>1. W teorii mnogości przyjmuje się, że najmniejszą wielkością nieskończoną* jest
>moc zbioru liczb naturalnych: |N|.
>To dziwne. Mówi się o zbiorach liczniejszych (tzw. potęgowych), podając nawet procedurę ich uzyskiwania (tworzenie zbioru podzbiorów), a z tych liczniejszych tworzy się jeszcze liczniejsze...
> Dlaczego N ma być wyróżniony? Co uzyskamy stosując do N procedurę odwrotną?

A niby cóż dziwnego w tym, że liczby służą do liczenia?

>Próba odpowiedzi:
>1. Istnieją zbiory nieskończone mniej liczne od |N|.

A to niby jaki miałoby to sens zastosowane w liczeniu?
sqrt(N) -> 1, 4, 9, 16, 25, ...
jeśli takie liczenie lubisz, no proszę bardzo...
milion = tysiąc.

>2. Jeśli funkcja wykładnicza (logarytmiczna) przeprowadza jeden zbiór w drugi, to te zbiory są różnych mocy.

W przypadku ciągłym:
y = exp(x)
jest jak najbardziej jednoznaczne, co znaczy że zbiory Y i X są identyczne, więc ... dupa.

---

Lepiej spłonąć niż się tlić.

>A niby cóż dziwnego w tym, że liczby służą do liczenia?
W praktyce nic - liczby naturalne świetnie się sprawdzają.
[Ale chodzi o nieskończoności.]
>>>1. Istnieją zbiory nieskończone mniej liczne od |N|.
>A to niby jaki miałoby to sens zastosowane w liczeniu?
W zastosowaniu może i żaden.
[Ale chodzi o pojęcia wyobrażane jeno.]
>sqrt(N) -> 1, 4, 9, 16, 25, ...
>jeśli takie liczenie lubisz, no proszę bardzo...
Kwadraty czy pierwiastki nic nie zmieniają w rachunku na liczbach kardynalnych - |N|x|N|=|N| (ale |N|<2^|N|).
[Zresztą funkcje potęgowe są "przyzwoite" - ich pochodne się 'w dali' nie zerują.]
>W przypadku ciągłym:
>y = exp(x)
>jest jak najbardziej jednoznaczne, co znaczy że zbiory Y i X są identyczne, więc ...
Ale funkcja y=lnx traci monotoniczność poza skończonością, więc się nie nadaje, czyli
> dupa.
Skąd wiadomo czy do wzrostu wartości o |N| nie trzeba wzrostu argumentu o 2^|N|?
[Przyjmuję za Cantorem, że istnieje więcej niż jedna nieskończoność.]

>

---

Lepiej spłonąć niż się tlić.
Dlatego istnieją heretycy?

> Kwadraty czy pierwiastki nic nie zmieniają w rachunku na liczbach kardynalnych - |N|x|N|=|N| (ale |N|<2^|N|). [Zresztą funkcje potęgowe są "przyzwoite" - ich pochodne się 'w dali' nie zerują.]

Aha, o to ci chodzi:

2^n:
1, 2, 4, 8, 16, 32, 64 ...

a pochodna (jako różnice sąsiednich):
1, 2, 4, 8, ...

że niby to samo?

3^n
1 3 9 27 81 243 ...
różnice:
2 6 18 54 162 ... = 2(1 3 9 27 81 ...)

no, teraz nawet wzrosło to - 2 razy!

>Ale funkcja y=lnx traci monotoniczność poza skończonością, więc się nie nadaje, czyli

a cóż to za różnica: y = exp(x) <-> x = ln(y),
bo inaczej nie byłoby X = Y

>Skąd wiadomo czy do wzrostu wartości o |N| nie trzeba wzrostu argumentu o 2^|N|?
>[Przyjmuję za Cantorem, że istnieje więcej niż jedna nieskończoność.]

a cóż to za pomysły...
zapis pozycyjny liczb to narzuca, np. liczby do 1000 przy bazie 10,
mają długość tylko do 3, no a liczb jest aż 1000.
000
001
002
003
...
999

matryca: 3 x 1000 = logn x n

Trudno pojąć ideę Twoich wpisów (stąd zwłoka w odpowiedzi) - może sprecyzuję jedno z istotnych pytań w tym wątku:
Jest li sens poszukiwania/konstruowania zbiorów nieskończonych mocy mniejszej od |N|,
czy raczej w teoriomnogościowej doktrynie wszystko już 'pozamiatane'?
>

>Trudno pojąć ideę Twoich wpisów (stąd zwłoka w odpowiedzi) - może sprecyzuję jedno z istotnych pytań w tym wątku:
>Jest li sens poszukiwania/konstruowania zbiorów nieskończonych mocy mniejszej od |N|,
>czy raczej w teoriomnogościowej doktrynie wszystko już 'pozamiatane'?

