>Dlaczego P(N)=c=|R| , czyli dlaczego moc zbioru potęgowego liczb naturalnych jest równa mocy zbiory
>liczb rzeczywistych? Chciałbym wyjaśnienia, dowodu. Wiem dlaczego P(N)>N, ale nie wiem dlaczego
>wynosi dokładnie c(continuum)? Dziękuję za odpowiedź.

Zdefiniujmy każdego rzeczywistego x funkcję f przekształcającą x w element P(N) w następujący sposób:

dla x dodatnich
f(x)=f(w zapisie cyfrowym z pominięciem przecinka ABCDEFG...)=
jeżeli A = 0 to zb pusty.
jeżeli A nie jest 0 to {Liczba złożona z A cyfr po cyfrze A} u f(ABCDEFG... bez pierwszych A+1 cyfr)

dla x niedodatnich
f(x) = {0} u f(-x)

Zdefiniujmy dla każdego zbioru B należącego do P(N) funkcję g przekształcającą B w liczbę rzeczywistą.

gdy B jest pusty
g(B) = 0
gdy B nie jest pusty
g(B) = g({a, b, c, ...}) = a + (cyfra jedności c)/10+ (cyfra jedności d)/100+...

zakładamy, że a, b, c oznacza kolejność rosnącą w dowolnym zbiorze (skończonym lub nie).

Zbiorem wartości funkcji f jest cały zbiór P(N)(dowód chyba prosty).
Zbiorem wartości funkcji g jest cały zbiór liczb rzeczywistych (dowód chyba też prosty).

więc

zbiór R ma niemniejszą moc niż P(N) oraz
zbiór P(N) ma niemniejszą moc niż R czyli
|P(N)|=|R|

edit:

w funkcji g zabrakło odwołania do elementu b liczb ujemnych, więc należy dodać np. że g(B) jest ujemne jeżeli b jest parzyste.

edit2: hmm... nad funkcją f też trzeba popracować... wypadałoby podać podstawę zapisu cyfrowego (musi być zmienny, inaczej byśmy się ograniczyli do liczb co najwyżej 9-cyfrowych). Max([ln|x|], 10) jako podstawa powinna wystarczyć.

Lepsze (prostsze?), jak mi sie wydaje, jest to.

Kazda liczba z odcinka [0,1) ma rozwiniecie dwojkowe 0,abcd... (gdzie a,b,c,d,... to zera lub jedynki). A zatem kazda liczba moze byc przeksztalcona na ciag zer i jedynek. Ale kazdy ciag zer i jedynek odpawiada funkcji charakterystycznej jakiegos podzbioru zbioru N i to wzajemnie jednoznacznie. Stad juz latwo dowiesc rownolicznosci zbioru P(N) i odcinka [0,1) (pewnie dla jeszcze wiekszego skrocenia mozna sie posluzyc twierdzeniem Cantora-Bernsteina).

Lepsze. Nie pomyślałem. Zawsze wydaje mi się, że będzie kolejne pytanie o równość |R|=|[0;1)|, ale to też nie jest problem.

>Lepsze. Nie pomyślałem. Zawsze wydaje mi się, że będzie kolejne pytanie o równość |R|=|[0;1)|, ale to też nie jest problem.

Tw. Cantora-Bernsteina daje odpowiedz natychmiast. R daje sie latwo przeksztalcic 1-1 w dowolny odcinek otwarty, np. (0,.5), korzystajac ze zlozenia funkcji arctan i liniowej. A oczywiscie kazdy odcinek daje sie wlozyc 1-1 w R. Stad rownolicznosc odcinka otwartego z R. A ze tamten jest otwarto-domkniety... to trzeba sie troche pogimnastykowac, ale nie jest to bardzo trudne. Trzeba sobie wybrac jakis punkt (brzegowy) i cofac sie z nim w nieskonczonosc...

---

Lepiej jest z mądrym zgubić, niż z głupim znaleźć.

>>Lepsze. Nie pomyślałem. Zawsze wydaje mi się, że będzie kolejne pytanie o równość |R|=|[0;1)|, ale to też nie jest problem.
>Tw. Cantora-Bernsteina daje odpowiedz natychmiast. R daje sie latwo przeksztalcic 1-1 w dowolny odcinek otwarty, np. (0,.5), korzystajac ze zlozenia funkcji arctan i liniowej. A oczywiscie kazdy odcinek daje sie wlozyc 1-1 w R. Stad rownolicznosc odcinka otwartego z R. A ze tamten jest otwarto-domkniety... to trzeba sie troche pogimnastykowac, ale nie jest to bardzo trudne. Trzeba sobie wybrac jakis punkt (brzegowy) i cofac sie z nim w nieskonczonosc...

