Jedna uwaga. Logika nic nie nakazuje. Piszesz o statystyce, a nie o logice. I nie widzę tu żadnego paradoksu.

---

A kiedy przyjdzie Jezus
pokażemy mu tabliczkę
z kierunkiem na Wieliczkę!

Tak ? Więc jaka jest odpowiedź//? Zmienić kopertę ? /nie przemyślałeś tego chyba :/ /

---

"Największy błąd popełnia ten, kto sądząc, że może zrobić niewiele, nie robi nic"

Cytat:
Odpowiedź na co? Odpowiedziałem na post.
Cytat:
Coś tam sobie przemyślałem i stwierdziłem, że widzisz paradoks którego ja nie widzę(pokaż mi go), i że niepotrzebnie mieszasz do sprawy logikę(używasz słowa logika, ale nie wiem po co).

---

A kiedy przyjdzie Jezus
pokażemy mu tabliczkę
z kierunkiem na Wieliczkę!

Jesli nic nie robisz, masz 100 zł
W przypadku zmiany, masz 1/2 szansy na 50 zł, 1/2 szansy na 200 zł. Wartość oczekiwana wynosi: 0.5*50 + 0.5*200 = 25 + 100 = 125 zł

Wartość oczekiwana zmiany jest o 1/4 większa. Jak można policzyć, zawsze. Tak więc, zawsze opłaca się zmienić.

Oczywiście, jeśli nie otworzysz kopert, tylko bedziesz zmieniał non stop, to nie dokonasz losowania. Ta zabawa zaczyna się po otwarciu koperty, musisz zadecydowac, co zrobic z drugą.

>Jesli nic nie robisz, masz 100 zł
>W przypadku zmiany, masz 1/2 szansy na 50 zł, 1/2 szansy na 200 zł. Wartość oczekiwana wynosi: 0.5*50 + 0.5*200 = 25 + 100 = 125 zł
>Wartość oczekiwana zmiany jest o 1/4 większa. Jak można policzyć, zawsze. Tak więc, zawsze opłaca się zmienić.
>Oczywiście, jeśli nie otworzysz kopert, tylko bedziesz zmieniał non stop, to nie dokonasz losowania. Ta zabawa zaczyna się po otwarciu koperty, musisz zadecydowac, co zrobic z drugą.

A jednak paradoks tego zadania tkwi w tym, że biorąc pierwszą kopertę wychodzi na to, że powinienem wziąć drugą, a biorą drugą na to, że powinienem wziąć pierwszą A jakie znaczenie ma jaka kwota będzie w kopercie którą wziąłem - żadne... I czy otwarcie kopert coś zmieni - nie. Nie 'czujesz' tego ? I co - otwierając pierwszą kopertę i patrząc - o 100zł - myślisz: biorę tą drugą, będąc świadom, że biorąc najpierw tą drugą wziąłbyś właśnie tą którą teraz odkładasz ? I za każdym razem by Ci się wydawało, że robisz dobrze Co zmienia otwarcie koperty skoro Ty już z góry WIESZ, że tam będzie jakaś kwota x i, że wzięcie drugiej koperty się bardziej "opłaci"

A tu coś od wykładowcy statystyki:

"Smullyan skorzystał tu z pewnego paradoksu, nazwijmy go paradoksem "dwóch zdań": 1. suma, którą można zyskać w razie wygranej jest większa niż suma, którą można stracić w razie porażki, 2. te sumy są takie same. Wydawałoby się, że oba te zdania nie mogą być jednocześnie prawdziwe, jednak Smullyan udowodnił, że oba są prawdziwe. Zatem nie ma znaczenia, czy zmienisz kopertę..."

W tym tkwi coś z gatunku wewnętrznej sprzeczności. Nie chodzi o samą odpowiedź bo o ile ona wynika z gimnazjalnych wzorów na wartość oczekiwaną o tyle analiza tego przykładu pokazuje pewne logiczne paradoksy (dwa sprzeczne wybory są równoważne!)