O ile dobrze pamiętam ze szkoły, możesz sobie wprowadzić takie zbiory,
jednak to nic nie daje, znaczy cała teoria mnogości pozostanie zachowana w obecnej postaci.

I w zasadzie tak samo jest chyba w odwrotnym przypadku,
znaczy te wyższe nieskończoności, wymyślone przez Cantora, też nic nie zmieniają.

---

Lepiej spłonąć niż się tlić.

>1. W teorii mnogości przyjmuje się, że najmniejszą wielkością nieskończoną* jest
>moc zbioru liczb naturalnych: |N|.
>To dziwne. Mówi się o zbiorach liczniejszych (tzw. potęgowych), podając nawet procedurę ich
>uzyskiwania (tworzenie zbioru podzbiorów), a z tych liczniejszych tworzy się jeszcze liczniejsze...
> Dlaczego N ma być wyróżniony? Co uzyskamy stosując do N procedurę odwrotną?
A jak by taka odwrotna procedura wyglądała?

>2. Wg Cantora zbiory są równoliczne, gdy istnieje między nimi
>bijekcja. Takie kryterium
>wydaje się sensowne także dla wielkości nieskończonych. Funkcja przeprowadzająca jeden zbiór na
>drugi powinna być różnowartościowa i "na" (takoż funkcja odwrotna).
>Czy funkcja wykładnicza lub logarytmiczna nadaje się do rozumowania przekątniowego, skoro ta druga w
>granicy przestaje rosnąć (pochodna się zeruje)?
To nie ma znaczenia - ważne, że jest różnowartościowa, tj. dla każdych dwóch różnych argumentów przyjmuje różne wartości. To, że pochodna dąży do zera, nie zmienia faktu, że taka funkcja "łączy" liczby z dwóch zbiorów w pary i że te pary się nie "zazębiają".

>A jak by taka odwrotna procedura wyglądała?
Np. znalezienie zbioru, którego zbiór podzbiorów daje N.
> taka funkcja [logarytmiczna] "łączy" liczby z dwóch zbiorów w pary i że te pary się nie "zazębiają".
Nie wiem czy się gdzieś tam (poza skończonością) nie "sklejają" całe nieskończone pakiety argumentów, dla uzyskania znikomego wzrostu wartości.
[No jakoś w tę bijektywnosć logarytmu nie wierzę. ]
>

>>A jak by taka odwrotna procedura wyglądała?
>Np. znalezienie zbioru, którego zbiór podzbiorów daje N.
Na to lepiej odpowiedział Drobner, który podlinkował dowód, że nie ma nieskończonych podzbiorów N nierównolicznych z N.

>> taka funkcja [logarytmiczna] "łączy" liczby z dwóch zbiorów w pary i że te pary się nie "zazębiają".
>Nie wiem czy się gdzieś tam (poza skończonością) nie "sklejają" całe nieskończone pakiety argumentów, dla uzyskania znikomego wzrostu wartości.
>[No jakoś w tę bijektywnosć logarytmu nie wierzę. ]
Problem polega na tym, że nie ma czegoś takiego jak "poza skończonością". Dowolna liczba, jaką podasz, zawsze będzie skończona. Nieskończoność zbioru liczb rzeczywistych polega m.in. na tym, że jakiej byś nie podał, zawsze da się podać większą i nigdy nie zdołasz wymienić wszystkich.

A co do bijektywności logarytmu - istnieje funkcja odwrotna (funkcja wykładnicza), więc nie bardzo jest opcja, żeby nie był bijekcją (odpowiednich zbiorów)

> odpowiedział Drobner, który podlinkował dowód, że nie ma nieskończonych podzbiorów N nierównolicznych z N.
Gdyby tak było, nie byłoby tematu.
> nie ma czegoś takiego jak "poza skończonością".
Trafniejsze byłoby sformułowanie "poza mierzalnością"?
> jakiej byś nie podał, zawsze da się podać większą i nigdy nie zdołasz wymienić wszystkich.
To wiadomo, ale chodzi o różne nieskończoności i jakąś ich klasyfikację (w szczególności o to, czy istnienie najmniejszej z nich jest konsekwencją logiki, czy tylko zadekretowanego dogmatu).
>A co do bijektywności logarytmu - istnieje funkcja odwrotna (funkcja wykładnicza)
Tak. Gdyby funkcja logarytmiczna nie była ściśle monotoniczna, to odwrotna do niej (wykładnicza) nie byłaby wcale funkcją!
[Nadal jednak nie wiadomo czy one tam w nieskończonościach nie nabierają jakichś 'schodkowych przebiegów'.]
> więc nie bardzo jest opcja, żeby nie był bijekcją (odpowiednich zbiorów)
Może i nie bardzo, ale wątpliwości pozostają - nie ma jak sprawdzić 'do końca', bo nieskończoności są 'bez końca'.
>

