Paradoks: en.wikipedia.org/wiki/Two-envelope_paradox
"This is still an open problem - Royal Society, November 2009" - zależy jak rozumieć słowo 'rozumieć'

W najprostszej, nieoddającej złożonej problematyczności, wersji:
Mam 2 koperty. W jednej jest dwa razy więcej pieniędzy niż w drugiej. Wybierasz jedną, otwierasz - jest 100zł. Czy chcesz zamienić na tą drugą ? Wiesz, że może być tam 50zł lub 200zł - OPŁACA SIĘ zamienić - tak ? [wartość oczekiwana]

odp: NIEKONIECZNIE !

Tak jak dla pojęcia 'losowość' potrzebna jest 'miara' aby obliczyć prawdopodobieństwo na zbiorze nieskończonym, tak tutaj dla pojęcia
'opłaca się' potrzebne jest pojęcie 'potrzeba' !

Intuicyjnie widać to dla przypadku kiedy założymy, że w jednej kopercie jest 1000 razy więcej niż w drugiej ! Otwierasz i masz milion dolarów ! Zamienisz ? Przy średniej krajowej w Polsce, ryzykować, że na 50% zostaniemy miliarderami albo stracimy pieniądze życia jeśli w tej drugiej będzie tylko 1000$ - dla większości ludzi, zakładam, będzie głupim, niepotrzebnym ryzykiem !

Odwrotne rozumowanie, związane z TEORIĄ DECYZJI, na przykładzie:
Za ile zgodzisz się przez 3 dni nie myć zębów ? (to chyba nie narusza godności na tyle, że ktoś powie: ZA NIC! - można wymyślić inny przykład...)

100 zł ? Nie ? 1000 zł ? ok? A 500 zł ? jednak nie ? 850zł ? nie ? 950zł ? tak ? 920 ? itd. ... zawsze będzie wartość różniąca się o 1 grosz (a teoretycznie infinitezymalnie mało), która, gdyby padała za pierwszym razem, spowodowałaby odpowiedź TAK lub NIE - co jest zasadniczą różnicą (!), a zadecydował np. 1 grosz... [efekty psychologiczne się na tym opierają, że proponuje się cenę np. 0,99 groszy, a nie 1zł...]

WIĘC WIDZICIE PAŃSTWO ! Zwrot 'opłaca się' choć jednoznaczny wg 'wartości oczekiwanej' nie nadaje się do niektórych sytuacji !
Powiecie, że to psychologizowanie i rozmycie problemu ? NIE !
'Potrzebę' należy po prostu zdefiniować tak samo jak się definiuje 'miarę' !

Dla np. Marka Zuckenberga koperta z milionem dolarów czy tysiącem jest prawie bez różnicy ! On prawdopodobnie ZAMIENI z 50% ryzykiem stracenia 999,000$ aby zyskać 'konkretny' miliard dolarów ! Oczywiście, że jest w tym trochę psychologii (...) ale można ją ujarzmić badając najpierw psychikę danego człowieka.

KTO POWIE, ŻE SIĘ NIE ZGADZA Z TYM ROZUMOWANIEM MA W PAPĘ !
A poważnie to proszę o krytyczne uwagi, byle były przemyślane...

Dokładnie.

Pozdrawiam

---

Architekt projektując opiera się na wyliczeniach inżyniera. Inżynier szacuje parametry, opierając się na prawach fizyki. Fizyk korzysta z równań i tożsamości matematyki. Matematyk udowadniał twierdzenia nie zastanawiając się, czy opisują rzeczywistość.

>ścisłe rozwiązanie "paradoksu" dwóch kopert: (...)
To nie jest rozwiązanie paradoksu. Pokazałeś poprawne rozumowanie prowadzące do wniosku, że zamiana kopert nie ma sensu. Istota paradoksu (w zasadzie każdego paradoksu) polega na tym, że można przeprowadzić inne poprawne rozumowanie z którego wynika inny wniosek. W tym wypadku wniosek, że zamiana jest opłacalna.
Rozwiązanie paradoksu polega na pokazaniu, że jedno z rozumowań jest w istocie niepoprawne (lub wychodzi z błędnego założenia) albo pokazaniu gdzie leży przyczyna sprzeczności.
Przy czym, jeśli jedno z rozumowań jest niepoprawne mamy do czynienia z pozornym paradoksem np. paradoks Monty Halla.

