>Jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania konkretnej liczby wymiernej z określonego przedziału liczb
>rzeczywistych? (np. prawdopodobieństwo, że z przedziału <0,1/2> wylosuję liczbę 0,123456)
>Jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania konkretnej liczby naturalnej ze zbioru liczb naturalnych
>(np. z nieskończonego zbioru N chcę wylosować liczbę 5)
>Czy powyższe pytania mają w matematyce sens?
>Pozdrawiam i z góry dziękuję za odpowiedź.

Domyślam się, że milcząco zakładasz (co nie oczywiste), iż prawdopodobieństwo wylosowania każdej z liczb powinno być takie samo.

Wówczas w przypadku losowania konkretnej liczby z danego przedziału liczb rzeczywistych wynosi 0 (i stwierdzenie takie ma sens), natomiast w przypadku losowania liczby naturalnej pytanie nie ma sensu - prawdopodobieństwo o pożądanych własnościach nie istnieje.

W przypadku losowania z danego przedziału liczb rzeczywistych pełna zgoda, choć nie jest to jedyny możliwy rozkład prawdopodobieństwa - wystarczy zdefiniować jakąś dyskretną zmienną losową zamiast ciągłej.

Natomiast w przypadku losowania liczby naturalnej, aby pytanie miało sens, wystarczy zdefiniować jakikolwiek rozkład prawdopodobieństwa. Np. P(n) = (1/2)ⁿ

>Witam,
>Mam do Szanownych Forumowiczów następujące pytanie, lub raczej trzy pytania połączone ze sobą:
>Jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania konkretnej liczby wymiernej z określonego przedziału liczb
>rzeczywistych? (np. prawdopodobieństwo, że z przedziału <0,1/2> wylosuję liczbę 0,123456)
>Jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania konkretnej liczby naturalnej ze zbioru liczb naturalnych
>(np. z nieskończonego zbioru N chcę wylosować liczbę 5)
>Czy powyższe pytania mają w matematyce sens?
>Pozdrawiam i z góry dziękuję za odpowiedź.

Jest, a dodatkowo jest prosto obliczalna.

W obu przypadkach wynosi 0. Dla przypadku ciągłego dzielimy przez siebie długości odpowiednich odcinków, a skoro długość odcinku jest równa 0, dostajemy 0/0.5, czyli 0. Dla przypadku dyskretnego dostajemy 0, gdyż mamy dzielenie 1/N, gdzie N -> nieskończoności.

W obu przypadkach jednak istnieje (intuicyjnie) szansa wylosowania liczby. Co w takim razie?

Z tego wynika bardzo istotna lekcja :
Prawdopodobieństwo 0 wcale nie oznacza, że dane zjawisko jest niemożliwe !

---

Jeśli ludzie myślą, że matematyka nie jest prosta, to tylko dlatego, że nie zdają sobie sprawy, jak skomplikowane jest życie.

>W obu przypadkach wynosi 0. Dla przypadku ciągłego dzielimy przez siebie długości odpowiednich odcinków, a skoro długość odcinku jest równa 0, dostajemy 0/0.5, czyli 0. Dla przypadku dyskretnego dostajemy 0, gdyż mamy dzielenie 1/N, gdzie N -> nieskończoności.
>W obu przypadkach jednak istnieje (intuicyjnie) szansa wylosowania liczby. Co w takim razie?

Niestety nie masz racji. W przypadku losowania liczny naturalnej odpowiednia miara probabilistyczna nie istnieje (chyba że zgodzimy się, że prawdopodobieństwo wylosowania różnych liczb może być różne, np. każdej kolejnej dwa razy mniejsze - wówczas nie ma problemu, ale też prawdopodobieństwo wylosowania pojedynczej liczby nie będzie zerowe)

>Czy powyższe pytania mają w matematyce sens?

Nie, nie mają dopóki tego nie uściślisz tajemniczego określenia 'wylosować liczbę'.

W potocznym zwrocie 'losujemy ilość oczek na kostce' wyobraźnia podsuwa nam widok kostki sześciennej rzucanej dłonią i czekaniu, aż się przestanie ta kostka toczyć. Nieświadomie tworzymy tzw. przestrzeń probabilistyczną Ω={1,2,3,4,5,6} z rozkładem prawdopodobieństwa P(i)=1/6

W potocznym zwrocie 'losujemy białą kulę z urny zawierającej 4 białe i 3 czarne kule' wyobraźnia podsuwa nam widok dzbana zawierającego wymienione kule identycznych rozmiarów, kształtów i ciężarów, do której wkładamy rękę w celu wyciągnięcia dokładnie jednej kuli. Nieświadomie tworzymy przestrzeń probabilistyczną Ω={b1,b2,b3,b4,c1,c2,c3} z rozkładem prawdopodobieństwa P(b_i)=P(c_j)=1/7.