>> odpowiedział Drobner, który podlinkował dowód, że nie ma nieskończonych podzbiorów N nierównolicznych z N.
>Gdyby tak było, nie byłoby tematu.

No i tak jest!
Dowód jest poprawny.
A Twój zbiór podzbiorów zbioru L ma moc c.

Ale zamysł i pomysł całkiem sprytny - szacun, tarkosie!

>To wiadomo, ale chodzi o różne nieskończoności i jakąś ich klasyfikację (w szczególności o to, czy istnienie najmniejszej z nich jest konsekwencją logiki, czy tylko zadekretowanego dogmatu).

Refleksje nad zbiorem N, definiowanym indukcyjnie (chronologicznie pierwsza pojawiająca się nieskończoność) oraz zbiorem R, którego nie daje się zbudować indukcyjnie poskutkowały początkowo hipotezami:
a) |N| < |R| (udowodnił Cantor);
b) |N| jest najmniejszą 'nieskończonością' (liczbą kardynalną).

'Równoważnik' tej drugiej przyjęto jako aksjomat nieskończoności.
Każdy nieskończony podzbiór N jest induktywny => izomorficzny z N => równoliczny z N. (Dowód w linku powyżej właśnie to wykazuje.)

Intuicje dotyczące przeliczalnego zbioru nieskończonego, obrobione logicznie przyjęto jako aksjomat - co świadczy o 'pierwotności' takiej intuicji (tzn. o problemie znalezienia jeszcze prostszych intuicji, z których dałoby się tę najmniejszą nieskończoność zdefiniować).

Drobner, kardynalny, choć niereligijny...

> zamysł i pomysł całkiem sprytny - szacun, tarkosie!
Chciałoby się powiedzieć: Dzięki za uznanie, Drobnerze.
[Ale w kontekście dalszych wywodów .. dziękuję za łaskawość. ]
>

Bez 'krępacji'!

Tylko dzięki Tobie teraz obaj wiemy więcej, niż poprzednio.

A może niektórzy, chcąc zrozumieć tę dyskusję, o Teorii Mnogości i mocach zbiorów w ogóle czegokolwiek się dowiedzą...
(Rozmarzyłem się...)

Drobner, chętnie misjonarz

> Tylko dzięki Tobie teraz obaj wiemy więcej, niż poprzednio.
> A może niektórzy, chcąc zrozumieć tę dyskusję, o Teorii Mnogości i mocach zbiorów w ogóle czegokolwiek się dowiedzą...
Wątek powstał akurat z Twojej inspiracji (z jakiegoś zaprzeszłego tematu o religiach, w którym stanęła wielość religii w porównaniu z wielością filozofij (ew. matematyk)).
Tak, wiele się dzięki Tobie uczę (lub przypominam sobie) o przedwiecznych wyobrażeniach na temat nieskończoności.
>

>> zamysł i pomysł całkiem sprytny - szacun, tarkosie!

Potwierdzam!!!

Jeżeli zrozumienie sprytnej argumentacji Twojego wywodu w www.racjon(*)orum.php/s,724156/i,73#w724233 i znalezienie przebiegle ukrytej luki zajęło mi, Drobnerowi, aż 30 minut - innym zajmie to co najmniej godziny, dni, tygodnie, miesiące, a nawet lata.
A dla niektórych problem pozostanie w ogóle niewyjaśnialnym paradoksem.

Tak że możesz nadal śmiało nim 'katować' kolegów.

Drobner, skromniś

> Jeżeli zrozumienie sprytnej argumentacji Twojego wywodu (..) zajęło mi, Drobnerowi, aż 30 minut...
>Drobner, skromniś
Poczucie humoru Cię nie opuszcza (i niech tak zostanie)).
>Tak że możesz nadal śmiało nim 'katować' kolegów.
Obiecuję przestać, gdyż już zrozumienie podanego przez Ciebie dowodu (nie mówiąc o precyzyjny wytknięciu jego błędności) zajmie mi pewnie więcej czasu, niż będzie trwać niniejszy wątek.
>

>Czy zatem poszukiwanie 'najpierwotniejszych' założeń ma sens? Czy aksjomatyka nie jest dorabianiem sztucznej bazy do z góry powziętych tez, na podobieństwo religijnej dogmatyki?