>To czy się opłaca, to tylko jeden z motywów. Polecam "Rynkowy umysł" Shermera. Jeszcze gdzieś powinien być.
>
Nie czytałem ale orientuję się mniej-więcej i czuję, że to w tym kierunku zmierza Po prostu problem jest bardziej złożony niż opieranie się na wartości oczekiwanej, a 'losowość' i 'opłacalność' niedodefiniowane

---

"Największy błąd popełnia ten, kto sądząc, że może zrobić niewiele, nie robi nic"

WAŻNY DODATEK (uzupełniający):

"Mamy dwie koperty w których jest dwa razy więcej pieniędzy w jednej niż w drugiej. Otwieramy którąś z nich i jest tam 100 zł" - Taka sytuacja oznacza, że kwoty w kopertach nie były umieszczane w sposób całkowicie losowy z p->1 czyli na pewno Gdyby prawdziwie losowe kwoty miałyby się znaleźć w kopertach musiałyby one -> nieskończoności, bo wylosować dowolną naturalną kwotę z przedziału (0,nieskończoność) do tego się sprowadza - np. prawdopodobieństwo, że wylosujemy coś z przedziału (0,1000) jest -> nieskończenie mniejsze niż, że z (1001,nieskończoność) , itd.

A ZATEM: W odniesieniu do terminu 'opłaca się' wprowadziliśmy 'potrzebę' , a należy także wprowadzić 'okoliczności' podczas których przychodzi nam dokonać (lub nie) zamiany kopert

Tak, tak - to jest jednak psychologia, hazard, intuicja i takie tam sprawy których zdefiniowanie jest bardzo trudne o ile w ogóle możliwe (np. zobaczmy jak długo matematycy głowili się nad wprowadzeniem pojęcia 'prawdy' które pozwoli unikać sprzeczności w różnych sytuacjach - tak w ogóle to te całe dążenie do ścisłości i tak ogranicza fundamentalne tw. Goedla i pochodne - tak to jest na tym świecie ;p).

---

"Największy błąd popełnia ten, kto sądząc, że może zrobić niewiele, nie robi nic"

>Rozwiązanie paradoksu polega na pokazaniu, że jedno z rozumowań jest w istocie niepoprawne (lub wychodzi z błędnego założenia) albo pokazaniu gdzie leży przyczyna sprzeczności.

Myślę, że to inne rozumowanie wychodzi z błędnego założenia. Jest to założenie, że model którym się posłużono, prawidłowo opisuje rozwiązywany problem.
A nawet gdybyśmy przyjęli ten niesymetryczny model, to i tak nie będzie się opłacało w nieskończoność zamieniać kopert. Jeśli przyjmiemy że wartość oczekiwana koperty leżącej na stole jest większa niż wartość oczekiwana koperty trzymanej w ręku, to po pierwszej zamianie obie wartości oczekiwane pozostaną przy swoich kopertach, i będzie się opłacało zatrzymać to co mamy w ręku.

   Pojęcie „dążenia do” ma sens tylko w przypadku funkcji i to określonych na zbiorze z relacją porządku. Fakt, że przy rozkładzie jednostajnym (co nie jest określone w warunkach problemu) prawdopodobieństwo, że wylosowana kwota będzie należała do dowolnego skończonego przedziału jest równe zero (nie dąży, jest).
   Do nieskończoności dąży jednakże ciąg sum kwot z kolejnych kopert, jako szereg o wyrazach nieujemnych, niespełniający warunku Cauchy'ego. Zatem jeśli liczba losowań kopert będzie nieskończona, to nie ma znaczenia które będziemy wybierać, bo i tak dostaniemy nieskończoną ilość pieniędzy.
   To jednak nie ma większego znaczenia: prawo wielkich liczb mówi nam, że liczba trafień na liczbę prób dąży do pewnej ustalonej wartości, zwanej prawdopodobieństwem. To oznacza, że istnieje takie n i epsilon dodatnie, że od n-tego rzutu stosunek liczby trafień do liczby prób będzie leżał w epsilonowym przedziale wokół wartości prawdopodobieństwa. Oczywiście im większe n, tym mniejsze epsilon.
   Więc można mówić o prawdopodobieństwie przy skończonej liczbie prób i można się spodziewać, że jeśli rozumowanie teorii gier byłoby poprawne, to dla dostatecznie dużej liczby losowań (skończonej) otrzymalibyśmy o 1/4 więcej pieniędzy zmieniając za każdym razem koperty, z dokładnością do epsilona, które można uczynić dowolnie małym, biorąc odpowiednio dużą liczbę prób).

   Pozdrawiam.

---

Jeśli nie zaznaczono inaczej, moją twórczość należy traktować jako CC-BY-SA 3.0

Nie chcę Ci psuć zabawy, ale problem nie istnieje w ogóle. "Instrukcja" do niego jest błędnie sformuowana. Nie ma różnicy którą kopertę wybierzemy. Jeśli ktoś myśli inaczej, jest naiwny.

Po prostu nie potrafisz liczyć prawdopodobieństw warunkowych - w innych przypadkach tak samo.

"In questions of science, the authority of a thousand is not worth the humble reasoning of a single individual." Galileo Galilei