W historii matematyki, a zwłaszcza takiej niezmiernie frapującej dziedziny jaką jest filozofia Królowej Nauk, ważne miejsce zajmuje dyskusja prowadzona przez najwybitniejszych luminarzy tej dziedziny wiedzy dotycząca prawdziwości (zasadności) wprowadzenia do aksjomatyki teorii mnogości tzw. aksjomatu (pewnika) wyboru.
Przypomnę treść tego zdania - jest ona intuicyjnie łatwo uchwytna również dla osób nie zajmujących się matematyką, a cała dyskusja była napędzana pozorną oczywistością tego założenia, oczywistością, która wszelako przestawała nią być w zetknięciu z konkretnymi zbiorami, które matematycy potrafili zdefiniować (i udowodnić, że są niepuste, to znaczy zawierają co najmniej jeden element) a w których żadnego takiego elementu nie potrafili wskazać (określić jednoznacznie).

Aksjomat wyboru:

   Mając dowolnie wiele różnych zbiorów, które nie mają ze sobą nic wspólnego, można wziąć dokładnie po jednym elemencie z każdego z nich i utworzyć w ten sposób nowy zbiór.

   Dla rozważań w tym wątku przyjmę mocniejszą wersję tego pewnika (nie wiem, czy można ją wyprowadzić z klasycznego pewnika wyboru, ale intuicyjne podstawy do jego przyjęcia wydają się równie mocne):

   Mając dowolnie wiele różnych zbiorów, które nie mają ze sobą nic wspólnego, można wziąć co najmniej po jednym elemencie z każdego z nich i utworzyć w ten sposób nowy zbiór.

   Chciałbym skupić się na pozamatematycznych argumentach, które czynią aksjomaty teorii mnogości w naszym psychologicznym odczuciu zasadnymi i dającymi się powiązać z jak najbardziej praktycznymi zastosowaniami.

   Weźmy bowiem samo pojęcie zbioru: każdy bibliotekarz, urzędnik czy choćby osoba robiąca porządki z plikami na swoim komputerze uzna ponad wszelką wątpliwość słuszność segregowania książek na półkach według tematyki (literatura polska, obca, pamiętniki, poezja, itp.) , nazwisk autorów czy tworzenia katalogów bibliotecznych; urzędnicy używają segregatorów pomagających ogarnąć wielość dokumentów i ich uporządkowanie według spraw, których dotyczą; wreszcie większość plików na komputerach, by nie wprowadzać bałaganu, dzielimy na foldery. To wszystko są bardzo realne i praktyczne działania, których wspólną cechę przypisywania różnych przedmiotów do pewnego bytu wiążącego je ze sobą nazywamy zbiorem.

   Rozważmy też istnienie zbioru pustego - to ciekawy przykład o tyle, że laikowi może się wydawać taki postulat czystym formalizmem. Jednak tak nie jest - gdyby tak było, wszystkie tabele, zawierające pola, w których nie ma żadnego wpisu musiałyby być przedstawiane w taki sposób, by tego pola w nich w ogóle nie było. Nietrudno zauważyć, że takie postępowanie byłoby nie tylko niepraktyczne, ale zazwyczaj po prostu niemożliwe.

   Mam nadzieję, że Czytelnik rozumie już ideę mojego wyobrażenia o "uzasadnianiu" pewników teorii mnogości przykładami praktycznymi. Przejdźmy więc do aksjomatu wyboru.

   We wrześniu ubiegłego roku obiegła świat dziwna wiadomość o zamieszkach w holenderskim miasteczku Haren, do których doszło po tym, jak pewna nastolatka pomyłkowo rozesłała zaproszenie na swoją imprezę urodzinową do ok. 30000 swoich znajomych na Facebooku. W mieście doszło do poważnych zamieszek, ok. 500-osobowy oddział policji nie zapanował nad sytuacją, wiele osób zostało rannych, splądrowano i podpalono wiele sklepów. Kilka dni temu miasto Warszawa niespodziewanie wycofało się z planów zamknięcia nocnych kursów metra - w zgodnej opinii komentatorów po tym, jak na facebookowej stronie "Impreza na koniec nocnych kursów metra" zgłosiło chęć wzięcia udziału niemal 60000 uczestników.

   Otóż w mojej opinii są to przykłady praktycznego działania aksjomatu wyboru. Jednym z ubocznych skutków działań Internetu jest ukazanie ukrytych matematycznych mechanizmów rządzących rzeczywistością społeczną.

   Zauważmy bowiem, że Facebook swoją popularność zawdzięcza jego zdolności do szybkiego łączenia ludzi, zwłaszcza tych, którzy są od siebie oddzieleni fizyczną barierą odległości. Można wręcz powiedzieć, że komunikacyjna efektywność tego medium społecznościowego (jak i internetu w ogóle) uzyskuje swoje maksimum wtedy, kiedy osoby komunikujące się ze sobą nie mają zwykle możliwości fizycznego kontaktu. A jednak potrzeba fizycznej obecności osoby, z którą się komunikujemy nadal jest jedną z silnych psychologicznych potrzeb zdecydowanej większości osób, której sam internet nie jest w stanie zaspokoić, jakkolwiek potrafi wzbudzić.

   I tu dochodzimy do bardzo praktycznego przełożenia owej silniejszej wersji aksjomatu wyboru, którą zaproponowałem, na zachowania społeczne. Otóż wysłanie takiego sygnału do tysięcy odbiorców jest niczym innym, jak zdefiniowaniem zbioru, nazywanego w teorii mnogości selektorem, do którego (w tej silniejszej wersji) możemy wybierać dowolne elementy z każdego z izolowanych od siebie nawzajem zbiorów. W przypadku miasteczka Haren owe niepowiązane ze sobą zbiory to są środowiska młodych ludzi, którzy nie mają zwykle ze sobą kontaktu. Wystarczy jeden taki sygnał, by - dla hecy, ale też i z powodu niezaspokojonej przez internet społecznej potrzeby "bycia razem" - ruszyła lawina, nad którą trudno jest zapanować. Wtedy zaczynają jej towarzyszyć inne, groźniejsze jeszcze zjawiska - chuliganeria i pragnienie adrenaliny wyrażające się w ogólnej demolce, dla której stworzenie tego zgromadzenia stało się katalizatorem.

   Nie ulega wątpliwości, że to, iż w praktyce społecznej mamy do czynienia ze zbiorami skończonymi nie zmienia w żaden sposób jakościowego charakteru tego zjawiska: co więcej, podobieństwo jego do istoty aksjomatu wyboru wyraża się również i w tym, że nie potrafimy często zdefiniować żadnego z elementów tego nowego zbioru - selektora - zdefiniować w rozumieniu profilu psychologicznego, który by miał określać przyczyny, dla których dana osoba bierze udział w takim spontanicznym zgromadzeniu. Istotnie, często wydaje się to nie mieć nic wspólnego z żadnymi konkretnymi przyczynami poza jedną - chęcią "bycia razem"; a więc – „uczynienia zadość pewnikowi wyboru”.