>>Czy mam przez to rozumieć, że Ci, którzy twierdzili i udowodnili niemożność konstrukcyjnej trysekcji dowolnego kąta, niepotrzebnie zawracali sobie i nam głowę?
> Udowodnili niemożność?

Tak! Udowodnili niemożność! A cóż się tak dziwujesz? Wystarczy precyzyjnie zdefiniować przedmiot dowodu i przystąpić do tego dowodu. A czymże innym zajmuje się matematyka - definiowaniem i dowodzeniem. Otóż problem istnienia konstrukcji lub jej braku "tłumaczy się" na problem następujący:
czy punkty na płaszczyźnie otrzymane w wyniku trysekcji dowolnego kąta zawsze (niezależnie od wybranego kąta) należą do zbioru tzw. punktów konstruowanych?.
A odpowiedź na tak postawione pytanie jest jedna - NIE, bowiem zbiór punktów konstruowanych jest "za mały", nie obejmuje wszystkich punktów na płaszczyźnie a w szczególności tych powstających przy trysekcji. Jest to tak oczywiste, jak to, że jest niemożnością znaleźć choćby jedną liczbę ujemną w zbiorze liczb dodatnich, bo zbiór liczb dodatnich nie wyczerpuje wszystkich rzeczywistych.
[punkty konstruowane na płaszczyźnie to takie, których obie współrzędne należą do ciała pierwiastników kwadratowych tj. najmniejszego ciała zawierającego Q i w którym można wyciągać pierwiastki kwadratowe. Nazwa "punkty konstruowane" jest nieprzypadkowa - to dokładnie te punkty, które powstają przy konstrukcjach linijką i cyrklem].

>Ei incumbit probandum qui dicit, non qui negat.

Cudowna sentencja. Niestety, dla matematyków jest ona tyle warta ile funt psich kłaków. Czyli nic. Z pewnością jednak przydaje się procesie o kradzież kury.
Tu strona skarżąca twierdzi, że strona oskarżona kurę ukradła, zaś strona oskarżona zaprzecza utrzymując, że kura sama udała się bliżej nieustalonym kierunku. Celem procesu jest stwierdzenie stanu faktycznego. Jest niezbędne, aby ustalilić, czy oskarżony jest winny czy niewinny. Twoja sentencja w połączeniu z zasadą domniemania niewinności (praesumptio boni viri) zmusza skarżącego do podania dowodu na swoje twierdzenie. Wtedy oskarżony stanie się winnym i będzie kara. Gdy jednak skarżący dowodu nie dostarczy, to oskarżony pozostaje się niewinnym, nie ma żadnego wyroku i ład kosmosu jest przywrócony (choć kury dalej brak).

W matematyce - na szczęście - jest inaczej. Tu nikt nikogo do niczego nie zmusza, imperatywem nie jest chęć/potrzeba znalezienia/ukarania winnego a jedynie ciekawość. I nie ma żadnego domniemania - przy braku dowodu hipoteza wisi sobie spokojnie w powietrzu i czeka, nie jest ani prawdziwa ani fałszywa.
Każda z dwóch alternatyw tj. zachodzenie jakiejś tezy lub jej negacji, istnienie jakiegoś obiektu lub jego nieistnienie, możność zrobienia czegoś lub niemożność są tak samo niematerialne, abstrakcyjne. Ale zarazem tak samo godne uwagi. I zawsze rozstrzygnięcie na korzyść jednej z nich jest jakąś "wartością dodaną", bo wnosi coś nowego, poszerza wiedzę o jakiejś matematycznej teorii.

>>Powinni jedynie oznajmić wszem wobec i każdemu z osobna: "uważamy, że takiej konstrukcji nie ma. Kto twierdzi inaczej, niech przyniesie i pokaże taką konstrukcję!". A potem założywszy nogę na nogę powinni czekać?
> Tak, właśnie tak!

Bzdura!
Byli sobie niegdyś intuicjoniści (nurt filozoficzno-metodologiczny w matematyce pocz. XX w.), którzy pragnęli co nieco uporządkować matematykę. Proponowali mianowicie zaniechać dowodów istnienia, jeśli te dowody opierając się na założeniu nieistnienia prowadzą do sprzeczności ("skoro założenie nieistnienia X prowadzi do sprzeczności, więc X istnieje"). Uważali, że dowody istnienia obiektu muszą być "pozytywne", oparte na jawnej konstrukcji tegoż obiektu. Ich restrykcyjne podejście do zasady wyłączonego środka miało tę dobrą stronę, że wymusiło na matematykach niezbędną dyscyplinę w rozumowaniach. Szybko jednak okazało się, że uprawiając matematykę z takimi obostrzeniami tak naprawdę uprawia się bardzo jej okrojoną część - olbrzymia część ważnych wyników znalazła się poza zasięgiem takiej metodologii. Dzisiaj o intuicjonistach pamiętają tylko historycy matematyki.

>Różnicy między istnieniem Boga (czy krasnoludków), a możliwością trysekcji kąta nie ma w tym sensie, że w obu przypadkach ciężar dowodu spoczywa na tym, kto twierdzi, czy to że Bóg istnieje, czy że kąt da się konstrukcyjnie podzielić na trzy równe części.

A gdybym spotkał człowieka twierdzącego, że na Antarktydzie rosną w stanie naturalnym banany? Odmówiłbyś mi prawa do weryfikacji tej tezy!? Poradziłbyś mi nic nie robić poza wywijaniem giczołami i śmianiem się z niego w oczekiwaniu, że mi dostarczy dowodu na swoje twierdzenie? Zabroniłbyś mi sfalsyfikować jego twierdzenia poprzez głoszenie tezy przeciwnej "Na Antarktydzie w stanie naturalnym nie rosną banany"? Tezy dotyczącej dobrze zdefiniowanych obiektów (banan, Antarktyda) i wypowiedziane w języku dobrze ugruntowanych teorii (botanika, nauka o Ziemi i jej klimacie). Przecież to jest kompletny paraliż poznawczy! Taka metodologia nie pozwala zweryfikować wygłoszonej tezy, mimo posiadania wszystkich narzędzia do tego!

Racjonalisto! Przemyśl to jeszcze raz, bo widzę, że nie odróżniasz pytań o istnienie/nieistnienie Boga i krasnoludków od pytań o istnienie/nieistnienie konstrukcji geometrycznych albo bananów.

>Racjonalisto! Przemyśl to jeszcze raz, bo widzę, że nie odróżniasz pytań o istnienie/nieistnienie Boga i krasnoludków od pytań o istnienie/nieistnienie konstrukcji geometrycznych albo bananów.
   Faktycznie, nie odróżniam, a Twoje wyjaśnienia nic mi nie wyjaśniły.

>Faktycznie, nie odróżniam, a Twoje wyjaśnienia nic mi nie wyjaśniły.

To już Twój problem.

Domyślam się, że gdyby w samolocie, którym leciałbyś, ktoś krzyknął "bomba na pokładzie" Ty w ogóle nie zareagowałbyś. Niech inni biegają, szaleją szukając ewentualnej bomby i chcąc za wszelką ceną zweryfikować tezę "na pokładzie jest bomba". Ty będziesz dyndać giczołami i śmiać się
- A co mnie to obchodzi. Niech ten, co to krzyknął, pokaże tę bombę. Ja nie mam zamiaru tej tezy falsyfikować!

>>Ei incumbit probandum qui dicit, non qui negat.
>Cudowna sentencja. Niestety, dla matematyków jest ona tyle warta ile funt psich kłaków. Czyli nic. Z pewnością jednak przydaje się procesie o kradzież kury.
Sentencja jak sentencja. Tak samo nic niewarta dla matematyka jak i dla każdego człowieka w przypadkach tematów budzących zainteresowanie.
Wartość tej sentencji ujawnia się w pełni właśnie przy paszkwilach (lub nie) o kradzieży kury czy wobec namolnych akwizytorów niemądrych bajek religijnych. Nie jestem matematykiem, ale wyobrażam sobie, że w tej dziedzinie też można natknąć się na banialuki, wobec których omawiana sentencja będzie skuetcznym antidotum blokującym konieczność zmagania się z cudzymi fantasmagoriami.

---

Każdy ma prawo do własnego zdania, ale nie do własnych faktów.

>>>Ei incumbit probandum qui dicit, non qui negat.

>>Cudowna sentencja. Niestety, dla matematyków jest ona tyle warta ile funt psich kłaków. Czyli nic. Z pewnością jednak przydaje się procesie o kradzież kury.

>Sentencja jak sentencja. Tak samo nic niewarta dla matematyka jak i dla każdego człowieka w przypadkach tematów budzących zainteresowanie.

   Jeśli pozwolicie, chciałbym coś dodać do tej wymiany zdań. Przytoczona sentencja robi wrażenie jakiejś wytycznej z dziedziny logiki, lecz żaden współczesny logik by się pod nią nie podpisał. Istnieje rzeczywiście zasada tzw. onus probandi, lecz nie chodzi w niej o to, czy w danym twierdzeniu występuje negacja. Nie stanowi ona również żadnego imperatywu metodologicznego dla jakiejkolwiek dziedziny nauki. Jest to wyłącznie podstawowa wytyczna w teorii dyskusji. Jej celem jest określenie obowiązków uczestników sporu w dwóch różnych, ale typowych sytuacjach, jakie w sporach słownych nieustannie się pojawiają. Oto dwa dialogi ilustrujące najistotniejszą różnicę między tymi dwiema sytuacjami:

I) A: Bóg istnieje.
   B: Naprawdę? Skąd wiesz?