W zwrocie 'losujemy liczbę x z nieskończonego zbioru liczb X' wyobraźnia nam nic nie podsuwa - ani kości ani urny z kulami nic tu nie pomogą. Nie zwalnia nas to jednak z obowiązku utworzenia przestrzeni probabilistycznej zanim zapytamy o prawdopodobieństwo tego czy innego zdarzenia.

Oczywiście, że mają sens.

Wszystko zależy od tego jaką przyjmiemy definicję prawdopodobieństwa.

Zasadniczo można to policzyć np. z definicji von Misesa.

Tak czy inaczej powszechnie prawdopodobieństwo liczy się dla zdarzeń ze zbiorów skończonych. Jak się do wzoru takiego podstawi nieskończoną moc zbioru to wychodzi dziwny twór.

To wydaje się nie mieć sensu, ale z drugiej strony odległość [0, 0.5) i (0.5,1] musi być taka sama W końcu odległość |[0,1]| jest równa |[0, 0.5)| + |0.5| + |(0.5,1]|

Odległość od 0 do 1 włącznie musi być równa odległości od 0 do 0.5 (wyłączając 0.5) długości punktu 0.5 i odległości od 0.5 do 1

Cóż... teoria zbiorów dalej budzi wiele kontrowersji.

Upraszczając problem: mając N-elementowy zbiór, dla którego prawdziwe jest twierdzenie, że wylosowanie każdego elementu jest tak samo prawdopodobne mamy prawdopodobieństwo wylosowania wybranego elementu 1/N i prawdopodobieństwo (N-1)/N wylosowania każdego innego elementu.

Suma musi być równa 1 i jest:

1/N + (N-1)/N = 1
1/N = 1 - (N-1)/N

Dla nieskończonego zbioru mamy:
1/INF = 1 - (INF -1)/INF

INF - 1 = INF (ponieważ zbiór jest nieskończony), stąd:

1/INF = 1 - INF/INF

INF/INF jest to oczywiście wyrażenie nieokreślone. Tak postawiony problem nie ma rozwiązania. To oczywiście nie znaczy, że pytanie nie ma sensu. Myślę że pytanie jest bardzo pouczające.

---

"Mądrość jest dobrem, aczkolwiek jest pożądana nie sama dla siebie, ale z uwagi na konsekwencje"

> INF/INF jest to oczywiście wyrażenie nieokreślone.
Wyrażenie inf/inf jest nieokreślone dlatego, że zależy ono od tego jaki ciąg
dąży do nieskończoności w liczniku, a jaki w mianowniku. W twoim przykładzie inf/inf=1.

Współczesny rachunek prawdopodobieństwa dysponuje ścisłym pojęciem przestrzeni probabilistycznej. Nie zawsze tak jednak było, rachunek prawdopodobieństwa stał się bardzo późno jednym z głównych działów matematyki. Zanim to jednak nastąpiło, były spore problemy z matematycznym (abstrakcyjnym) ujęciem pojęcia prawdopodobieństwa, stosowano różne dziwne definicje 'z braku laku' , bo nie było innych, bo nie dostrzegano ich wewnętrznych wad i sprzeczności albo udawano, że się nie dostrzega.

Jennifer85 zadał pytanie dotyczące abstrakcyjnych pojęć matematycznych, więc odpowiedź także powinna być udzielona w takim języku - krótko, precyzyjnie, abstrakcyjnie i na temat. Ty zaś zamiast posłużyć się współczesnymi definicjami robisz przegląd trzech przestarzałych, historycznych lub nieadekwatnych definicji:

• Definicja statystyczna - opiera się na pojęciu częstości zdarzenia i jest pomieszaniem pojęć abstrakcyjnych z procesem przeprowadzania fizycznych doświadczeń. To się nadaje do określenia prawdopodobieństwa natrafienia na blondyna wśród mieszkańców Warszawy lub na wyznawcę zamachu smoleńskiego na Podkarpaciu, bo odwołuje się do doświadczenia polegającego na pobieraniu fizycznych próbek (tu: ankieta). Nie nadaje się jednak do zbiorów abstrakcyjnych, nie nadaje się do badania częstości wystąpienia jakiejś liczby w kolejnych próbkach. Przecież nie weźmiesz zbioru liczb rzeczywistych do jakiegoś kubka i potrząsnąwszy nim trzy razy wysypiesz jakąś pojedynczą liczbę.
  