#1
Aksjomatyzowanie jest 'dorabianiem sztucznej bazy do z góry powziętych tez'.
'Poszukiwanie najpierwotniejszych założeń ma sens' taki, że kategorycznie ujednozniacznia rozumienie pojęć (pierwotnych) stosowanych w rozwiniętej już teorii. To taki 'słowniczek', 'elementarzyk' dla języka używanego w danej dziedzinie.
Pozwala to zdecydowanie unikać nieporozumień, powstających w wyniku np. ekwiwokacji

O tym, że aksjomatyka jest tworem sztucznym (choć niezbędnym) może świadczyć fakt istnienia różnych aksjomatyk tej samej dziedziny.
Np. geometria euklidesowa ma co najmniej trzy znane aksjomatyki:
- Euklidesa (z uzupełnieniami M. Pascha i in.);
- Hilberta
- Tarskiego
Wybór aksjomatyki zależy głównie od tego, jakie obiekty (pojęcia pierwotne) wybierzemy za 'bezpośrednio znane' i co my umiemy zrobić z tymi obiektami.

#2
>1. Istnieją zbiory nieskończone mniej liczne od |N|.

Herezja! - tzn. twierdzenie fałszywe:
Cytat:

#3
>2. Jeśli funkcja wykładnicza (logarytmiczna) przeprowadza jeden zbiór w drugi, to te zbiory są różnych mocy.

Niemożliwe.
Jeśli jakaś funkcja wykładnicza (logarytmiczna) przeprowadza jeden zbiór w drugi, to można znaleźć nieskończenie wiele innych funkcji ustalających równoliczność tych zbiorów.
Wśród tych funkcji musi się znaleźć taka, która Cię usatysfakcjonuje np. pod względem monotoniczności.
Szukaj!

Na przykład zamiast logarytmu weź f(x)=(x+1)*ln(x):



Ta funkcja ostro monotonicznie przekształca zbiór (0,+inf) na (-inf, +inf),czyli półprostą bez początku na całą prostą - te zbiory są więc równoliczne.

Drobner, 'sum wąsaty' i brodaty

>.. aksjomatyka jest tworem sztucznym (choć niezbędnym)
Z tą niezbędnością można polemizować. Za Feynmanem:Cytat:
>Wybór aksjomatyki zależy głównie od tego, jakie obiekty (pojęcia pierwotne) wybierzemy za 'bezpośrednio znane' i co my umiemy zrobić z tymi obiektami.
Czy z takiego niejednoznacznego 'dotarcia' do aksjomatów i ponownego z nich budowania nie da się otrzymać różnych matematyk (lub rozbieżnych gałęzi)?

>>>1. Istnieją zbiory nieskończone mniej liczne od |N|.
>Herezja! - tzn. twierdzenie fałszywe:
>Dowód: ...
>smurf.mimuw.edu.pl/node/629
Dowód jest nieprzekonujący, gdyż w pewnym momencie (w dość zawoalowany sposób) przemyca własną tezę.
[Przykład wystarczająco 'rozrzedzonego' podzbioru N podaję w odpowiedzi ZaKotem.]

>>>2. Jeśli funkcja wykładnicza (logarytmiczna) przeprowadza jeden zbiór w drugi, to te zbiory są różnych mocy.
>Niemożliwe.
>Jeśli jakaś funkcja wykładnicza (logarytmiczna) przeprowadza jeden zbiór w drugi, to można znaleźć nieskończenie wiele innych funkcji ustalających równoliczność tych zbiorów.
Pod warunkiem, że naprawdę są równoliczne (co dopiero należy wykazać). Zresztą z tego punktu (2.) chcę się nieco wycofać, gdyż został sformułowany na wyrost (by brzmiało bardziej heretycko)) i miał dotyczyć zbiorów przeliczalnych. Z pojęciami ciągłości, liczb rzeczywistych i innymi dogmatycznie zadekretowanymi cudami nie mam natenczas siły się rozprawić.
>Wśród tych funkcji musi się znaleźć taka, która Cię usatysfakcjonuje np. pod względem monotoniczności.
>Szukaj!
No nie wiem czy dociekania okołomatematyczne mają zależeć od satysfakcji - zdaje się, że przeciwnie.
> półprostą bez początku na całą prostą - te zbiory są więc równoliczne.
Banalne. Nawet odcinek można rozciągnąć w prostą "rzeczywistą", o ile tylko zawiera c (continuum) a nie np. 2^c lub tylko |N| (algebraicznych) elementów.

