>Czy istnieją naturalne ale i różne liczby: a, b, c, które spełniają równanie:
>a^3 - b^3 = c^2 ?
>wbrew pozorom to jest przepotężna sprawa.

a = 4 b = 0 c = 8
a = 8 b = 7 c = 13
a = 9 b = 0 c = 27
a = 10 b = 6 c = 28
a = 14 b = 7 c = 49
a = 16 b = 0 c = 64
a = 25 b = 0 c = 125
a = 28 b = 7 c = 147
a = 32 b = 28 c = 104
a = 33 b = 6 c = 189
a = 36 b = 0 c = 216
a = 40 b = 24 c = 224
a = 49 b = 0 c = 343
a = 56 b = 28 c = 392
a = 57 b = 38 c = 361
a = 64 b = 0 c = 512
a = 65 b = 26 c = 507
a = 71 b = 23 c = 588
a = 72 b = 63 c = 351
a = 74 b = 47 c = 549
a = 78 b = 26 c = 676
a = 81 b = 0 c = 729
a = 90 b = 54 c = 756
a = 105 b = 104 c = 181
a = 114 b = 110 c = 388
a = 128 b = 112 c = 832

.

Bardzo fajnie, tyko te zera musisz odrzucić, bo tu chodzi o naturalne: 1,2,3, ...

Teraz spróbuj zrobić:
a^3 - b^3 = 2c^2

a wtedy będzie już blisko... sedna sprawy.

>Bardzo fajnie, tyko te zera musisz odrzucić, bo tu chodzi o naturalne: 1,2,3, ...

Ale zero jest jak najbardziej naturalne,

inaczej w wielu twierdzeniach matematycznych nie stosowano by określenia "naturalne dodatnie" aby to zero ze zbioru naturalnych odrzucić

.

>>Bardzo fajnie, tyko te zera musisz odrzucić, bo tu chodzi o naturalne: 1,2,3, ...
>Ale zero jest jak najbardziej naturalne,
>inaczej w wielu twierdzeniach matematycznych nie stosowano by określenia "naturalne dodatnie" aby to zero ze zbioru naturalnych odrzucić

To są tylko konsekwencje frajerskich urojeń:

zero nie jest naturalne, bo nie istnieje coś takiego w naturze,
np. zero kartofli, znaczy że nie ma ich wcale - one nie istnieją!

Ktoś próbował wprowadzić to zero do naturalnych... z powodu swojej ignorancji matematycznej.

>Ktoś próbował wprowadzić to zero do naturalnych... z powodu swojej ignorancji matematycznej.

Ktoś to mało powiedziane.

Wszystkie formalne definicje włączają zero do naturalnych:

en.wikiped(*)ural_number#Formal_definitions

podobnie jak standard ISO 80000-2

>zero nie jest naturalne, bo nie istnieje coś takiego w naturze,
>np. zero kartofli, znaczy że nie ma ich wcale - one nie istnieją!

Przede wszystkim zero kartofli nie jest zerem, jeden kartofel nie jest jedynką, dwa kartofle nie są dwójką itd. (liczba nie jest tożsama z żadnym zbiorem rzeczy, które mają daną liczbę).

W związku z tym żadna liczba bezpośrednio w naturze nie występuje (przynajmniej jako rzecz lub zbiór rzeczy).

To co naprawdę jest liczbą, to tylko pewna własność / cecha, którą pewne zbiory występujące w naturze mają wspólną (którą to nasz umysł wyabstrahował z tych zbiorów).

Przykładowo:

a) mamy zbiór A składający się z dwóch jabłek

b) mamy zbiór B składający się z dwóch kartofli

Błędem jest utożsamienie liczby 2 ze zbiorem A lub B. Liczba 2 to jedynie pewna wspólna cecha tych dwóch zbiorów oraz wszystkich innych zbiorów, którym przypisujemy liczbę 2.

.

Naturalne były od 1 i tak pozostanie.

Pewnie Hilbert sobie dodał zero, no i tak używają.

