdum), że wykorzystane przez Ciebie w Twoich rachunkach ze wzorem Stirlinga skracanie liczb kardynalnych jest niedopuszczalną operacją (nie istnieje pojęcie dzielenia liczb kardynalnych nieskończonych). Przyjmując taką operację jako poprawną mogę dowieść różnych bzdur, np. alef₀=1. Właśnie to zrobiłem w moich rachunkach! Przyjrzyj się im uważnie i bez uprzedzeń - użyłem tam wyłącznie arytmetyki liczby kardynalnych oraz "Twoje" prawo skracania liczb kardynalnych. I do czego dochodzę?

>>A te dalsze to niby które? Te od milionowego począwszy?
>Większe od ln|N|.
Nie istnieje liczba naturalna ln|N|, czy jak ją tam sobie nazwiesz. KAŻDA LICZBA NATURALNA jest skończona!! Jest ona konkretna i można ją zapisać choćby w systemie dziesiętnym z użyciem skończonej ilości cyfr.

>>>Czy zauważyłeś, że każdy wyraz szeregu jest taki sam i ma wartość |N|
>>Nie do końca.
>Do końca, do końca. Każdy wyraz tego ciągu ma "wartość" |N|. Każdy tzn. o dowolnym numerze naturalnym n. Innych wyrazów w ciągu nie ma!
Jeśli byłaby mowa o numerach skończonych, to pełna zgoda.
Skoro jednak numeracja nie ma końca, to powstaje pytanie o rodzaj owego 'nie_mania_końca'* - np. zbiór o mocy 2^|N| nie ma końca w inny (mocniejszy?) sposób niż alef_zerowy. Przypuszczam, że mogą też istnieć 'słabsze' niż naturalne sposoby uzyskiwania "dowolnie" wielkiej wielkości.

>.. wykorzystane przez Ciebie w Twoich rachunkach ze wzorem Stirlinga skracanie liczb kardynalnych jest niedopuszczalną operacją
No może popełniłem nadużycie tak sobie lekko skracając, a powinienem był podkreślić rolę czynnika eⁿ - bo to, przyznasz, fundamentalnie co innego, gdy numerki występują w wykładniku.

>.. "Twoje" prawo skracania liczb kardynalnych. I do czego dochodzę?
Dzięki za uzasadnioną krytykę.
>Nie istnieje liczba naturalna ln|N|, czy jak ją tam sobie nazwiesz. KAŻDA LICZBA NATURALNA jest skończona!
Skoro mowa o liczbach skończonych, to pełna zgoda.
Jeśli jednak chodziłoby o nieskończone, to np. ln|R|=log₂|R|=lnc=alef₀ (każda >1 podstawa logarytmu jest równie dobra).
Przepraszam, jeśli zbyt uproszczoną notacją wprowadziłem zamieszanie.

>.. Jest ona [liczba naturalna] konkretna i można ją zapisać choćby w systemie dziesiętnym z użyciem skończonej ilości cyfr.
Też mi się zdaje, że ze skończonej ilości cyfr można budować co najwyżej konkretne (skończone) liczby.

[(*)Daruj nie dość precyzyjne sformułowania, ale mówimy nie o 'rzeczach rzeczywistych' (w sensie: mierzalnych fizycznie), lecz jeno wyobrażanych. Mimo to próbuję zdyscyplinować wyobraźnię przy użyciu tejże wyobraźni.]

Pozdrawiam

>Jeśli byłaby mowa o numerach skończonych, to pełna zgoda.
Przepraszam, ale o tym już kilka razy była mowa a Ty ciągle tkwisz w oparach jakiejś nadświadomości. Numery są zawsze skończone. Nie ma czegoś takiego jak numer nieskończony. Każdy numer, jaki weźmiesz, jest konkretny i skończony. Wprawdzie może być dowolnie duży, ale zawsze skończony. Dałem Ci kiedyś ćwiczenie z kwantyfikatorów dla oswojenia się z tymi pojęciami, ale go nie zrobiłeś.

>Skoro jednak numeracja nie ma końca, to powstaje pytanie o rodzaj owego 'nie_mania_końca'* - np. zbiór o mocy 2|N| nie ma końca w inny (mocniejszy?) sposób niż alef_zerowy.
Czym innym jest wartość liczby a czym innym jest liczność zbioru, z którego bierzesz te liczby. Jeśli myślisz, że zbiór liczb rzeczywistych ma inny koniec albo w inny sposób ma brak tego końca (dżisis! co ja tu wypisuję!!!), to jesteś w głębokim błędzie. Pojęcie końca lub braku tego końca ma związek wyłącznie z uporządkowaniem tego zbioru a nie jego licznością. I zbiory N i R mają niestety (a może "stety") taki sam "brak końca":

• Dla każdej liczby rzeczywistej istnieje liczba naturalna większa od niej
  
• Dla każdej liczby naturalnej istnieje liczba rzeczywista większa od niej (choćby ona sama powiększona o 1)
  

Żadna liczba rzeczywista nie jest w stanie "przeskoczyć" zbioru N i odwrotnie - żadna liczba naturalna nie jest w stanie "przeskoczyć" zbioru R !!! A jeden z tych zbiorów ma moc c, drugi alef₀.

>Skoro mowa o liczbach skończonych, to pełna zgoda.
>Jeśli jednak chodziłoby o nieskończone, to...
Nie ma liczb nieskończonych, liczby to liczby tzn. elementy zbioru liczbowego (całkowit, wymierne , rzeczywiste, zespolone...). Są też liczby kardynalne (skończone lub nieskończone). Ale liczba kardynalna nieskończona nie jest żadną liczbą (wbrew nazwie) i nie podlega regułom arytmetyki liczbowej, ale co najwyżej arytmetyce liczb kardynalnych.
Od miesiąca nasz dialog mniej więcej wygląda tak:
Setarkos: Widziałem wczoraj krowę z pazurami.
Confessus: Niemożliwe! Nie istnieje krowa z pazurami.
Setarkos: Pełna zgoda. Nie istnieje, o ile nie ta krowa nie jest misiem. No bo jeśli ta krowa jest misiem, to jednak ta krowa może mieć pazury.

Pozdrawiam

>>.. liczba ciągów skończonych, zbudowanych z elementów tego zbioru
>nie jest większa niż 2k! (! to tylko silnia a nie wykrzyknik).
Jest dużo większa, bo od razu nieskończona. Zapominasz, że w ciągu (w przeciwieństwie do zbiorów) elementy możesz brać wielokrotnie. Tyle razy, ile chcesz.

>Jeśli także wyrazy są skończenie długie,
>zdania składają się ze skończonej ilości wyrazów,
>każda książka jest zamkniętym zbiorem zdań
>a każda biblioteka skończonym księgozbiorem,
>i jeśli istnieje skończenie wiele bibliotek -
>to również cała informacja liczy sobie skończoną mnogość znaków.
Pierwsze cztery linijki są definicjami:
- Wyraz jest skończonym ciągiem znaków,
- Zdanie jest skończonym ciągiem wyrazów,
- Książka jest skończonym ciągiem zdań,
- Biblioteka jest skończonym ciągiem książek.
Piąta linijka jest niestety postulatem-własnością. Skoro bierzesz skończoną ilość bibliotek, to i znaków jest skończona. Gdybyś wziął wszystkie możliwe do pomyślenia biblioteki, to byłoby ich nieskończenie wiele (tym bardziej znaków byłoby nieskończenie wiele).

>Przypuszczam, że można w sposób niesprzeczny wprowadzić istnienie nieskończonych zbiorów mocy mniejszej niż |N| (np. takiego, którego zbiór potęgowy byłby równoliczny z N).
Nie można. Żaden zbiór nie jest równoliczny ze swoim zbiorem potęgowym (tw. Cantora). Jeśli zbiór jest skończony, to jego zbiór potęgowy też. Jeśli nieskończony, to ma moc co najmniej alef₀ (sic!) i jego zbiór potęgowy ma moc co najmniej continuum.

>.. Gdybyś wziął wszystkie możliwe do pomyślenia biblioteki, to byłoby ich nieskończenie wiele (tym bardziej znaków byłoby nieskończenie wiele).
Pełna zgoda. Wystarczy uzupełnić podany ciąg o: {zbiór bibliotek, zbiór zbiorów bibliotek, zbiór zbiorów zbiorów bibliotek, ...}. Ale czy to nie przemycenie domniemania nieskończoności do wykazania jej "konstrukcji" ze skończoności?
>.. Jeśli nieskończony, to ma moc co najmniej alef₀ (sic!)
Dlaczego nie mogą istnieć mniejsze alefy - np.
alef_-1=log₂alef₀?

>Wystarczy uzupełnić podany ciąg o: {zbiór bibliotek, zbiór zbiorów bibliotek, zbiór zbiorów zbiorów bibliotek, ...}. Ale czy to nie przemycenie domniemania nieskończoności do wykazania jej "konstrukcji" ze skończoności?
Nie przesadzaj! Po co tak uzupełniać. Wystarczy w Twoim opisie zdanie "i jeśli istnieje skończenie wiele bibliotek" zastąpić zdaniem "jeśli mamy wszystkie możliwe do pomyślenia biblioteki". I niczego w ten sposób nie przemycam - tu wprost, jak na talerzu mamy nieskończenie liczne możliwości.

>Dlaczego nie mogą istnieć mniejsze alefy
Bo nie ma takich zbiorów. Najmniejszą mnogością nieskończoną jest zbiór liczb naturalnych N. Wszystkie "mniejsze" są już skończone.

> Najmniejszą mnogością nieskończoną jest zbiór liczb naturalnych N. Wszystkie "mniejsze" są już skończone.
Skoro to pewne, to chyba stanowi dobry przykład na istnienie sądów syntetycznych a priori.
[Takiej pewności nie podzielam.]

>> Najmniejszą mnogością nieskończoną jest zbiór liczb naturalnych N. Wszystkie "mniejsze" są już skończone.
>Skoro to pewne, to chyba stanowi dobry przykład na istnienie sądów syntetycznych a priori.

W pewnym sensie tak. Stwierdzenie "Najmniejszą mnogością nieskończoną jest zbiór liczb naturalnych N" nie wyraża żadnej wiedzy o świecie ani nie można go skonfrontować ze światem żadnym doświadczeniem. Jest więc dużo gorzej niż z kantowską sumą kątów w trójkącie (bo tę sumę to nawet małe dziecko może próbować konfrontować za pomocą kątomierza) .

Na szczęście dzięki logice i matematyce wiele sądów a priori możemy porządkować względem wynikania jednych z drugich. A jest tak z omawianym sądem - jest on prostym wnioskiem z prostego rozumowania bazującego na "pojęciach a priori" zbioru, równoliczności i nieskończoności (tu nawet nie potrzeba sformalizowanej aksjomatyki Zermelo-Fraenkla teorii mnogości).

• Biorę dowolny zbiór X.
  
• Są dwie możliwości: zbiór X jest skończony lub nieskończony
  
• Jeśli zbiór X jest skończony, to koniec dowodu (bo nie ma czego dowodzić)
  
• Jeśli zbiór X nieskończony, to mogę w nieskończoność 'pobierać' jego elementy numerując każdy kolejny pobrany element kolejną liczbą naturalną.
  
• W efekcie ustaliłem funkcję różnowartościową, która każdej liczbie naturalnej przypisała jakiś oddzielny element zbioru X. Nazywa się ta funkcja zanurzeniem (iniekcją) N w zbiorze X.
  
• Skoro N zanurza się w X, więc X ma moc co najmniej |N|
  
• Koniec.
  

>W efekcie ustaliłem funkcję różnowartościową, która każdej liczbie naturalnej przypisała jakiś oddzielny element zbioru X. Nazywa się ta funkcja zanurzeniem (iniekcją) N w zbiorze X.
Szanowny kolega raczy żartować. Korzystając z szablonu takiego dowodu pokazalibyśmy za chwilę, że istnieje np. iniekcja zbioru o mocy c w zbiór o mocy alef₀, która automatycznie staje się bijekcją.
Tak nie jest.

>Szanowny kolega raczy żartować. Korzystając z szablonu takiego dowodu pokazalibyśmy za chwilę, że istnieje np. iniekcja zbioru o mocy c w zbiór o mocy alef₀, która automatycznie staje się bijekcją.
>Tak nie jest.

