>Dzień Dobry
>Dodawanie i mnożenie zna każdy.

Ja bym pochopnie nie szafowała takimi tezami!!!

W liczbach naturalnych potrafimy wyniki tych działań znajdować
>nawet bez kalkulatorów.

Oj, gdyby tak było naprawdę, moje życie byłoby prostsze....
Ale dookoła sami "humaniści" (popularne obecnie określenie osoby, która nie potrafi wyliczyć 22% z 1000zł).

Ostatni przekonałam się, że przekształcenie prostego równania (musiałam sobie na szybko wyprowadzić wzór na procent składany, nigdy go nie pamiętam) to świetna sztuczka, którą można zadziwić znajomych.

---

"Ateizm jest religią w takim samym stopniu w jakim nie zbieranie grzybów jest hobby"

> Zastanawiające zdaje się istnienie tylko dwu naturalnych (przemiennych i wieloargumentowych)
>działań.. Dlaczego dwu?

tak naprawdę, to jest tylko jeden operator - dodawanie; multiplikacja jest także dodawaniem!

Gwoli sprostowania:

>> Zastanawiające zdaje się istnienie tylko dwu naturalnych (przemiennych i wieloargumentowych)
>>działań.. Dlaczego dwu?

Przydaje się to przy rozpatrywaniu przekształceń w różnych algebrach... A mnożenie nie musi być przemienne.

>tak naprawdę, to jest tylko jeden operator - dodawanie; multiplikacja jest także dodawaniem!
Nie zawsze (patrz: przestrzeń wektorowa z iloczynem skalarnym).

>Nie zawsze (patrz: przestrzeń wektorowa z iloczynem skalarnym).
>

ups... ależ z definicji "iloczyn skalarny" jest sumą ? nie'jest?

>>Nie zawsze (patrz: przestrzeń wektorowa z iloczynem skalarnym).
>>
>ups... ależ z definicji "iloczyn skalarny" jest sumą ? nie'jest?
Nie. Dodając wektory zawsze otrzymasz wektor - nigdy skalar. Dodajesz, co prawda, pośrednio, bo jego mnożysz jego składowe i je dodajesz...

... ale nie musi to działać w każdej przestrzeni wektorowej. Weźmy na przykład przestrzeń funkcji ciągłych na odcinku [0, 1] i iloczyn skalarny f*g=całka[0,1] f(x)g(x) dx. Jak tu sumę znajdziesz, to znaczy, że wszystko jest sumą.

>>>Nie zawsze (patrz: przestrzeń wektorowa z iloczynem skalarnym).
>>>
>>ups... ależ z definicji "iloczyn skalarny" jest sumą ? nie'jest?
>Nie. Dodając wektory zawsze otrzymasz wektor - nigdy skalar. Dodajesz, co prawda, pośrednio, bo jego mnożysz jego składowe i je dodajesz...
>... ale nie musi to działać w każdej przestrzeni wektorowej. Weźmy na przykład przestrzeń funkcji ciągłych na odcinku [0, 1] i iloczyn skalarny f*g=całka[0,1] f(x)g(x) dx. Jak tu sumę znajdziesz, to znaczy, że wszystko jest sumą.
>

całka - to jednak raczej suma

>>(...) Jak tu sumę znajdziesz, to znaczy, że wszystko jest sumą.
>>
>całka - to jednak raczej suma

Nie, całka to granica

>>całka - to jednak raczej suma
>Nie, całka to granica
>

to dość śmiałe twierdzenie; pozwolę sobie w takim razie wyrazić zaskoczenie konstatacją, że całka to raczej nie suma a granica
bez urazy jeśli czegoś nie rozumiem, ale naukę matematyki zakończyłem ok. 30 lat temu;

> .. pozwolę sobie w takim razie wyrazić zaskoczenie konstatacją, że całka to raczej nie suma a granica
>bez urazy jeśli czegoś nie rozumiem, ale naukę matematyki zakończyłem ok. 30 lat temu;

Tu uraz się nie mnoży ani ujm nie wnosi. Też mi się zdaje, że (o ile pamiętam) znak całki to stylizowane "S" oznaczające sumę.

