Jeśli w systemie istnieje możliwość udowodnienia prawdziwości zdania "a", którego zaprzeczenie "A" również jest prawdziwe to system albo jest sprzeczny wewnętrznie, albo istnieją zdania, których prawdziwości nie da się dowieść z aksjomatów danego systemu.
A więc aksjomaty albo są nie słuszne, albo nie wpisują się w ramy systemu(są sprzeczne z innymi aksjomatami).
Dodatkowo dochodzi aspekt skali dopuszczalności błędu w danym systemie, tj. zmiennej nie zależnej od praw wynikającej z działań losowych.

> "nie da się niesprzeczności systemu wykazać za pomocą środków tego systemu" ?

Tak, ten wniosek wynika z pokazania przez Goedla, że można utworzyć istotnie więcej twierdzeń niż ich dowodów.

Mimo, że pewne twierdzenia w ramach systemu zawierającego aksjomatykę liczb naturalnych są prawdziwe nie da się tego wykazać za pomocą aksjomatów systemu.

Mam nadzieję, że o tę kwestię chodziło.

Pozdrawiam

---

Rzeczywistość to coś, co nie znika, kiedy przestaje się w to wierzyć.
P.K.Dick

Naprawdę wolno twierdzić, że są prawdziwe pomimo braku dowodu?

>Naprawdę wolno twierdzić, że są prawdziwe pomimo braku dowodu?
Można policzyć "siłowo", że coś występuje, a nie znaleźć z aksjomatów wytłumaczenia danego faktu. Zdaje się, że Goedel coś takiego znalazł i dlatego jego twierdzenia uznaje się za słuszne, ale nie potrafię przytoczyć tu jego dowodu.
Z powyższego wynika, że taki znaleziony fakt należałoby traktować jako nowy aksjomat. I zapętlając się, dochodzimy do wniosku, że mamy nieskończoność takich faktów, tak jak zbiór liczb naturalnych jest nieskończony.

Niektórzy twierdzą, że da się poszerzyć aksjomaty dla liczb naturalnych w taki sposób, by nie produkować nowych aksjomatów w nieskończoność - czyli de fakto, że dzisiejsza aksjomatyka liczb naturalnych nie jest pełna. (To jakby, stosując analogię, twierdzenie, że Goedel widział epicykle na epicyklach, a da się "wynaleźć" elipsy i będzie w porządku.)

Jeszcze przykład. Na dzień dzisiejszy nie umiemy znaleźć porządku w ułożeniu liczb pierwszych. Każda nowa jest zaskoczeniem. Przed sprawdzeniem nie da się powiedzieć: to powinna być liczba pierwsza. Przy czym nie potrafimy też powiedzieć nic w drugą stronę: że nie powinna. Goedel musiał znaleźć jakiś tego rodzaju fakt, ale o którym wiadomo, że ani w jedną ani w drugą, mając te aksjomaty, które mamy, nie da się nigdy powiedzieć.

Pozdrawiam

---

Rzeczywistość to coś, co nie znika, kiedy przestaje się w to wierzyć.
P.K.Dick

>>Naprawdę wolno twierdzić, że są prawdziwe pomimo braku dowodu?
>Można policzyć "siłowo", że coś występuje, a nie znaleźć z aksjomatów wytłumaczenia danego faktu. Zdaje się, że Goedel coś takiego znalazł i dlatego jego twierdzenia uznaje się za słuszne, ale nie potrafię przytoczyć tu jego dowodu.

>Goedel musiał znaleźć jakiś tego rodzaju fakt, ale o którym wiadomo, że ani w jedną ani w drugą, mając te aksjomaty, które mamy, nie da się nigdy powiedzieć.

Z tego, co czytałem - twierdzenia Goedla należą do "metamatematyki" i do swoich wniosków doszedł na poziomie rozważań logicznych nad aksjomatyką, a nie poprzez podanie konkretnego przykładu niedowodliwego twierdzenia. Nie słyszałem, nawiasem mówiąc, by takie twierdzenie znaleziono. Ale też możliwe, że uda się kiedyś znaleźć metodę tworzenia pewnej klasy takich twierdzeń, to byłoby ciekawe!