Wcale mi nie do żartów. W szablonie naszkicowałem iniekcję N→X zbioru N w jakiś dowolny nieskończony zbiór X. Nie możesz tego szablonu zastosować dla dowolnego zbioru argumentów zamiast N.
Tzn. nie uda Ci się np. znaleźć funkcji R→N różnowartościowej, która każdej liczbie rzeczywistej przypisze jakąś za każdym razem inną liczbę naturalną.
A dlaczego? Tajemnica tkwi w zdaniu linijka wyżej: "mogę w nieskończoność 'pobierać' jego elementy numerując każdy kolejny pobrany element kolejną liczbą naturalną". Użyte tu słowa "numerując", "kolejna liczba natura" sugerują wyraźnie, że chodzi o zbiór argumentów N. Bo też tylko w N (i w każdym zbiorze przeliczalnym) istnieje (da się zdefiniować) pojęcie następnika i obowiązuje własność, że dla dowolnych dwóch liczb naturalnych można od jednej do drugiej przejść stosując następnik skończoną ilość razy.

To jest dobra okazja, aby wejść o jeden stopień wyżej w naszych rozważaniach.
Używamy w naszej polemice niemal od początku pojęć "nieskończoność", "nieskończony" itd. Daruję sobie w tym miejscu filozoficzne rozważania nad tymi pojęciami, ich umocowaniem wśród sądów "a priori" i ich nie przystawalnością do świata materialnego. Zwrócę tu raczej uwagę na to, że każdy, kto ma maturę, operuje tymi pojęciami i ma w miarę dobre intuicje z nimi związane. Gdyby jednak tego "każdego" zapytać, co przez pojęcie "NIESKOŃCZONY" rozumie, to zacząłby się korowód zastępczych słów i pojęć: "taki, co nie ma końca", "taki, co się nigdy nie kończy", "taki, który można kontynuować nieskończenie długo", "taki, który można powtarzać dowolnie wiele razy" itd. itp. W języku potocznym to oczywiście wystarczy, w matematyce nie.

Matematyka dysponuje kilkoma definicjami nieskończoności definiowanej w języku teorii mnogości. Wśród nich:

• Zbiór jest nieskończony, jeśli jest równoliczny z pewnym swoim podzbiorem właściwym.
  
• Zbiór jest nieskończony, jeśli można w nim zanurzyć zbiór N
  

Obie te definicje są równoważne na gruncie teorii mnogości (włącznie z aksjomatem wyboru).

Pierwsza z nich jest o tyle lepsza, że nie odwołuje się do żadnego uprzednio zdefiniowanego zbioru. Druga odwołuje się do N i dzięki temu jest wygodniejsza do stosowania. Ja 90% swoich wpisów mogłem sobie darować i zamiast bajdurzyć o nieskończoności używając języka potocznego (te moje "pobieranie", "numerowanie", "kolejne elementy") mogłem krótko powołać się na tę drugą definicję i zakończyć wymianę poględów.
Nie wiem, jak Ty, ale kiedy pytasz o nieskończoność "mniejszą" od |N| mieszasz intuicje potoczne z pojęciami matematycznymi, a gdybym Cię zapytał o tę nieskończoność od czegoś mniejszą, to też byłbyś w kłopocie przy próbach wyjaśnienia, o co właściwie pytałeś. A moje dowody na nieistnienie zbioru, którego zbiór potęgowy byłby nieskończony przeliczalny, zupełnie zbywasz, podobnie jak (wcześniej wprost nie napisany) komunikat ode mnie, że pytanie o "nieskończoność mniejszą od |N|" jest z mojego punktu widzenia zupełnie bez sensu (patrz: druga definicja nieskończoności).

Pozdrawiam

>.. w każdym zbiorze przeliczalnym istnieje (da się zdefiniować) pojęcie następnika
Chyba pojęcie następnika nie jest tu najistotniejsze. Jeśli np. próbować znaleźć iniekcję ze zbioru liczb rzeczywistych z przedziału (0, 1) w zbiór liczb wymiernych z tego przedziału (czyli ułamków właściwych (a tych jest tyle samo co |N|)), to nadal wolno się posiłkować wyobrażeniem pobierania kolejnych elementów. Podobnie można rozważać funkcje ze zbioru ułamków właściwych w podzbiór o mniejszej mocy (co też się nie uda) pomimo że między ułamkami trudno wskazać "sąsiednie".
[Spróbuję w najbliższym czasie ubrać w słowa model różnych nieskończoności wśród ułamków, ale to może potrwać, bo czasu własnego skończenie wiele.]

>.. Gdyby jednak tego "każdego" zapytać, co przez pojęcie "NIESKOŃCZONY" rozumie, to zacząłby się korowód zastępczych słów i pojęć:
Słuszna uwaga. Pojęcie nieskończoności niespecjalnie nadaje się do jego intuicyjnego traktowania - z drugiej strony bez zastępczego (bo skończonego) opisu trudno się porozumieć.

>.. Zbiór jest nieskończony, jeśli można w nim zanurzyć zbiór N
Chyba lepsze byłoby określenie, że nieskończony jest wtedy, gdy można w nim zanurzyć inny nieskończony. Taka definicja jest ogólniejsza i nie narzuca intuicji o istnieniu nieskończoności najmniejszej.

>.. gdybym Cię zapytał o tę nieskończoność od czegoś mniejszą, to
odpowiem, że dla każdej nieskończonej liczby kardynalnej alfa istnieje mniejsza od niej nieskończona liczba kardynalna wyrażona wzorem log₂alfa.

>.. dowody na nieistnienie zbioru, którego zbiór potęgowy byłby nieskończony przeliczalny, zupełnie zbywasz,
Zdaje się, że bazują one na spostrzeżeniu, że zbiór potęgowy jest liczniejszy niż sam zbiór. Innymi słowy dziedzina (np. zbiór wyrazów) ma mniejszą moc niż zbiór funkcji określonych określonych na dziedzinie (np. zbiór zdań). O ile dobrze rozumiem, to twierdzenie o skończonej liczbie słów stojących jakoby za nieskończoną liczbą zdań wykorzystuje pogląd o istnieniu nieskończoności minimalnej, który tu staram się pomijać.

Pozdrawiam

>Chyba pojęcie następnika nie jest tu najistotniejsze.
Jest istotne. Jest wręcz fundamentalne. W pojęciu następnika kryje się pojęcie indukcji nieskończonej, która równie dobrze charakteryzuje zbiór N (np. każdy podzbiór N ma element najmniejszy). Każdy zbiór zawierający pewien ustalony element i zawierający wraz z dowolnym jakimś elementem także jego następnik (różny od wszystkich wcześniejszych) jest równoliczny z N.
>Jeśli próbować znaleźć iniekcję ze zbioru liczb rzeczywistych (...),to nadal wolno się posiłkować wyobrażeniem pobierania kolejnych elementów
Owszem wolno, ale ustalisz wtedy jedynie jakiś ciąg liczb rzeczywistych. Niestety nieprzeliczalny zbiór liczb rzeczywistych pozostanie poza tym ciągiem. W jakiej kolejności nie brałbyś te liczby rzeczywiste, zawsze nieprzeliczalna ilość liczb rzeczywistych nie będzie miała swojego następnika. Twierdząc inaczej będziesz twierdził, że liczb rzeczywistych przeliczalnie wiele.
Z liczbami wymiernymi to jest możliwe, bo jest efektywna metoda ustawienia wszystkich liczb wymiernych w ciąg, dzięki czemu dla dowolnej liczby wymiernej można podać jej następnik.

>Chyba lepsze byłoby określenie, że nieskończony jest wtedy, gdy można w nim zanurzyć inny nieskończony. Taka definicja jest ogólniejsza i nie narzuca intuicji o istnieniu nieskończoności najmniejszej.
Nie! Taka definicja nie przejdzie - robisz błędne koło. Definiujesz nieskończony zbiór za pomocą nieskończonego zbioru

>odpowiem, że dla każdej nieskończonej liczby kardynalnej alfa istnieje mniejsza od niej nieskończona liczba kardynalna wyrażona wzorem log2alfa.
Funkcja log jest zdefiniowana dla liczb rzeczywistych (z rozszerzeniem na liczby zespolone). To, co piszesz z tym log₂alef, jest pozbawione sensu. Podobnie jak pierwiastek stożka, logarytm długopisu albo odwrotność krowy. Napisać można wszystko, ale niewiele z tego ma sens.
Twoje niewzruszone przekonanie, że dla każdej liczby kardynalnej istnieje mniejsza od niej (mimo że wcześniej podałem Ci dowód na nieistnienie nieskończoności mniejszej alef₀) świadczy tylko o tym, że niektóre Twoje intuicje (i nie tylko Twoje) stoją w jaskrawej sprzeczności z aksjomatami teorii mnogości. Tylko nie mów, że to tym gorzej dla aksjomatów! Za przeproszeniem, to tym gorzej dla Ciebie - intuicje wyrobione dla liczb rzeczywistych po prostu Cię oszukują, gdy je próbujesz stosować dla innych obiektów matematycznych.

>>.. dowody na nieistnienie zbioru, którego zbiór potęgowy byłby nieskończony przeliczalny, zupełnie zbywasz,
>Zdaje się, że bazują one na spostrzeżeniu, że zbiór potęgowy jest liczniejszy niż sam zbiór.
Tak, ale inne są konsekwencje, gdy działamy na zbiorze skończonym a inne gdy na zbiorze nieskończonym:

• Zbiór podzbiorów z elementów zbioru skończonego jest skończony.
  
• Zbiór podzbiorów z elementów zbioru nieskończonego przeliczalnego jest nieprzeliczalny mocy c
  

Wchodząc na zbiór nieskończony przeliczalny od razu "produkujemy" moc c.

>Nie wiem czy dobrze rozumiem, ale twierdzenie o skończonej liczbie słów stojących jakoby za nieskończoną liczbą zdań wykorzystuje bodaj pogląd o istnieniu nieskończoności minimalnej, który tu staram się pomijać.
Proste pytanie: jak jest ilość napisów w rodzaju
a, aa, aaa, aaaa, aaaaa, aaaaaa, ...
skończona ilość czy nieskończona,
I drugie pytanie: ile znaków użyłem do produkowania każdego z elementów powyższego ciągu.
Jeśli na pierwsze pytanie odpowiesz NIESKOŃCZONA, to zadam drugie: czy mogę te napisy ponumerować liczbami naturalnymi. Jeśli odpowiesz TAK, to masz odpowiedź: najmniejszą nieskończonością jest |N|.

pozdrawiam

>.. Niestety nieprzeliczalny zbiór liczb rzeczywistych pozostanie poza tym ciągiem.
Jasne - nie sposób zanurzyć R w każdy nieskończony podzbiór R.
>.. dla dowolnej liczby wymiernej można podać jej następnik.
Podpowiesz gdzie o tym poczytać?
>.. robisz błędne koło.
Pardon - zapędziłem się - niech zostanie pierwsza definicja.
>.. log₂alef, jest pozbawione sensu.
Zapis: log₂c=alef₀
definiuję jako równoważny zapisowi: 2^alef₀=c.

>.. wcześniej podałem Ci dowód na nieistnienie nieskończoności mniejszej alef₀
Tyle, że podany przez Ciebie dowód zawiera błędne koło, ponieważ zakłada możliwość zanurzenia N w każdy nieskończony podzbiór N, podczas gdy to właśnie miałby pokazać.
>.. intuicje (..) po prostu Cię oszukują
Możliwe. Możliwe też, że nie tylko mnie. W tm jednak wypadku staram się zachować pozycje sceptyczne i nie wprowadzać (aksjomatycznie) nowych intuicji, lecz niektóre z dotychczas obowiązujących porzucić.

>.. a, aa, aaa, aaaa, aaaaa, aaaaaa, ...
Po trzech kropkach przypuszczam, że masz na myśli więcej niż skończenie długie wyrazy..
>.. najmniejszą nieskończonością jest |N|.
Skoro wyobrażasz sobie od razu "aż tyle", to nie dziwię się, że to dla Ciebie znaczy jednocześnie "tylko tyle".
[Widocznie dysponuję istotnie skromniejszą wyobraźnią.]

