Mamy dwa wzory na efekt Dopplera:

A. relatywistyczny: sqrt[(1-v)/(1+v)]
jak widać z tylko jedną zmienną v, zwaną prędkością względną.
przyjmujemy za jednostkę c = 1, bo wtedy nie trzeba tego dzielić wszędzie przez c.

B. klasyczny: (1+vo)/(1+vs)
który zawiera aż dwie zmienne: vo i vs - prędkość odbiornika i źródła.

Pojawia się problem typu:
który wzór jest poprawny, a może oba są dobre... jakim cudem?!

To jest proste, wystarczy porównać oba wzory i wyliczyć... co i jak.

Jednak najpierw musimy uzgodnić zegary!
Wzór klasyczny podaje wynik jakby 'surowy', to znaczy:
tam mamy już uzgodnione zegary, bowiem w klasyce t' = t,
czyli czas jest jednakowy zawsze (co nie jest jawnie pisane we wzorach!).

Zatem należy wprowadzić jawnie te korekty czasu!

źródło jedzie z prędkością vs, zatem ono 'zwalnia' sqrt(1-vs^2) razy (emituje sygnały z mniejszą częstotliwością); i podobnie z odbiornikiem, którego zegar zwalnia sqrt(1-vo^2) razy, więc on faktycznie rejestruje powiększoną częstotliwość: 1/sqrt(1-vo^2) razy.

Składamy to razem i otrzymujemy wzór:
B': (1+vo)/(1+vs) * sqrt[1-vs^2]/sqrt(1-vo^2)
co można jeszcze trochę uprościć, bo tam się skracają podobne wyrazy:

klasyka: sqrt[ (1-vs)/(1+vs) * (1+vo)/(1-vo) ]

Teraz możemy porównać obie wersje (pierwiastki się znoszą):
(1-vs)/(1+vs) * (1+vo)/(1-vo) = (1-v)/(1+v)

i z tego wyliczamy v, np. za pomocą wolframa:
www.wolframalpha.com/input/?i=(1-s)%2F(1%2Bs)*(1%2Bo)%2F(1-o)%3D(1-v)%2F(1%2Bv);+solve+v

wynik:
v = (vs-vo) / (1-vs.vo)

jak widać, jest to dobrze znany wzór na sumowanie prędkości z STW.
Zatem oba wzory są i d e n t y c z n e... przy prostym założeniu że zamiast klasycznej prędkości względnej: v = vs - vo,
użyjemy lekko zmodyfikowanej wersji (tzw. relatywistycznej): v -> v / (1-vs.vo);

Należy tu zauważyć, że prędkości (względne) wyznaczane z pomiarów przesunięcia Dopplera, i tak wprost - z relatywistycznej wersji, dają faktycznie nieprawidłowe wyniki, bowiem one są obarczone błędem typu:
(1-vs.vo), dokładnie.. co może być, i pewnie jest - zgodnie z prawem Murphy'ego, przyczyną wielu anomalii pomiarowych.