---

Nie Bóg, lecz Człowiek potrzebuje obrony.

en.wikiped(*)f_sketch_for_the_first_theorem
Po angielsku wyjaśniają "conieco".

Pozdrawiam

---

PiS jest straszne... boję się go po obejrzeniu rozmowy u Lisa..

>>>Naprawdę wolno twierdzić, że są prawdziwe pomimo braku dowodu?
>>Można policzyć "siłowo", że coś występuje, a nie znaleźć z aksjomatów wytłumaczenia danego faktu. Zdaje się, że Goedel coś takiego znalazł i dlatego jego twierdzenia uznaje się za słuszne, ale nie potrafię przytoczyć tu jego dowodu.
>>Goedel musiał znaleźć jakiś tego rodzaju fakt, ale o którym wiadomo, że ani w jedną ani w drugą, mając te aksjomaty, które mamy, nie da się nigdy powiedzieć.
>Z tego, co czytałem - twierdzenia Goedla należą do "metamatematyki" i do swoich wniosków doszedł na poziomie rozważań logicznych nad aksjomatyką, a nie poprzez podanie konkretnego przykładu niedowodliwego twierdzenia. Nie słyszałem, nawiasem mówiąc, by takie twierdzenie znaleziono.

Są, są.

en.wikiped(*)_statements_undecidable_in_ZFC

Dzięki za wyjaśnienia. Najlepiej chyba przemówiło do mnie
tłumaczenie Złotka z wyjątkiem końcówki. Mam znowu dwie sprawy:

1. Czy przykładem na to twierdzenie może być sytuacja z różnymi
typami geometrii tzn. w geometrii euklidesowej konstruuje się kwadraty,
trójkąty o kątach 60, a w nieeuklidesowej nie ma czegoś takiego jak
kwadrat czy trójkąt. Czy więc to, że nie ma kwadratów i trójkątów
w potocznym rozumieniu tych słów jest ową obcą treścią, która
po dołączeniu do aksjomatów geometrii Euklidesa wprowadziłaby sprzeczność?

2. Czy to, że niesprzeczności danego systemu nie można wykazać za pomocą jego samego,
można porównać do kontrolowania prawidłowości firmy? Na przykład firmę kontroluje
urząd skarbowy, ale jego prawidłowości też nie jesteśmy na sto procent zapewnić i tak
do nieskończoności?

>1. Czy przykładem na to twierdzenie może być sytuacja z różnymi
>typami geometrii tzn. w geometrii euklidesowej konstruuje się kwadraty,
>trójkąty o kątach 60, a w nieeuklidesowej nie ma czegoś takiego jak
>kwadrat czy trójkąt. Czy więc to, że nie ma kwadratów i trójkątów
>w potocznym rozumieniu tych słów jest ową obcą treścią, która
>po dołączeniu do aksjomatów geometrii Euklidesa wprowadziłaby sprzeczność?

Rozumienie potoczne, Euklidesowe i nieeuklidesowe (np. Łobaczewskie) trójkąta to trzy różne rozumienia, czyli trzy różne pojęcia i nie koegzystują w ramach żadnego systemu. Dla geometrii nie ma znaczenia czy cokolwiek istnieje w potocznym rozumieniu tego czegoś.

>2. (...) firmę kontroluje urząd skarbowy, ale jego prawidłowości też nie jesteśmy na sto procent zapewnić i tak
>do nieskończoności?
>

Raczej, że firma może zawsze podjąć działanie, o którym nie ma mowy w żadnym kodeksie. Ale to i tak mętne przybliżenie.
Roman Murawski "Współczesna filozofia matematyki"

>Witajcie,
>czy mógłby ktoś przejrzyście wytłumaczyć, jak należy rozumieć twierdzenie Goedla?

Tak samo jak paradoks kłamcy. pl.wikipedia.org/wiki/Paradoks_kłamcy

---

Jest nie do pomyślenia, by miłość naszego życia miała być czymś lekkim, czymś bez wagi.