Pozdrawiam

>>.. dla dowolnej liczby wymiernej można podać jej następnik.
>Podpowiesz gdzie o tym poczytać?
Choćby tu w części z przykładami.

>Zapis: log2c=alef0 definiuję jako równoważny zapisowi: 2alef0=c.
No niech Ci będzie. Ale kiedy definiujesz np. funkcję f(x)= 1/x, musisz uważać, jakie wartości możesz podstawiać pod x których zaś nie możesz. Podobnie definiując - jak wyżej - ten Twój logarytm powinieneś uważać, jakie wartości podstawiać pod zmienną. Bo nie możesz np. logarytmować alef₀, bo nie ma takiej liczby kardynalnej x, dla której 2^x =alef₀
Samo napisanie log₂alef₀ nie kreuje żadnego obiektu. I podobnie jak 1/0 jest napisem bez sensu.
Przy okazji - w teorii mnogości definiuje się pojęcie zbioru potęgowego z danego zbioru X. Odpowiada mu 2^|X| na mocach tych zbiorów. Ale nie da się zdefiniować operacji odwrotnej, tzn. zbioru, którego zbiór potęgowy jest równy danemu. Dlatego też logarytmowanie liczb kardynalnych jest jakimś egzotycznym wymysłem.

>podany przez Ciebie dowód zawiera błędne koło, ponieważ zakłada możliwość zanurzenia N w każdy nieskończony podzbiór N, podczas gdy to właśnie miałby pokazać.
Tak to jest, gdy raz używa się intuicyjnej definicji zbioru nieskończonego (te pobierania kolejnych elementów itp.) to znowu porządnej definicji z zanurzaniem N. Starałem się to wytłumaczyć w mojej wypowiedzi 07-10-2012 21:32.
Przepraszam, ale jeśli tropiąc u mnie błędne koło masz moją wypowiedź z 06-10-2012 11:42, to może łaskawie wskazałbyś miejsce, w którym założyłem możliwość zanurzenia N w każdy nieskończony podzbiór N? O ile ja rozumiem swoje własne rozumowanie, to nie zakładałem istnienia tego zanurzenia, ale ja to zanurzenie właśnie konstruowałem. Jedyną moją niedoróbką było to, że tam jeszcze używałem potocznej definicji zbioru nieskończonego (skoro nie jest skończony, to jest nieskończony. A więc można pobierać...).
W dalsze części przedstawiam Ci dowód, w którym w ogóle nie użyję ani razu słowa "nieskończony". Jest on precyzyjną wersją szkicu z dnia 06-10-2012 11:42

>...staram się zachować pozycje sceptyczne i nie wprowadzać (aksjomatycznie) nowych intuicji lecz niektóre z dotychczas obowiązujących porzucić.
Jak na sceptyka to wyjątkowo beztrosko mnożysz w świecie abstraktów różne dziwotwory nie troszcząc się ani o ich logiczną niesprzeczność ani o możliwość ich skonstruowania lub chociaż wykazania ich istnienia. Te Twoje logarytmy z liczb kardynalnych, te Twoje nieskończoności czające się wśród liczb naturalnych ...

>>.. a, aa, aaa, aaaa, aaaaa, aaaaaa, ...
>Po trzech kropkach przypuszczam, że masz na myśli więcej niż skończenie długie wyrazy..
Czy Ty na pewno rozumiesz konwencję z trzema kropkami? Tak trudno domyślić się, że po sześciu wypisanych elementach pojawiłby się (gdyby mi się chciało to dalej pisać) element aaaaaaa a po nim element aaaaaaaa itd. (albo trzy kropki - jak wolisz). Czy któryś z nich jest "więcej niż skończenie długi"??? A na 140 miejscu pojawi się "więcej niż skończenie długi" element, czy może element długości 140?

---

Przypomnę najpierw zasadę minimum ZM jednoznacznie charakteryzującą zbiór liczb naturalnych:
ZM: Dowolny podzbiór N ma element najmniejszy.
Z tej zasady będę nieco niżej intensywnie korzystać.

Niech teraz X⊂N będzie dowolnym zbiorem zawartym w N. Określam dwa wzajemnie sprzeczne zdania tzn. A jest zaprzeczeniem B i odwrotnie:
A: ∃n∊N ∀x∊X (x≤n)
B: ∀n∊N ∃x∊X (x>n)
Oczywiście z dwóch zdań A,B zachodzi dokładnie jedno.
A oznacza, że zbiór X jest ograniczony z góry a tym samym ma skończoną ilość elementów. Czyli każdy zbiór X spełniający A można dla wygody nazywać skończonym podzbiorem zbioru N.

TWIERDZENIE Jeśli zbiór X spełnia B (czyli nie jest skończony), to można w nim zanurzyć zbiór N.

Dowód

Na mocy ZM istnieje w X element najmniejszy, oznaczmy go x₁.
Definiuję zbiór X₁={x: x>x₁, x∊X }.

Na mocy ZM istnieje w X₁ element najmniejszy, oznaczmy go x₂. Oczywiście x₁<x₂.
Definiuję zbiór X₂={x: x>x₂, x∊X }.

Na mocy ZM istnieje w X₂ element najmniejszy, oznaczmy go x₃. Oczywiście x₂<x₃.
Definiuję zbiór X₃={x: x>x₃, x∊X }.
Itd.
Na mocy ZM istnieje w X_i element najmniejszy, oznaczmy go x_i+1. Oczywiście x_i<x_i+1.
Definiuję zbiór X_i+1={x: x>x_i+1, x∊X }.

Indukcyjnie zdefiniowana funkcja f: i→x_i jest określona dla dowolnego i oraz jest jak widać różnowartościowa, bo dla każdego i zachodzi x_i<x_i+1.

Czyli f:N→X jest zanurzeniem zbioru N w zbiór X.
Koniec dowodu.

Ostatecznie: dla dowolnego zbioru X⊂N albo X jest skończony albo można w nim zanurzyć zbiór N

Zbiory, w których można zanurzyć N dla wygody nazywane są nieskończonymi.

WNIOSEK Nieskończony zbiór X⊂N jest przeliczalny.
Dowód Skoro N można zanurzyć w X, więc |N|<|X|, jednocześnie X⊂N więc |X|<|N|. Stąd więc |N|=|X|.

WNIOSEK Nie istnieje podzbiór X⊂N, którego zbiór potęgowy jest przeliczalny.
Dowód Jeśli zbiór X jest skończony, to jego zbiór potęgowy też jest skończony. Niech więc X jest nieskończony tzn. jest przeliczalny. Ponieważ jego zbiór potęgowy nie jest z nim równoliczny, więc ma moc continuum.

>.. nie możesz np. logarytmować alef₀, bo nie ma takiej liczby kardynalnej x, dla której 2^x =alef₀
Jeśli się z tym zgodzić, to dalsza dyskusja znika. Podjąłem ją dla rozważenia istnienia (nieskończonych) liczb kardynalnych x<alef₀.
>.. w teorii mnogości definiuje się pojęcie zbioru potęgowego z danego zbioru X. Odpowiada mu 2^|X| na mocach tych zbiorów.
Może trafniej byłoby nazwać zbiór podzbiorów danego zbioru eksponencjalnym zamiast potęgowym (eksponentą?) - dość stwierdzić, że logiczne się wydaje przypisanie mu mocy ostro większej niż wyjściowemu (co do tego się bodaj zgadzamy).
>.. Ale nie da się zdefiniować operacji odwrotnej, tzn. zbioru, którego zbiór potęgowy jest równy danemu.
Nie bardzo rozumiem - chyba równanie definiujące operację zawsze (automatycznie) definiuje operację odwrotną. Jeśli np. zdefiniować eksponentę pewnej macierzy: M₁=e^M, to jednocześnie ma sens wyrażenie: lnM₁, dające na powrót M.
>.. logarytmowanie liczb kardynalnych jest jakimś egzotycznym wymysłem.
Jako przeciętny użytkownik rozumu mogę Cię zapewnić, że nie ma tu żadnej egzotyki
W rachunku na dowolnych liczbach kardynalnych ich logarytmy nie wprowadzają sprzeczności (w szczególności logarytm przy podstawie 2 z liczby naturalnej określa (z małym błędem) po prostu długość zapisu tej liczby w systemie dwójkowym), a mogą być przydatne. Policzmy np. x^y (gdzie x, y nieskończone) - jaki wynik proponujesz?
>Jak na sceptyka to wyjątkowo beztrosko mnożysz w świecie abstraktów różne dziwotwory
? Czemu się wzbraniać przed ich zbadaniem? Z obawy przed naruszeniem misternie zbudowanego 'gmachu' powielanych konstrukcji o "absolutnych" fundamentach?
>.. nie troszcząc się ani o ich logiczną niesprzeczność
Mocny zarzut - jeśli widzisz wewnętrzną sprzeczność, wskaż ją (tylko nie atakuj mnie proszę jeszcze bardziej bestroską klasyką, z której próbuję wyłączyć potencjalnie nadmiarowe aksjomaty).
>.. ani o możliwość ich skonstruowania lub chociaż wykazania ich istnienia.
Cóż.. liczyłem na włączenie się matematyków zachowujących krytycyzm wobec zastanych teorii, bo nie będąc profesjonalistą sam nie dam rady - jeśli się przeliczyłem, to trudno.
>.. te Twoje nieskończoności czające się wśród liczb naturalnych ...
"Moje" w odróżnieniu od "wasze"? Jeśli każda liczba naturalna jest mniejsza od jakiejś liczby skończonej, to nie wnoszę żadnych zastrzeżeń.
>>>.. a, aa, aaa, aaaa, aaaaa, aaaaaa, ...
>.. Czy któryś z nich jest "więcej niż skończenie długi"???
Powiedz po prostu, że jest krótszy niż "coś tam" i wskaż owe "coś tam".

Pozdrawiam
[Dalszą dyskusję odkładam na później, ponieważ odnoszę wrażenie, że nie zmierzamy do zbadania rzeczy. Nie powinno być tak, by język matematyki nie znajdował wspólnego języka z powodu drobnej zmiany aksjomatyki. Kto jak kto, ale matematycy nie powinni się posądzać o fundamentalizm (typu religijnego?), lecz umieć 'na zimno' rozważać konsekwencje różnych założeń, w tym dotyczących wyobrażanych nieskończoności (jak trafnie zauważyłeś: nieweryfikowalnych fizycznie).].

>>.. nie możesz np. logarytmować alef0, bo nie ma takiej liczby kardynalnej x, dla której 2x =alef0
>Jeśli się z tym zgodzić, to dalsza dyskusja znika. Podjąłem ją dla rozważenia istnienia (nieskończonych) liczb kardynalnych x<alef₀.
Rozumiem, że to "JEŚLI..." ? oznacza, iż mój dowód masz za nic. A tak się napracowałem

>Może trafniej byłoby nazwać zbiór podzbiorów danego zbioru eksponencjalnym zamiast potęgowym (eksponentą?)
Tu się zgadzam. Lepszą nazwą byłaby nazwa "zbiór wykładniczy" (przez analogię do zbiorów skończonych i ich mocy). Nie ja tę nazwę wymyśliłem, taka jest tradycyjna terminologia i nie ma sensu z nią walczyć.

>>.. Ale nie da się zdefiniować operacji odwrotnej, tzn. zbioru, którego zbiór potęgowy jest równy danemu.
>Nie bardzo rozumiem
Miałem na myśli operację na zbiorach - nie istnieje zbiór, którego zbiór potęgowy będzie zbiorem {1,2,3,4,5}. Albo zbiorem N.

>Nie bardzo rozumiem - chyba równanie definiujące operację zawsze (automatycznie) definiuje operację odwrotną. Jeśli np. zdefiniować eksponentę pewnej macierzy: M1=eM, to jednocześnie ma sens wyrażenie: lnM1, dające na powrót M.
Taaak? A ile jest ln M gdzie M=[[-1,0],[0.1]]. A spróbuj znaleźć operację odwrotną do y=[x] gdzie [ ] oznacza część całkowitą liczby rzeczywistej. Jak sobie przeanalizujesz te przykłady, to zrozumiesz, gdzie są słabe strony tej konstrukcji i kiedy można a kiedy nie można mówić o operacji odwrotnej. A jeśli już można, to z jakimi ograniczeniami.