---

"Największy błąd popełnia ten, kto sądząc, że może zrobić niewiele, nie robi nic"

Paradoks zniknie, jeśli założysz, że przed otwarciem pierwszej koperty one są nierozróżnialne.

Cały ten "paradoks" wynika tylko i wyłącznie z całkowitej symetrii. Jednak, kiedy jedna koperta jest otwarta, symetria zostaje złamana, o jednej kopercie masz więcej informacji.

Jeśli podzielimy twój paradoks na dwie części:
I. Wybór pierwszej koperty
II. Wybór lub nie drugiej koperty

Zwróć uwagę, że na początku części II masz informacje dotyczącą przedziału wygranych i tutaj podejmujesz właściwą decyzję z zagadki.

W przypadku I rozważania dotyczące lepszej koperty są bezcelowe - koperty są nierozróżnialne.

>W tym tkwi coś z gatunku wewnętrznej sprzeczności. Nie chodzi o samą odpowiedź bo o ile ona wynika z gimnazjalnych wzorów na wartość oczekiwaną o tyle analiza tego przykładu pokazuje pewne logiczne paradoksy (dwa sprzeczne wybory są równoważne!)

   Podpowiadam więc :

   W kopercie jest n złotych; oznacza to, że w drugiej kopercie jest n/2 złotych, albo 2n złotych. Czyli w dalszym ciągu nie wiem ile jest w drugiej. Jeśli zatem zyskam na zamianie, to zyskam n złotych, jeśli stracę, to stracę n/2 złotych. A ponieważ n to więcej niż n/2 oznacza to, że suma, którą zyskam (jeśli zyskam) jest większa niż suma, którą stracę (jeśli stracę). Dowodzi to prawdziwości zdania nr 1.

   Teraz dowód prawdziwości zdania nr 2. Niech d oznacza różnicę pomiędzy zawartością kopert, czyli d jest równe mniejszej z dwóch zawartości kopert. Jeśli zyskam na zamianie, to zyskam d złotych, jeśli stracę, to stracę d złotych. Możliwy zysk i możliwa strata są zatem takie same, bo zawsze suma jaką mogę zyskać lub stracić równa jest mniejszej z sum znajdujących się w kopertach. Inaczej: w kopertach jest n złotych i 2n złotych, dla pewnego n, którego wartości nie znamy. Jeśli zyskam na zamianie to mój zysk zmieni się z n do 2n. Jeśli przegram, to zmniejszy się z 2n do n złotych. Sumy te są równe.

   W ten sposób Smullyan postawił ów paradoks "dwóch zdań": 1. suma, którą można zyskać w razie wygranej jest większa niż suma, którą można stracić w razie porażki, 2. te sumy są takie same. Jednocześnie Smullyan sugerował, aby przy rozwiązaniu tego paradoksu nie korzystać w ogóle z rachunku prawdopodobieństwa.

   Pozdrawiam

---

kol jom hu hizdamnut chadasza

>   W kopercie jest n złotych; oznacza to, że w drugiej kopercie jest n/2 złotych, albo 2n złotych. Czyli w dalszym ciągu nie wiem ile jest w drugiej. Jeśli zatem zyskam na zamianie, to zyskam n złotych, jeśli stracę, to stracę n/2 złotych. A ponieważ n to więcej niż n/2 oznacza to, że suma, którą zyskam (jeśli zyskam) jest większa niż suma, którą stracę (jeśli stracę). Dowodzi to prawdziwości zdania nr 1.

Tu jest coś pogmatwane - prawdopodobnie ta liczba 'n' pełni tu dwie role naraz...

Jakiś taki chory relatywizm - jak w teorii względności, gdzie mamy jeden czas własny tu, a w innym układzie jest tak samo, czyli mamy tam drugi czas, bo przecież każdy musi mieć swój czas własny... nie obcy.
Mało tego: teraz ten pierwszy widzi czas tamtego drugiego i odwrotnie, więc mamy już razem cztery czasy (transformacje odwrotne)!
Patrząc na to wszystko z zewnątrz (i tak właśnie robią spece od teorii względności) byłyby tu tylko dwa czasy, ale taki układ zewnętrzny pełni tu przecież rolę układu wyróżnionego - absolutnego, czyli wtedy mamy tylko jeden czas dla wszystkich - absolutny.