Czy ta analogia z urzędem skarbowym jest poprawna? Jeśli nie, to dlaczego? Jeśli tak, to proszę o odstąpienie od uzasadnienia

O rany, eduardeessa, mnie w zasadzie na tym forum już nie ma, ale to co tu zobaczyłem tak mną potrząsnęło, że stwierdziłem: nie, nie mogę ciebie tak zostawić

>Dzięki za wyjaśnienia. Najlepiej chyba przemówiło do mnie tłumaczenie Złotka z wyjątkiem końcówki

Ze wszystkich podanych tu wyjaśnień wybrałaś najgorsze. Złotek mówi tak:

>Jeśli w systemie istnieje możliwość udowodnienia prawdziwości zdania "a", którego zaprzeczenie "A" również jest prawdziwe to system albo jest sprzeczny wewnętrznie, albo istnieją zdania, których prawdziwości nie da się dowieść z aksjomatów danego systemu.

Czyli: jeśli system dowodzi jakiegoś fałszu, to (system jest sprzeczny lub czegoś nie dowodzi).

I to ma być sformułowanie twierdzenia Gödla. Ludzieeee‼! [chlasta się żyletką i brzytwą poprawia] Następnik tej implikacji jest trywialnie prawdziwy: o każdym systemie jest prawdą, że jest on sprzeczny lub czegoś nie dowodzi. Dowód tego jest szczytem banału i żadnego Gödla do tego nie potrzeba (sprawę załatwia prosta obserwacja: system jest sprzeczny dokładnie wtedy, gdy dowodzi każdego zdania).

No dobrze, tabletki uspokajające wzięte, a teraz powoli.

>jak należy rozumieć twierdzenie Goedla?

Zależy które. Bo twierdzenia limitacyjne są dwa. Nazywają się - przyznaję, że niezbyt pomysłowo - pierwsze i drugie.

Zacznijmy od pierwszego. Wyjaśnienie poglądowe. (Dla pedantów: będzie to dotyczyło raczej wersji Rossera - w żadną omega-niesprzeczność nie będę się bawił).

Wyobraź sobie, że budujesz system dowodzenia dla arytmetyki liczb naturalnych (dodawania i mnożenia). System określasz w taki sposób, by mieć rozstrzygalne pojęcie dowodu. Co to znaczy? Znaczy to mniej więcej tyle: jak ktoś wyśle ci maila i stwierdzi "w tym mailu przesłałem ci dowód twierdzenia w twoim systemie", to w skończonej liczbie kroków będziesz umiała sprawdzić, czy to co ci przysłał jest rzeczywiście dowodem. Jak nauczyciel na klasówce: umiesz sprawdzić, czy rozwiązanie jest poprawne. Załóżmy, że masz taki system. Załóżmy dodatkowo, że twój system dowodzi wystarczająco wielu prawd arytmetycznych (można to ująć w postaci ścisłego warunku, ale nie będę się nad tym rozwodził). Wtedy:

(*) Jeśli twój system jest niesprzeczny, to istnieje takie zdanie A, że twój system nie dowodzi ani A, ani negacji A.

Skoro albo A, albo negacja A jest prawdą, otrzymujemy: system nie dowodzi jakiejś prawdy arytmetycznej. Intuicyjnie: choćbyś nie wiem jak się starała, nie przykryjesz swoim systemem zbioru wszystkich prawd. Pełna prawda pozostanie poza twoim zasięgiem, choćbyś stawała na głowie - choćbyś dowolnie poszerzała swoją aksjomatykę (zachowując rozstrzygalne pojęcie dowodu).

>Czy jest na przykład poprawna taka interpretacja: "nie da się niesprzeczności systemu wykazać >za pomocą środków tego systemu"?

To jest drugie twierdzenie limitacyjne. Różne od pierwszego. Mówi ono:

(**) Jeśli twój system jest niesprzeczny, to twój system nie dowodzi, że (twój system jest niesprzeczny).