>>.. logarytmowanie liczb kardynalnych jest jakimś egzotycznym wymysłem.
>Jako przeciętny użytkownik rozumu mogę Cię zapewnić, że nie ma tu żadnej egzotyki
>W rachunku na dowolnych liczbach kardynalnych ich logarytmy nie wprowadzają sprzeczności, a mogą być przydatne. Policzmy np. x^y (gdzie x, y nieskończone) - jaki wynik proponujesz?
Żadnego nie zaproponuję, bo nie wiem, ile to jest. Gorzej - nikt na świecie tego nie wie. To jest zagadnienie dużego kalibru wymagające prawdopodobnie nierekurencyjnego poszerzenia aksjomatyki teorii mnogości ZF.
Pewnie wyobrażasz sobie alefy ułożone jak paciorki po kolei, a każdy z nich (wyjątkiem alef0) jest eksponencjałem swojego poprzednika. Nic bardziej mylnego. Jest to bardzo skomplikowany zbiór, owszem uporządkowany, ale mający po drodze nieskończoną ilość tzw. alefów nieosiągalnych tzn. takich, które nie są esponencjałem żadnego mniejszego alefa. Czyli trafiają się między nimi kosmiczne "dziury" podobne do "dziury" między wszystkimi liczbami naturalnymi a alef0. I logarytmami możesz straszyć dzieci w szkole ale nie te alefy.

>>Jak na sceptyka to wyjątkowo beztrosko mnożysz w świecie abstraktów różne dziwotwory
>? Czemu się wzbraniać przed ich zbadaniem? Z obawy przed naruszeniem misternie zbudowanego 'gmachu' powielanych konstrukcji o "absolutnych" fundamentach?
To co jest warte przebadania, badane jest od dawna. Zaproponuj coś faktycznie niebanalnego i przede wszystkim sensownego. Bo to, co poddajesz pod badanie wynika - powiem to najdelikatniej, jak umiem- z pewnego niezrozumienia omawianej materii.

>>.. nie troszcząc się ani o ich logiczną niesprzeczność
>Mocny zarzut - jeśli widzisz wewnętrzną sprzeczność, wskaż ją (tylko nie atakuj mnie proszę jeszcze bardziej bestroską klasyką, z której próbuję wyłączyć potencjalnie nadmiarowe aksjomaty).
Hm. Hm. Klasyka jest beztroska? Myślałem, że beztroskie może być (choć nie musi) majstrowanie w klasycznych konstrukcjach, pojęciach, teoriach.
A wewnętrzna sprzeczność? Ciągłe ją wskazuję. Aż mnie klawiatura boli!

dalszy ciąg niżej...

>.. mój dowód masz za nic.
To nie tak. W tym, co piszesz znajduję kawał dobrej roboty (w ramach klasycznej wykładni teorii mnogości). Jeśli wiele istotnych kwestii pomijam, to dlatego, by zmierzać do istoty sporu.
>.. nie istnieje zbiór, którego zbiór potęgowy będzie zbiorem {1,2,3,4,5}.
Dla zbioru {0,1,2,3,4,5,6,7} można wskazać zbiór hmm.. logarytmiczny np. w postaci {1,2,4}, a jego podzbiory: {_},{1},{2},{1,2},{4},{1,4},{2,4},{1,2,4} utożsamić z wyjściowym.
>To jest zagadnienie dużego kalibru
A tu mnie zaskakujesz, bo YlnX nietrudno oszacować.
>Pewnie wyobrażasz sobie alefy ułożone jak paciorki po kolei, a każdy z nich (wyjątkiem alef0) jest eksponencjałem swojego poprzednika.
Chyba z grubsza tak sobie wyobrażam, tyle że bez wyjątku.
>.. trafiają się między nimi kosmiczne "dziury" podobne do "dziury" między wszystkimi liczbami naturalnymi a alef0.
Możliwe. Zwłaszcza dziura między mocami skończonymi a nieskończonymi jest nie do załatania. Co do pozostałych nieskończoności "pomiędzy", to się nimi nie zajmuję - próbuję uchwycić tylko najogólniejszy szkic struktury, a dylematów w rodzaju hipotezy continuum nie rozstrzygam.
>.. logarytmami możesz straszyć dzieci w szkole ale nie te alefy.
Uważam, że logarytmów i eksponencjałów powinno się uczyć od przedszkola, by dzieci odróżniały wielkość od rzędu wielkości i arytmetyka nie wzbudzała w nich obaw. O alefy się nie martwię, a że są wrażliwe na operację eksponowania/logarytmowania, to same sobie winne.
> Klasyka jest beztroska?
A kto ją tam wie, skoro potrafi namnożyć więcej twierdzeń niż dowodów..

>Jeśli wiele istotnych kwestii pomijam, to dlatego, by zmierzać do istoty sporu.
O! tak łatwo nie próbuj się wymigać. Ten dowód właśnie precyzyjnie dotyczy istoty sporu. Nie udawaj, że go nie ma ani że Ciebie nie dotyczy. A Ty tymczasem dalej będziesz snuł swoje fantazje o logarytmie z alef₀...

>>.. nie istnieje zbiór, którego zbiór potęgowy będzie zbiorem {1,2,3,4,5}.
>Dla zbioru {0,1,2,3,4,5,6,7} można wskazać zbiór hmm.. logarytmiczny
Ależ Ty jesteś sprytny! No to teraz "zlogarytmuj" mi wyżej wspomniany zbiór {1,2,3,4,5}

>A tu mnie zaskakujesz, bo YlnX nietrudno oszacować.
Przy założeniu, że ustalisz lnX, to też Ci podam oszacowanie Y ≤ Y^lnX ≤ Y^X . Tylko że to jest tak banalne aż wstyd!

>Chyba z grubsza tak sobie wyobrażam, tyle że bez wyjątku.
No to - bez urazy - wyobraźni Ci nie staje.

>Co do pozostałych nieskończoności "pomiędzy", to się nimi nie zajmuję
No tak, nimi się nie zajmujesz, ale napisać to łatwo X^Y nie zająknąwszy się nawet, z którego kosmosu możliwych nieskończoności, z którego kręgu piekielnego wziąłeś X albo Y.

>Uważam, że logarytmów i eksponencjałów powinno się uczyć od przedszkola
Bez przesady. Wystarczy, że dzieciaki na początku II gimnazjalnej powinny już znać notację wykładniczą. Wcześniej to chyba nie ma sensu, bo np. w IV klasie podstawówki liczba 42167700 i 10⁵⁰⁰ są "tak samo" duże.

>O alefy się nie martwię
I słusznie, one też się Tobą nie przejmują, ani twoimi logarytmami

>> Klasyka jest beztroska?
>A kto ją tam wie, skoro potrafi namnożyć więcej twierdzeń niż dowodów..
Ano tak to już jest. I klasyka nic tu nie ma do rzeczy. Tak jest zbudowana matematyka. A zasługą Goedla jest właśnie to, że uświadomił powszechność teorii nierozstrzygalnych tzn., takich, w których twierdzenia/zdania/formuły można wręcz maszynowo mnożyć, zaś ich dowody wymagają twórczej pracy, bo procesu tworzenia tych dowodów nie da się zautomatyzować.

>.. będziesz snuł swoje fantazje o logarytmie z alef₀...
Mogę nie snuć i zakładać klasycznie, że wyższe moce można logarytmować uzyskując niższe, zaś nagle następuje bariera, która tego zabrania. Łatwo się też wymigam od zarzutu nieelegancji takiego rozwiązania, obejmując małe moce wytrychem przeliczalności i stając w zwartym szeregu z tymi, których podany przez Ciebie dowód jak najbardziej dotyczy.
>>Dla zbioru {0,1,2,3,4,5,6,7} można wskazać zbiór hmm.. logarytmiczny
>Ależ Ty jesteś sprytny!
Dzięki za komplement.
> No to teraz "zlogarytmuj" mi wyżej wspomniany zbiór {1,2,3,4,5}
Wolałbym 4-elementowy lub 16-to.. trochę się chyba 'czepiasz' szczegółu zamiast zasady, bo mówiliśmy o zbiorach na tyle licznych, że dokładność do mnożnika (tu 2) byłaby wystarczająca.
>.. to jest tak banalne
Trochę tracę orientację co banalne - chyba po prostu X^Y=X dla X>Y oraz 2^Y w sytuacji przeciwnej.
>.. z którego kosmosu możliwych nieskończoności, z którego kręgu piekielnego wziąłeś X albo Y.
No przecież z tych koralików, które mi przed chwilą raczyłeś Waść podsunąć.

>.. w IV klasie podstawówki liczba 42167700 i 10⁵⁰⁰ są "tak samo" duże.
Może i tak, ale mówienie np. o masie Ziemi: sześć milionów miliardów miliardów, to większy bełkot, niż informacja o rzędzie wielkości 24. Poza tym pokazanie samej istoty pozycyjnego zapisu liczb, gdzie cecha logarytmu idzie w parze z ilością cyfr koniecznych do zapisu, dawałoby chyba wyrobienie niezłych intuicji.

>.. zasługą Goedla jest właśnie to, że uświadomił powszechność teorii nierozstrzygalnych tzn., takich, w których twierdzenia/zdania/formuły można wręcz maszynowo mnożyć, zaś ich dowody wymagają twórczej pracy, bo procesu tworzenia tych dowodów nie da się zautomatyzować.
Ładnie powiedziane.

[Wyrażam jednak nadzieję, że nie musimy podlegać przymusowi pomnażania chaosu.]

>>.. będziesz snuł swoje fantazje o logarytmie z alef0...
>Mogę nie snuć i zakładać klasycznie, że wyższe moce można logarytmować uzyskując niższe, zaś nagle następuje bariera, która tego zabrania.
Dla mnie aż tak nie musisz się poświęcać. Dziwi mnie tylko Twój brak poszukiwań poprzednika liczby 1 tj. tej pierwszej liczby naturalnej. No wiesz, każda liczba naturalna ma swój poprzednik czyli niższą liczbę naturalną. Z WYJĄTKIEM TEJ CHOLERNEJ JEDYNKI! A może ona też, tylko nikt o tym nie wie? Nikt nie zauważył tej niekonsekwencji!?!? Tylko nie wchodź na liczby całkowite ujemne, szukaj czegoś naturalnego między 0 i 1.

>> No to teraz "zlogarytmuj" mi wyżej wspomniany zbiór {1,2,3,4,5}
>Wolałbym 4-elementowy lub 16-to.. trochę się chyba 'czepiasz' szczegółu zamiast zasady...
Celowo czepiam się szczegółów, żeby pokazać, że cała zasada jest do bani. Nie każdy zbiór można "zlogarytmować" (zarówno skończony jak i nieskończony).

>>.. to jest tak banalne
>Trochę tracę orientację co banalne - chyba po prostu X^Y=X dla X>Y oraz 2^Y w sytuacji przeciwnej.
Jest owszem X^Y = 2^Y dla X≤Y
Ale X^Y = X jest oczywiste tylko dla Y skończonych. Dla Y nieskończonych jest wiadome dla niektórych konkretnych X,Y. W ogólności nie wiadomo. Jest to problem szczególnie trudny dla X lub Y kardynalnych nieosiągalnych.
Dziwne, że nie używasz tu żadnych logarytmów. Jeszcze niedawno utrzymywałeś, że są niezastąpione do tych rachunków

>>.. z którego kosmosu możliwych nieskończoności, z którego kręgu piekielnego wziąłeś X albo Y.
>No przecież z tych koralików, które mi przed chwilą raczyłeś Waść podsunąć.
Ja Tobie podsunąłem koraliki??? Ja tylko domyśliłem się kształtu Twoich wyobrażeń, a zaraz w zdaniu następnym wyjaśniłem, że jest bardzo mylne. Zbyłeś zupełnie to drugie zdanie. Widzę, że będę musiał Cię przeprowadzić przez te piekielne kręgi nieskończoności niczym Wergiliusz. Może wyglądać np. tak.