II) A: Bóg istnieje.
   B: Mylisz się, Bóg nie istnieje.

   Obowiązek dowodu spoczywa zawsze na tym, kto coś twierdzi, a nie na tym, kto tylko pyta, lub tylko wyraża wątpliwości. Zatem w przypadku dialogu pierwszego, onus probandi spoczywa wyłącznie na dyskutancie A; w drugim przypadku ciężar dowodu spoczywa na obu dyskutantach. Nie ma znaczenia to, że pierwszy wypowiedział tzw. zdanie twierdzące, a drugi zdanie przeczące, a jedynie to, że obaj coś stwierdzili. Dodajmy, że choć onus probandi właściwie nie stanowi nakazu metodologicznego, to naukowcy w sporach face to face tej prostej zasady bezwzględnie przestrzegają. Nie do pomyślenia jest, aby jakiś matematyk na seminarium oświadczył: Udowodniłem twierdzenie T, a jak ktoś mi nie wierzy, to niech udowodni, że T jest fałszywe.
*

>w drugim przypadku ciężar dowodu spoczywa na obu dyskutantach. Nie ma znaczenia to, że pierwszy wypowiedział tzw. zdanie twierdzące, a drugi zdanie przeczące, a jedynie to, że obaj coś stwierdzili

Sentencja wprowadza dramatyczną nierównowagę - ten, kto coś twierdzi, musi; ten, kto zaprzecza, nic nie musi. Ale to się przydaje się podczas kłótni o to, kto ukradł kurę. Nie w matematyce.
Ja próbowałem - bez skutku - wytłumaczyć Vytautas'owi, że po pierwsze w matematyce jest mgliste rozróżnienie między twierdzeniem i negacją twierdzenia (oba są twierdzeniami), po drugie - zarówno twierdzenie jak i jego negacja coś jednak stwierdzają. Dwa twierdzenia w rodzaju

• dwa ładunki o przeciwnych znakach przyciągają się
  
• nie istnieje konstrukcja umożliwiająca trysekcję dowolnego kąta
  

mają określoną "moc poznawczą" i oba wnoszą coś do "bazy wiedzy".

>Dodajmy, że choć onus probandi właściwie nie stanowi nakazu metodologicznego, to naukowcy w sporach face to face tej prostej zasady bezwzględnie przestrzegają.

Może w sporach interdyscyplinarnych, może na styku nauka-nie_nauka. Ale nie "wewnątrz".

>Nie do pomyślenia jest, aby jakiś matematyk na seminarium oświadczył: Udowodniłem twierdzenie T, a jak ktoś mi nie wierzy, to niech udowodni, że T jest fałszywe.

Owszem, nie do pomyślenia. Bo to w ogóle tak nie działa.

Bardziej do pomyślenia są oświadczenia:

• Udowodniłem twierdzenie T, a jak ktoś mi nie wierzy (że dowód istnieje), to niech sobie sam wymyśli
  
• Udowodniłem twierdzenie T, a jak ktoś mi nie wierzy, to niech przyjdzie na następne seminarium, na którym ten dowód przedstawię
  
• Udowodniłem twierdzenie T, a jak ktoś mi nie wierzy, to wyzywam go na pojedynek (na pistolety lub szpady)
  

Fermat swego czasu wmówił wszystkim, że znalazł dowód swojego wielkiego twierdzenia, ale z braku miejsca na marginesie.... Dowodu jednak nie znaleziono w żadnych jego notatkach, dość szybko zaczęto podejrzewać, że popełnił błąd w swoim rozumowaniu.
No więc tak: Fermat twierdził, że udowodnił, cały światek matematyczny mu nie wierzył. Ale nikt przy zdrowych zmysłach nie szukał dowodu na fałszywość.

Muszę uzupełnić swoją wypowiedź, bowiem wymyśliłem dialog, który odwraca to, co utrzymywał Vytautas , i osłabia to, co zawarłeś w swoim komentarzu.

Wyobraźmy sobie, że A i B omawiają dowód pewnego twierdzenia.

A: To twierdzenie jest prawdziwe.
B: Mylisz się, ono jest nieprawdziwe!

Obaj coś twierdzą, ale A nie musi niczego dowodzić, bo dowód już jest. Jego dowodem byłoby okazanie istniejącego dowodu. Dowodzić musi B. Mimo że on neguje, to właśnie on musi wskazać błąd ukryty w dowodzie.

Nietrudno zauważyć, że A i B nie wygłaszają twierdzeń ani negacji twierdzeń, ale twierdzenia o twierdzeniu. Ich dialog przebiega więc w metajęzyku.

pozdrawiam

>Nie jestem matematykiem, ale wyobrażam sobie, że w tej dziedzinie też można natknąć się na banialuki, wobec których omawiana sentencja będzie skutecznym antidotum blokującym konieczność zmagania się z cudzymi fantasmagoriami.

Raczej nie. Matematycy nie muszą się nawzajem w ten sposób kontrolować.

Fantasmagorie w matematyce czasami powstawały niejako na obrzeżach danych dyscyplin matematycznych przy próbach filozoficznego skomentowania wyników. Przykładem niech będzie komentarz Cardana na temat istnienia (zespolonych) pierwiastków równania 3-go stopnia. Cardan objaśniał, że aby otrzymać te pierwiastki umysł musi udać się w zaświaty, tam znaleźć rozwiązanie przypadku casus irreducibilis i stamtąd wrócić z gotowym rozwiązaniem do świata rzeczywistego. Toż to są fantasmagorie.

Niekiedy niesłusznie nazywano fantasmagoriami nowo powstałe dyscypliny (np. teoria Galois, teoria mnogości). Takie zaszczytne określenia powstawały z powodu niedocenienia tych teorii lub zwykłego niezrozumienia.

Czasem też fantasmagorie powstawały, gdy dowodzona teza opierała się na fałszywych dowodzie. A na tej fałszywej tezie budowano są fałszywe wnioski. Nie wynikało to ze złej woli, ale ze zwykłego błędu lub niezrozumienia narzędzi matematycznych (słynne próby dowodzenia piątego aksjomatu Euklidesa).

I w żadnym z tych przypadków owa sentencja nigdy nie było żadnemu matematykowi do niczego potrzebna. Obeszło się bez niej przy prostowaniu dróg, wyjaśnianiu wątpliwości, dostrzeżeniu głębi nowych pomysłów, dyscyplinowaniu rozumowania czy zachęcaniu do szukania dowodów.
W ogóle matematyka mało, prawie wcale nie korzystała z tzw. logiki praktycznej.

>>Nie jestem matematykiem, ale wyobrażam sobie, że w tej dziedzinie też można natknąć się na banialuki, wobec których omawiana sentencja będzie skutecznym antidotum blokującym konieczność zmagania się z cudzymi fantasmagoriami.
>Raczej nie. Matematycy nie muszą się nawzajem w ten sposób kontrolować.

Wydaje mi się, że Ty i astrotaurus nieco odmiennie rozumiecie termin "fantasmagoria". Dajmy na to - pojęcie zbioru - czyż nie jest np. przyjęcie za pewnik, że istnieje co najmniej jeden zbiór, w sensie ontologicznym podobnym założeniem do, powiedzmy "istnieje co najmniej jeden bóg" ? Czy nie jest cały aksjomatyczny system teorii mnogości pewnym "obejściem" od strony matematyki całej filozoficznej (i na pozór przebrzmiałej) dyskusji o powszechnikach? Jeśli przyjmie się takie rozumienie pojęcia "fantasmagoria" - jako założenie a priori, że istnieją byty niepoznawalne empirycznie - to astrotaurus ma za sobą całe racjonalistyczne instrumentarium pozwalające sensownie podważać prawomocność niektórych orzeczeń matematyki (tych, które w żaden sposób nie dają się powiązać z empirią).

---

Nie Bóg, lecz Człowiek potrzebuje obrony.

>Wydaje mi się, że Ty i astrotaurus nieco odmiennie rozumiecie termin "fantasmagoria".

Chyba dość podobnie, jako urojenie, fantazja, iluzja.

>Jeśli przyjmie się takie rozumienie pojęcia "fantasmagoria" - jako założenie a priori, że istnieją byty niepoznawalne empirycznie ...

Oj, nie znam przypadku, w którym matematyka przyjęłaby istnienie bytu niepoznawalnego (niekoniecznie empirycznie ). Nawet takie zbiory niemierzalne, o których wiemy jedynie, że istnieją ale nie można ich "narysować", opisać czyli poznać. Ich istnienie nie jednak założone a priori, ale ich istnienie wynika z konkretnych definicji i rozumowań.

>- to astrotaurus ma za sobą całe racjonalistyczne instrumentarium pozwalające sensownie podważać prawomocność niektórych orzeczeń matematyki (tych, które w żaden sposób nie dają się powiązać z empirią).

Astrotarius może podważać prawomocność orzeczenia "istnieje kwadrat" na kilka sposobów:
• z pozycji filozofa (problem istnienia kwadratu jako abstraktu wszystkich figur narysowanych, pomyślanych, kojarzących się z konkretnymi kwadratami narysowanymi, pomyślanymi...)
• z pozycji fizyka (w świecie skwantowanego czasu i przestrzeni nie istnieje możliwość "narysowania" żadnego "fizycznego" kwadratu)
• z pozycji matematyka (kwadraty istnieją tylko w przestrzeni euklidesowej a nie istnieją w żadnej niepłaskiej przestrzeni Riemanna).
Ale matematyk powinien wejść w polemikę jedynie z Astrotariusem-matematykiem.