Utożsamianie ze sobą obu twierdzeń nie jest dobrym pomysłem. Przy (**) pojawiają się kwestie, których przy (*) w ogóle nie ma potrzeby rozważać. Przede wszystkim: żeby (**) w ogóle miało sens, to musisz przedstawić wyrażenie "twój system jest niesprzeczny" jako pewne zdanie "Con" języka twojego systemu (na przykład arytmetyki liczb naturalnych). Co to jest za zdanie? Co to znaczy, że wyraża ono niesprzeczność twojego systemu? Tu nie ma jednej odpowiedzi - okazuje się, że można konstruować istotnie różne zdania arytmetyczne, które (w nieco różnych sensach) "wyrażają" niesprzeczność twojego systemu. Okazuje się, co więcej, że niektóre z tych zdań "wyrażających niesprzeczność twojego systemu" rzeczywiście nie będą w twoim systemie dowodliwe (o nich mówi (**)), inne natomiast będą twierdzeniami twojego systemu! Dowód (**) jest nieco bardziej złożony niż dowód (*), a poprawność całego rozumowania zależy w istotny sposób od wyboru zdania "Con". Ostatecznie: to, co podałaś, to intuicyjne sformułowanie drugiego twierdzenia limitacyjnego. Nie pierwszego.

Pozdrawiam wszystkich, a Big Żyda najcieplej

---

But little they cared for the Native Press
The worn white soldiers in Khaki dress

Jeeezuuu, to tego uczycie się na wykładach z filozofii? W ten sposób nigdy nie zostanę racjonalistą. Mało tego, zacznę podważać mój ateizm. Czy ateista może obyć się podstawami nauki, która wciąż szuka odpowiedzi? Please!

---

www.youtub(*)?v=8ycCV57VM6c&feature=related

>Jeeezuuu, to tego uczycie się na wykładach z filozofii?

Sorki, ale twierdzenia Gödla to jest matma, a nie filozofia. W poprzednim poście nic o filozofii nie było.

>W ten sposób nigdy nie zostanę racjonalistą. Mało tego, zacznę podważać mój ateizm.

Taż to panie szok! Wy Fiedorek lepiej nie chodźcie nigdzie poza racjonalista.pl!!!

>Czy ateista może obyć się podstawami nauki, która wciąż szuka odpowiedzi? Please!

Please, czy znajdzie się taka co by to na ojczysta mowa przetłumaczyć? Bo dla mnie obca język za trudna!

Jeszcze raz wszystkich pozdrawiam

---

But little they cared for the Native Press
The worn white soldiers in Khaki dress

>>Jeeezuuu, to tego uczycie się na wykładach z filozofii?
>Sorki, ale twierdzenia Gödla to jest matma, a nie filozofia. W poprzednim poście nic o filozofii nie było.
>>W ten sposób nigdy nie zostanę racjonalistą. Mało tego, zacznę podważać mój ateizm.
>Taż to panie szok! Wy Fiedorek lepiej nie chodźcie nigdzie poza racjonalista.pl!!!
>>Czy ateista może obyć się podstawami nauki, która wciąż szuka odpowiedzi? Please!
>Please, czy znajdzie się taka co by to na ojczysta mowa przetłumaczyć? Bo dla mnie obca język za trudna!
>Jeszcze raz wszystkich pozdrawiam
My Fiedorek, parliamo tante lingue! Se, wy jederman, vogliete imparare qualche lingua un po diferente dalla lingua pollaca, fate mi sapere. Zrobimy co możemy, but not miracoli. So, maybe oprócz filozofii, warto zauważyć że inni nie mają takich głów, aby wszystko pojąć i wszystko wiedzieć. Nu szto towariszcz Fiedorek, dumajecje szto on poniał? Poniał, poniał jeno czy zrozumienie okaże?

---

Blade Loki
www.youtube.com/watch?v=j8VCuRaa8W4&NR=1

Taka jest natura nieskończoności, że jest nieskończona i nieweryfikowalna. Choć z niektórych definicji jest. Ale nie potrafimy opisać wartości czasu. Więc nie wpisujemy. Gdyby dodać do tej postnej matematyki trochę życia i wprowadzić kilka nowych wartości to wyszłyby niezłe jaja.