Zacznijmy od przypomnienia, że zbiór potęgowy dowolnego zbioru X oznaczamy 2^X
Zanim wejdziemy wgłąb piekła w bramie spotykamy następujące znane zbiory:
N, 2^N, 2^2N, 2^22N, ...

Dalej jest już tylko gorzej...

Zdefiniujmy zbiory:
A₁ = N ∪ 2^N ∪ 2^2N ∪ 2^22N ∪ ...
A₂ = A1 ∪ 2^A1 ∪ 2^2A1 ∪ 2^22A1 ∪ ...
A₃ = A2 ∪ 2^A2 ∪ 2^2A2 ∪ 2^22A2 ∪ ...
Itd.
Każdy z A_i jest nieosiągalny, bo nie jest zbiorem potęgowym żadnego z poprzednich zbiorów. A₁, A₂, A₃,.. tworzą nieskończenie wiele kolejnych piekielnych kręgów.

Mogę teraz zdefiniować ober kręgi ober piekła. Np.
B₁ = A1 ∪ 2^A2 ∪ 2^2A3 ∪ 2^22A4 ∪ ...
B₂ = B1 ∪ 2^B1 ∪ 2^2B1 ∪ 2^22B1 ∪ ...
Itd.
Potem definiujemy C_i, D_i itd.
Dla każdej hierarchii nieskończoności mogę zdefiniować kolejną nadhierarchię, a dla niej kolejną nadnadhierarchię. I tak w nieskończoność.

Czasami mówi się o hierarchii liczb kategorycznych jako o zbiorze, w którym są ciągi, a te ciągi są ułożone w ciągi wyższego rzędu. Z kolei te ciągi ciągów ułożone są w ciągi jeszcze wyższego rzędu itd. Każdy element (liczba kardynalna) ma swój następnik, ale (i to jest ważne) każdy liczba kardynalna będąca początkiem ciągu, ciągu ciągów, ciągu ciągu ciągów itd. nie ma swojego poprzednika (jest to liczba nieosiągalna)

Przypominają te liczby kardynalne ni to zbiór Cantora ni to fraktal - dla dowolnie dużej skali obserwacji zbioru tych nieskończoności widzimy to samo. Pewnym wyobrażeniem mogą być ilustracje na tej stronie. To naprawdę nie jest żaden sznur koralików!

>sześć milionów miliardów miliardów, to większy bełkot, niż informacja o rzędzie wielkości 24.
Toteż nikt tak nie mówi, mówi się za to o kwadrylionach.

>pokazanie samej istoty pozycyjnego zapisu liczb, gdzie cecha logarytmu idzie w parze z ilością cyfr koniecznych do zapisu, dawałoby chyba wyrobienie niezłych intuicji.
Masa Ziemi jest poza wyobraźnią tak małych dzieci. Na miarę ich wyobraźni jest masa (waga) samochodu albo słonia. A jak już trzeba, to wystarczy mówić o ilości cyfr. Mówiąc o logarytmach i ich cechach wyrobiłbyś tylko nocne lęki zamiast intuicji.

pozdrowienia

>>.. wyższe moce można logarytmować uzyskując niższe, zaś nagle następuje bariera, która tego zabrania.
>.. brak poszukiwań poprzednika liczby 1
Nie rozumiem analogii. Mowa była o mocach nieskończonych. Zgodziłeś się łaskawie na zapis log₂c=alef₀. Kategorycznie zabraniasz zapisów definiujących L₁, L₂, ... jako: log₂|N|=L₁, log₂(L₁)=L₂, itd, podczas gdy liczby L₁, L₂, ... tworzą ciąg malejący i nie są skończone.
> Nie każdy zbiór można "zlogarytmować" (zarówno skończony jak i nieskończony).
Dla zobrazowania pokazałem przykład logarytmowania zbiorów skończonych (fakt, że o mocach będących potęgą), spośród mocy nieskończonych mówię tylko o takich, które podlegają operacji 'eksponowania' (i logarytmowania). Przy użyciu tych operacji konstruuję nowe moce, bo to niezłe kryterium (jest inne?) dla ich odróżniania.
>.. utrzymywałeś, że [logarytmy] są niezastąpione do tych rachunków
Utrzymuję, że logarytmy są przydatne. Tutaj moc o stopień niższa: Y^.lnX jest równa czynnikowi niemniejszemu, co wobec X>Y daje jej równość z lnX. Po powrotnym wyeksponowaniu dostajemy e^lnX=X i już.

>.. będę musiał Cię przeprowadzić przez te piekielne kręgi nieskończoności
Chętnie się rozejrzę, ale to chyba wymaga anielskiej cierpliwości .
[Proponuję ograniczenie tematu do klasyfikacji liczebności (mocy) piekielnych kręgów.]
>.. fraktal - dla dowolnie dużej skali obserwacji zbioru tych nieskończoności widzimy to samo.
A w mniejszych skalach nie?

Pozdrawiam.

>Nie rozumiem analogii.
To była tak żartobliwa próba uświadomienia Ci, że alef₀ nie jest jedyną liczba kardynalną nieosiągalną tzn. niemającą swego poprzednika.
Przecież 1 także nie ma swojego poprzednika. Obok tych dwóch inną taką jest liczba kardynalna oznaczana alef_𝜔.
Żeby ułatwić Ci wyobrażenie sobie, co to jest liczba nieosiągalna, proponuję przeanalizować następujący zbiór:
{1 - 1/n, n=1,2,3...} ∪ {2 - 1/n, n=1,2,3,...} ∪ {3 - 1/n, n=1,2,3...}.
W zbiorze tym każdy element, powtarzam KAŻDY, ma swój następnik. Jednak nie każdy element ma swój poprzednik: nie mają swojego poprzednika elementy 0, 1 oraz 2. Element 0 z oczywistych względów - jest najmniejszym elementem powyższego zbioru. Ale 1 i 2 nie, bo są punktami skupienia, granicami pewnego ciągu rosnącego zbieżnego. Nie są więc następnikiem żadnego mniejszego od nich. Gdyby przyjąć analogię z liczbami kardynalnymi, to można byłoby elementy 0, 1 i 2 nazwać elementami nieosiągalnymi.

>Utrzymuję, że logarytmy są przydatne
Nie dość, że nic nie wnoszą do teorii, to jeszcze są źle określone, bo mają źle określoną dziedzinę i mają logiczną wadę - brak zbioru, w którym to działanie określamy (patrz niżej).
Są jedynie banalnym formalizmem, który można porównać z zastąpieniem zapisu x:y zapisem x/y

>Proponuję ograniczenie tematu do klasyfikacji liczebności (mocy) piekielnych kręgów
Nie da się. Liczby kardynalne istnieją samodzielnie, tylko wtedy, gdy uzna się je jako klasy abstrakcji zbiorów równolicznych ze sobą. Żeby "mieć" liczbę kardynalną trzeba "mieć" choć jeden zbiór, z którym skojarzymy tę liczbę kardynalną. Liczby kardynalne nie powstają w wyniku jakichś działań arytmetycznych (dodawania |A|+|B| , mnożenia |A|*|B| czy operacji potęgowania |A|^|B|). Liczbę kardynalną produkujemy produkując odpowiedni zbiór z innych zbiorów (odpowiednikami są operacje na zbiorach: suma zbiorów A∪B, iloczyn kartezjański zbiorów A×B oraz zbiór funkcji B→A) i tak utworzonemu zbiorowi przypisując liczbę kardynalną.
Jest tu wyraźnie inna sytuacja niż z liczbami rzeczywistymi (wymiernymi itd.), bo dla nich możesz wziąć zbiór ich wszystkich naraz i definiować jakieś działania (jako funkcję np. 2-argumentową o wartościach w tym zbiorze, np. dodawanie, mnożenie itd). Nie można czegoś takiego zrobić z liczbami kardynalnymi, bo zbiór wszystkich liczb kardynalnych po prostu NIE ISTNIEJE (podobnie jak nie istnieje zbiór wszystkich zbiorów . ). Owszem, istnieją poszczególne liczby kardynalne, istnieją zbiory zawierające jakieś liczby kardynalne, ale nigdy wszystkie naraz.

>A w mniejszych skalach nie?
Nie! Liczby kardynalne wykazują - że tak powiem - "ziarnistość". Między dwiema "sąsiednimi" liczbami kardynalnymi jest "pusto". Oglądając je pod mikroskopem zobaczysz ewentualnie jakąś liczbę kardynalną i wokół niej ciemność (patrz hipoteza continuum). Ciekawie jest dopiero, gdy oglądasz je z "dużego oddalenia".

pozdrawiam

>.. liczba kardynalna oznaczana alef_𝜔.
Czy to taka, że jej logarytm byłby równy jej samej podobnie jak eksponenta? Jeśli tak, to być może
ln(ln(ln...( alef_𝜔 ))...)
byłby osiągalny przy osiągalnej liczbie logarytmowań.
>[logarytmy] nic nie wnoszą do teorii,
Tzn, że rachunek: X^Y=X (dla X,Y nieskończonych i X>Y) jest błędny?
>>Proponuję ograniczenie tematu do klasyfikacji liczebności (mocy) piekielnych kręgów
>Nie da się.
Niemożliwe - zawszeć wszak da się zrobić mniej zamiast więcej.
> Liczbę kardynalną produkujemy produkując odpowiedni zbiór z innych zbiorów (odpowiednikami są operacje na zbiorach: suma zbiorów A∪B, iloczyn kartezjański zbiorów A×B oraz zbiór funkcji B→A) i tak utworzonemu zbiorowi przypisując liczbę kardynalną.
Zgadza się, przy czym dwie pierwsze operacje nie zwiększają mocy.
>.. zbiór wszystkich liczb kardynalnych po prostu NIE ISTNIEJE
Toteż chodzi mi tu tylko o (wszystkie!) te, które są 'czułe na eksponowanie'.
>Liczby kardynalne wykazują - że tak powiem - "ziarnistość". Między dwiema "sąsiednimi" liczbami kardynalnymi jest "pusto". Oglądając je pod mikroskopem zobaczysz ewentualnie jakąś liczbę kardynalną i wokół niej ciemność
Ładnie powiedziane. Chyba widzę to podobnie - dodaję/odejmuję k skończone do takiego X nieskończonego i nic, mnożę/dzielę i też nic, potęguję/pierwiastkuję a nadal tkwię w X.
Ale można chyba wyróżnić taką grupę X-ów, że eksponowanie/logarytmowanie któregoś X-a (przy skończonej podstawie k>1) daje przeskok na całkiem inny poziom Y czy W.
[Pewnie wg klasycznych kanonów byłaby to półgrupa..]
>Ciekawie jest dopiero, gdy oglądasz je z "dużego oddalenia".
Dla zachowania dystansu, za pozwoleniem, nie będę przesadnie wnikać w piekielną gmatwaninę.

Pozdrawiam

>[Żeby "mieć" liczbę kardynalną trzeba "mieć" choć jeden zbiór, z którym skojarzymy tę liczbę kardynalną.
Do tego zmierzam, by podać spektrum zbiorów wraz z działaniami "produkującymi" wyższe/niższe moce.]

>ln(ln(ln...( alef𝜔 ))...)
Nie wypisuj symboli czegoś, czego wprzódy nie zdefiniowałeś poprawnie. Te "Twoje" logarytmy na liczbach kardynalnych są jak bajki o żelaznym wilku. Równie dobrze możesz pisać o pierwiastku stożka, logarytmie długopisu albo odwrotności krowy (już to wcześniej pisałem).

>>[logarytmy] nic nie wnoszą do teorii,
>Tzn, że rachunek: X^Y=X (dla X,Y nieskończonych i X>Y) jest błędny?
Tak, jest błędny! Wcześnie to już pisałem. Ta równość zachodzi tylko dla Y skończonych.

>Niemożliwe - zawszeć wszak da się zrobić mniej zamiast więcej.
Nie da się opowiadać jedynie o wiertłach nic nie wspominając o wiertarkach.

>Toteż chodzi mi tu tylko o (wszystkie!) te, które są 'czułe na eksponowanie'.
Wszystkie są czułe! Bez wyjątku. I nic z tego nie wynika.