>Drobner, 'sum wąsaty' i brodaty
Dziękuję za pouczający i rzeczowy wykład.
>

>>.. aksjomatyka jest tworem sztucznym (choć niezbędnym)
>Z tą niezbędnością można polemizować.

Nie w matematyce od XX w. Inaczej już nie da się jej robić...

Inna sprawa, że aksjomaty zrobiono raz, dowiedziono niezależności, niesprzeczności i 'zupełności' (dla geometrii i analizy) i od tej pory nikt się już tym nie zajmuje... (chyba, że musi).
Sprawa zamknięta!

> Cytat:

>Istnieją dwa sposoby uprawiania matematyki, które będę tu określał jako babiloński i grecki. (...)
>W fizyce potrzebna jest metoda babilońska, a nie grecka.

Nie o fizyce rozmawiamy...

>Czy z takiego niejednoznacznego 'dotarcia' do aksjomatów i ponownego z nich budowania nie da się otrzymać różnych matematyk (lub rozbieżnych gałęzi)?

Da się, np. : Sacceri, Łobaczewski, Bolyai, Riemann zrobili tak dla geometrii (różnych), Leibniz, Łoś, Robinson dla analizy mat.

>>smurf.mimuw.edu.pl/node/629
>Dowód jest nieprzekonujący, gdyż w pewnym momencie (w dość zawoalowany sposób) przemyca własną tezę.

W którym momencie?

>[Przykład wystarczająco 'rozrzedzonego' podzbioru N podaję w odpowiedzi ZaKotem.]

Nie widzę (jeszcze).

>No nie wiem czy dociekania okołomatematyczne mają zależeć od satysfakcji - zdaje się, że przeciwnie.

Nu, sam kręciłeś nosem na zbyt wolne rośnięcie logarytmu.
To 'przyśpieszyłem' go.
Przemnóż przez e^x i 'będzie Pan zadowolony"..


> Nawet odcinek można rozciągnąć w prostą "rzeczywistą"...

Najpierw trzeba mu, 'temu odcinku', sprytnie 'schować' końce...

Drobner, nieaksjomatyzowalny.

>>>Dowód jest nieprzekonujący, gdyż w pewnym momencie (w dość zawoalowany sposób) przemyca własną tezę.
>W którym momencie?
Spróbuję opisać w jaki sposób dowód błądzi..

Zbiór rozmawia z własnym podzbiorem:
- Ty podobno nieskończony, to dogoń kolejne moje elementy, które będę Ci podawać.
- Sorry kolego - tak możemy się bawić tylko do wyczerpania mojego rozmiaru - nie dogonię Cię, bom mniejszy.

Jeśli właściwie odczytuję na czym się "dowód" zasadza, to powinien się on nadawać do wykazania równoliczności odcinka wypełnionego liczbami algebraicznymi (mocy |N|) z odcinkiem wypełnionym liczbami mocy c (tzw. rzeczywistym):
- Hej wy tam algebraiczne punkty. Skoro jest was nieskończenie wiele, to zapewne zawsze uda się wam wcisnąć pomiędzy dwa dowolne spośród nas-rzeczywistych?
- Oczywiście. Jest nas nieskończenie wiele i zawsze możemy wyprodukować nowego, pośredniego między wami. Zatem jest nas i was tyle samo.
>

PS
Proszę, byś nie chwalił się na razie dużym (dopóki sam nie uznasz, że już czas)).

PS2
Swoją drogą ciekawe jak by wyglądał dialog między odcinkiem "rzeczywistym" a takim, który zawiera 2^c elementów.. W końcu moc continuum to jeszcze nie koniec świata.
[Ale odcinka wypełnionego 'słabiej' niż algebraicznie nie potrafię sobie (jeszcze) wyobrazić ]

>Spróbuję opisać w jaki sposób dowód błądzi..
>Zbiór rozmawia z własnym podzbiorem:
>- Ty podobno nieskończony, to dogoń kolejne moje elementy, które będę Ci podawać.
>- Sorry kolego - tak możemy się bawić tylko do wyczerpania mojego rozmiaru - nie dogonię Cię, bom mniejszy.

Cała sztuka w tym, że teoria mnogości obaliła stary, jeszcze euklidesowy 'aksjomat', że "część jest mniejsza od całości".
Porównaj zbiór wszystkich liczb naturalnych z jego podzbiorem właściwym wszystkich liczb parzystych.
Niby istotnie 'mniejszy', a 'równy'...