>   Teraz dowód prawdziwości zdania nr 2. Niech d oznacza różnicę pomiędzy zawartością kopert, czyli d jest równe mniejszej z dwóch zawartości kopert. Jeśli zyskam na zamianie, to zyskam d złotych, jeśli stracę, to stracę d złotych. Możliwy zysk i możliwa strata są zatem takie same, bo zawsze suma jaką mogę zyskać lub stracić równa jest mniejszej z sum znajdujących się w kopertach. Inaczej: w kopertach jest n złotych i 2n złotych, dla pewnego n, którego wartości nie znamy. Jeśli zyskam na zamianie to mój zysk zmieni się z n do 2n. Jeśli przegram, to zmniejszy się z 2n do n złotych. Sumy te są równe.

O! Tu jest OK.

To nie jest paradoks tylko twój błąd w rozumowaniu.
Otwarcie koperty zmienia sytuacje. Zamieniasz prawdopodobieństwo na konkretny, ustalony wynik (z przestrzeni możliwych zdarzeń).

>Weźmy 'na tapetę' jeszcze raz zadanie Małgorzaty.
>-> Mamy dwie koperty. W jednej jest dwa razy więcej pieniędzy niż w drugiej. Otwieramy pierwszą
>kopertę - jest tam 100 zł. Czy opłaca nam się zmienić kopertę?
>Co to znaczy, że się opłaca: Mamy 50% szansę, że w drugiej kopercie jest 200zł i 50% szansę, że
>tylko 50zł. A więc możemy zyskać "aż" 100zł, a stracić "tylko" 50zł. Odpowiedź: Zmieniam kopertę. I
>nie można powiedzieć, że jest to błędna odpowiedź - opłaca mi się to...
>A z drugiej strony:
>W pierwszej kopercie na 100% znajduje się jakaś kwota x, więc w drugiej na 50% jest 2x lub na 50%
>x/2. Więc zmieniając mogę zyskać "aż" x lub stracić tylko "x/2" Zatem nie muszę nawet otwierać
>pierwszej koperty ! Od razu powinienem ją zmienić na drugą - to się zgodnie z logiką opłaca...
>ZMIENIŁEM: teraz stoję w ręku z drugą kopertą. Ile tam jest pieniędzy? jakieś y... A w pierwszej ?
>Teraz mogę powiedzieć, że na 50% y/2 lub na 50% 2y ... No cóż... Logicznie opłaca mi się zmienić
>kopertę...
>I tak w nieskończoność ? Oznacza to, że której koperty bym nie wybrał, w momencie wyboru logika
>nakazuje brać tą drugą... ale w końcu wezmę jedną z kopert - i co wtedy? (nasuwa mi się tu analogia
>do pomiaru stanu cząstek splątanych )
>Logika jest w tym przypadku sprzeczna wewnętrznie. Udziela mi dwóch różnych - sprzecznych -
>odpowiedzi. No bo skoro mogę wziąć zarówno tą pierwszą jak i tą drugą to zmiana nie powinna mieć
>znaczenia. A jednak - mając w ręce kopertę z "jakąś" kwotą wiem, że opłaca mi się wziąć tą drugą...
>TO JEST PRAWDZIWY PARADOKS.
>I nawet jeśli w matematycznie ścisły sposób można to opisać nijak się to ma do rzeczywistości...
>*kasuję wszystkie nieprzemyślane posty. (a już zwłaszcza kreacjonistów/ludzi nie zmieniających
>bramek ;p)

Biorę sprezentowane z pierwszej koperty 100 zł i wracam do domu, nie bawiąc się w kolewjne losowania. W ten sposób zawsze wygrywam A 100 złotych piechotą nie chodzi.