>[Pewnie wg klasycznych kanonów byłaby to półgrupa..]
jeśli półgrupa, to nie ma działań odwrotnych. Tym samym mówienie o odejmowaniu i dzieleniu jest bzdurą. (już to poruszyłem - nie wolno używać dzielenia wśród liczb kardynalnych).

>dodaję k skończone do takiego X nieskończonego i nic, mnożę i też nic, potęguję a nadal tkwię w X.
Nieprawda, jeśli potęgujesz z wykładnikiem nieskończonym, to już nie tkwisz w X
A eksponowanie sprowadza się do potęgowania. (poszukaj sobie definicji w podręcznikach szkolnych)

>...podać spektrum zbiorów wraz z działaniami produkującymi wyższe/niższe moce.]
Od miesiąca tłumaczę, że to jest niemożliwe. Nie "wyprodukujesz" ze zbioru N zbioru o mocy bezpośrednio niższej. Z żadnego zbioru "mniejszego" niż N nie "wyprodukujesz" zbioru przeliczalnego.

pozdrawiam

>.. logarytmy na liczbach kardynalnych są jak bajki o żelaznym wilku.
Wolne żarty. Ustaliliśmy chyba, że
logarytm z continuum = alef_zero.
>>>Tzn, że rachunek: X^Y=X (dla X,Y nieskończonych i X>Y) jest błędny?
>Tak, jest błędny!
Podasz kontrprzykład?
>Nie da się opowiadać jedynie o wiertłach nic nie wspominając o wiertarkach.
Hmm.. wiertarki bez wierteł tracą funkcjonalność, zaś wiertła trochę jej zachowują nawet bez wiertarek.
>.. które są 'czułe na eksponowanie'.
>Wszystkie są czułe! I nic z tego nie wynika.
Wynika uzyskanie innej mnogości.
Przyznaj po prostu, że klasyczna teoria mnogości nie daje odpowiedzi na pytanie: "czego eksponentą jest |N|?", zamiast się zasłaniać pierwiastkami z baranów.
>>>[Pewnie wg klasycznych kanonów byłaby to półgrupa..]
>jeśli półgrupa, to nie ma działań odwrotnych.
Według mojej teorii jest to 'grupa' (bez wyróżnionego elementu neutralnego) z eksponentą i logarytmem.
[Jakąś analogią byłby np. zbiór całkowitych potęg dwójki z mnożeniem i dzieleniem, w którym dowolnie wybrany element nazwiesz "jedynką".]

pozdrawiam

>Wolne żarty. Ustaliliśmy chyba, że logarytm z continuum = alef_zero.
Zgodziłem się z litości i dla świętego spokoju (i od razu tego pożałowałem). I co najważniejsze - zgodziłem się z dużymi zastrzeżeniami. Te zastrzeżenia dotyczyły Twojej beztroski wobec konieczności ustalenia dziedziny definiowanej funkcji (powinieneś pamiętać takie pojęcie ze szkoły średniej)

>>>Tzn, że rachunek: X^Y=X (dla X,Y nieskończonych i X>Y) jest błędny?
>Tak, jest błędny!
>Podasz kontrprzykład?
X^alef0 dla dowolnego X nieosiągalnego
Problem z Tobą (przepraszam za ten protekcjonalny ton) jest taki, że prawdopodobnie wg Ciebie wszystkie liczby kardynalne tworzą ciąg
|N|, 2^|N|=c, 2^2|N|, 2^22|N|, 2^222|N|,...
Twoim wielce oryginalnym "wkładem" w matematykę jest rozciągnięcie tego ciągu w drugą stronę (za pomocą zabawnych logarytmów)
W czymś takim oczywiście można sobie śmiało logarytmować i "eksponencjować". I tu oczywiście nie zobaczysz niemiłych dla Ciebie niespodzianek w postaci liczb kardynalnych nieosiągalnych. I nie zobaczysz ani głębi ani całej pikanterii teorii mnogości i teorii liczb kardynalnych. Szkoda!

>... wiertarki bez wierteł tracą funkcjonalność, zaś wiertła trochę jej zachowują nawet bez wiertarek.
No niby racja, podkowa i bez konia może służyć do przybijania pinezek, przyciskania papierów na biurku, a powieszona nad progiem przynosi szczęście. Faktycznie, ona też trochę swojej funkcjonalności zachowuje.

>Wynika uzyskanie innej mnogości.
>Przyznaj po prostu, że klasyczna teoria mnogości nie daje odpowiedzi na pytanie: "czego eksponentą jest |N|?", zamiast się zasłaniać pierwiastkami z baranów.
Ależ klasyczna teoria mnogości dawno odpowiedziała na to pytanie: NICZEGO. Coś takiego nie istnieje. Albo inaczej - coś takiego istnieje dokładnie tak samo, jak pierwiastek sześcienny z barana. Albo - za przeproszeniem - Bóg w Trójcy Jedyny.

>Według mojej teorii jest to 'grupa' (bez wyróżnionego elementu neutralnego) z eksponentą i logarytmem.
>[Jakąś analogią byłby np. zbiór całkowitych potęg dwójki z mnożeniem i dzieleniem, w którym dowolnie wybrany element nazwiesz "jedynką".]
tutaj wystarczy posłużyć się bardzo wygodnym i ważnym w matematyce pojęciem zwanym izomorfizmem struktur. To, co w ten sposób opisujesz, jest izomorficzne z grupą liczb całkowitych. Odpowiednikiem Twojego mnożenia jest dodawanie ( w końcu i tak dodajesz wykładniki) odpowiednikiem dzielenie jest odejmowanie (w końcu i tak odejmujesz wykładniki)

pozdrawiam i przepraszam za długą przerwę w naszej polemice.

>Zgodziłem się z litości i dla świętego spokoju (i od razu tego pożałowałem).
Wolisz święty spokój od dociekliwości?
> prawdopodobnie wg Ciebie wszystkie liczby kardynalne tworzą ciąg: |N|, 2^|N|, 2^2|N|, ...
Nie wszystkie, lecz większe od innych nieskończonych, dających się odróżnić.
>Twoim wielce oryginalnym "wkładem" w matematykę jest rozciągnięcie tego ciągu w drugą stronę (za pomocą zabawnych logarytmów)
Tak - oryginalnym, tak - "wkładem" (bo próbą skrótu), nie - nie mniej zabawne niż eksponowanie.
>>> klasyczna teoria mnogości nie daje odpowiedzi na pytanie: "czego eksponentą jest |N|?"
>Ależ klasyczna teoria mnogości dawno odpowiedziała na to pytanie: NICZEGO.
Nie możesz zatem twierdzić (by wrócić do początku dyskusji), jakoby nieskończoną mnogość napisów można było wytworzyć ze skończonej liczby liter, wyrazów, zdań, ...
Taki pomysł bierzesz z "NICZEGO", co
>istnieje dokładnie tak samo, jak pierwiastek sześcienny z barana. Albo - za przeproszeniem - Bóg w Trójcy Jedyny.

>wystarczy posłużyć się bardzo wygodnym i ważnym w matematyce pojęciem zwanym izomorfizmem struktur.
Tak. Należy się zająć co najmniej strukturą zbiór+działanie - w 'gołych' zbiorach nic się nie dzieje.

pozdrawiam

> Nie "wyprodukujesz" ze zbioru N zbioru o mocy bezpośrednio niższej. Z żadnego zbioru "mniejszego" niż N nie "wyprodukujesz" zbioru przeliczalnego.
W mojej teorii istnieją zbiory nieskończone, których zbiory potęgowe są przeliczalne.
Według bronionej przez Ciebie klasyki zbiory potęgowe byłyby albo skończone albo od razu co najmniej mocy c.
Jeśli zaś rozważyć zbiory potęgowe zbudowane na zbiorach potęgowych (eksponentę eksponenty), to nie wyprodukujesz ani alef_zero ani continuum.

Nadal Cię dziwią moje zastrzeżenia do standardowych kanonów teorii mnogości?

Pozdrawiam

kontynuacja

>>.. ani o możliwość ich skonstruowania lub chociaż wykazania ich istnienia.
>Cóż.. liczyłem na włączenie się matematyków zachowujących krytycyzm wobec zastanych teorii, bo nie będąc profesjonalistą sam nie dam rady - jeśli się przeliczyłem, to trudno.
Nie licz na to! Dwadzieścia kilka linijek dalej spisałem tego powody.

>>.. te Twoje nieskończoności czające się wśród liczb naturalnych ...
>Jeśli każda liczba naturalna jest mniejsza od jakiejś liczby skończonej, to nie wnoszę żadnych zastrzeżeń.
Tak, każda liczba naturalna n jest mniejsza od liczby naturalnej n+1. I co z tego? Pięć linijek dalej masz do przeanalizowania przykład z kwantyfikatorami.

>>>>.. a, aa, aaa, aaaa, aaaaa, aaaaaa, ...
>>.. Czy któryś z nich jest "więcej niż skończenie długi"???
>Powiedz po prostu, że jest krótszy niż "coś tam" i wskaż owe "coś tam".
Nie. Tego nie mogę powiedzieć.
Poćwicz to w wolnym czasie na kwantyfikatorach. W poniższych dwóch zdaniach zamieniłem kwantyfikatory:
∃y ∀x (x<y) tzn. Istnieje liczba y taka, że dla każdej liczby x zachodzi x<y
∀x ∃y (x<y) tzn. Dla każdej liczby x istnieje liczba y taka, że x<y
Domagasz się, abym uznał prawdziwość pierwszego zdania dla liczb naturalnych. Tymczasem z tych dwóch zdań prawdziwe jest tylko drugie.

>[Dalszą dyskusję odkładam na później, ponieważ odnoszę wrażenie, że nie zmierzamy do zbadania rzeczy. Nie powinno być tak, by język matematyki nie znajdował wspólnego języka z powodu drobnej zmiany aksjomatyki. Kto jak kto, ale matematycy nie powinni się posądzać o fundamentalizm (typu religijnego?), lecz umieć 'na zimno' rozważać konsekwencje różnych założeń, w tym dotyczących wyobrażanych nieskończoności (jak trafnie zauważyłeś: nieweryfikowalnych fizycznie).].
Zapewniam cię, że matematykom odeszła chęć majstrowania przy aksjomatyce ZF już przeszło pół wieku temu. Z chwilą powstania w XIX w. tzw. naiwnej teorii mnogości i serii paradoksów matematycy zaczęli się uważnie przyglądać samej matematyce, zaczęli się zastanawiać nad naturą powstających na jej gruncie pojęć i twierdzeń. Kwintesencją tego było najpierw stworzenie pojęcia teorii formalnej, aksjomatyzowanie niemal wszystkich teorii matematycznych a skończyło się badaniem pojęcia prawdy, dowodliwości twierdzeń. Z wielkim zawodem a u niektórych z przerażeniem zauważono wątłość narzędzi jakimi matematyka się posługuje, niemożność zaksjomatyzowania całej matematyki jako takiej i zautomatyzowania dowodzenia twierdzeń. Po takiej przygodzie matematycy wolą uprawiać dyscypliny matematyczne wewnątrz.

W spadku po tamtych czasach mamy wspaniale zaksjomatyzowaną teorię mnogości Zermelo-Fraenkela. I na niej oparta jest cała współczesna matematyka. Chociaż to paskudna teoria, jest niekategoryczna, niezupełna, nierekurencyjna. Nie wiadomo nawet, czy jest niesprzeczna, gorzej - wiadomo, że tego nie można ustalić. Ale jest jedyną, jaką mamy. A bawiąc się nią przez wyjmowanie jakiegoś aksjomatu albo tylko przez przerabianie go pozbawimy się jedynego narzędzia, żeby badać to, co pozostało po tych przeróbkach. Gmach matematyki wisi nad przepaścią i uczepienie się teorii mnogości Zermelo-Fraenkla jest jak chwycenie się jedynego wbitego w pionową ścianę haka.
Nawet jeśli się bada logiki wielowartościowe, to narzędziem badawczym jest klasyczna logika 2-wartościowa. Nawet jeśli bada się modele alternatywne ubogie teorii mnogości, narzędziem badawczym jest teoria mnogości ZF.
Jeśli chcesz badać myślenie, to sam musisz przy tym myśleć. A to swoje meta-myślenie też musisz badać meta-meta-myśleniem. To jest zaklęte koło, z którego nie ma wyjścia. Tyle że w teorii mnogości ten problem jakby sam się rozwiązuje, tu wchodząc na kolejne poziomy "meta" tkwimy w tym samym miejscu - teoria mnogości ZF jest właściwie swoją własną meta-teorią. I choćby z tego powodu nie da się w niej grzebać.