>Jeśli właściwie odczytuję na czym się "dowód" zasadza, to powinien się on nadawać do wykazania równoliczności odcinka wypełnionego liczbami algebraicznymi (mocy |N|) z odcinkiem wypełnionym liczbami mocy c (tzw. rzeczywistym):
>- Hej wy tam algebraiczne punkty. Skoro jest was nieskończenie wiele, to zapewne zawsze uda się wam wcisnąć pomiędzy dwa dowolne spośród nas-rzeczywistych?
>- Oczywiście. Jest nas nieskończenie wiele i zawsze możemy wyprodukować nowego, pośredniego między wami. Zatem jest nas i was tyle samo.

Eeee! Nie!
#1
Każda spośród |N| liczb algebraicznych pasuje do aż c różnych par liczb rzeczywistych. Nie wolno więc 'liczyć' jej wielokrotnie.
#2
W teorii mnogości wewnętrzna struktura zbiorów jest nieistotna.
W tym przypadku gęstości obu zbiorów nie mają wpływu na równoliczność/nierównoliczność.
A tylko zwodzą na manowce niewyrobioną intuicję...

>PS
>Proszę, byś nie chwalił się na razie dużym (dopóki sam nie uznasz, że już czas)).

Poczekam do wieczora.
Może Ty, może ktoś inny znajdzie błąd (lukę) w stwierdzeniu:
>Podzbiory zbioru L: {1} {2} {1,2} {4} {1,4} {2,4} {1,2,4} {8} {1,8} {2,8} {1,2,8}.. wyznaczają kolejne liczby naturalne poprzez sumę swych elementów.

Drobner, stopniujący napięcie

> teoria mnogości obaliła stary, jeszcze euklidesowy 'aksjomat', że "część jest mniejsza od całości".
Częściowo obaliła. Co prawda kwadratów czy sześcianów liczb naturalnych jest nadal |N|, ale liczb liczb algebraicznych jest mniej od niealgebraicznych (|N|=log₂c < c).
>Porównaj zbiór wszystkich liczb naturalnych z jego podzbiorem właściwym wszystkich liczb parzystych.
>Niby istotnie 'mniejszy', a 'równy'...
Równy, bo nieistotnie mniejszy (nie chcesz mnie chyba przeczołgać po wszystkich hotelach Hilberta)).
Rachunek na liczbach kardynalnych pokazuje, że dodawanie, mnożenie czy potęgowanie nie zmieniają mocy w odróżnieniu od eksponowania*.
>Każda spośród |N| liczb algebraicznych pasuje do aż c różnych par liczb rzeczywistych. Nie wolno więc 'liczyć' jej wielokrotnie.
A to już pewnie wynika z rachunku: 2^|N|=c.
>
___________
* Eksponowaniem nazywam działanie odwrotne do logarytmowania. Co prawda można wymyślać jakieś "potworne" nieskończoności, których nie da się ugryźć funkcją wykładniczą/logarytmiczną, np: 2^22..., ale tu zajmuję się przyzwoitymi mocami w rodzaju skali betów, tyle że przedłużam ją 'w lewo'.

>> teoria mnogości obaliła stary, jeszcze euklidesowy 'aksjomat', że "część jest mniejsza od całości".
>Częściowo obaliła.

OK.
Posłużyłem się 'oryginalnym' sformułowaniem Euklidesa, więc trochę mało kategorycznym. W 'zwykłym', 'potocznym' języku - masz rację. Takie sformułowanie obalono tylko częściowo.

Ale...

W ścisłym języku matematyki owo sformułowanie oznacza: " każda część jest mniejsza od całości".
I właśnie taką tezę obala TM.
(Wystarcza jeden kontrprzykład.)

>* Eksponowaniem nazywam działanie odwrotne do logarytmowania.

Hmmm! Niby to prawda.
Ale jest dokładnie odwrotnie...
To logarytm definiuje się za pomocą wcześniej znanego pojęcia potęgi.

(Przy czym nie definiuje się logarytmów nieskończonych liczb kardynalnych. Przynajmniej ja się nie spotkałem.)

Drobner, uściślony...

>1. Istnieją zbiory nieskończone mniej liczne od |N|.
>2. Jeśli funkcja wykładnicza (logarytmiczna) przeprowadza jeden zbiór w drugi, to te zbiory są
>różnych mocy.

Spróbuj podać przykład zbioru nieskonczonego mniej licznego od N.

> przykład zbioru nieskonczonego mniej licznego od N.