---

postępuj tak, byś mógł chcieć, aby zasada twego postępowania była prawem powszechnym

Witam wszystkich.

>Weźmy 'na tapetę' jeszcze raz zadanie Małgorzaty.
>- Mamy dwie koperty. W jednej jest dwa razy więcej pieniędzy niż w drugiej. Otwieramy pierwszą kopertę - jest tam 100 zł. Czy opłaca nam się zmienić kopertę? Co to znaczy, że się opłaca: Mamy 50% szansę, że w drugiej kopercie jest 200zł i 50% szansę, że tylko 50zł. A więc możemy zyskać "aż" 100zł, a stracić "tylko" 50zł. Odpowiedź: Zmieniam kopertę.

>Logika jest w tym przypadku sprzeczna wewnętrznie. Udziela mi dwóch różnych - sprzecznych - odpowiedzi. No bo skoro mogę wziąć zarówno tą pierwszą jak i tą drugą to zmiana nie powinna mieć znaczenia. A jednak - mając w ręce kopertę z "jakąś" kwotą wiem, że opłaca mi się wziąć tą drugą...
>TO JEST PRAWDZIWY PARADOKS.
>I nawet jeśli w matematycznie ścisły sposób można to opisać nijak się to ma do rzeczywistości...

Jak większość paradoksów, jest to paradoks pozorny. Zaś wnioski z niego wyprowadzone - o załamaniu Logiki w konfrontacji z "Rzeczywistością" - są fatalne (żeby nie powiedzieć mocniej).

Oto komentarz i rozwiązanie.

1. Zadanie mówi: "Mamy dwie koperty. ... Czy opłaca nam się zmienić kopertę?". Skoro je "mamy", to gotówka obu jest nasza. Zmiana kopert może wpływać np. na estetykę wystroju biurka, ale nie na opłacalność. Rozumiejąc intencję Autora zadania, podpowiadam właściwe sformułowanie: "Mamy prawo uzyskania, według własnego wyboru, jednej z dwu kopert wraz z zawartością, oraz prawo wcześniejszego otwarcia jednej z nich."

2. Jest to zadanie probabilistyczne, nawet nie statystyczne. A tym bardziej nie z dziedziny Logiki - ani Dedukcyjnej, ani Redukcyjnej, ani Indukcyjnej. Popełniony błąd zamyka się w obszarze probabilistyki. Zapewniam również, że Logika nie jest sprzeczna wewnętrznie ani w tym przypadku, ani w żadnym innym.

3. Rozwiązanie:
    a) Przestrzeń probabilistyczna:     W={w₁,w₂};
       w₁=(n,2*n);     w₂=(2*n,n);     n>0;
        P({w₁})=P({w₂})=1/2;
        gdzie: w₁,w₂ - to oba możliwe wyniki elementarne rozmieszczeń;
        ich składowe - to kolejne zawartości kopert, n - mniejsza z kwot obu kopert;
        P(z) - to prawdopodobieństwo zdarzenia z.
    b) Wtedy 2-wymiarowa zmienna losowa kolejnych wyników:
        X=(X₁,X₂);     X_i=w_i;     i=1,2;
    c) Zdefiniujemy zdarzenia losowe:
        A=(X₂>X₁)={w₁};
        B=(X₁=b);     b>0;
        C=(X₂=c);     c>0;
        H_i={w_i};     i=1,2;
    d) Wtedy prawdopodobieństwo całkowite dla zdarzeń warunkowych:
        P(A|B)=∑_i=1,2P(A|B∩H_i)*P(H_i|B);
        P(H_i|B)=1/2;     i=1,2;
        P({w₁}|B∩{w₁})=1;     P({w₁}|B∩{w₂})=0;
            stąd:
        P(X₂>X₁|X₁=b)=1*1/2+0*1/2=1/2.
            Czyli - szanse zysku i straty po zmianie kopert są równe (jak powyżej);
    e) Warunkowa wartość oczekiwana X₂ gdy X₁=b:
        E(X₂|B)=∑_i=1,2E(X₂|B∩H_i)*P(H_i|B);
        E(X₂|X₁=b∩{w₁})=E(2*b|X₁=b)=2*b;
        E(X₂|X₁=b∩{w₂})=E(b/2|X₁=b)=b/2;
            stąd:
        E(X₂|X₁=b)=2*b*1/2+b/2*1/2=5/4*b.
            Czyli - wskaźnik zysku po zmianie kopert wygląda na 5/4 (jak powyżej).
    f) Warunkowa wartość oczekiwana X₁ gdy X₂=c:
        E(X₁|C)=∑_i=1,2E(X₁|C∩H_i)*P(H_i|B);
        E(X₁|X₂=c∩{w₁})=E(c/2|X₂=c)=c/2;
        E(X₁|X₂=c∩{w₂})=E(2*c|X₂=c)=2*c;
            stąd:
        E(X₁|X₂=c)=c/2*1/2+2*c*1/2=5/4*c.
            Czyli - wskaźnik zysku po zmianie kopert wygląda na 4/5, jest więc stratą, a co gorsze -
        odnosi się do tego samego faktu!!!.
    g) Paradoks? Uzyskana sprzeczność jest dowodem nie wprost, że warunkową wartość oczekiwaną nie można użyć do oceny wskaźnika zysku. Wyznacza ona jedynie poprawnie średniokwadratowy środek ciężkości zbioru możliwych wyników. I nic więcej.