>Doprawdy staram się nie mnożyć, jak to zgrabnie raczyłeś ująć, "różnych dziwnotworów" - przeciwnie - poszukuję minimalistycznego opisu, który zapobiegałby "coraz większym wodospadom informacji codziennie nas zalewających". /za Kołakowskim/
No to powodzenia w swych poszukiwaniach! Matematyków tym apelem nie musisz zachęcać - - oni to zadanie domowe już dawno odrobili. Kieruj swój apel do poetów, filozofów, publicystów, polityków. Może oni zechcą popracować nad "minimalistycznym opisem". Mogą czerpać z najlepszych wzorców: z Euklidesa i Moritza Pascha. Pierwszy z nich stworzył pierwszą aksjomatykę, drugi dał podwaliny pod pojęcie teorii formalnej. Bardziej "minimalistycznie" już się nie da.

pozdrawiam

>.. mamy wspaniale zaksjomatyzowaną teorię mnogości Zermelo-Fraenkela. I na niej oparta jest cała współczesna matematyka. Chociaż to paskudna teoria, jest niekategoryczna, niezupełna, nierekurencyjna. Nie wiadomo nawet, czy jest niesprzeczna, gorzej - wiadomo, że tego nie można ustalić. Ale jest jedyną, jaką mamy. A bawiąc się nią przez wyjmowanie jakiegoś aksjomatu albo tylko przez przerabianie go pozbawimy się jedynego narzędzia, żeby badać to, co pozostało po tych przeróbkach. Gmach matematyki wisi nad przepaścią i uczepienie się teorii mnogości Zermelo-Fraenkla jest jak chwycenie się jedynego wbitego w pionową ścianę haka.
>Nawet jeśli się bada logiki wielowartościowe, to narzędziem badawczym jest klasyczna logika 2-wartościowa. Nawet jeśli bada się modele alternatywne ubogie teorii mnogości, narzędziem badawczym jest teoria mnogości ZF.
>Jeśli chcesz badać myślenie, to sam musisz przy tym myśleć. A to swoje meta-myślenie też musisz badać meta-meta-myśleniem. To jest zaklęte koło, z którego nie ma wyjścia. Tyle że w teorii mnogości ten problem jakby sam się rozwiązuje, tu wchodząc na kolejne poziomy "meta" tkwimy w tym samym miejscu - teoria mnogości ZF jest właściwie swoją własną meta-teorią. I choćby z tego powodu nie da się w niej grzebać.
Przepiękny opis matematyki.

[Podziwiam Twoją jej znajomość, która pozwala kochać królową nauk pomimo niedostatków. Podzielam myśl, iż jest i powinna pozostać ostoją rozumności. Daruj proszę impertynencje z mojej strony, wynikłe z niedostatecznego rozeznania.]

Pozdrawiam.

>Na mocy ZM istnieje w X element najmniejszy, oznaczmy go x₁.
>Definiuję zbiór X₁={x: x>x₁, x∊X }.
>Na mocy ZM istnieje w X₁ element najmniejszy, oznaczmy go x₂. Oczywiście x₁<x₂.
>Definiuję zbiór X₂={x: x>x₂, x∊X }.
>Na mocy ZM istnieje w X₂ element najmniejszy, oznaczmy go x₃. Oczywiście x₂<x₃.
>Definiuję zbiór X₃={x: x>x₃, x∊X }.
>Itd.

Popełniasz błąd przy indeksowaniu!
Milcząco i bezpodstawnie zakładasz, że do numerowania kolejnych elementów X dysponujemy kolejnymi liczbami naturalnymi, podczas gdy może ich być istotnie mniej.
Oczywiste się co prawda wydaje, żeby liczyć tak, jak od dziecka uczą: jeden, dwa, trzy, ... - spróbuj sobie jednak wyobrazić skromniejszy zestaw liczebników (albo przynajmniej rozważ taką możliwość). To dość trudne, bo wbrew oczywistej intuicji - jednak przemycając aż tak bogaty jak naturalny zbiór indeksów dowodzisz tylko numerowalności zbioru X elementami z N a nie odwrotnie.

[Przypuszczam, że np. taki zestaw numerów: L={1, 10, 100, 1000, ...} byłby niewystarczający do poindeksowania całego N.
Przepraszam, że nie podaję (jeszcze) eleganckiego dowodu formalnego, ale i dla mnie sprawa pozostaje na granicy wyobraźni (zwalczającej własne "oczywiste" intuicje).]

Pozdrawiam (i podziwiam za cierpliwość))

LITOŚCI!!!

>Popełniasz błąd przy indeksowaniu!
>Milcząco i bezpodstawnie zakładasz, że do numerowania kolejnych elementów X dysponujemy kolejnymi liczbami naturalnymi, podczas gdy może ich być istotnie mniej.
Milcząco ale zasadnie założyłem, że do numerowania kolejnych elementów X dysponuję kolejnymi liczbami naturalnymi. A jest ich dokładnie tyle, ile jest. A niby czym miałem numerować? Przecież miałem zanurzyć w zbiorze X CAŁY zbiór N a nie jakiś jego "kawałek". Zupełnie nie rozumiem tego zarzutu!

>przemycając aż tak bogaty jak naturalny zbiór indeksów dowodzisz tylko numerowalności zbioru X elementami z N a nie odwrotnie.

Świadomie dowodziłem tylko "numerowalności" zbioru X elementami z N. "Numerowalność" drugą stronę omówiłem w pierwszym wniosku po twierdzeniu, chociaż to jest łatwe do zauważenia w samym dowodzi - skonstruowana funkcja jest po prostu bijekcją.

>Przypuszczam, że np. taki zestaw numerów: L={1, 10, 100, 1000, ...} byłby niewystarczający do poindeksowania całego N.
Spokojniutko wystarczy. Wystarczy też zestaw {2¹, 2¹⁰, 2¹⁰⁰, 2¹⁰⁰⁰,...} i zestaw {2²¹, 2²¹⁰, 2²¹⁰⁰, 2²¹⁰⁰⁰,...} i następne w tym stylu.

> dla mnie sprawa pozostaje na granicy wyobraźni (zwalczającej własne "oczywiste" intuicje).
I tu jest (za przeproszeniem) pies pogrzebany. Chyba słabo zwalczasz własne "oczywiste" intuicje. Mam ciche podejrzenie, że dla Ciebie zbiór liczb naturalnych tak naprawdę przebiega numerki 1,2,3,... itd. i w którymś momencie kolejnymi następnikami dobiega do ostatniej tajemniczej "liczby" |N| , a dalej ani rusz. Bo ta "liczba" |N| nie chce mieć własnego następnika, ale ma swój poprzednik (może to ten równie tajemniczy log₂|N| ?)! I stosując poprzednik możesz cofnąć się do liczby 0.
Nic dziwnego, że nakładając na liczby jakąś funkcję o wartościach naturalnych masz ciągłe obawy, że wartości tej funkcji wyskoczą poza ten ostatni element zbioru N czyli "liczbę" |N|. A właściwie nie obawy ale pewność, bo spokojnie akceptujesz wmówione sobie przekonanie, że 2ⁿ dla odpowiednio dużych n przestaje być liczbą naturalną. A to już na pierwszy rzut oka jest kompletnym absurdem. Proponuję, abyś przemyślał tę swoją koncepcję liczb naturalnych. Przełam swoje paskudne stereotypy!!!

Idź za radą Kartezjusza i odrzuć to, co niepewne i niejasne, a do budowania użyj tylko tego, co pewne i oczywiste.

Pewnym i oczywistym w odniesieniu do liczb naturalnych jest to, że jaką dużą nie wziąłbyś liczbę naturalną, to zawsze dalej "na prawo" od niej jest nieskończenie więcej liczb niż tych, które zostały "po lewej". Tam "na prawo" jest zawsze pełna kopia liczb naturalnych. Tam naprawdę nie ma czegoś dziwnego, żadnego alefa, żadnej nieskończoności. Tylko liczby, liczby i liczby. Coraz większe, większe i większe...

Niepewnym i niejasnym a wręcz zmyślonym jest to Twoje pojęcie "leżeć blisko alef₀". Wymyśliłeś sobie takiego humbuga i sam padłeś jego ofiarą. Liczba naturalna może być dowolnie duża, ogromna, super-mega-gigantyczna, ale nigdy nie leży koło jakiejś nieistniejącej nieskończoności, od tej wyimaginowanej nieskończoności dzieli ją zawsze i nieustająco nieskończenie wiele kolejnych liczb. A ty uczepiłeś się (za przeproszeniem) tego Twojego alefa₀ i pleciesz jakieś niestworzone historie, że funkcja o wartościach naturalnych raz przeskoczy tego alefa₀ a innym razem nie przeskoczy w zależności od funkcji i obranego argumentu.
Jeśli wziąłeś wyrażenie 5n, n³ albo 7ⁿ, to podstawiając pod n jakąkolwiek liczbę naturalną dostaniesz wartość naturalną. Nie podstawiaj jednak pod n jakiegoś |N|, bo to nie jest liczba naturalna (ale kardynalna) ani jakiegoś n bliskiego alef₀, bo to jest wymyślony przez Ciebie nieistniejący dziwotwór!
Jeśli zaś chcesz policzyć granicę tych wyrażeń, to licz tę granicę jak należy i rozumiejąc przy tym, co robisz! A w końcu, jeśli chcesz uprawiać arytmetykę na liczbach kardynalnych, to musisz zrozumieć, że ta arytmetyka nie jest "przedłużeniem" arytmetyki na liczbach naturalnych (rzeczywistych), że te działania definiuje się zupełnie od nowa; a mieszanie tych działań prowadzi do różnych komicznych pseudo-wyników.

pozdrawiam i przepraszam, jeśli coś napisałem za ostro.

>.. A niby czym miałem numerować?
Elementami X a nie z N (bo jak inaczej zauważysz, że n-ów jest zdecydowanie za dużo?).
> Przecież miałem zanurzyć w zbiorze X CAŁY zbiór N.
Nie - chodziło o niemożność ew. zanurzenia. Podobnie jak nie da się zanurzyć całego R w N lub całego 2^R w R, lecz tylko
>.. jakiś jego "kawałek".
>"Numerowalność" w drugą stronę omówiłem
Nawet nie wziąłeś takiej pod uwagę, bo numerujesz co najmniej n-ami.

> Wystarczy też zestaw, 2²¹⁰⁰⁰,...} i następne w tym stylu.
W końcu dojdzie się do skończonego alfabetu, na którym budując kolejne zbiory wykładnicze uzyskamy wreszcie nieskończoną mnogość zdań?
>Mam ciche podejrzenie,
Proponuję darować sobie "ciche podejrzenia" o cudzych domysłach, bo stąd więcej słów się namnoży niż warto zapisać.
>zbiór liczb naturalnych tak naprawdę przebiega numerki 1,2,3,... itd.
Wygląda na identyczny z tymi numerkami.
> i w którymś momencie kolejnymi następnikami dobiega do..
Nie dobiega - podobnie jak ułamki 1/n nie dobiegają do kresu dolnego.

>Idź za radą Kartezjusza i odrzuć to, co niepewne i niejasne, a do budowania użyj tylko tego, co pewne i oczywiste.
To radzisz mi pozostać bezkrytycznym wobec jego "czystego rozumu"? Niedoczekanie
Dzięki za krytyczne opinie.
>pozdrawiam i przepraszam, jeśli coś napisałem za ostro.
No problem - moje emocje nie są istotne - chyba akurat w matematyce chodzi bardziej o dyscyplinę myśli niż o prywatny (dys)komfort.
["Nie ma królewskiej drogi do matematyki". /Euklides/]
Pozdrawiam.