Matematyka często-gęsto "produkowała" pojęcia na "zamówienie" epoki, więc każde jej pojęcie da się mniej lub bardziej pośrednio powiązać z empirią. Ale naprawdę tu nie ma to żadnego znaczenia. Kiedy próbowano uzasadniać "prawomocność orzeczeń matematyki" narzędziami spoza matematyki stosując - jak to ująłeś - instrumentarium racjonalistyczne, wszyscy na tym źle wychodzili (ci spoza matematyki zazwyczaj obnażali swoją niekompetencję, ci wewnątrz musieli rozpaczliwie przebudowywać metodologię uprawianej dyscypliny).
I w ogóle nie rozumiem, czemu instrumentarium racjonalistyczne ma być nacelowane na matematykę. Matematyka nie wymyśliła abstraktów niepowiązanych z empirią. Matematyka jedynie sztukę ich tworzenia i sztukę żonglowania nimi doprowadziła do perfekcji. Skieruj to instrumentarium na język. Język w ogóle. Bo matematyka jest jedynie pewnym niewielkim i mało popularnym dialektem. Zauważ, że wtedy, kiedy jakiś hominid powiedział do jakiejś hominidki "ja cię kocham" (trzy słowa i trzy abstrakty słabo związane z empirią) albo sam do siebie mruknął "jest mi smutno", zaczął się wyścig w tworzeniu fantasmagorii. I z tego punktu widzenia cała matematyka jest jedną wielką fantasmagorią.

>czyż nie jest np. przyjęcie za pewnik, że istnieje co najmniej jeden zbiór, w sensie ontologicznym podobnym założeniem do, powiedzmy "istnieje co najmniej jeden bóg" ?

Jeżeli w fantasmagorii zwanej teorią mnogości zastąpię słowo "zbiór" słowem "bóg", to dostanę piękną teorię boga. Jeśli w fantasmagorii zwanej katechizmem zastąpię słowo "bóg" słowem "zbiór, to dostanę równie piękną teorię zbiorów. Jednak między tymi fantasmagoriami nie ma symetrii, bo pierwsza z nich tj. teoria mnogości prawomocności swoich orzeczeń szuka "wewnątrz siebie", druga z nich - w świecie materialnym (np. "Popatrzcie na świat wokół was, jaki on piękny, jak on cudownie i sprawnie działa. Czyż mógł on sam z siebie powstać?" ).

pozdrawiam

>>Wydaje mi się, że Ty i astrotaurus nieco odmiennie rozumiecie termin "fantasmagoria".
>Chyba dość podobnie, jako urojenie, fantazja, iluzja.
>>Jeśli przyjmie się takie rozumienie pojęcia "fantasmagoria" - jako założenie a priori, że istnieją byty niepoznawalne empirycznie ...
>Oj, nie znam przypadku, w którym matematyka przyjęłaby istnienie bytu niepoznawalnego (niekoniecznie empirycznie ). Nawet takie zbiory niemierzalne, o których wiemy jedynie, że istnieją ale nie można ich "narysować", opisać czyli poznać. Ich istnienie nie jednak założone a priori, ale ich istnienie wynika z konkretnych definicji i rozumowań.

Cóż, nie krytykuję bynajmniej matematyki. Jednak podkreślam, że właśnie o empiryczność poznania mi tu chodzi - i warto mieć na względzie, że matematyka jednak jest wrażliwa na ten zarzut, iż nie mogąc zweryfikować empirycznie (obiektywnie) wszystkich swoich wyników, polegać musi na ciągłym sprawdzaniu poprawności rozumowań przez innych matematyków. A to już troszkę wykracza poza to, co się nazywa "empiryczną intersubiektywnością", gdyż może się tak zdarzyć, że tych kilku matematyków, którzy specjalizują się w jakiejś wąskiej dziedzinie, popełni jakiś tam błąd a nikt inny nie będzie im w stanie tego wskazać: również prawa przyrody czy walące się mosty nie pomogą im w dokonaniu rewizji swoich teorii. To jedynie jest pewną słabością matematyki - zresztą, moim skromnym zdaniem, związaną z tym, że mnóstwo intelektualnego wysiłku zostaje skierowane na tworzenie praktycznie nieprzydatnych konstrukcji myślowych, podczas gdy wiele dających się zapewne lepiej niż dotąd opanować matematycznie dziedzin (jak np. biomatematyka) czeka ciągle na lepsze opracowania.

---

Nie Bóg, lecz Człowiek potrzebuje obrony.

P.S.
Słynne Wielkie Twierdzenie Fermata jest jedną wielką negacją. Czy wobec tego dać sobie z nim spokój, twórcę dowodu pogonić a w najlepszym wypadku wyszydzić? Potężną teorię pierścieni (ważny dział algebry) wyrzucić do kosza, bo przecież teoria ta powstała właśnie z inspiracji twierdzenia Fermata?

A powiedz mi jeszcze jedno, jak w matematyce odróżnić twierdzenie pozytywne od negatywnego? Tu każde zdanie jest negacją swojej własnej negacji! Weźmy przykład

• x>6 jest stwierdzeniem pozytywnym.
  
• ∼ (x≤6) (nieprawda, że x≤6) jest stwierdzeniem negatywnym
  

A oba znaczą dokładnie to samo!!!

Albo inaczej. Dwa zdania wzajemnie sprzeczne i oba są negacją:
∼∀ x∃ y>x oraz ∼∃x∀ y≤y
Żadnego nie wolno dowodzić? Mimo że zgodnie z zasadą wyłączonego środka dokładnie jedno jest prawdziwe?

Sądzę, że swoją radę (Ei incumbit probandum qui dicit, non qui negat.) powinieneś zachować dla prawników i doradców finansowych. Albo dla prokuratorów, by zamiast krzyczeć oskarżycielskim tonem:
- twierdzę, że Antoni Pipka ukradł kurę swojej sąsiadce!
raczej wołali:
- zaprzeczam, aby Antoni Pipka przechodząc obok kury swojej sąsiadki powstrzymał się od zabrania rzeczonej kury ze sobą!

Taka negacja zwolniłaby ich od konieczności dowodzenia swojej tezy. a zmusiłaby Antoniego Pipkę (i jego obrońcę) do dowiedzenia tezy pozytywnej "Antoni Pipka powstrzymał się od zabrania rzeczonej kury".

>Cóż miałoby oznaczyć stwierdzenie: 'X nie można policzyć' (w teorii liczb)?
   Znaczy to tyle, że nie istnieje sposób na to, aby każdemu z elementów zbioru X przyporządkować inną liczbę naturalną.

>.. Załóżmy, że zachodzi sytuacja, w której hipoteza dotycząca niewymierności danej liczby okazuje się być niezależna od aksjomatów zbioru liczb rzeczywistych.
Przykładem może być np. suma odwrotności piątych potęg liczb naturalnych, co do której nie ma widoków na rozstrzygnięcie.
Do aksjomatyki liczb "rzeczywistych" można mieć zastrzeżenia - nie ma chyba dobrej definicji (ciągi Cauchego to jakby dorabiane protezy), bo nie podaje się możliwości sprawdzenia czy dana liczba nie jest przypadkiem 'nie-rzeczywista'.

>Trzecia kategoria liczb rzeczywistych?
Kiedyś liczby naturalne miały być 'wszystkimi liczbami', a słowo "niewymierne" znaczyło tyle co "bezsensowne". Później pojawiły się dowody na niewymierność pierwiastków, co próbowano załatać wprowadzając pojęcie liczb algebraicznych (miejsc zerowych wielomianów o wsp. wymiernych). Niestety niektóre liczby (pi, e, liczby Liouville'a) okazały się niealgebraiczne. Pokazano też, że dowolna potęga o (niebanalnej - różnej od 0 lub 1) podstawie wymiernej i niewymiernym wykładniku nie jest liczbą algebraiczną.
I co wtedy zrobiono? Ponieważ działo się w czasach przedrelatywnego absoltuzmu wprowadzono 'na siłę' liczby rzeczywiste tak, by to były wszystkie liczby.
'Dzięki' ówczesnym zakusom matematyków dziś pytanie o "rzeczywistość" np. liczby e^e nie ma sensu, bo odpowiedź jest wiadoma zawczasu.

[Trafny tytuł wątku Waść wybrałeś - metamatematyczny. Zdaje się, że rozważaniom nieskończonościowym nie sposób przypisać bezpośredniej fizyczności (gdzie się mierzy skończoności) lecz właśnie obszar epistemiczny - próbę porządkowania dalekosiężnych wyobrażeń.]

>Kiedyś liczby naturalne miały być 'wszystkimi liczbami', a słowo "niewymierne" znaczyło tyle co "bezsensowne". Później pojawiły się dowody na niewymierność pierwiastków, co próbowano załatać wprowadzając pojęcie liczb algebraicznych (miejsc zerowych wielomianów o wsp. wymiernych). Niestety niektóre liczby (pi, e, liczby Liouville'a) okazały się niealgebraiczne. Pokazano też, że dowolna potęga o (niebanalnej - różnej od 0 lub 1) podstawie wymiernej i niewymiernym wykładniku nie jest liczbą algebraiczną.
>I co wtedy zrobiono? Ponieważ działo się w czasach przedrelatywnego absoltuzmu wprowadzono 'na siłę' liczby rzeczywiste tak, by to były wszystkie liczby.