Nie wiem czy zauważyłeś, ale w moim rozumowaniu też korzystam z tw. C-B (BTW dzięki za przypomnienie autorów).

Żeby dopełnić popełnionej tu wspólnie matematycznej paplaniny należy podać jawną postać bijekcji łączącej [0;1) i R.

a_x - ustalony, różnowartościowy ciąg liczb z odcinka (0, 1)
f(x) =
ctg(pi * a_1) dla x=0
ctg(pi * a_{n+1}) dla x=a_n
ctg(pi * x) dla pozostałych x

funkcja odwrotna:
f^{-1}(y) =
0 dla y = ctg(pi * a_1)
a_{n-1} dla y = ctg(pi * a_n)
arc ctg(pi * y) dla pozostałych y

Mam nadzieję że nie zanudziliśmy wszystkich a autor wątku dostał swoją odpowiedź.

>Mam nadzieję że nie zanudziliśmy wszystkich
Jeden ze wszystkich czytał z zaciekawieniem i bez odrobiny zrozumienia

>>Mam nadzieję że nie zanudziliśmy wszystkich
>Jeden ze wszystkich czytał z zaciekawieniem i bez odrobiny zrozumienia

   Po prostu udowodnili to, co Ty wiesz zapewne bez żadnego dowodu, a konkretnie, że liczb rzeczywistych jest tyle, ile możliwych podzbiorów liczb naturalnych.

   Pozdrawiam

---

Niech strój słów podkreśla urodę myśli

>   Po prostu udowodnili to, co Ty wiesz zapewne bez żadnego dowodu
Po kolejnych wypowiedziach zaczynam wątpić w to co wiem
Pozdrawiam

>>   Po prostu udowodnili to, co Ty wiesz zapewne bez żadnego dowodu
>Po kolejnych wypowiedziach zaczynam wątpić w to co wiem

   Chcesz polubić matematykę - zwiedzaj blog Andsola "Migotanie słów". Z rzeczy nudnych robi ciekawe, z trudnych ... mniej trudne (nie wierzy w cuda). Na spróbowanie kawałek trochę na temat.

   Pozdrawiam

---

Niech strój słów podkreśla urodę myśli

>   Chcesz polubić matematykę
Lubię matematykę Placownik Kobiety też...
Rozumienie to inna sprawa

Dziękuję za link, potrawię z przyjemnością

en.wikiped(*)_continuum#Cardinal_equalities

Pewnie można też podać zbiory o mocy P(R), P(P(R)), itd.. a czy istnieje zbiór X taki, że P(X) ma moc N albo taki Y, że P(Y) ma moc X,...?
.

>Pewnie można też podać zbiory o mocy P(R), P(P(R)), itd.. a czy istnieje zbiór X taki, że P(X) ma moc N albo taki Y, że P(Y) ma moc X,...?

Czesciowa odpowiedz brzmi: to (najprawdopodobniej, bo jeszcze nie przeanalizowalem tego dokladnie) zalezy od tego, czy przyjmuje sie hipoteze continuum.

Jesli zalozymy, ze pomiedzy alefem 0 i c nie ma innych liczb kardynalnych (Cohen, chyba w 1963, udowodnil, ze jest to hipoteza niezalezna od aksjomatow teorii mnogosci ZF+C), to odpowiedz brzmi: NIE. Nie ma takiego zbioru X, dla ktorego by bylo |P(X)|=|N|. Dowod jest prosty. Jesli zbior X bylby skonczony, to oczywiscie zbior jego podzbiorow tez. A zatem musi byc nieskonczony, czyli musi byc |X|>=|N|. Ale z tego wynika, ze |P(X)| >= |P(N)| = c>|N| (alef 0).

Trzeba by jeszcze zanalizowac przypadek, w ktorym pomiedzy alefem 0 i c jest jakas inna liczba kardynalna, ale wydaje mi sie, ze wyjdzie to, co wyzej (glowy nie moge dac). Najczesciej jednak, jak sie wydaje, przyjmuje sie, ze nie ma pomiedzy nimi zadnej innej liczby kardynalnej.