  
• Definicja geometryczna - najlepsza z trzech, pozbawiona wad logicznych i czysto abstrakcyjna, ale przydaje się jedynie do tzw. kostek w n-wymiarowych przestrzeniach euklidesowych (odcinki, kwadraty, prostopadłościany...). Nie można jej stosować dla zbiorów skończonych ani przeliczalnych (np. liczby naturalnych). A rachunki, które przeprowadziłeś i nad którymi tak się dziwujesz, to nieświadome operowanie przez Ciebie pojęciem miary na zbiorach mierzalnych. Było nie było, prawdopodobieństwo jest miarą unormowaną na sigma ciele podzbiorów mierzalnych. A miara przedziału jest akurat równa odległości między jego końcami, zaś miara zbioru jednopunktowego jest równa 0.
  Cóż... jeśli teoria mnogości budzi jakieś kontrowersje, to na pewno nie w miejscach, które o to podejrzewasz.
  
  
• Definicja Laplace'a - najstarsza, najbardziej intuicyjna. I najgorsza, bo zawiera błędne koło logiczne:
  
  'prawdopodobieństwo zdarzenia elementarnego jest równe n/N, gdzie n jest ilością zdarzeń elementarnych sprzyjających, N jest ilością wszystkich zdarzeń elementarnych o identycznym prawdopodobieństwie'.
  
  Jeśli udać, że się nie dostrzega jej wewnętrznej wady, to i tak nie nadaje się ona do zbiorów nieskończonych, bo wychodzą jakieś bzdury (czego przykładem są Twoje rachunki: 1/INF = 1 - (INF -1)/INF i tym podobne).
  

Kończąc ten mój krótki przegląd - nie można rozpatrując jakiś zbiór (tu liczb rzeczywistych lub naturalnych) zadawać pytania o jakieś prawdopodobieństwa. Bo żadne zbiory (i skończone i nieskończone) nijak nie mają się do jakichś prawdopodobieństw. Trzeba nad tym zbiorem jeszcze zbudować (określić, zdefiniować) specjalną funkcję zwaną prawdopodobieństwem tzn. utworzyć funkcję przeliczalnie addytywną na sigma ciele podzbiorów badanego zbioru. Czyli trzeba zbudować przestrzeń probabilistyczną. Jakąkolwiek.
Bez tego pytanie o prawdopodobieństwo jest bez sensu. To tak jakby wejść do sklepu warzywnego i zapytać, ile kosztuje odkurzacz. Owszem może zdarzyć się sprzedawca w warzywniaku, który to wie lub podpowie, gdzie iść z tym pytaniem.
Ja byłem tym sprzedawcą - poradziłem Jennifer85'owi, aby najpierw określił przestrzeń probabilistyczną, zdefiniował kontekst swojego pytania. I uczyniwszy to zadał ponownie swoje pytanie o prawdopodobieństwo wylosowania tej czy innej liczby.

Pozdrawiam

Confessus,

Rzeczywiście pytania zostały przeze mnie nieco niefortunnie sformułowane. Proszę jeszcze o nieco cierpliwości. Spróbuję ponownie.

Czy w przypadku nieprzeliczalnego zbioru zdarzeń elementarnych możliwe jest zdefiniowanie takiej funkcji prawdopodobieństwa, że każde zdarzenie elementarne będzie miało przypisane takie samo prawdopodobieństwo? Czy jeżeli prawdopodobieństwo to wynosi zero (co na pierwszy rzut oka miałoby sens), to popadamy w sprzeczność? (bo nie będziemy w stanie zsumować prawdopodobieństw wszystkich zdarzeń elementarnych do jedynki) Czy nie łamie to definicji funkcji prawdopodobieństwa (tzn. aksjomatów unormowania i przeliczalnej addytywności?) Czy istnieje jakiś sposób, aby wyrwać się z takiej pułapki jeżeli w nią wpadniemy?

Czy analogiczna sytuacja możliwa jest w przypadku kiedy przestrzeń zdarzeń elementarnych jest nieskończonym zbiorem przeliczalnym (i jak się to ma do definicji prz. zd. elem.)?

Wszędzie odnoszę się do definicji Kołmogorowa.