>to dość śmiałe twierdzenie; pozwolę sobie w takim razie wyrazić zaskoczenie konstatacją, że całka to raczej nie suma a granica
>bez urazy jeśli czegoś nie rozumiem, ale naukę matematyki zakończyłem ok. 30 lat temu;

   Sprawdź w takim razie całkę oznaczoną Riemanna. To granica, nie suma...

   Pozdrawiam

---

kol jom hu hizdamnut chadasza

>>to dość śmiałe twierdzenie; pozwolę sobie w takim razie wyrazić zaskoczenie konstatacją, że całka to raczej nie suma a granica
>>bez urazy jeśli czegoś nie rozumiem, ale naukę matematyki zakończyłem ok. 30 lat temu;
>   Sprawdź w takim razie całkę oznaczoną Riemanna. To granica, nie suma...

Chyba całka (jako granica) może być skądinąd jakąś sumą?
-

> Chyba całka (jako granica) może być skądinąd jakąś sumą?

   Skądinąd - tak (dość szczególną sumą), ale ta całka definiowana jest jako granica. Przecież wiesz co to zbieżność ciągu...

   Pozdrawiam

---

kol jom hu hizdamnut chadasza

> .. To granica, nie suma...

A nie granica sum? Zresztą ten wątek ma tyczyć zwykłych, skończonych działań

>   Pozdrawiam

Pozdrawiam
__________________________________________________
Zapewne Twa stopka pod kreską nie jest obraźliwa..

>A nie granica sum?

   No widzisz! A jednak granica...

>Zresztą ten wątek ma tyczyć zwykłych, skończonych działań

   No to macie szczęście, panowie. Przy Riemannie się wykładacie; aż strach pomyśleć co zrobilibyście z całką Lebesgue'a.

>Zapewne Twa stopka pod kreską nie jest obraźliwa..

   Nie jest, zapewniam...

   Pozdrawiam

---

kol jom hu hizdamnut chadasza

1. A(+)B= -A x B (el. neutralny = -1)
2. A(+)B= pi x A x B (el. neutralny = 1/pi)

wówczas
A (+) (B+C) = A(+)B + A(+)C

4.
- Jeżeli A=0 lub B=0 to A(x)B = 0
- Jeżeli A!=0 i B!=0 to A(x)B = 1

wówczas
A (x) (BxC) = A(x)B x A(x)C

Hipermnożenie to potęgowanie. (a*b)^c=a^c)*(b^c)
Nad hiperdodawaniem myślę.
Pozdrawiam

>Hipermnożenie to potęgowanie. (a*b)^c=a^c)*(b^c)
>Nad hiperdodawaniem myślę.

A hiperdodawanie to mnożenie.

>A hiperdodawanie to mnożenie.

Tak. A hipomnożenie to dodawanie.

Jak do tej pory doszedłem, że hipododawanie to średnia arytmetyczna prosta.
a_b=(a+b)/2
Przemienność:
L= (a_b)+c= (a+c)_(b+c) =P
L= (a+b)/2+c
P= (a+c+b+c)/2= (a+b)/2 + c =L
Udowodnione!

Pozdrawiam

Na wszelki wypadek dodaje:
a_b_c=(a+b+c)/3
w innym zapisie
_(a1,a2,a3,..an)=(a1+a2+a3+...+an)/n

Średnia arytmetyczna nie jest jakościowo tylko złożeniem dodawania i mnożenia.
Pozdrawiam

>Jak do tej pory doszedłem, że hipododawanie to średnia arytmetyczna prosta.

Trafne spostrzeżenie - dzięki ;]. Faktycznie średnia arytmetyczna rozdziela dodawanie, podobnie działa średnia geometryczna na mnożenie. Szkoda, że tak określone hipomnożenie nie jest prostym dodawaniem.