Masz zresztą zapisane:
pl.wikipedia.org/wiki/Liczby_naturalne

"To, czy zero jest liczbą naturalną, jest kwestią umowy. W matematyce nie przyjęto ogólnie żadnej konwencji dotyczącej przynależności zera lub jej braku do liczb naturalnych".

Jak widać to jest kolejny produkt relatywizmu: postulujemy sobie c = const, czyli sprzecznie z faktami (bo tak nam wygodnie), no i uprawiamy pseudomatematykę - tak to działa.

Gdyby nic nie istniało (w tym świecie), wtedy zero byłoby naturalne.
No, ale za późno: już coś tu istnieje - nie?

Jeszcze à propos tego zera ,

fragment książki "Introduction to Metamathematics":



.

proszę bardzo:
a=5 b=3 c=7

>Bardzo fajnie, tyko te zera musisz odrzucić, bo tu chodzi o naturalne: 1,2,3, ...
>Teraz spróbuj zrobić:
>a^3 - b^3 = 2c^2
>a wtedy będzie już blisko... sedna sprawy.

a b c
80 48 448
66 12 378
64 56 208
57 55 97
56 14 294
45 27 189
39 13 169
28 14 98
20 12 56
16 14 26
5 3 7

>>Bardzo fajnie, tyko te zera musisz odrzucić, bo tu chodzi o naturalne: 1,2,3, ...
>>Teraz spróbuj zrobić:
>>a^3 - b^3 = 2c^2
>>a wtedy będzie już blisko... sedna sprawy.

>Teraz spróbuj zrobić:
>a^3 - b^3 = 2c^2

dam ci cos troche trudniejszego do zbruteforcowania

Rozwiaz:

Cytat:

dla p, q, r, s nalezacych do naturalnych dodatnich

.

>>Teraz spróbuj zrobić:
>>a^3 - b^3 = 2c^2
>dam ci cos troche trudniejszego do zbruteforcowania
>Rozwiaz:
>Cytat:

p^4 + q^4 + r^4 = s^4

>dla p, q, r, s nalezacych do naturalnych dodatnich

To jest zwyczajny czworościan prostokątny,
czyli tw. Pitagorasa dla bryły 3D.

A^2 + B^2 + C^2 = D^2;

gdzie: A, ... - pola tych trójkątów = ścian czworościanu prostokątnego.

Biorąc krawędzie przyprostokątne, np.: a, b i c,
wtedy mamy pola ścian x 2:

A = ab, B = ac, C = bc

a ten 4-ty trójkąt dopełniający ma boki:
sqrt z a^2+b^2, a^2+c^2, b^2+c^2,

zatem jego pole można łatwo wyliczyć i sprawdzić: D = ...

Generalnie Pitagoras dotyczy dowolnej liczby wymiarów.

>>>Teraz spróbuj zrobić:
>>>a^3 - b^3 = 2c^2
>>dam ci cos troche trudniejszego do zbruteforcowania
>>Rozwiaz:
>>Cytat:

p^4 + q^4 + r^4 = s^4

>>dla p, q, r, s nalezacych do naturalnych dodatnich
>To jest zwyczajny czworościan prostokątny,
>czyli tw. Pitagorasa dla bryły 3D.
>A^2 + B^2 + C^2 = D^2;
>gdzie: A, ... - pola tych trójkątów = ścian czworościanu prostokątnego.
>Biorąc krawędzie przyprostokątne, np.: a, b i c,
>wtedy mamy pola ścian x 2:
>A = ab, B = ac, C = bc
>a ten 4-ty trójkąt dopełniający ma boki:
> sqrt z a^2+b^2, a^2+c^2, b^2+c^2,
>zatem jego pole można łatwo wyliczyć i sprawdzić: D = ...
>Generalnie Pitagoras dotyczy dowolnej liczby wymiarów.

Ale wiesz, że to musi być w naturalnych dodatnich?

Bo znaleźć jakieś rozwiązanie w rzeczywistych to żaden problem.