Pozdrawiam

Na początek pewna uwaga warta - ja sądzę - przypomnienia:

Istotą definiowanego rozkładu prawdopodobieństwa (przestrzeni probabilistycznej) jest to, że prawdopodobieństwo definiujemy na podzbiorach zbioru Ω a nie jedynie na jego elementach. Jest to więc funkcja rzeczywista, której argumentami nie są elementy zbioru Ω ale jego podzbiory. Oczywiście przy 'okazji' określamy tę funkcję na zbiorach jednoelementowych {x} gdzie x ∊ Ω czyli jakby na elementach x (ale to tylko przy 'okazji') .

Rozważmy najpierw zbiory przeliczalne (lub skończone). Dla nich treść powyższej uwagi łatwo zrealizować, bo dla takich zbiorów dość prosto dowodzi się, że prawdopodobieństwo wystarczy zdefiniować na jego elementach, czyli tym samym na zbiorach jednoelementowych. Funkcję tę następnie rozszerza się na dowolne podzbiory przeliczalnego zbioru Ω przez proste zsumowanie prawdopodobieństw elementów należących do danego podzbioru. Przecież każdy podzbiór jest ciągiem skończonym lub nieskończonym, czyli sumujemy skończony lub nieskończony ciąg liczb, a taki szereg jest zawsze bezwzględnie zbieżny do granicy ≤1.

Przejdźmy do zbiorów nieprzeliczalnych. Myślę, że zadowolą Cię rozważania na zbiorze mocy continuum a konkretnie na odcinku [0;1]. Na innych zbiorach może się trafić ostra jazda bez trzymanki.
Sztuczka, która udała się dla zbiorów przeliczalnych (lub skończonych), dla zbiorów nieskończonych już nie wyjdzie. Nie uda się definiując prawdopodobieństwo na poszczególnych elementach rozszerzyć tego prawdopodobieństwa na dowolne zbiory. Ergo - musimy od razu definiować na wszystkich podzbiorach. To brzmi groźnie, bo tych podzbiorów jest aż 2 ^c !. Na szczęście jest wyjście - wystarczy prawdopodobieństwo przypisać pewnym bardzo szczególnym podzbiorom - przedziałom, które mają początek w 0, czyli podzbiorom postaci [0;t). Czemu właśnie takim? Bo to wygodne i zarazem wystarczające do tego, co chcemy osiągnąć. Wygodne, bo mamy tylko jeden parametr - prawy koniec odcinka. Wystarczające, bo taki zbiór wstępujących odcinków pozwala operacjami mnogościowymi (sum, różnica, dopełnienie, iloczyn) wyprodukować przeogromną rodzinę podzbiorów borelowskich czyli tzw. sigma-ciało zbiorów. A każdemu tak wyprodukowanemu zbiorowi łatwo przypisać prawdopodobieństwo. W tym celu najpierw ustalamy prawdopodobieństwo dla dowolnych przedziałów. Następnie, uwzględniając, że dowolny wyprodukowany zbiór z sigma-ciała jest sumą skończoną lub przeliczalną przedziałów (składowych) sumujemy prawdopodobieństwa jego składowych.
Wróćmy do naszych bazowych przedziałów postaci [0;t). Aby im poprawnie przypisać prawdopodobieństwo wystarczy zauważyć, że dla dwóch takich przedziałów [0;t₁}, [0;t₂) albo są one identyczne, albo jeden z nich zawiera się w drugim i wówczas ten 'większy' musi mieć przypisane większe prawdopodobieństwo. Ponadto przedziałowi [0;1) przypisujemy wartość 1 natomiast przedziałowi pustemu [0;0) przypisujemy 0. Inaczej mówiąc musimy wymyśleć jakąkolwiek funkcję f(t) taką, że f(0)=0, f(1)=1 i która jest niemalejąca i lewostronnie ciągła. Taka funkcja nosi nazwę dystrybuanty. Tak więc ustalenie jakiejś dystrybuanty wyznacza nam przestrzeń probabilistyczną na odcinku [0;1].


cdn

Czas, aby odpowiedzieć na Twoje pytania.

>Czy w przypadku nieprzeliczalnego zbioru zdarzeń elementarnych możliwe jest zdefiniowanie takiej funkcji prawdopodobieństwa, że każde zdarzenie elementarne będzie miało przypisane takie samo prawdopodobieństwo?