Moi Drodzy... Pasjonująca dyskusja!
w zrozumieniu brakuje mi tylko jednego elementu, reszta się zgadza. W jaki sposób powstaje rozwinięcie dwójkowe liczby z odcinka (0,1), np takiej która ma rozwinięcie dziesiętne nieskończone? potrafię sobie wyobrazić liczbę naturalną w zapisie dwójkowym, ale nie ułamek.:/
pewnie rzecz jest prosta, ale jednak tu mam lukę w wiedzy

>Moi Drodzy... Pasjonująca dyskusja!
>w zrozumieniu brakuje mi tylko jednego elementu, reszta się zgadza. W jaki sposób powstaje rozwinięcie dwójkowe liczby z odcinka (0,1), np takiej która ma rozwinięcie dziesiętne nieskończone? potrafię sobie wyobrazić liczbę naturalną w zapisie dwójkowym, ale nie ułamek.:/
>pewnie rzecz jest prosta, ale jednak tu mam lukę w wiedzy

Rzecz jest prosta, bowiem ulamek mozna zapisac w dowolnej podstawie
>1, nie tylko dziesietnej. A wyglada to tak:

1/2 = 0.100000000000... = 0*2^0 + 1*2^(-1) + 0*2^(-2) + 0*2^(-3) + ....
1/4 = 0.010000000000...
1/8 = 0.001000000000...
itd.

A co to jest 1/2 + 1/4? Ano 3/4, czyli 0.110000.....

Jesli dana jest liczba na odcinku (0,1), to najpierw dzielisz ten odcinek na pol i patrzysz, w ktorej polowie jest. Jesli w pierwszej, to poczatek rozwiniecia = 0.0, jesli w drugiej - 0.1. Teraz ten polodcinek, w ktorym jest ta liczba dzielisz znow na pol i powtarzasz procedure, z tym, ze teraz dlugosci pododcinkow sa rowne 1/4. Zatem masz albo 0.00, albo 0.01, albo 0.10, albo 0.11. I tak w nieskonczonosc. Latwo pokazac, ze tak skonstruowany ciag liczb dwojkowych istotnie dazy do naszej pierwotnie obranej liczby, a zatem jest jednoznacznym przedstawieniem tejze w danym systemie, bowiem granica szeregu jest wyznaczona jednoznacznie w przestrzeniach majacych wlasnosc Hausdorffa (to pojecie topologiczne), choc pociagnalem teraz z grubej rury, jak to mowia. Nie trzeba sie bawic bowiem w topologie tutaj - wystarcza zwykla przestrzen metryczna, ktora R jest, jesli za metryke przyjmie sie |x-y| (ale istnieje nieskonczenie wiele metryk na R). Metryka = odleglosc.

Schemat jest taki sam przy dowolnej podstawie.

---

Lepiej jest z mądrym zgubić, niż z głupim znaleźć.

>Latwo pokazac, ze tak skonstruowany ciag liczb dwojkowych istotnie dazy do naszej pierwotnie obranej liczby, a zatem jest jednoznacznym przedstawieniem tejze w danym systemie, bowiem granica szeregu jest wyznaczona jednoznacznie w przestrzeniach majacych wlasnosc Hausdorffa (to pojecie topologiczne), choc pociagnalem teraz z grubej rury, jak to mowia.

Można łatwiej - każdy zstępujący ciąg przedziałów o długościach dążących do zera ma punkt wspólny.

dzięki za wyjaśnienie.

teraz czas się zabrać za hipotezę continuum ,
macie jakieś 'pomysła?
...

>
>dzięki za wyjaśnienie.
>teraz czas się zabrać za hipotezę continuum ,
>macie jakieś 'pomysła?
>...

A wiesz, co to sa liczby porzadkowe, liczby kardynalne i jaka jest miedzy nimi relacja?

---

Lepiej jest z mądrym zgubić, niż z głupim znaleźć.

>A wiesz, co to sa liczby porzadkowe, liczby kardynalne i jaka jest miedzy nimi relacja?

No właśnie. Ile jest liczb kardynalnych? aleph 0? Czy na pewno? Dlaczego akurat tyle?

>>A wiesz, co to sa liczby porzadkowe, liczby kardynalne i jaka jest miedzy nimi relacja?
>No właśnie. Ile jest liczb kardynalnych? aleph 0? Czy na pewno? Dlaczego akurat tyle?

Drogi Damianku, ja nie pytam sie, ile jest liczb kardynalnych, tylko pytam sie Ciebie, czy aby na pewno wiesz, o czym chcialbys rozmawiac. Bo na razie wyglada na to, ze chcesz sobie jaja robic. Ale tutaj to nie przejdzie. Trzymano.

---

Lepiej jest z mądrym zgubić, niż z głupim znaleźć.