>Pozdrawiam

Pozdrawiam [zakładajmy, że każdy zna definicje podstawowych średnich i zbędne jest je przytaczać.. ciekawe czy uogólnienia pojęcia "średniej" mogą być pomocne w bieżącym wątku]

Ogólnie zaciekawiłeś mnie tym wątkiem.
Myślalem nad tym dalej i szukalem w Wiki, gdy chciałem się czegoś dowiedzieć.
Wnioski do których doszedłem:
Nową jakością, która jest w średniej arytmetycznej, a nie ma jej w dodawaniu i mnożeniu jest 'zliczanie' ( #(a,b,c,)= 3 bo tyle jest argumenów).
Średnia arytmetyczna jest quasi-grupą z R i NW. Nie ma elementu neutralnego. Wychodzi przez to z kategorii, w jakich znajdują się dodawanie i mnożenie.
Myślalem, czy dałoby się zrobić jednoznaczne ciągi działań wychodząc od dowolnego (na podstawie przemienności), ale nie doszedłem do odpowiedzi. Kwestią jest czy przemienność działań wyróżnia jedno jedyne działanie.
I pozostaje kwestia, że każde działanie (jego odwrotność) 'rozszerza' zbiór na którym działa odejmowanie z liczb naturalnych na całkowite, dzielenie na wymierne, pierwiastkowanie na niewymierne i urojone.
Ostatnie, to czy dodawanie można zapisać jako kombinacje działań zliczania #. Mnożenie dodawania i zliczania itd.
Ciekawią mnie możliwości dłubania w formalizmie.
Pozdrawiam

---

Zastanów się, czy swoim powyższym postem nie uraziłeś moich uczuć religijnych. Jestem ateistą- czczę Święty Spokój.

>Nową jakością, która jest w średniej arytmetycznej, a nie ma jej w dodawaniu i mnożeniu jest 'zliczanie' ( #(a,b,c,)= 3 bo tyle jest argumentów).

Tak. Zależność działania od liczebności elementów wskazuje (z reguły) na jego niełączność i (zapewne) nieprzechodniość. Przy wielu argumentach nawet nie wystarcza zliczanie, lecz konieczna bardziej rozbudowana 'ewidencja'.

>Średnia arytmetyczna (..) nie ma elementu neutralnego. Wychodzi przez to z kategorii, w jakich znajdują się dodawanie i mnożenie.

Hipododawanie zdefiniowane jako

a(+)b=log₂(2^a+2^b)

też nie ma niestety elementu neutralnego, za to analogiczne hipermnożenie

a(x)b=2^{log₂a x log₂b}

ma - jak określić średnie w tych działaniach?

> czy dałoby się zrobić jednoznaczne ciągi działań wychodząc od dowolnego (na podstawie przemienności), czy przemienność działań wyróżnia jedno jedyne działanie.

Pewnie nie - może należy 'dokładać' łączność i przechodniość, a może od nich zacząć - nie wiem

> .. czy dodawanie można zapisać jako kombinacje działań zliczania #. Mnożenie dodawania i zliczania itd.

Ciekawe..

> .. Spokój.
OK;]

>Hipermnożenie to potęgowanie. (a*b)^c=(a^c)*(b^c)

Jeśli potęgowanie rozumiane wykładniczo (eksponowanie?), to tak.

Ale już a^(b*c)=/=a^b*a^c a więc rozdzielność jest tylko częściowa (jednostronna).

>Ale już a^(b*c)=/=a^b*a^c a więc rozdzielność jest tylko częściowa (jednostronna).
W rozdzielności dodawania względem mnożenia też jest jednostronna. No i?
Pozdrawiam

Od kiedy?
Wziąwszy pod uwagę, że "klasyczne" dodawanie i mnożenie są przemienne to jest to niemożliwe.