Tak, wystarczy, aby dystrybuanta była ciągła obustronnie. Wtedy każde zdarzenie elementarne (przedział jednopunktowy) ma prawdopodobieństwo 0.
Zauważ, że dystrybuanty ciągłe obustronnie można wymyślać na nieskończoną ilość sposobów i zawsze prawdopodobieństwo punktów (zdarzeń elementarnych jest równe 0). Tu widać, że poprzestanie na przyjęciu 0 dla każdego zdarzenia elementarnego nic nie daje. To nam niczego nie definiuje. Cała 'treść' prawdopodobieństwa kryje się w jego określeniu na zbiorach a nie na punktach.
Jeśli dystrybuanta w którymś punkcie nie jest prawostronnie ciągła, to mamy skok i w tym punkcie (zdarzeniu elementarnym) przyjmujemy prawdopodobieństwo niezerowe! Równe różnicy między granicą prawostronną i lewostronną. Takich skoków może być oczywiście wiele (najwyżej przeliczalnie wiele i suma tych skoków czyli prawdopodobieństw nie może przekroczyć 1). Mówiąc prosto - można zdefiniować taki rozkład prawdopodobieństwa na odcinku, w którym prawdopodobieństwo wylosowania jakiegoś punktu jest niezerowe.

>Czy jeżeli prawdopodobieństwo to wynosi zero (co na pierwszy rzut oka miałoby sens), to popadamy w sprzeczność? (bo nie będziemy w stanie zsumować prawdopodobieństw wszystkich zdarzeń elementarnych do jedynki) Czy nie łamie to definicji funkcji prawdopodobieństwa (tzn. aksjomatów unormowania i przeliczalnej addytywności?) Czy istnieje jakiś sposób, aby wyrwać się z takiej pułapki jeżeli w nią wpadniemy?

Nie ma tu żadnej pułapki. W przypadku dystrybuanty obustronnie ciągłej sumowania do 1 (czyli po całej przestrzeni Ω ) nie robi się dodawaniem (choćby nawet szeregiem nieskończonym) ale całkowaniem po gęstości prawdopodobieństwa i wszystko idealnie działa. Dodawanie skończonej lub przeliczalnej ilości składników jest po prostu za słabe. W ten sposób możesz dostać prawdopodobieństwo zbiorów skończonych lub przeliczalnych. I jest ono oczywiście zerowe!
Dlatego dla ciągłej dystrybuanty prawdopodobieństwo wylosowania zarówno konkretnej liczby jak i liczby wymiernej jest zerowe.

>Czy analogiczna sytuacja możliwa jest w przypadku kiedy przestrzeń zdarzeń elementarnych jest nieskończonym zbiorem przeliczalnym (i jak się to ma do definicji prz. zd. elem.)?

Nie, dla zbiorów nieskończonych przeliczalnych tak się nie da. Jeśli szereg nieskończony ma być zbieżny do 1, to składniki nie mogą być takie same (dla zerowych składników szereg byłby zbieżny do 0 a dla dodatnich szereg byłby rozbieżny).
A możliwości nadania kolejnym liczbom naturalnym ich prawdopodobieństw jest nieskończenie wiele. Oto niektóre z nich:
1/2, 1/4, 1/8, 1/16,...
2/3, 2/9, 2/27, 2/81,...
1/(1∙2), 1/(2∙3), 1/(3∙4), ...
Ale także
1/4, 1/2, 1/4, 0,0,0,0,....
0,0,1,0,0,0,...
Takie rozkłady pozwalają już zapytać o prawdopodobieństwo wylosowania liczby 5, albo wylosowania liczby większej od 100, albo liczby parzystej, albo liczby pierwszej itd. I dla każdego z tych rozkładów dostaniemy inną odpowiedzi!

pozdrawiam

Dziękuję Panu za czas i cierpliwość. Pomógł mi Pan dostrzec spory błąd w rozumowaniu, który beztrosko popełniałem. Z wdzięcznością daję plusy.

Pozdrawiam

>Dziękuję Panu za czas i cierpliwość. Pomógł mi Pan dostrzec spory błąd w rozumowaniu, który beztrosko popełniałem.

Miło mi, że mogłem pomóc. Dla takich chwil warto żyć

>A rachunki, które przeprowadziłeś i nad którymi tak się dziwujesz, to nieświadome operowanie przez Ciebie pojęciem miary na zbiorach mierzalnych.

Nie uważam, że nie świadome. Chciałem wykazać, że pytanie nie ma sensu nie wprost, przez właśnie takie obliczenia.

Oczywiście Twoja wypowiedź jest dokładniejsza i daję zasłużony plus.