L={1,2,4,8,16,...}

Przesłanki:
1. Elementów zbioru L (potęg dwójki) mniejszych od pewnej liczby naturalnej n jest (z dobrą dokładnością) log₂n. To zawsze mniej niż n.
W granicy, przy n dążącym do |N| dostajemy log₂|N|. Widać, że nie jest to wielkość skończona. Nie widać także powodu, by nagle miała być równa |N|.
2. Podzbiory zbioru L: {1} {2} {1,2} {4} {1,4} {2,4} {1,2,4} {8} {1,8} {2,8} {1,2,8}.. wyznaczają kolejne liczby naturalne poprzez sumę swych elementów - są odpowiednikiem zwykłego dwójkowego zapisu pozycyjnego. Ów zapis jest jednoznaczny - każdej liczbie odpowiada jeden ciąg zero-jedynkowy (podzbiór L) i nie ma liczb naturalnych nie dających się zapisać.

Zatem zbiór N jest równoliczny ze zbiorem podzbiorów L. Elementów zbioru N jest 2^|L| (jak to przy zbiorach potęgowych). Nie może być |L|=|N|, gdyż wtedy liczb naturalnych byłoby 2^|N|=c (continuum). Wobec powyższego wnioskuję, że |L| jest mniejsze od |N| (choć nieskończone).
>

>2. Podzbiory zbioru L: {1} {2} {1,2} {4} {1,4} {2,4} {1,2,4} {8} {1,8} {2,8} {1,2,8}.. wyznaczają kolejne liczby naturalne poprzez sumę swych elementów - są odpowiednikiem zwykłego dwójkowego zapisu pozycyjnego. Ów zapis jest jednoznaczny - każdej liczbie odpowiada jeden ciąg zero-jedynkowy (podzbiór L) i nie ma liczb naturalnych nie dających się zapisać.
> Zatem zbiór N jest równoliczny ze zbiorem podzbiorów L. Elementów zbioru N jest 2^|L| (jak to przy zbiorach potęgowych). Nie może być |L|=|N|, gdyż wtedy liczb naturalnych byłoby 2^|N|=c (continuum). Wobec powyższego wnioskuję, że |L| jest mniejsze od |N| (choć nieskończone).

Sprytne!!!
Aż 30 minut zajęło mi znalezienie błędu (luki)!
Niestety: 2^|L| <> |N|.
2^|L| = c => |L|=|N|.

Nie chcę nikomu psuć zabawy.
Na razie więc daję Tobie i innym szansę na rozgryzienie 'paradoksu'.

Drobner, z innym podzbiorem...

>2^|L| = c
Więcej jest zapisów dwójkowych liczb naturalnych, aniżeli samych liczb naturalnych?

>Drobner, z innym podzbiorem...
A czy dość małym (i czy się pochwali)) ?

>>2^|L| = c
>Więcej jest zapisów dwójkowych liczb naturalnych, aniżeli samych liczb naturalnych?

Tak! Zapisów dwójkowych liczb naturalnych jest dwa razy więcej niż liczb naturalnych (-1 oczywiście).
Każda liczba naturalna dodatnia ma dwa zapisy dwójkowe . (Dziesiętne też.)
Takich rozwinięć i tak jest tylko |N|.
Ale to nie ma związku z 'naszym' problemem.

>>Drobner, z innym podzbiorem...
>A czy dość małym (i czy się pochwali)) ?

Wprost przeciwnie.

Drobner, z dużym.

PS. Jeśli uznasz, że czas nastał, to się pochwalę i pokażę

>> przykład zbioru nieskonczonego mniej licznego od N.
>L={1,2,4,8,16,...}
>Przesłanki:
>1. Elementów zbioru L (potęg dwójki) mniejszych od pewnej liczby naturalnej n jest (z dobrą dokładnością) log₂n. To zawsze mniej niż n.
> W granicy, przy n dążącym do |N| dostajemy log₂|N|. Widać, że nie jest to wielkość skończona. Nie widać także powodu, by nagle miała być równa |N|.

Widać i tp od razu. Zbiory są równoliczne, jeśli da się każdemu elementowi pierwszego zbioru przyporządkować jeden i tylko jeden element drugiego. Dla KAZDEJ liczby naturalnej istnieje liczba 2^n i tylko jedna. Każdy ciąg jest równoliczny , bo jego elementy możemy ponumerować.

