>Xn + Yn = Zn
>Parzysta + Parzysta = Parzysta

takie coś akurat odpada, bo to zawsze można przeskalować - przez 2, raz lub kilka razy.

2n + 2m = 2o => n+m = o

zatem wtedy zawsze otrzymamy:
parzysta + nieparzysta = nieparzysta,
albo: nieparzysta + nieparzysta = parzysta.
.......

A samo tw. Fermata raczej łatwo udowodnić.

Spróbujemy zrobić to tak z marszu.

1. dla power = 2, czyli a^2+b^2 = c^2 mamy rozwiązanie:
a = m^2-n^2 i b = 2mn, wtedy c = m^2+n^2, zatem to jest ok.

a teraz spróbujmy sprawdzić czy istnieje: a^4+b^4 = c^4;

no i to jest całkiem łatwe udowodnić że nie ma,
bo gdyby istniały rozwiązania, wówczas z automatu byłby trójkąty prostokątne o bokach wedle wzoru z 1.:

a^2, b^2 i c^2, dla całkowitych a,b,c;

zatem teraz byłoby:
a^2 = m^2-n^2, b^2 = 2mn i c^2 = m^2+n^2

co jest oczywiście nieprawdą, bo tu wystarczy spojrzeć na:
a^2 = m^2-n^2 => a^2+n^2 = m^2, czyli to już jest prostokątny, ale mniejszy zawsze...
i z tego wynika, że gdyby istniał ten większy, wtedy zawsze musiałby istnieć ten mniejszy;

co akurat łatwo obalić, bo mnie ma mniejszego trójkąta Pitagorasa od 3,4,5: 9+16=25
........

No i ok.

dalej to już jest z górki.

2. k=3, czyli a^3+b^3 = c^3,

załatwiamy tak samo - za pomocą 1 i 2.

3 = 2*1.5, więc a^3 = (a^2)^1.5 = (a^1.5)^2

i teraz znowu musiałby istnieć trójkąt wg 1. o bokach: a^2,
ale wedle 2. nie ma takiego, więc koniec.

3. i finalnie dowolny power k można tak rozłożyć,
k = 2*p = 2 + k', ale wtedy nadal nie ma trójkąta o bokach: a^2,b^2,c^2 więc koniec dowodu wielkiego Fermata.

cbdu.

Może komuś się wydaje że to nie jest poprawny dowód tw. Fermata?

To proszę to obalić. haha!

i jeszcze raz - przypadek a^3 + b^3 = c^3

a^2 * a + b^2 * b = c^2 * c

X3: a^2 + b^2 b/a = c^2 c/a

wiadomo że nie ma takich rozwiązań, z uwagi na rozszerzenie na wymierne:

dla a^2 + b^2 = c^2 musi być:
a = m^2-n^2, b = 2mn, i c = m^2+n^2; dla dowolnych N: m>n>0;

z tego można przejść na wymierne, ale tylko jednym sposobem - poprzez skalowanie:

a = (m^2-n^2) / s; b = 2mn /s, i c = (m^2+n^2)/s

takie są wymierne trójkąty Pitagorasa, i tylko takie!

w związku z tym równanie wersji X3 nie może być spełnione.

I to samo dotyczy dowolnych k>2:

a^k + b^k = c^k,
zatem dla k>2, mamy p = k-2

a^2 * a^p + b^2 * b^p = c^2 * c^p
czyli:
a^2 + b^2 * (b/a)^p = c^2 * (c/a)^p

co jest niemożliwe oczywiście, bo to nie jest skalowany trójkąt Pitagorasa,
a tylko takie są tu dopuszczalne.
........

Jeszcze jakieś wątpliwości?

36/25 + 64/25 = 4
.........

finalizując - wielkie Tw. Fermata jest chyba równoważne z pytaniem:

czy istnieje kilka różnych trójkątów prostokątnych z takim samym bokiem?

i nie ma takich, np. weźmy: a=7,
a wtedy boki b i c są z automatu określone - jest tylko jedno rozwiązanie:

a = 4^2-3^2 = 16-9 = 7

wtedy b = 2*4*3 = 24, oraz c = 16+9=25

a=7 => b=24 i c=25

7^2 + 24^2 = 25^2

innych rozwiązań nie ma... i tylko o tym mówi to 'wielkie' tw. Fermata.