"Bóg stworzył liczby naturalne, a człowiek całą resztę" Obawiam się, że człowiek stworzył i jedno i drugie. Stąd też nawet systemy liczbowe są niedoskonałe, nawet doskonałość matematyki jest tylko iluzoryczna, możliwa w skończonych granicach.

>[Trafny tytuł wątku Waść wybrałeś - metamatematyczny. Zdaje się, że rozważaniom nieskończonościowym nie sposób przypisać bezpośredniej fizyczności (gdzie się mierzy skończoności) lecz właśnie obszar epistemiczny - próbę porządkowania dalekosiężnych wyobrażeń.]

No właśnie - ciekawy poboczny temat - czy nieskończoności istnieją w fizyce? W sensie empirycznym nie mogą chyba nigdy zaistnieć, gdyż niemożliwym oczywiście jest uzyskanie jakiejkolwiek doświadczalnej informacji o nieskończoności, jakakolwiek by ona nie była. Myślę, że może nieskończoność pojawiać się jedynie w modelach - np. geometrii Wszechświata (osobiście jestem "zwolennikiem" Wszechświata nieskończonego ).

---

Nie Bóg, lecz Człowiek potrzebuje obrony.

>>Myślę, że może nieskończoność pojawiać się jedynie w modelach.<<
Tak samo jest z wszelkimi liczbami oprócz naturalnych. Wszystkie te "nienaturalne" liczby są produktem naszej manipulacji na liczbach naturalnych. Dziwnie jakoś jednak te "nienaturalne" liczby dają się interpretować jako "cosik" opisujące coś obserwowalnego. Ale ciągle np. 15/2 jest 7 i reszta 1.

>>>Myślę, że może nieskończoność pojawiać się jedynie w modelach.<<
>Tak samo jest z wszelkimi liczbami oprócz naturalnych. Wszystkie te "nienaturalne" liczby są produktem naszej manipulacji na liczbach naturalnych. Dziwnie jakoś jednak te "nienaturalne" liczby dają się interpretować jako "cosik" opisujące coś obserwowalnego.

Ano właśnie. I dochodzimy do możliwej konkluzji zupełnie odwrotnej od mojej pierwszej propozycji: liczby rzeczywiste są zawsze albo wymierne, albo niewymierne - niezależnie od tego, czy istnieje możliwość dowiedzenia ich wymierności. To już zupełna fantastyka i dość niesamowita rzecz - miałyby li te liczby mieć jakiś byt odrębny od naszych umysłów, być "same w sobie"? No bo jeśli istnienie PI wydaje się być potwierdzone doświadczalnie z absurdalnie dużą dokładnością (mówię o mechanice kwantowej), to może rzeczywiście liczby istnieją jakoś zupełnie niezależnie od matematyki.

A może zachodzi jeszcze trzecia możliwość - istnieją tylko niektóre liczby niewymierne, jak pi, stała e itp. Całą resztę wynikającą z naszych konstrukcji myślowych musimy traktować jako twórczość, dopóty, dopóki nie potwierdzimy, że w jakiejś sytuacji dana liczba nie jest niezbędna do opisu rzeczywistości.

---

Nie Bóg, lecz Człowiek potrzebuje obrony.

>Ano właśnie. I dochodzimy do możliwej konkluzji zupełnie odwrotnej od mojej pierwszej propozycji: liczby rzeczywiste są zawsze albo wymierne, albo niewymierne - niezależnie od tego, czy istnieje możliwość dowiedzenia ich wymierności.

Yes, yes, yes.

>>Ano właśnie. I dochodzimy do możliwej konkluzji zupełnie odwrotnej od mojej pierwszej propozycji: liczby rzeczywiste są zawsze albo wymierne, albo niewymierne - niezależnie od tego, czy istnieje możliwość dowiedzenia ich wymierności.
>Yes, yes, yes.

Ależ się cieszę, ale to wymaga dyskusji, gdyż taki stan rzeczy niesie za sobą poważne konsekwencje filozoficzne. Jak np. tę, że liczby istnieją niezależnie od tego, czy potrafimy je skonstruować, obliczyć a nawet o nich pomyśleć.

---

Nie Bóg, lecz Człowiek potrzebuje obrony.

>Ależ się cieszę, ale to wymaga dyskusji,
Nie wymaga na mocy definicji zupełnego podziału rzeczywistych na wymierne i dopełnienie.

>"Bóg stworzył liczby naturalne, a człowiek całą resztę" Obawiam się, że człowiek stworzył i jedno i drugie.
Odnoszę podobne wrażenie, że Kronecker niepotrzebnie wplątał pierwiastek pozaludzki do liczb naturalnych.
> Myślę, że może nieskończoność pojawiać się jedynie w modelach - np. geometrii Wszechświata (osobiście jestem "zwolennikiem" Wszechświata nieskończonego ).
Modele zawierające wielkości nieskończone (w tym nieskończenie małe) są chyba do przyjęcia, bo ich zastosowanie daje niezłe efekty praktyczne.

[Co do świata, który miałby stać za modelami, to zdaje się, że w prawdziwie nieskończonościowym powinny też istnieć jakieś skończone 'bąble' - bez nich byłby uboższy, nie dość .. dowolny .]

>Do aksjomatyki liczb "rzeczywistych" można mieć zastrzeżenia - nie ma chyba dobrej definicji (ciągi Cauchego to jakby dorabiane protezy), bo nie podaje się możliwości sprawdzenia czy dana liczba nie jest przypadkiem 'nie-rzeczywista'.

Chodzi o te definicje granicy z "prawie wszystkimi wyrazami ciągu" i dowolnie małym epsilonem? Ależ to bardzo naturalne, piękne i eleganckie, moim zdaniem. Ja nie dostrzegam tu żadnej "sztuczności". A liczby rzeczywiste to liczby powstające w wyniku kolejnych działań elementarnych. Wystarczy założenie (bardzo naturalne, jak mi się wydaje), że działanie elementarne na dwóch liczbach rzeczywistych prowadzi zawsze do wyniku rzeczywistego. Dodajmy do tego założenie, że granica ciągu takich działań też pozostaje w tej rzeczywistej przestrzeni i mamy bardzo ładny, kompletny system liczbowy.

---

Nie Bóg, lecz Człowiek potrzebuje obrony.

>Chodzi o te definicje granicy z "prawie wszystkimi wyrazami ciągu" i dowolnie małym epsilonem? Ależ to bardzo naturalne, piękne i eleganckie, moim zdaniem. Ja nie dostrzegam tu żadnej "sztuczności". A liczby rzeczywiste to liczby powstające w wyniku kolejnych działań elementarnych. Wystarczy założenie (bardzo naturalne, jak mi się wydaje), że działanie elementarne na dwóch liczbach rzeczywistych prowadzi zawsze do wyniku rzeczywistego. Dodajmy do tego założenie, że granica ciągu takich działań też pozostaje w tej rzeczywistej przestrzeni i mamy bardzo ładny, kompletny system liczbowy.

Pewnie te podziały na wymierne i niewymierne to konsekwencje samej reprezentacji liczby - systemy pozycyjne.

Gdyby zastosować inny zapis wówczas podział byłby chyba inny, np. te algebraiczne tworzyłby inny zbór.

Może z kodowaniem na bazie niewymiernej byłoby inaczej, np.:
en.wikipedia.org/wiki/Base_phi

no, ale to nadal jest pozycyjne...

Albo problem rozwiązywania wielomianów stopnia 5 i powyżej - podobno nie można przedstawić wyniku za pomocą współczynników.

Ale czy przypadkiem nie jest tak samo już nawet dla równań kwadratowych?
ax^2 + bx + c = 0;
i tu rozwiązujemy: x = (-b +/- sqrt(delata))/2a

Tego przecież nie można zwykle skutecznie obliczyć (w skończonym czasie),
ale zdefiniowano sobie operację pierwiastkowania, więc zapisujemy sobie tą nieobliczalną praktycznie operację symbolicznie i cześć.

Kalkulatory obliczają te pierwiastki metodami numerycznymi,
a takimi metodami można przecież rozwiązać dowolny wielomian - niezależnie od stopnia.

takie:
x^2 + 3x - 2 = 0
ktoś potrafi to obliczyć?
Pewnie ale procedura jest tu nieskończona.

Teraz takie:
x^5 + 3x - 2 = 0

i cóż to za różna?

żadna, numerycznie ten sam algorytm załatwia oba bez problemu - ciach i gotowe:
x = 0.632834520242152, z drugiego pozostałe 4 są zespolone.

>Albo problem rozwiązywania wielomianów stopnia 5 i powyżej - podobno nie można przedstawić wyniku za pomocą współczynników.

Raczej pierwiastników.
To, co dalej piszesz jest jak najbardziej słuszne - pierwiastkowanie jest zwyczajnie skróconym zapisem czegoś w praktyce niewykonalnego (zazwyczaj).

---

Nie Bóg, lecz Człowiek potrzebuje obrony.

>>Pewnie te podziały na wymierne i niewymierne to konsekwencje samej reprezentacji liczby - systemy pozycyjne.<<
Też przyszło mi coś takiego na myśl, ale przecież komputery funkcjonują w oparciu o system binarny. Gdzieś po drodze jest jeszcze oktalny i heksadecymalny, a liczby niewymierne "wymyślone" przy okazji liczenia na dziesięciu palcach ciągle są niewymiernymi.
No, chyba że ktoś wymyśli system oparty na liczbach niewymiernych, w którym te nasze niewymierne staną się wymiernymi, a nasze wymierne niewymiernymi. Może w takim systemie pewne nierozwiązywalne problemy dadzą się rozwiązać? Ale taki pomysł może nie jest na tyle zwariowany, żeby się nim zajmować?