---

"Mądrość jest dobrem, aczkolwiek jest pożądana nie sama dla siebie, ale z uwagi na konsekwencje"

>Nie uważam, że nie świadome.
jeśli źle odczytałem Twoje intencje, to przepraszam

Za plusik dziękuję.

pozdrawiam

>Jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania konkretnej liczby wymiernej z określonego przedziału liczb rzeczywistych?
Czyżby takie, jak wylosowanie dowolnej liczby wymiernej wobec 'przytłaczającej większości' przestępnych?

Czyli mam rozumieć: (moc zbioru N)/(moc zbioru continuum)?

Sam nie wiem. Jednak skoro liczb algebraicznych jest w odcinku bardzo mało w porównaniu z niealgebraicznymi, to i prawdopodobieństwo trafienia akurat w wymierną powinno być znikome.

[Niepokojąca wydaje się myśl, że przyjmuje się bezkrytycznie model odcinka jako ścisłe ułożenie liczb rzeczywistych - tak, jakby zbiór mocy c (continuum) wyczerpywał wszystkie możliwe wielkości. Tymczasem od czasów Cantora wiadomo, że zbiór dowolnej mocy (np. 2^c) da się uporządkować czyli zawrzeć w odcinku.
W czasach Pitagorasa sądzono, że wszystkie liczby są wymierne - wymierność w języku greckim znaczyła bodaj tyle, co sensowność lub logiczność - zatem niewymierne zdawały się bezsensowne. Dziś przyjmuje się chyba, iż wszystkie liczby są rzeczywiste(?) (zespolone, kwaterniony, itd.. to tylko kosmetyczne rozszerzenia - bazujące na zgodności działań a nie wykraczające ponad c), podczas gdy może ich (liczb) być w odcinku dowolnie wiele - np. 2^2c (chyba)..
Pół biedy, że wymierne były dość dobrze zdefiniowane jako proporcje naturalnych, natomiast tzw. rzeczywiste nie mają na tyle weryfikowalnej definicji, by móc potwierdzić ich "rzeczywistość" lub wskazać .. chmm .. nierzeczywiste (nie mieszczące się w continuum). W moim odczuciu zamiast rozwoju teorii liczb doszło do "zaklajstrowania" tego obszaru badań wbrew metodzie naukowej nakazującej falsyfikalność własnych tez (wbrew zaleceniom Poppera).]

P.S.
Mam nadzieję, że nie nazbyt daleko odbiegam od tematu wątku, ale podstawy matematyki - szczególnie teoria mnogości i teoria miary - zdają się tak niesłychanie fascynujące (żałuję, że nie zająłem się nimi profesjonalnie).

>Tymczasem od czasów Cantora wiadomo, że zbiór dowolnej mocy (np. 2c) da się uporządkować czyli zawrzeć w odcinku.
Myślałem, że odcinek jest z definicji podzbiorem zbioru liczb rzeczywistych. Jak definiujesz odcinek?

>Jak definiujesz odcinek?
Trudna rada, skoro to fragment prostej, której się w klasycznych konstrukcjach nie definiuje. Z grubsza wystarczy chyba wyobrażać go sobie jako zbiór kolejno ułożonych punktów taki, że pomiędzy dwoma dowolnymi zawsze się znajdzie inny z tegoż zbioru. W efekcie miedzy "sąsiednimi" punktami odległość znika (staje się dowolnie mała).

[W myśl takiego określenia odcinek złożony z samych liczb wymiernych byłby całkiem niezły.]

>Niepokojąca wydaje się myśl, że przyjmuje się bezkrytycznie model odcinka jako ścisłe ułożenie liczb rzeczywistych - tak, jakby zbiór mocy c (continuum) wyczerpywał wszystkie możliwe wielkości.
>[W myśl takiego określenia odcinek złożony z samych liczb wymiernych byłby całkiem niezły.]
W takim razie chyba już nie masz powodów do niepokoju? Zbiór liczb wymiernych ma moc alef zero.

Tzn. że jedni mogą wyobrażać sobie odcinek jako zbiór mocy alef_0, a inni twierdzić, że zawiera continuum punktów i nie ma sprawy?

>Tzn. że jedni mogą wyobrażać sobie odcinek jako zbiór mocy alef_0, a inni twierdzić, że zawiera continuum punktów i nie ma sprawy?
Jeśli jedni i drudzy definiują odcinek tak samo, to albo jedni albo drudzy muszą się mylić.
Odcinek w kartezjańskim układzie współrzędnych jest zbiorem mocy continuum, i nie może zawierać zbiorów większej mocy niż continuum. Dlatego zapytałem cię co masz na myśli gdy piszesz 'odcinek'.