>Może komuś się wydaje że to nie jest poprawny dowód tw. Fermata?
>To proszę to obalić. haha!
>i jeszcze raz - przypadek a^3 + b^3 = c^3
>a^2 * a + b^2 * b = c^2 * c
>X3: a^2 + b^2 b/a = c^2 c/a
>wiadomo że nie ma takich rozwiązań, z uwagi na rozszerzenie na wymierne:
>dla a^2 + b^2 = c^2 musi być:
>a = m^2-n^2, b = 2mn, i c = m^2+n^2; dla dowolnych N: m>n>0;
>z tego można przejść na wymierne, ale tylko jednym sposobem - poprzez skalowanie:
>a = (m^2-n^2) / s; b = 2mn /s, i c = (m^2+n^2)/s
>takie są wymierne trójkąty Pitagorasa, i tylko takie!
>w związku z tym równanie wersji X3 nie może być spełnione.
>I to samo dotyczy dowolnych k>2:
>a^k + b^k = c^k,
>zatem dla k>2, mamy p = k-2
>a^2 * a^p + b^2 * b^p = c^2 * c^p
>czyli:
>a^2 + b^2 * (b/a)^p = c^2 * (c/a)^p
> co jest niemożliwe oczywiście, bo to nie jest skalowany trójkąt Pitagorasa,
>a tylko takie są tu dopuszczalne.
>........
>Jeszcze jakieś wątpliwości?
>36/25 + 64/25 = 4
>.........
> finalizując - wielkie Tw. Fermata jest chyba równoważne z pytaniem:czy istnieje kilka różnych trójkątów prostokątnych z takim samym bokiem?
>i nie ma takich, np. weźmy: a=7,
> a wtedy boki b i c są z automatu określone - jest tylko jedno rozwiązanie:
>a = 4^2-3^2 = 16-9 = 7
>wtedy b = 2*4*3 = 24, oraz c = 16+9=25
>a=7 => b=24 i c=25
>7^2 + 24^2 = 25^2
>innych rozwiązań nie ma... i tylko o tym mówi to 'wielkie' tw. Fermata.
>

Wszystko jest mozliwe.

>>Xn + Yn = Zn
>>Parzysta + Parzysta = Parzysta
>takie coś akurat odpada, bo to zawsze można przeskalować - przez 2, raz lub kilka razy.
>2n + 2m = 2o => n+m = o
>zatem wtedy zawsze otrzymamy:
>parzysta + nieparzysta = nieparzysta,
>albo: nieparzysta + nieparzysta = parzysta.

Bingo.

>.......
>A samo tw. Fermata raczej łatwo udowodnić.
>Spróbujemy zrobić to tak z marszu.
>1. dla power = 2, czyli a^2+b^2 = c^2 mamy rozwiązanie:
>a = m^2-n^2 i b = 2mn, wtedy c = m^2+n^2, zatem to jest ok.
>a teraz spróbujmy sprawdzić czy istnieje: a^4+b^4 = c^4;
>no i to jest całkiem łatwe udowodnić że nie ma,
>bo gdyby istniały rozwiązania, wówczas z automatu byłby trójkąty prostokątne o bokach wedle wzoru z 1.:
>a^2, b^2 i c^2, dla całkowitych a,b,c;
>zatem teraz byłoby:
> a^2 = m^2-n^2, b^2 = 2mn i c^2 = m^2+n^2
>co jest oczywiście nieprawdą, bo tu wystarczy spojrzeć na:
> a^2 = m^2-n^2 => a^2+n^2 = m^2, czyli to już jest prostokątny, ale mniejszy zawsze...
>i z tego wynika, że gdyby istniał ten większy, wtedy zawsze musiałby istnieć ten mniejszy;
>co akurat łatwo obalić, bo mnie ma mniejszego trójkąta Pitagorasa od 3,4,5: 9+16=25
>........
>No i ok.
>dalej to już jest z górki.
>2. k=3, czyli a^3+b^3 = c^3,
>załatwiamy tak samo - za pomocą 1 i 2.
>3 = 2*1.5, więc a^3 = (a^2)^1.5 = (a^1.5)^2
>i teraz znowu musiałby istnieć trójkąt wg 1. o bokach: a^2,
>ale wedle 2. nie ma takiego, więc koniec.
>3. i finalnie dowolny power k można tak rozłożyć,
>k = 2*p = 2 + k', ale wtedy nadal nie ma trójkąta o bokach: a^2,b^2,c^2 więc koniec dowodu wielkiego Fermata.
>cbdu.
>

Jest udostępnienie dla dowolnej potęgi.

>parzysta + nieparzysta = nieparzysta,
>albo: nieparzysta + nieparzysta = parzysta

Pitagorejskie są tylko typu:

nieparzysta + parzysta = niep.

co widać po rozwiązaniu:

a = m^2-n^2=nieparzysta zawsze bo m i n są względnie pierwsze,
np.: n=1 i m=2,3... dowolne, albo n=2 wtedy m =3,5, ... tylko nieparzyste...
n=3 => m = 4,5,7,8,10,11,13, ... wszystkie niepodzielne przez 3;
itd.

natomiast b = 2mn = zawsze parzysta

wyniki typu:
m=2 i n=4, 3,6; 3,9, 3,12; 7,56, itp. nic tu nowego nie wnoszą - to jest tylko skalowanie - o 2,3,...