>>>Pewnie te podziały na wymierne i niewymierne to konsekwencje samej reprezentacji liczby - systemy pozycyjne.<<
>Też przyszło mi coś takiego na myśl, ale przecież komputery funkcjonują w oparciu o system binarny. Gdzieś po drodze jest jeszcze oktalny i heksadecymalny, a liczby niewymierne "wymyślone" przy okazji liczenia na dziesięciu palcach ciągle są niewymiernymi.

Tak, niewymierność nie ma żadnego związku z systemem zapisu liczb. Po prostu liczby wymierne to te, przy których dzieleniu pojawia się cykliczna regularność reszt.

>No, chyba że ktoś wymyśli system oparty na liczbach niewymiernych, w którym te nasze niewymierne staną się wymiernymi, a nasze wymierne niewymiernymi. Może w takim systemie pewne nierozwiązywalne problemy dadzą się rozwiązać? Ale taki pomysł może nie jest na tyle zwariowany, żeby się nim zajmować?

Raczej na pewno niczego takiego być nie może. Liczby wymierne wywodzą się bezpośrednio z liczb naturalnych, a więc najprostszego systemu liczbowego, w którym są podane rekurencyjnie właściwości, konstytuujące cały zbiór N (1 należy do N, jeśli n należy do N to n+1 też). Taka rekurencja jest niemożliwa dla nieprzeliczalnego zbioru niewymiernych m.in. dlatego, że jest nieprzeliczalny.

---

Nie Bóg, lecz Człowiek potrzebuje obrony.

>Tak, niewymierność nie ma żadnego związku z systemem zapisu liczb. Po prostu liczby wymierne to te, przy których dzieleniu pojawia się cykliczna regularność reszt.

Musiałbyś chyba to udowodnić.
Ja stawiam że ta niewymierność jest konsekwencją reprezentacji - zapisu liczb.

>Raczej na pewno niczego takiego być nie może. Liczby wymierne wywodzą się bezpośrednio z liczb naturalnych, a więc najprostszego systemu liczbowego, w którym są podane rekurencyjnie właściwości, konstytuujące cały zbiór N (1 należy do N, jeśli n należy do N to n+1 też). Taka rekurencja jest niemożliwa dla nieprzeliczalnego zbioru niewymiernych m.in. dlatego, że jest nieprzeliczalny.

Założyłeś sobie ten nieprzeliczalny - podobnie robił Cantor w swoich 'dowodach'.

>>>Pewnie te podziały na wymierne i niewymierne to konsekwencje samej reprezentacji liczby - systemy pozycyjne.<<
>Też przyszło mi coś takiego na myśl, ale przecież komputery funkcjonują w oparciu o system binarny. Gdzieś po drodze jest jeszcze oktalny i heksadecymalny, a liczby niewymierne "wymyślone" przy okazji liczenia na dziesięciu palcach ciągle są niewymiernymi.

Przecież binarny zapis jest najprostszym z pozycyjnych - tylko dwie cyfry.
Ósemkowy i szesnastkowy są tam za darmo - grupujemy bity po 3 lub 4 i gotowe.

>No, chyba że ktoś wymyśli system oparty na liczbach niewymiernych, w którym te nasze niewymierne staną się wymiernymi, a nasze wymierne niewymiernymi. Może w takim systemie pewne nierozwiązywalne problemy dadzą się rozwiązać? Ale taki pomysł może nie jest na tyle zwariowany, żeby się nim zajmować?

Tamto kodowanie na phi daje więcej wymiernych, np.:
10.0 - jest jakby wymierne (zapis skończony),
no a to jest przecież Phi w tym systemie, czyli tradycyjnie niewymierne.

sqrt(5) = Phi + phi = 10.1 też wymierne.

>Pewnie te podziały na wymierne i niewymierne to konsekwencje samej reprezentacji liczby - systemy pozycyjne.
>Gdyby zastosować inny zapis wówczas podział byłby chyba inny, np. te algebraiczne tworzyłby inny zbór.

Absolutnie nie! Liczbę naprawdę nie interesuje, w jakim systemie ją zapisujemy. Liczba jest wymierna, jeśli należy do zbioru liczb wymiernych . Jest (rzeczywista) algebraiczna, jeśli jest (rzeczywistym) pierwiastkiem wielomianu o współczynnikach wymiernych. No i gdzie tu jest reprezentacja??????

>Absolutnie nie! Liczbę naprawdę nie interesuje, w jakim systemie ją zapisujemy. Liczba jest wymierna, jeśli należy do zbioru liczb wymiernych . Jest (rzeczywista) algebraiczna, jeśli jest (rzeczywistym) pierwiastkiem wielomianu o współczynnikach wymiernych. No i gdzie tu jest reprezentacja??????

Może to wystarczy - tu są chyba już wszystkie liczby.
Liczby typu Pi, e, ln 7, itp. też są przecież zerami takich wielomianów - nieskończenie długich, hehe!

Dopiero te przestępne są nieprzeliczalne i tu w dowodach chyba zawsze jest używana reprezentacja - pozycyjna, np. tu:
en.wikipedia.org/wiki/Cantor's_diagonal_argument

>Wystarczy założenie (bardzo naturalne, jak mi się wydaje), że działanie elementarne na dwóch liczbach rzeczywistych prowadzi zawsze do wyniku rzeczywistego. Dodajmy do tego założenie, że granica ciągu takich działań też pozostaje w tej rzeczywistej przestrzeni i mamy bardzo ładny, kompletny system liczbowy.

To mniej więcej odpowiada aksjomatycznej definicji liczb rzeczywistych jako ciała algebraicznego liniowo uporządkowanego, ciągłego.
Stosuje się też konstrukcje startujące od zbioru liczb wymiernych: poprzez ciągi Cauchy'ego lub poprzez przekroje Dedekinda

>>Do aksjomatyki liczb "rzeczywistych" można mieć zastrzeżenia - nie ma chyba dobrej definicji
>.. nie dostrzegam tu żadnej "sztuczności".
Definicja liczby wymiernej pozwala na 'wyprodukowanie' wszystkich liczb wymiernych - wystarczy przebiegać naturalnymi licznik i mianownik. Podobnie liczby algebraiczne można uznać za generowane przez współczynniki wielomianów.
Natomiast dla liczb ze zbioru mocy c nie widać zgrabnej procedury wytwarzania całego (i tylko) R.
>.. działanie elementarne na dwóch liczbach rzeczywistych prowadzi zawsze do wyniku rzeczywistego.
Dla dodawania czy mnożenia zgoda - takie zamknięcie ze względu na działanie dotyczy także wymiernych (ale tylko dla skończonej liczby składników/czynników, bo już np. suma wszystkich odwrotności silni wyprowadza wynik poza zbiór). Rzecz przestaje być oczywista przy potęgowaniu, bo wykładnik ułamkowy powoduje niewymierność, a wykładnik niewymierny - przestępność.

edit:
[Chyba nie ma jak zadać pytania, czy przestępna potęga liczby niewymiernej może być nie-rzeczywista, bo wygląda na to, że znane definicje liczb "rzeczywistych" nie umożliwiają falsyfikacji pod względem przynależności do nich.]

>Przykładem może być np. suma odwrotności piątych potęg liczb naturalnych, co do której nie ma widoków na rozstrzygnięcie.

Przykładem na co? Jestem dziwnie spokojny, że w końcu komuś uda się udowodnić niewymierność tej liczby.

>Do aksjomatyki liczb "rzeczywistych" można mieć zastrzeżenia - nie ma chyba dobrej definicji (ciągi Cauchego to jakby dorabiane protezy), bo nie podaje się możliwości sprawdzenia czy dana liczba nie jest przypadkiem 'nie-rzeczywista'.

A czegoś się spodziewał? Przecież startując ze zbioru przeliczalnego konstruujesz zbiór nieprzeliczalny!

>Kiedyś liczby naturalne miały być 'wszystkimi liczbami', a słowo "niewymierne" znaczyło tyle co "bezsensowne". Później pojawiły się dowody na niewymierność pierwiastków, co próbowano załatać wprowadzając pojęcie liczb algebraicznych (miejsc zerowych wielomianów o wsp. wymiernych). Niestety niektóre liczby (pi, e, liczby Liouville'a) okazały się niealgebraiczne. Pokazano też, że dowolna potęga o (niebanalnej - różnej od 0 lub 1) podstawie wymiernej i niewymiernym wykładniku nie jest liczbą algebraiczną.
>I co wtedy zrobiono? Ponieważ działo się w czasach przedrelatywnego absoltuzmu wprowadzono 'na siłę' liczby rzeczywiste tak, by to były wszystkie liczby.
>'Dzięki' ówczesnym zakusom matematyków dziś pytanie o "rzeczywistość" np. liczby ee nie ma sensu, bo odpowiedź jest wiadoma zawczasu.

To streszczenie historii liczb jest mocno ale to mocno ahistoryczne.
Zapewniam Cię, że niewymierność niektórych liczb potrafili dowieść ci, którzy tę niewymierność odkryli (czyli starożytni Grecy). A niewymierność oznaczała niewspółmierność pewnych odcinków. "bezsensownymi" były zaś liczby urojone, te pojawiły się w dopiero w XVI.
Pojęcie liczb algebraicznych i przestępnych pojawiło się dopiero w XIX w. kiedy zdano sobie sprawię (tzn. udowodniono), że niektóre liczby niewymierne nie są pierwiastkami wielomianów o współczynnikach wymiernych. Tymczasem liczbami zespolonymi posługiwano się już od 3 wieków a rzeczywistymi właściwie od starożytności.