>Drogi Damianku, ja nie pytam sie, ile jest liczb kardynalnych, tylko pytam sie Ciebie, czy aby na pewno wiesz, o czym chcialbys rozmawiac. Bo na razie wyglada na to, ze chcesz sobie jaja robic. Ale tutaj to nie przejdzie. Trzymano.

Nie wiem skąd u Ciebie takie przypuszczenia, ale uwierz, że nie mam zamiaru "robic jaj". Założyłem ten wątek, bo chciałem znaleźc odp. na nurtujące mnie pytanie. Teraz pojawiły się kolejne i dlatego znów pytam. Mam chyba prawo nie wiedziec ile jest liczb kardynalnych, prawda? Mogę przypuszczac, domyślac się, ale pewien nie jestem.

>>Drogi Damianku, ja nie pytam sie, ile jest liczb kardynalnych, tylko pytam sie Ciebie, czy aby na pewno wiesz, o czym chcialbys rozmawiac. Bo na razie wyglada na to, ze chcesz sobie jaja robic. Ale tutaj to nie przejdzie. Trzymano.
>Nie wiem skąd u Ciebie takie przypuszczenia, ale uwierz, że nie mam zamiaru "robic jaj". Założyłem ten wątek, bo chciałem znaleźc odp. na nurtujące mnie pytanie. Teraz pojawiły się kolejne i dlatego znów pytam. Mam chyba prawo nie wiedziec ile jest liczb kardynalnych, prawda? Mogę przypuszczac, domyślac się, ale pewien nie jestem.

Polecam Wikipedie, polska, a jeszcze lepiej angielska. Tam znajdziesz duzo odpowiedzi.

Twoje zapytania w stylu "Czy na pewno? Dlaczego akurat tyle?" nie dodaja wiarygodnosci twoim poszukiwaniom, a wrecz przeciwnie, sklaniaja do wniosku, ze nie glupio zabawiasz. I mysle, ze tak wlasnie jest.

Dzięki wielkie. Myślałem, że pytając tutaj otrzymam konkretniejsze odpowiedzi, czy też bardziej przestępne.
Osobiście uważam, że powinno byc ich aleph 0, ponieważ mozna je ładnie 'połączyc' z naturalnymi, niemniej jednak hipoteza continuum czy też to co z niej wynikło sprawia, że chciałbym, aby tak nie było. Skoro może istniec coś pomiędzy aleph 0 a continuum to może byc tych liczb tam np. tyle co rzeczywistych, więc wszystkich kardynalnych continuum, bądź jeszcze więcej. Pytałem się o to prof. na uczelnie i odpowiedział mi, że liczb kardynalnych jest conajmniej przeliczalna ilośc, ale ile 'dokładnie' to ma nadzieję, że jeszcze zdąży się dowiedziec

>Dzięki wielkie. Myślałem, że pytając tutaj otrzymam konkretniejsze odpowiedzi, czy też bardziej przestępne.
>Osobiście uważam, że powinno byc ich aleph 0, ponieważ mozna je ładnie 'połączyc' z naturalnymi, niemniej jednak hipoteza continuum czy też to co z niej wynikło sprawia, że chciałbym, aby tak nie było. Skoro może istniec coś pomiędzy aleph 0 a continuum to może byc tych liczb tam np. tyle co rzeczywistych, więc wszystkich kardynalnych continuum, bądź jeszcze więcej. Pytałem się o to prof. na uczelnie i odpowiedział mi, że liczb kardynalnych jest conajmniej przeliczalna ilośc, ale ile 'dokładnie' to ma nadzieję, że jeszcze zdąży się dowiedziec

Liczby kardynalne sa takze liczbami porzadkowymi. Nie istnieje cos takiego jak zbior wszystkich liczb porzadkowych. Ewentualnie mozna mowic o klasie liczb porzadkowych, lub klasie liczb kardynalnych. Ale klasa nie jest zbiorem i dlatego nie mozna podac liczby kardynalnej wszystkich liczb kardynalnych, bo to nie ma zadnego sensu matematycznego (tak, jak nie ma zbior wszystkich zbiorow; owszem, istnieje klasa wszystkich zbiorow - poczytaj sobie o hierarchii zbiorow von Neumanna).

Co do Twojego pierwszego zdania: Nie, nie mozna ich ladnie polaczyc z liczbami naturalnymi, niestety. Choc kazdy zbior liczb kardynalnych (i porzadkowych) jest zbiorem dobrze uporzadkowanym, co oznacza, ze kazdy niepusty zbior tych liczb posiada element najmniejszy. Na tym zasadza sie metoda indukcji pozaskonczonej.