>>.. A niby czym miałem numerować?
>Elementami X (a nie N) (bo jak inaczej zauważysz, że n-ów jest zdecydowanie za dużo?)..
Ty to piszesz poważnie? Miałem numerować zbiór X zbiorem X ???

>> Przecież miałem zanurzyć w zbiorze X CAŁY zbiór N.
>Nie - chodziło o niemożność ew. zanurzenia. Podobnie jak nie da się zanurzyć całego R w N lub całego 2R w R, lecz tylko jakiś jego "kawałek".
Pamiętam, o co Tobie chodziło. Ale ja jednak dałem Ci dowód, którego wprawdzie nie rozumiesz, ale z którego wynika, że N da się zanurzyć w każdym nieskończonym X⊂N. Z doświadczenia wiem , że z dwóch wzajemnie sprzecznych zdań A i -A dokładnie jedno jest prawdziwe. Ja już przedstawiłem swój dowód, Ty zaś chcesz mieć dowód na przeciwną tezę.
Jak Serbowie w 1999 zestrzelili amerykański niewidzialny F-117A, to przeprosili amerykanów: "przepraszamy, nie wiedzieliśmy, że jest niewidzialny". Ja też Cię przepraszam, że udowodniłem przeciwną tezę do tej, której oczekiwałeś ode mnie. Ale już udowodniłem. Stało się.
Ale wiesz co?. Nie trać nadziei! Popytaj gdzieś na forach, ogłoś może przetarg. Za pieniądze ludzie są gotowi zrobić wszystko, to może i taki dowód wymyślą. A za dopłatą są gotowi podjąć się udowodnienia, że 2=37.

>>"Numerowalność" w drugą stronę omówiłem
>Nawet nie wziąłeś takiej pod uwagę, bo numerujesz co najmniej n-ami.
Skoro funkcja jest bijekcją, więc "działa" w obie strony. Dzięki tej bijekcji mogę numerować X zbiorem N i mogę numerować N zbiorem X.

> Wystarczy też zestaw, 2²¹⁰⁰⁰,...} i następne w tym stylu.
>W końcu dojdzie się do skończonego alfabetu, na którym budując kolejne zbiory wykładnicze uzyskamy wreszcie nieskończoną mnogość zdań?
Zupełnie nie rozumiem tego, co piszesz. Z przedstawionego mojego dowodu wynika, że zbiór {2²¹, 2²¹⁰, 2²¹⁰⁰, 2²¹⁰⁰⁰,...} jako nieskończony podzbiór N jest równoliczny z N. Nie walcz z tym, nie daj się ciągle oszukiwać swoim intuicjom wyniesionym ze skończonego świata skończonych przedmiotów. Zachowaj się jak matematyk albo przynajmniej jak ktoś, kto kompetentnie komentuje matematykę. Dostrzeż w tym jakiś niesamowity urok nieskończoności, tej najmniejszej z możliwych. Nie oczekuję od Ciebie, abyś rozumiał wszelkie subtelności mojego dowodu. Ale przyjmij do wiadomości jego tezę. Pogódź się z nią, albo przestań zabawiać się matematyką. Jest tyle innych pięknych dziedzin, w których Twoje zaciekawienie i wnikliwość mogą okazać się czymś wspaniałym.

Przy okazji. Ja wiem, że spodobało Ci się określenie "zbiór wykładniczy". Zalecam jednak używać określenia "zbiór potęgowy" Nie każdy ma takie poczucie humoru jak Ty (i ja ) i po prostu nie będzie wiedział, o czym mówisz. Staraj się używać terminologii oficjalnej i międzynarodowej.

>> ...i w którymś momencie kolejnymi następnikami dobiega
>Nie dobiega - tak jak ułamki 1/n nie dobiegają do ograniczającego je kresu dolnego.
Brawo! Idźmy tym tropem...
No to może 1/2ⁿ osiągnie 0? Albo 1/2²ⁿ ?
A może jest taka liczba L "w pobliżu alef₀", że 1/2^L = 0 ? skoro wg Ciebie odwrotność tego wyrażenia czyli 2^L ma zdolność przeskoczenia nieskończoności alef₀

>>Idź za radą Kartezjusza i odrzuć to, co niepewne i niejasne, a do budowania użyj tylko tego, co pewne i oczywiste.
>To radzisz mi pozostać bezkrytycznym wobec jego "czystego rozumu"? Niedoczekanie
Gdzież mnie Tobie doradzać, zrobisz, jak będziesz chciał. Poradzę Ci jednak nie wierzyć w zabobony typu ln₂alef₀ Proponuję Ci odróżniać liczenie granic funkcji/ciągów właściwych i niewłaściwych dla x → ∞ lub x → -∞ od rachunków na liczbach kardynalnych, bo to są naprawdę różne światy.

Pozdrawiam.

>>>.. jak inaczej zauważysz, że n-ów jest zdecydowanie za dużo?
>Miałem numerować zbiór X zbiorem X?
No dobrze - tylko tymi elementami N, które należą do przeciwdziedziny operacji numerowania (a nie wiadomo czy wszystkimi).
>.. dałem Ci dowód, którego wprawdzie nie rozumiesz,
Zechciałbyś dla jasności podać szkic dowodu na nierównoliczność pewnych dwu zbiorów nieskończonych?

[Albo np. pokazać równoliczność zbioru liczb naturalnych ze zbiorem ich logarytmów przy podstawie 2?]

>>Miałem numerować zbiór X zbiorem X?
>No dobrze - tylko tymi elementami N, które należą do przeciwdziedziny operacji numerowania (a nie wiadomo czy wszystkimi).
Każdy element zbioru X "dostaje" dokładnie po jednej liczbie naturalnej, więcej - każda liczba naturalne jest do tego wykorzystana i to dokładnie raz. To wynika z przebiegu dowodu.

>Zechciałbyś dla jasności podać szkic dowodu na nierównoliczność pewnych dwu zbiorów nieskończonych?

Dowód nierównoliczności zbioru liczb naturalnych N i zbioru liczb rzeczywistych R można przeczytać tu.
Zbiorem "jeszcze bardziej licznym" od R może być np. zbiór wszystkich podzbiorów zbioru R oznaczany 2^R lub równoliczny z nim zbiór wszystkich najzupełniej dowolnych funkcji R→R.
W ogólności możliwość budowania coraz bardziej licznych zbiorów wynika z twierdzenia Cantora mówiącego, że dla dowolnego zbioru X zbiór podzbiorów zbioru X oznaczany 2^X jest nierównoliczny ze zbiorem X (czyli "jest bardziej liczny"). To natychmiast daje możliwość budowania nieskończonego ciągu coraz bardziej licznych zbiorów X, 2^X, 2^2X, 2^22X, ... . To jest łańcuszek koralików głęboko schowany w całej skali alefów. Ale tak otrzymane kolejne liczby są "osiągalne". Te nieosiągalne łatwo dostajemy, gdy zastosujemy potęgowanie zbiorów A^X tzn. zbiór wszystkich funkcji X→A dla X nieskończonego. Ot, wystarczy stworzyć zbiór (wcześniej taki Ci pokazałem) X ∪ 2^X ∪ 2^2X ∪ 2^22X ∪ ...

>[Albo np. pokazać równoliczność zbioru liczb naturalnych ze zbiorem ich logarytmów przy podstawie 2?]
Kłopot w tym, że logarytmy (przy podstawie 2) z liczb naturalnych są (na ogół) niewymierne. Musisz jakoś inaczej zadać pytanie. Chociaż, jeśli Tobie to nie przeszkadza, to i mnie nie musi. Wystarczy, że te logarytmy z liczb naturalnych sprytnie i jednoznacznie przybliżę jakimiś liczbami wymiernymi i te przybliżenia wrzucę do zbioru liczb wymiernych. Te ostatnie tworzą zbiór przeliczalny i po kłopocie.

Pozdrowienia

Mamy do ponumerowania zbiór X (o mocy być może <|N|), będący podzbiorem N..
>Każdy element zbioru X "dostaje" dokładnie po jednej liczbie naturalnej,
zgoda
>.. więcej - każda liczba naturalna jest do tego wykorzystana
a to już nieoczywiste
> i to dokładnie raz.
dokładniej: co najwyżej raz.
> To wynika z przebiegu dowodu.
który zakłada minimalną (addytywną?) numerowalność n-ami, podczas gdy 'numerów' ze zbioru X jest być może mniej..

>Dowód nierównoliczności zbioru liczb naturalnych N i zbioru liczb rzeczywistych R można przeczytać tu.
>Zbiorem "jeszcze bardziej licznym" od R może być np. zbiór wszystkich podzbiorów zbioru R oznaczany 2^R lub równoliczny z nim zbiór wszystkich najzupełniej dowolnych funkcji R→R.
>W ogólności możliwość budowania coraz bardziej licznych zbiorów wynika z twierdzenia Cantora
O.K. Powiedzmy, że co nieco prześledziłem te rozumowania i je z grubsza rozumiem. Tu chodziło o porównanie dowodów (krok po kroku) dla rozpoznania w czym tkwi 'szpil' nierozumienia dowodu na alef_zerowość_X.
>.. To jest łańcuszek koralików głęboko schowany w całej skali alefów.
Gdyby zatem przenicować skalę alefów, to koraliki byłyby na wierzchu?
>Kłopot w tym, że logarytmy (przy podstawie 2) z liczb naturalnych są (na ogół) niewymierne. Musisz jakoś inaczej zadać pytanie.
Chyba prawie wszystkie nie są algebraiczne. Nie pytam jakie one są, lecz ile ich jest.
>.. logarytmy z liczb naturalnych sprytnie i jednoznacznie przybliżę jakimiś liczbami wymiernymi
Sprytnie ale czy jednoznacznie?

Pozdrowienia

>>.. więcej - każda liczba naturalna jest do tego wykorzystana
>a to już nieoczywiste
Jak to nie! Dowód, w którym to jest przeprowadzone, jest klasycznym dowodem indukcyjnym. W każdym kolejnym kroku biorę kolejną liczbę naturalną i wyczerpuję w ten sposób wszystkie te liczby.

>> To wynika z przebiegu dowodu.
>który zakłada minimalną (addytywną?) numerowalność n-ami, podczas gdy 'numerów' ze zbioru X jest być może mniej..
Dowód niczego nie zakłada poza jedną rzeczą - zbiór X nie jest skończony (ograniczony).

>Tu chodziło o porównanie dowodów (krok po kroku) dla rozpoznania w czym tkwi 'szpil' nierozumienia dowodu na alef_zerowość_X.
Tak krok po kroku nie da się, bo te, które prześledziłeś i z grubsza rozumiesz, są dowodami a contrario (przez zaprzeczenie), ten zaś, w którym szukasz "szpila", jest dowodem konstruktywnym, bo wprost konstruującym bijekcję między X i N.

>Gdyby zatem przenicować skalę alefów, to koraliki byłyby na wierzchu?
Dobre! Widzę, że u Ciebie też kryją się pokłady wesołości.

>>Kłopot w tym, że logarytmy (przy podstawie 2) z liczb naturalnych są (na ogół) niewymierne.
>Według moich rachunków jest ich istotnie więcej niż |N|.]
A niby dlaczego? Jest ich dokładnie tyle, ile jest liczb naturalnych: a_n = log₂n. znaczy to, że wszystkie logarytmy z kolejnych liczb naturalnych można ustawić w ciąg nieskończony.

>ale czy jednoznacznie?
Oczywiście że jednoznacznie. Wystarczy, że zastosuję rozwinięcie w szereg:
Ln n = 2/1*(n-1)¹/(n+1)¹ + 2/3*(n-1)³/(n+1)³ + 2/5*(n-1)⁵/(n+1)⁵ + ...
zbieżny dla każdego n dodatniego.
Teraz ln n przybliżam liczbą wymierną biorąc np. 2ⁿ wyrazów powyższego szeregu. I już. Każdy ln n ma przybliżenie wymierne i za każdą liczbą naturalną n jest ono inne (dowód tego - wbrew pozorom - wcale nie jest łatwy). Zbiór tych przybliżeń jest podzbiorem liczb wymiernych. A skoro liczb wymiernych jest przeliczalnie wiele, więc i logarytmów naturalnych z kolejnych liczb naturalnych jest przeliczalnie wiele.

Pozdrowienia