>>Przykładem może być np. suma odwrotności piątych potęg liczb naturalnych, co do której nie ma widoków na rozstrzygnięcie.
>Przykładem na co? Jestem dziwnie spokojny, że w końcu komuś uda się udowodnić niewymierność tej liczby.
Możliwe. Pozostaje jednak niepokój, że potrafimy skonstruować istotnie więcej twierdzeń niż dowodów.
>Przecież startując ze zbioru przeliczalnego konstruujesz zbiór nieprzeliczalny!
Ale continuum to jeszcze nie koniec świata! Powinna być możliwość definiowania zbiorów liczbowych mocy 2^c, 2^2c, itd.

>Pojawia się zatem pytanie: czy liczby niewymierne są dopełnieniem zbioru liczb wymiernych do R. (...) cecha niewymierności musi być dowodliwa, by móc przysługiwać danej liczbie. Możemy zatem wyobrazić sobie sytuację, w której możemy udowodnić istnienie danej liczby rzeczywistej (...) i jednocześnie udowodnić, że nie przysługuje jej (...) żadna z cech: wymierna bądź niewymierna.

Nie, tego nie możemy sobie wyobrazić.
Jeżeli o jakiejś liczbie rzeczywistej stwierdzimy, że ma cechę bycia liczbą wymierną, to jest ona z definicji liczbą wymierną. Jeśli jednak stwierdzimy, że tej cechy nie ma, to jest ona z definicji liczbą niewymierną. Tertium non datur.

To nie jest tak, że mamy kubełek z liczbami wymiernymi i kubełek z liczbami niewymiernymi. Wsypujemy je do większego kubełka, mieszamy, potrząsamy i mamy liczby rzeczywiste. Jest odwrotnie - mamy liczby rzeczywiste i jeśli wyjmiemy z nich liczby wymierne, to wszystko to, co zostanie, określamy mianem liczb niewymiernych. Ja wiem, że z punktu widzenia rachunku zbiorów to na jedno wychodzi. Nie wychodzi na jedno, gdy chcemy uchwycić genezę tych pojęć.
Opowiadania w stylu: "bierzemy liczby wymierne i dorzucamy wszystkie liczby niewymierne w wyniku czego dostajemy wszystkie liczby rzeczywiste..." można opowiadać dzieciakom w gimnazjum.

Mówiąc wprost - zbiór liczb niewymiernych nie ma "swojej" definicji. Są to wszystkie te liczby rzeczywiste, które nie są wymierne. Trzeba więc mieć najpierw zdefiniowane (skonstruowane) liczby wymierne i (osobno) liczby rzeczywiste! Zaś pojęcie zbioru liczb niewymiernych jest pojęciem wtórnym. Owszem, poszczególne liczby niewymierne możemy sobie elementarnie definiować nie dysponując pojęciem liczby rzeczywistej (ot choćby pierwiastek z 2), ale ja mówię o zbiorze wszystkich takich liczb.

Jest pewna ciekawa liczba rzeczywista zwana stałą Eulera-Mascheronieg (gamma), o której do dziś nie wiadomo, czy jest wymierna czy niewymierna. Ale to oznacza dokładnie tyle, że nikomu jeszcze nie udało się wymyślić dowodu rozstrzygającego. Prędzej czy później to jednak nastąpi, bo ... tertium non datur. I możesz być spokojny - aksjomatyka liczb rzeczywistych+aksjomatyka teorii mnogości (wraz z aksjomatem wyboru) z pewnością tu wystarczy.

>Jest pewna ciekawa liczba rzeczywista zwana stałą Eulera-Mascheronieg (gamma), o której do dziś nie wiadomo, czy jest wymierna czy niewymierna. Ale to oznacza dokładnie tyle, że nikomu jeszcze nie udało się wymyślić dowodu rozstrzygającego. Prędzej czy później to jednak nastąpi, bo ... tertium non datur. I możesz być spokojny - aksjomatyka liczb rzeczywistych+aksjomatyka teorii mnogości (wraz z aksjomatem wyboru) z pewnością tu wystarczy.

Twoje powyższe rozważanie zatem jest równoważne hipotezie:

Jeżeli znany jest sposób obliczania danej liczby rzeczywistej, to istnieje możliwość dowiedzenia, że liczba ta jest wymierna bądź niewymierna.


Cóż, podejrzewam, że hipoteza ta jest prawdziwa.

---

Nie Bóg, lecz Człowiek potrzebuje obrony.

> Jeżeli znany jest sposób obliczania danej liczby rzeczywistej, to istnieje możliwość dowiedzenia, że liczba ta jest wymierna bądź niewymierna.
>

Ładnie to ująłeś. Ale muszę Cię ostrzec. Tak hipoteza jest nieweryfikowalna. Pułapka tkwi w określeniu "sposób obliczania danej liczby rzeczywistej", bo

• po pierwsze tzw. 'sposobów' jest co najwyżej przeliczalnie wiele, więc hipotezę można 'przymierzyć' do co najwyżej przeliczalnej ilości liczb rzeczywistych
  
• po drugie tzw. 'sposób' może wykorzystywać tzw. funkcję nierekurencyjną (dobrze zdefiniowaną, ale w która np. do wyznaczenia wartości dla konkretnego argumentu wymaga wykonania nieskończonej ilości kroków, lub uzależniająca swoją wartość od przynależności jakiejś liczby naturalnej do pewnego ustalonego zbioru nierekurencyjnego).
  

Albo tak mniej poważnie: ustalasz sobie sobie rozwinięcie liczby rzeczywistej w układzie szóstkowym rzucając kostkę sześcienną (wynik rzutu zmniejszasz o jeden i dopisujesz po przecinku jako kolejną cyfrę). Możesz mieć dowolnie dokładne przybliżenie. Jest to sposób? Jest!

>Albo tak mniej poważnie: ustalasz sobie sobie rozwinięcie liczby rzeczywistej w układzie szóstkowym rzucając kostkę sześcienną (wynik rzutu zmniejszasz o jeden i dopisujesz po przecinku jako kolejną cyfrę). Możesz mieć dowolnie dokładne przybliżenie. Jest to sposób? Jest!

Oświeciłeś mnie, Waści. Nie pomyślałem o tak banalnym przykładzie - przecież tu generujemy losową liczbę rzeczywistą. Ale w tym przypadku łatwo jest dowieść jej niewymierności! Czyż nieskończony ciąg powtarzających się w określonych odstępach takich samych liczb nie ma zerowego prawdopodobieństwa wystąpienia! Tylko proszę nie mówić, że zerowe prawdopodobieństwo nie oznacza zdarzenia niemożliwego...

Powyższe było z przymrużeniem oka, teraz bardziej serio. Być może kwestia wymierności liczby nie przynależy do tej samej kategorii cech, co "istnienie liczby". Skoro możemy podać sposób generowania liczby a może się zdarzyć, że nie istnieje żaden dowód określający jej wymierność, może to oznaczać, że rozróżnienie pomiędzy wymiernością a niewymiernością jest "artefaktem", to znaczy pewnym szablonem poznawczym i nie przynależy do samej natury przedmiotu. Może nieco mętnie mówię, ale jest już po 22 Mam na uwadze to, że - w kontekście właściwości jaką jest "bycie liczbą rzeczywistą" właściwość "bycie liczbą wymierną" niejako znika na tym tle, gdyż fakt istnienia okresowości w rozwinięciu ułamka nie oznacza jakościowej różnicy względem liczb niewymiernych i jest tylko naszym subiektywnym spostrzeżeniem , zatem byłby to po prostu artefakt.

Mógłbym to bardziej formalnie przedstawić tak - liczby rzeczywiste są to liczby wymierne, których okres wyraża się liczbą naturalną (zbiór N z dołączonym zerem).

EDIT Ważne pytanie: czy brak istnienia dowodu (brak możliwości dowiedzenia) jakiegoś twierdzenia i twierdzenia będącego jego negacją jest tym samym, co niezależność od aksjomatów w danej teorii? Wydaje mi się, że tak właśnie jest.

---

Nie Bóg, lecz Człowiek potrzebuje obrony.

>przecież tu generujemy losową liczbę rzeczywistą. Ale w tym przypadku łatwo jest dowieść jej niewymierności! Czyż nieskończony ciąg powtarzających się w określonych odstępach takich samych liczb nie ma zerowego prawdopodobieństwa wystąpienia! Tylko proszę nie mówić, że zerowe prawdopodobieństwo nie oznacza zdarzenia niemożliwego...

Nie zaglądałem tu dawno, więc komentarz jest może po czasie. Mimo to piszę.

Nieprawda, nie generujemy żadnej liczby rzeczywistej! Tu generujemy skończony w każdej chwili ciąg cyfr a tym samym skończony ciąg liczb wymiernych, o którym możemy jedynie powiedzieć, że jest niemalejący i ograniczony z góry. Ale nie jest on zbieżny, bo jest w każdej chwili skończony, nigdy nie jest on dany w całości. Więc mówienie o jego granicy jest niedorzecznością. Tym bardziej osądzanie, czy może ona być wymierna, czy niewymierna. To naprawdę miało być z przymrużeniem oka, zbyt poważnie to wziąłeś. Nawet jeśli zgodzimy się na niedopuszalne mieszanie empirii z abstraktami, to nie możesz mieć pewności, że w "naszym" świecie nie obowiązuje jakieś kosmiczne dejavu i Twoje losowanie ulegnie cyklicznemu zapętleniu.

