>
Zobaczcie też ten filmik z matematycznym dowodem -->www.youtube.com/watch?v=w-I6XTVZXww>
Ciekawostka pochodzi ze strony: goo.gl/C71g5ZDowód jest oczywiście bałamutny - w taki sposób łatwo "udowodnić", że ta sama suma wynosi -7, albo 1/4, albo ile kto sobie zechce.
Tym niemniej, wartość akurat -1/12 nie wzięła się znikąd.
O co chodzi? Otóż w matematyce istnieje pewna funkcja, zwana funkcją dzeta Riemanna (
pl.wikipedia.org/wiki/Funkcja_dzeta_Riemanna). Dla argumentów x>1 funkcję tę można zdefiniować wzorem:
dzeta(x) = 1/1^x + 1/2^x + 1/3^x + ...
Gdybyśmy w tym wzorze wstawili mechanicznie x=1 dostalibyśmy właśnie szereg z naszej ciekawostki, czyli
dzeta(x) = 1/1^-1 + 1/2^-1 + 1/3^-1 + ... = 1+2+3+...
co oczywiście nie ma sensu. Tym niemniej sama funkcja dzeta da się zdefiniować w sposób matematycznie porządny również dla argumentów x<1 (a nawet dla argumentów będących liczbami zespolonymi), tyle że w inny sposób, niż suma szeregu.
I można w sposób matematycznie ścisły pokazać, że wartość funkcji dzeta dla x=-1 wynosi rzeczywiście
dzeta(-1)= -/12
Stąd wzięła się ta szokująca równość.
Oczywiście nie wynika z tego, że 1+2+3+...= -1/12
Nieco z innej beczki: oszukańczy "dowód" przedstawiony na filmie bazuje na innej równości:
1-1+1-1+1-1+... = 1/2.
Ta równość to też oczywiście bzdura, bo podany szereg nie ma granicy (w zwykłym sensie). Tym niemniej, tej równości także można w pewnym sensie bronić.
Mianowicie istnieje pewne uogólnienie pojęcia granicy, mające podobne jak zwykła granica własności, zwane granicą Banacha (
pl.wikipedia.org/wiki/Granica_Banacha). Granica taka istnieje dla każdego ciągu ograniczonego, w szczególności dla ciągu sum częściowych powyższego szeregu, tj. ciągu
1,0,1,0,1,0,...
Łatwo sprawdzić, że granica Banacha takiego ciągu wynosi rzeczywiście 1/2.
7 na 7