Ja pisze o przemienności rozdzielności działań. (a+b)*c != (a*b)+c
Ty o przemienności działań.
To się nie zrozumieliśmy.
Pozdrawiam

Każde ciało definiujesz właśnie za pomocą dwu działań "niższego" zwanego zwykle "dodawaniem" i "wyższego" zwanego "mnożeniem". Między tymi działaniami muszą zachodzić konkretne relacje. Jedną z nich jest rozdzielność "mnożenia" względem "dodawania".
Zresztą są ciała, w których istnieje także rozdzielność "dodawania" względem "mnożenia". Np. dowolne ciało zbiorów z sumą i iloczynem lub ciało zdań z dwoma operatorami logicznymi ("i" oraz "lub")
Nie słyszałem natomiast o algebrach opartych na trzech działaniach. Chociaż teoretycznie chyba możliwe jest skonstruowanie czegoś takiego.

>Ciekawym Państwa pomysłów
Pomysłów może być wiele a ich sformalizowanymi wersjami zajmuje się bardzo obszerny dział matematyki zwany
"algebrą ogólną" ( lub po prostu algebrą albo algebrą abstrakcyjną ).
Otóż "algebra" to ogólnie mówiąc pewien zbiór X (np. liczb) wraz z pewnymi ściśle określonymi działaniami wykonywanymi nad elementami tego zbioru. ( właściwie są to relacje - nie każda relacja jest działaniem, ale każde działanie jest relacją ). Znanych i stosowanych algebr jest kilkadziesiąt w większości przypadków różnią się one właśnie określeniem działań wykonywanych na elementach zbioru X. Działania definiuje się właściwie w sposób "dowolny" tj. po prostu żądając spełnienia pewnych własności, oczywiście suma sumarum w żadnym przypadku system formalny nie może być sprzeczny ( to właściwie wystarczy aby zbudować np. własną algebre )
Bez ścisłego ujęcia, odpowiedź w temacie który proponujesz jest bezsensowna. Weź sobie dowolną książkę w temacie np.
"algebra wyższa" - Z. Opial , "algebra ogólna" - Kurosz , "przegląd algebry współczesnej" - Birkhoff, McLane
i zobacz "jak to się robi".
Broń Boże nie zaczynaj od opisu algebry w Wikipedii - to chyba jakiś matematyk pisał

W tym wątku chodzi o znalezienie meta-działania (nad-operacji), które zastosowane do "x" da "+", z plusa robi hipododawanie, itd. - oraz o znalezienie meta-operacji odwrotnej ('hiperującej').

Uzyskane nowe działania powinny być 'zwykłe' (raczej łączne). Poniżej przykłady działań w niektórych zbiorach:

1. Weźmy zbiór naturalnych potęg dwójki ={2, 4, 8, ..}. Łatwo widzieć, że suma dowolnych dwu lub więcej elementów tego zbioru, do niego nie należy ale daje pozostałe liczby parzyste (co wynika z jednoznaczności zapisu dwójkowego), za to iloczyn z każdego podzbioru 'wraca' do tegoż zbioru {2, 4, 8, ..} (półgrupa z mnożeniem).

2. Weźmy z kolei zbiór potęg dwójki o wykładnikach będących potęgami dwójki ={4, 16, 256, ...}. Tutaj zwykłe mnożenie 'produkuje' elementy zbioru z pierwszego przykładu (wystarczy dodać element "2" i dopuścić jednoargumentowość, by otrzymać cały {2, 4, 8, ...})
.
.
Wygląda na to, że hipododawanie w liczbach naturalnych powinno dawać zbiór, którego prawie wszystkie elementy nie są naturalne, i który tworzy półgrupę z "(+)"..

_______________________________

Zechcecie może, dzięki innemu spojrzeniu, dostrzec w tych korelacjach działań ze zbiorami jakąś czytelniejszą strukturę...