>Nieprawda, nie generujemy żadnej liczby rzeczywistej! Tu generujemy skończony w każdej chwili ciąg cyfr a tym samym skończony ciąg liczb wymiernych, o którym możemy jedynie powiedzieć, że jest niemalejący i ograniczony z góry. Ale nie jest on zbieżny, bo jest w każdej chwili skończony, nigdy nie jest on dany w całości. Więc mówienie o jego granicy jest niedorzecznością. Tym bardziej osądzanie, czy może ona być wymierna, czy niewymierna.

Zgoda całkowita, "szukałem zaczepki" co w dysputach metamatematycznych może być bardzo zabawne

---

Nie Bóg, lecz Człowiek potrzebuje obrony.

>Zwracam uwagę na to, że w matematyce coś istnieje tylko wtedy, kiedy potrafimy dowieść tego czegoś.
Nie dowieść tylko zdefiniować.
Bodajże na teorii mnogości na pierwszym roku matematyki lub informatyki definiowaliśmy liczby rzeczywiste z wymiernych np. na dwa sposoby:
- jako ciąg Cauchiego liczb wymiernych (aproksymujnący tą liczbę),
- jako podzbiór liczb wymiernych mniejszych niż ta liczba.

Czyli np. pi jest utożsamione z nieskończonym ciągiem (3, 3.1, 3.14, ... ), dwa ciągi są równoważne np. jeśli ciąg przeplatający je jest dalej ciągiem Cauchiego.
Jako że continuum to jest 2^(alef zero), ogólnie nie da się zdefiniować krócej niż nieskończonym ciągiem liczb wymiernych.

>>Zwracam uwagę na to, że w matematyce coś istnieje tylko wtedy, kiedy potrafimy dowieść tego czegoś.
>Nie dowieść tylko zdefiniować.

Też, jedno nie wyklucza drugiego. Oczywiście punktem wyjścia są definicje i aksjomaty. Ale to wszystko, co jest dalej - wszystkie twierdzenia rozwijające matematykę - muszą posiadać swoje dowody. Inaczej nie mają prawa bytu - dowód to taki dokument w rodzaju "metryki urodzenia", bez którego twierdzenie jest tylko hipotezą lub nawet bezsensownym ciągiem znaków. Kwestia możliwości dowiedzenia twierdzeń w danej teorii jest jednym z kluczowych zagadnień podstaw matematyki. Stąd zastanawia mnie, czy w ogóle jest możliwa sytuacja, w której intuicyjnie jesteśmy pewni, że dana liczba jest albo wymierna albo niewymierna a niezależność od aksjomatów hipotezy o niewymierności tej liczby tę pewność by kwestionowała.

---

Nie Bóg, lecz Człowiek potrzebuje obrony.

W matematyce (i życiu) formuła może istnieć nie będąc zawsze prawdziwą - nie będąc tautologią.
Szczerze to już konieczność zdefiniowania wydaje się zbyt silnym założeniem istnienia - słynna dyskusja czy matematykę budujemy czy może już istnieje pewna uniwersalna matematyka i tylko ją odkrywamy ...
... a może też istnieją byty niedefiniowalne ... ?
"weźmy zbiór wszystkich bytów niedefiniowalnych" ;D (dowcip dla matematyków)

>Stąd zastanawia mnie, czy w ogóle jest możliwa sytuacja, w której intuicyjnie jesteśmy pewni, że dana liczba jest albo wymierna albo niewymierna a niezależność od aksjomatów hipotezy o niewymierności tej liczby tę pewność by kwestionowała.
Jeśli możemy ją przedstawić jako iloraz dwóch liczb całkowitych to jest wymierna, jeśli nie to jest niewymierna - to jest bardzo konkretna definicja i tutaj raczej nie ma problemów z klasyfikacją: zwykle dość łatwo się dowodzi że jest taka lub taka.
Dużo trudniej z liczbami algebraicznymi, a szczególnie z jeszcze większym zbiorem liczb: obliczalnych - dla których istnieje (skończony) program, któremu podając dokładność, znajduje odpowiednią aproksymację - są to dalej zbiory bardzo dobrze określone, ale mimo że są przeliczalne - miary zero - praktycznie wszystkie liczby rzeczywiste nie należą do tych zbiorów ... to bardzo trudno znajdować liczby spoza nich (zna ktoś jakąś liczbę nieobliczalną? )

>W matematyce (i życiu) formuła może istnieć nie będąc zawsze prawdziwą - nie będąc tautologią.
>Szczerze to już konieczność zdefiniowania wydaje się zbyt silnym założeniem istnienia - słynna dyskusja czy matematykę budujemy czy może już istnieje pewna uniwersalna matematyka i tylko ją odkrywamy ...

Matematyka jako "zbiór twierdzeń" na pewno nie - jest to pewien język, stworzony przez człowieka. Ktoś gdzieś napisał (Może R. Penrose), że gdyby meduzy osiągnęły poziom rozwoju umożliwiający rozważanie abstrakcyjnych pojęć, ich matematyka oparta byłaby nie na liczeniu na palcach (czyli liczbach naturalnych) ale na ciągłości continuum liczb rzeczywistych. Osobiście uważam tego rodzaju dywagacje za puste i pozbawione sensu, może tylko jako czysto filozoficzne spekulacje.

Natomiast matematyka jako pewna struktura zależności, które opisujemy w niesprzecznych systemach aksjomatycznych - chyba tak (Te systemy aksjomatyczne są naszą interpretacją tej rzeczywistości dostępnej tylko rozumowo). Tak mi się wydaje, że jest.

>... a może też istnieją byty niedefiniowalne ... ?
>"weźmy zbiór wszystkich bytów niedefiniowalnych" ;D (dowcip dla matematyków)



>Dużo trudniej z liczbami algebraicznymi, a szczególnie z jeszcze większym zbiorem liczb: obliczalnych - dla których istnieje (skończony) program, któremu podając dokładność, znajduje odpowiednią aproksymację - są to dalej zbiory bardzo dobrze określone, ale mimo że są przeliczalne - miary zero - praktycznie wszystkie liczby rzeczywiste nie należą do tych zbiorów ... to bardzo trudno znajdować liczby spoza nich (zna ktoś jakąś liczbę nieobliczalną? )

A liczba, którą losuje się rzutem kostki? Chyba zazwyczaj jest nieobliczalna?

Postawiłem pewien dość akademicki problem i to raczej z obszaru filozofii niż jakiejkolwiek praktyki matematycznej. Chyba świta mi rozwiązanie.

Zauważmy, że problem wymierności liczb posiada "dwa końce". Jeden - to jest możliwość wskazania liczb naturalnych, których iloraz daje daną liczbę. Drugi - to kwestia pewnej cechy charakterystycznej, jaką jest okresowość rozwinięcia liczby w zapisie pozycyjnym. Ze względów dość oczywistych wszelkie dowody muszą wychodzić od tego naturalnoliczbowego "końca". Drugi bowiem sprowadza się do zbadania, czy dany okres rozwinięcia powtarza się nieskończenie wiele razy. Być może jednak dla rozważenia istnienia określonej cechy musimy oprzeć się nie na zależności od liczb naturalnych, które posiadają inne cechy niż ogólnie liczby rzeczywiste, tylko na właściwościach specyficznych dla zbioru R - to znaczy, m.in. nieskończonym rozwinięciu w zapisie pozycyjnym liczby. A to, wbrew dotychczasowej definicji dowodu, powinno prowadzić do uznania dowodu zawierającego nieskończoną liczbę kroków. Matematyka bowiem nie kieruje się możliwościami przemysłu papierniczego Mówię zupełnie poważnie - musimy uznać, że coś jest nie dlatego, że jest poznawalne w skończonej ilości kroków, ale również dlatego, że jest poznawalne w nieskończonej ilości kroków. Takie podejście usuwa tę hipotetyczną sytuację w której brak możliwości dowiedzenia czegoś zawiesza "w nieokreśloności" pytanie o tego czegoś istnienie.

---

Nie Bóg, lecz Człowiek potrzebuje obrony.

> (zna ktoś jakąś liczbę nieobliczalną? )

Pewnie możesz sobie takie coś założyć i tworzyć bajki - Cantor tak zrobił.

Nie mogę tego znaleźć ale mieliśmy coś takiego pewnie w pobliżu złożoności Kołmogorva.
Bierzemy liczby dla których istnieje skończony program dowolnie aproksymujący daną liczbę - coś jakby mające skończoną złożoność Kołmogorowa. Oprócz algebraicznych dochodzi np. e, pi, logarytmy, sinusy etc. i dowolne wyrażenia na nich.
Jednak ilość skończonych programów jest przeliczalna, czyli podobnie jak wymierne taki zbiór pokrywa gęsto np. odcinek [0,1], ale dalej jest miary zero - prawie wszystkie liczby z tego odcinka nie są obliczalne (może aproksymowalne).

Jak wygenerować taką liczbę "nieobliczalną"?
Np. bierzemy "dobry generator liczb losowych" - dla którego niemożliwe(!) jest przewidzenie jego wyników skończonym programem i generujemy nim kolejne cyfry w nieskończoność.
Ale czy można konkretnie wskazać jakąś??
Może coś w stylu p1^(p2^(p3^...)) gdzie p1,p2.. jest jakimś konkretnym nieskończonym ciągiem bardzo szybko zbiegającym do 1 ... ? Ale udowodnić nieobliczlność??