Chodzi mi przynajmniej o jedną czwórkę w naturalnych dodatnich:

[p, q, r, s] = [?, ?, ?, ?]

taką, że spełnione jest p^4 + q^4 + r^4 = s^4

Masz taką czwórkę? (podpowiem, że jest takich nieskończenie wiele)

.

>Chodzi mi przynajmniej o jedną czwórkę w naturalnych dodatnich:
>[p, q, r, s] = [?, ?, ?, ?]
>taką, że spełnione jest p^4 + q^4 + r^4 = s^4
>Masz taką czwórkę? (podpowiem, że jest takich nieskończenie wiele)

To chyba ten skecz który dopiero dla milionów ma rozwiązania.

95800^4 + 217519^4 + 414560^4 = 422481^4

95800^4 przekracza 2^64, zatem tego nie wyliczysz bezpośrednio nawet na int64;
int128 byłby potrzebny.

Ja bym to tak rozwalił:
a^2 + b^2 + c^2 = d^2

gdzie: a,b,c i d są z przestrzeni kwadratów, a nie z naturalnych;

zatem teraz jedziemy kwadratami: 1,4,9,16,25, ...
co strasznie szybko pójdzie, bo już 1000-ny numer będzie tu milionem.

Ewentualnie: bierzemy przestrzeń tych złożonych Pitagorasa, co pójdzie jeszcze szybciej... a może i wyjdzie gotowy wzór.

>Ja bym to tak rozwalił:
>a^2 + b^2 + c^2 = d^2
>gdzie: a,b,c i d są z przestrzeni kwadratów, a nie z naturalnych;
>zatem teraz jedziemy kwadratami: 1,4,9,16,25, ...
>co strasznie szybko pójdzie, bo już 1000-ny numer będzie tu milionem.

Gdy kwadrat jest milionem, to p, q, r, s jest dopiero w zakresie tysiąca.

Ponadto te kombinacje trzeba sprawdzać dla 4 zmiennych.

Taki rozkład też chyba nic czasowo nie daje, bo te kwadraty trzeba obliczyć tak czy inaczej, niezależnie od tego czy są wewnątrz równania czy poza równaniem.

>To chyba ten skecz który dopiero dla milionów ma rozwiązania.

Istnieje jedno rozwiązanie w zakresie p, q, r, s < 10^6, więc przeszukanie 10^24 kombinacji gwarantuje jego znalezienie.

Trochę dużo jak na domowy komputer, chyba że faktycznie umiesz to uprościć.

>Ewentualnie: bierzemy przestrzeń tych złożonych Pitagorasa, co pójdzie jeszcze szybciej... a może i wyjdzie gotowy wzór.

To umiesz to znaleźć w sensownym czasie?

Prosiłbym konkretne rozwiązanie [p, q, r, s]

bez zbędnego "machania rękami"

EDIT: dobra, widzę że już zedytowałeś post i podałeś odp.

Tu jest pełne rozwiązanie:

sci-hub.se/https://doi.org/10.2307/2008781

wraz z parametryzacją wszystkich możliwych rozwiązań

.

Zatem ile tego jest do: 10^9 i dalej do 10^12?

do miliona masz: n^3 = 10^18 sprawdzeń a nie 10^24

Może z tego pójdzie łatwo:
en.wikipedia.org/wiki/Pythagorean_quadruple

biorąc te wzory dla:
a2 + b2 + c2 = d2

ale tu mamy do 4, więc należy to zwyczajnie podstawić i wyliczyć:

a = p^2 = m^2+n^2 - (p^2+q^2)
b = q^2 = 2(mq+np)
c = r^2 = 2(nq-mp)
d = s^2 = m^2+n^2 + p^2+q^2

z tego robimy sumę trójkątów:
a = p^2 = k^2 - l^2; czyli k^2 = m^2+n^2 i l^2 = ...

itd.

powinno to wyjść, bo wiadomo że to jest to samo:
każda ta czwórka p,q,r,s do 4 jest jednocześnie czwórką kwadratów a,b,c,d.

Zaraz to wyliczę...