Pozdrawiam

>1. Weźmy zbiór naturalnych potęg dwójki ={2, 4, 8, ..}. Łatwo widzieć, że suma dowolnych dwu lub więcej >elementów tego zbioru, do niego nie należy...
a co z 4+4 , 8+8 = 16 = 2*2*2*2

>...za to iloczyn z każdego podzbioru 'wraca' do tegoż zbioru {2, 4, 8, ..} (półgrupa z mnożeniem).
O co chodzi, co to jest "iloczyn z każdego podzbioru" i "wraca" ? czy chodzi po prostu o to ,że iloczyn jest działniem wewnętrznym ?

>2. Weźmy z kolei zbiór potęg dwójki o wykładnikach będących potęgami dwójki ={4, 16, 256, ...}. Tutaj zwykłe >mnożenie 'produkuje' elementy zbioru z pierwszego przykładu (wystarczy dodać element "2" i dopuścić >jednoargumentowość, by otrzymać cały {2, 4, 8, ...})
No bo to jest podzbiór poprzedniego zbioru ( iloczyn liczb parzystych jest liczba parzystą ), a dwójki nie musisz dodawać bo 2 = 2 do potęgi ( 2 do potęgi zero )

> .. a co z 4+4

"Podzbiór" rozumiem raczej klasycznie (w szczególności {a, a} nie jest podzbiorem zbioru {a, b})

> ..czy chodzi po prostu o to ,że iloczyn jest działaniem wewnętrznym?

Tak. A suma nie

>>2. Weźmy z kolei zbiór potęg dwójki o wykładnikach będących potęgami dwójki ={4, 16, 256, ...}. Tutaj zwykłe >mnożenie 'produkuje' elementy zbioru z pierwszego przykładu (wystarczy dodać element "2" i dopuścić jednoargumentowość, by otrzymać cały {2, 4, 8, ...})

>No bo to jest podzbiór poprzedniego zbioru

To za mało, że podzbiór - on jest jakby minimalny

> .. a dwójki nie musisz dodawać bo 2 = 2 do potęgi ( 2 do potęgi zero )

Że 2=2²⁰ wiadomo (tylko niektórzy nie zaliczają "zera" do naturalnych)

[Intrygujące się zdaje, że niektóre działania pasują do niektórych zbiorów lepiej (inaczej) niż do innych]

>"Podzbiór" rozumiem raczej klasycznie (w szczególności {a, a} nie jest podzbiorem zbioru {a, b})
Znaczy chciałeś powiedzedzieć : "suma dwóch różnych elementów nie należy do zbioru"

>Że 2=2²⁰ wiadomo (tylko niektórzy nie zaliczają "zera" do naturalnych)
kwestia umowy, przyjmij ,że jest i po kłopocie.

> .. "suma dwóch różnych elementów nie należy do zbioru"

Tak - dokładniej "dwu lub więcej różnych" (co dla zbioru (1, 2, 4, 8, ..} jest równoważne ze wybraniem "jedynek" w zapisie dwójkowym liczby naturalnej (nie będącej potęgą dwójki, gdy tych jedynek jest więcej niż jedna))

>kwestia umowy, przyjmij, że jest i po kłopocie.

OK

Przykład meta-działań zmieniających dosłownie sumę na iloczyn (i odwrotnie) podał jeden z indagowanych matematyków. Są to:

a x b = e^{ln a + ln b}

oraz

a + b = ln(e^a x e^b)

Nie są to jednak operacje satysfakcjonujące, bo zastosowane 'w drugą stronę' dają wyniki zależne od przyjętej podstawy (a hiperują dodawanie i hipoują mnożenie niezależnie od podstawy). Znów wychodzi na to, że dwa zwykłe działania podstawowe są wyjątkowe, a na to zgodzić się trudno.

Może należałoby operacje logarytmiczno-wykładnicze 'podrasować', uzależniając podstawę od liczby składników/czynników/ tak, jak w działaniach 'uśredniających' przywołanych przez sceptymuchę - może konieczność zliczania jakoś by się z koniecznością wyboru podstawy kompensowała..