W matematyce jest dużo bardzo ciekawych zbiorów, często niekonstruowanych, jak zbiór Vitaliego który jest jakby [0,1] podzielone przez "małą nieskończoność" (alef zero), czy w paradoskie Banacha-Tarskiego gdzie dzielimy kulę na podzbiory z których potem składamy dwie takie kule...

>Jednak ilość skończonych programów jest przeliczalna, czyli podobnie jak wymierne taki zbiór pokrywa gęsto np. odcinek [0,1], ale dalej jest miary zero - prawie wszystkie liczby z tego odcinka nie są obliczalne (może aproksymowalne).

Wszystko powraca do bardzo podstawowego modelu zbioru mocy continuum - mianowicie zbioru wszystkich nieskończonych ciągów zero-jedynkowych. Nieskończonych, tu leży klucz. Moc continuum opiera się na całej nieskończoności przeliczalnej, stąd się wzięła i stąd, jakiekolwiek by miały być operacje prowadzące do pokrycia całego tego zbioru, muszą dopuszczać istnienie nieskończonej przeliczalnej liczby kroków.

>Jak wygenerować taką liczbę "nieobliczalną"?
>Np. bierzemy "dobry generator liczb losowych" - dla którego niemożliwe(!) jest przewidzenie jego wyników skończonym programem i generujemy nim kolejne cyfry w nieskończoność.
>Ale czy można konkretnie wskazać jakąś??
>Może coś w stylu p1^(p2^(p3^...)) gdzie p1,p2.. jest jakimś konkretnym nieskończonym ciągiem bardzo szybko zbiegającym do 1 ... ? Ale udowodnić nieobliczlność??

Ciekawe.

>paradoskie Banacha-Tarskiego[/url] gdzie dzielimy kulę na podzbiory z których potem składamy dwie takie kule...

Paradoks ten, z tego, co wspomnę, polega na niewyobrażalności form tych pięciu podzbiorów, z których potem "składamy" te dwie kule. Nie na kwestii objętości, bo każdy, kto się "oswoi" z faktem równoliczności zbiorów mocy kontinuum już nie zwraca uwagi na takie błahostki

---

Nie Bóg, lecz Człowiek potrzebuje obrony.

>Ale czy można konkretnie wskazać jakąś??
>Może coś w stylu p1^(p2^(p3^...)) gdzie p1,p2.. jest jakimś konkretnym nieskończonym ciągiem bardzo szybko zbiegającym do 1 ... ? Ale udowodnić nieobliczlność??

To chyba zwyczajny problem z obliczeniem granicy.
Podobnie jest z całkami, które często dość trudno obliczyć nawet dla prostych funkcji.

Kilka lat temu ktoś podał taką granicę:
suma [(sin(k) + 2)/3 ]^k / k; k = 1 do oo.

no i jaka jest granica - jest to w ogóle zbieżne?

>suma [(sin(k) + 2)/3 ]^k / k; k = 1 do oo.
Dzięki - bardzo fajny kandydat przez gęste pokrywanie okresu sinusa.
Albo "prostszy" sum (sin(k))^k / k
Wyglądają na zbieżne ale nie sposób ich aproksymować ... tylko jak to udowodnić ...?

>>suma [(sin(k) + 2)/3 ]^k / k; k = 1 do oo.
>Dzięki - bardzo fajny kandydat przez gęste pokrywanie okresu sinusa.
>Albo "prostszy" sum (sin(k))^k / k
>Wyglądają na zbieżne ale nie sposób ich aproksymować ... tylko jak to udowodnić ...?

Kiedyś próbowałem to sprawdzić - wstawiłem coś tam z Weyla (equidistribution), i to wychodzi zbieżne, nawet ze sporym zapasem, no ale dokładny wynik jest raczej nieosiągalny za pomocą obecnie znanych metod.

> cecha niewymierności musi być dowodliwa

Cecha niewymierności jest z definicji, więc nie jest dowodliwa.

W prostym ujęciu zakładamy, że mamy zdefiniowane liczby całkowite. Definiujemy liczby wymierne, jako ułamki zbudowane z liczb całkowitych. Definiujemy liczby rzeczywiste, jako granice nieskończonych ciągów zbieżnych liczb wymiernych.

Mamy teraz trzy zbiory: liczby rzeczywiste, liczby wymierne będące podzbiorem liczb rzeczywistych i liczb całkowite, będące podzbiorem liczb wymiernych.

Teraz wprowadzamy nazwę: "niewymierna". Liczba niewymierna to z definicji liczba należąca do zbioru liczb rzeczywistych i nienależąca do zbioru liczb wymiernych.

Przez analogię możemy zdefiniować liczby "niecałkowite" - będzie to pojęcie tak samo jasne, jak "niewymierne". Cecha niecałkowitości nie będzie dowodliwa.

---

doku (Tomasz Kamiński)

>> cecha niewymierności musi być dowodliwa
>Cecha niewymierności jest z definicji, więc nie jest dowodliwa.

Chyba się nie zgadzam. To znaczy mam na myśli to, że trzeba udowodnić, że dana liczba nie jest wymierna. Rozumiem, że cecha wymierności jest "pierwotna" a niewymierność powstaje jako cecha zbioru liczb nie należących do zbioru liczb wymiernych. Może zastosowałem skrót myślowy, ale chodziło mi o wyrażenie formalistycznego przeświadczenia, że matematyka jest generowaniem kolejnych zdań ze zdań wyjściowych wedle ściśle określonych reguł.

Poczytałem kilka komentarzy do twierdzeń Goedla i doszło do mnie, że problem, który tu postawiłem on już rozwiązał. Chodzi o to, że pojęcie "prawdziwości" jest szersze od pojęcia "dowodliwości". Zatem nie możemy ograniczyć naszego rozumienia matematyki do poprawności formuł bez zrozumienia treści, które te formuły wyrażają. Zatem - dzięki Goedlowi - jestem platończykiem.

---

Nie Bóg, lecz Człowiek potrzebuje obrony.

> mam na myśli to, że trzeba udowodnić, że dana liczba nie jest wymierna

Cóż, jeżeli liczba jest dana, wtedy można próbować dowodzić, czy liczba jest wymierna czy nie, jednak inne liczby niewymierne wciąż mogą czekać na swój dowód. Sama niewymierność nie zostanie jednak wyprowadzona tymi dowodami z innych przesłanek.

---

doku (Tomasz Kamiński)

>Cecha niewymierności jest z definicji, więc nie jest dowodliwa.

Liczba jest niewymierna wtedy i tylko wtedy, gdy nie jest wymierna.
Chcąc więc dowodzić niewymierności liczby wystarczy (i należy) dowieść, że ta liczba nie jest wymierna.

>    Ponieważ zauważyłem, że wśród czytelników Forum jest kilku solidnych matematyków, pozwalam
>sobie wrzucić tu zagadnienie z obszaru epistemologii matematyki, czyli temat nieco bardziej
>filozoficzny niż praktyczny, niemniej interesujący. W szczególności ciekaw jestem, czy był już w tej
>postaci podejmowany przez kogoś innego (zawsze miło jest mieć świadomość wkraczania na nowe,
>niezbadane obszary wiedzy).
>     Rozważmy pewną, dowolnie wybraną liczbę rzeczywistą. Możemy - znając sposób jej
>obliczania z dowolną dokładnością - zadać pytanie, czy jest to liczba wymierna, czy
>niewymierna. Załóżmy, że zachodzi sytuacja, w której hipoteza dotycząca niewymierności danej liczby
>okazuje się być niezależna od aksjomatów zbioru liczb rzeczywistych.
>   Pojawia się zatem pytanie: czy liczby rzeczywiste są dopełnieniem zbioru liczb wymiernych do R ?
>Zwracam uwagę na to, że w matematyce coś istnieje tylko wtedy, kiedy potrafimy dowieść tego czegoś.
>W szczególności cecha niewymierności musi być dowodliwa, by móc przysługiwać danej liczbie. Możemy
>zatem wyobrazić sobie sytuację, w której możemy udowodnić istnienie danej liczby rzeczywistej (przez
>podanie sposobu jej obliczania) i jednocześnie udowodnić, że nie przysługuje jej (w sensie: nie
>jest możliwa do dowiedzenia) żadna z cech: wymierna bądź niewymierna.
>Trzecia kategoria liczb rzeczywistych?

Moja wiedza nie ogarnia takiego skomplikowania. A i tak dziękuję wszelkim siłom, za to, ze dane mi było nieco uzupełnić wiedzę dzięki Pokerowi z Pitagorasem prof. Marcusa du Sautoy. Przynajmniej mogłam przeczytać wypowiedzi i zrozumieć coś więcej niż spójniki:D

Mod:
Kasuj, proszę, zbędne cytowania.

>Możemy
>zatem wyobrazić sobie sytuację, w której możemy udowodnić istnienie danej liczby rzeczywistej (przez
>podanie sposobu jej obliczania) i jednocześnie udowodnić, że nie przysługuje jej (w sensie: nie
>jest możliwa do dowiedzenia) żadna z cech: wymierna bądź niewymierna.
>Trzecia kategoria liczb rzeczywistych?
   Nieprawda, nie możemy. Dowód na to, że liczba rzeczywista jest niewymierna, to dowód, że liczba nie jest ilorazem liczb całkowitych, a więc, że liczba nie jest wymierna. Podział liczb rzeczywistych na wymierne i niewymierne jest wyczerpujący, dychotomiczny.