4. A więc Matematyka, "Teoria", Logika i Rozum jakoś się obroniły przed Rzeczywistością! Dla niewtajemniczonych informacja - wymienione z Rzeczywistości pochodzą. Zatem - przy zachowaniu warunków poprawności - sprzeczne z nią być nie mogą.

        Pozdrawiam Racjonalistów, Marcus Platonicus.

>Jak większość paradoksów, jest to paradoks pozorny.

Jak większość? Proszę mi pokazać w takim razie jakieś paradoksy "NIE pozorne"...

**może takie spojrzenie na problem nazwiemy paradoksem?**
Mamy te koperty na stole. Ja wziąłem jedną, drugą wziął mój kolega. Otwieramy. Ja mam 100zł i wiem, że przy zmianie mogę więcej ewentualnie zyskać niż ewentualnie stracić. Mój kolega ma 200zł - on też wie, że przy zmianie może więcej ewentualnie zyskać niż ewentualnie stracić. Czyli obydwu nam "opłaca" się dokonać zmiany. Patrzymy na siebie i pytamy: "Chcesz się wymienić ? - I każdy szczęśliwy oddaje kopertę drugiemu bo "policzył", że wartość oczekiwane jest >1.

* może to już chodzi tylko o definicję słowa paradoks...

Z innego źródła otrzymałem taką odpowiedź:

"Dzień dobry,
Jest wiele rzeczy na świecie, które są sprzeczne z intuicja większości ludzi.
Żeby używać tak zasadniczych sformułowań, trzeba powiedzieć, z jakimi prawami popadamy w sprzeczność.
Wtedy najczęściej okazuje się, że to nie nauka zawodzi, ale nasza intuicja.
Określenie "opłaca się" nie należy do pojęć z dziedziny logiki.
Zachęcam wiec do umiarkowania w kwestionowaniu podstaw tej dziedziny wiedzy.
Serdecznie pozdrawiam
Jan Gaj"

>4. A więc Matematyka, "Teoria", Logika i Rozum jakoś się obroniły przed Rzeczywistością! Dla niewtajemniczonych informacja - wymienione z Rzeczywistości pochodzą. Zatem - przy zachowaniu warunków poprawności - sprzeczne z nią być nie mogą.

Czy aby na pewno nie mogą? Na przykład w interpretacji przenikania się trzech światów Penrose'a ? (świat idei matematycznych, świat mentalny, świat fizyczny: rys. 1.3., rys. 1.4., rys. 34.1. "Droga do rzeczywistości")

---

"Największy błąd popełnia ten, kto sądząc, że może zrobić niewiele, nie robi nic"