>2. Podzbiory zbioru L: {1} {2} {1,2} {4} {1,4} {2,4} {1,2,4} {8} {1,8} {2,8} {1,2,8}.. wyznaczają kolejne liczby naturalne poprzez sumę swych elementów - są odpowiednikiem zwykłego dwójkowego zapisu pozycyjnego. Ów zapis jest jednoznaczny - każdej liczbie odpowiada jeden ciąg zero-jedynkowy (podzbiór L) i nie ma liczb naturalnych nie dających się zapisać.

> Zatem zbiór N jest równoliczny ze zbiorem podzbiorów L.

Niewątpliwie, są to wręcz te same zbiory.

> Elementów zbioru N jest 2^|L| (jak to przy zbiorach potęgowych). Nie może być |L|=|N|, gdyż wtedy liczb naturalnych byłoby 2^|N|=c

A skąd ci się to c wzięło? To nadal |N|. To że coś WYJMIESZ ze zbioru N (w tym wypadku liczby nie będące potęgami 2) nie zmniejsza jego liczności. Tak samo, jak dodatnich liczb parzystych jest TYLE SAMO, co naturalnych.

>> Zatem zbiór N jest równoliczny ze zbiorem podzbiorów L.
>Niewątpliwie, są to wręcz te same zbiory.

Nie!

>> Elementów zbioru N jest 2^|L| (jak to przy zbiorach potęgowych). Nie może być |L|=|N|, gdyż wtedy liczb naturalnych byłoby 2^|N|=c
>A skąd ci się to c wzięło? To nadal |N|. To że coś WYJMIESZ ze zbioru N (w tym wypadku liczby nie będące potęgami 2) nie zmniejsza jego liczności. Tak samo, jak dodatnich liczb parzystych jest TYLE SAMO, co naturalnych.

Z aksjomatu zwanego hipotezą continuum zaproponowaną przez Cantora.

Drobner, nieobliczalny

> Dla KAZDEJ liczby naturalnej istnieje liczba 2^n i tylko jedna.
Wśród liczb skończonych tak. Ale co się dzieje 'tam w granicy', nie wiadomo. W szczególności zapis 2^n traci sens dla wielkości dążących do |N| (2^|N|=c, a to za dużo jak na liczby naturalne). By pozostać w mocy |N|, należy 'nieskończoność wykładnika' przesunąć o klasę niżej i rozpatrywać co najwyżej n dążące do log₂|N|.
> Każdy ciąg jest równoliczny , bo jego elementy możemy ponumerować.
To oczywiste, że każdy podzbiór N możemy ponumerować elementami z N. Ale to żaden argument - nie rozstrzyga bowiem czy cały zbiór N da się ponumerować indeksami z 'podejrzanego' podzbioru.
> To że coś WYJMIESZ ze zbioru N (w tym wypadku liczby nie będące potęgami 2) nie zmniejsza jego liczności. Tak samo, jak dodatnich liczb parzystych jest TYLE SAMO, co naturalnych.
Wyobrażam sobie, że da się wyjąć 'prawie wszystkie' elementy z N tak, że pozostanie ich istotnie mniej.
Dzielenie mocy nieskończonej na skończoną liczbę k części czy nawet pierwiastkowanie (do skończonej potęgi) nie zmienia jej wartości.
W rachunku liczb kardynalnych X=X+k, X=kX, X=X^k - ale już, zauważ, X<k^X.
[Zatem logarytmowanie/eksponowanie coś jednak zmienia (w odróżnieniu od prostszych działań).]
>

>Wśród liczb skończonych tak. Ale co się dzieje 'tam w granicy', nie wiadomo. W szczególności zapis 2^n traci sens dla wielkości dążących do |N| (2^|N|=c, a to za dużo jak na liczby naturalne). By pozostać w mocy |N|, należy 'nieskończoność wykładnika' przesunąć o klasę niżej i rozpatrywać co najwyżej n dążące do log₂|N|.

"Nie mieszajmy myślowo dwóch różnych systemów walutowych".
W aksjomatach teorii mnogości nie ma 'jeszcze' granic (analizy mat.).

>> Każdy ciąg jest równoliczny , bo jego elementy możemy ponumerować.

Teoria mnogości dotyczy zbiorów (nieuporządkowanych) a nie ciągów.
Zdaje się, że 'widzisz' zbiór N jako ciąg liczb naturalnych w R (np. na osi liczbowej).
Stąd Twoje inklinacje do granic oraz wymagania, co do 'odpowiednio' intensywnej monotoniczności bijekcji (ln(x))- a to przeszkadza w rozumowaniach.
Pomiń sugestywny porządek w N.
Będzie łatwiej.

Drobner, jednoelementowy

>Pomiń sugestywny porządek w N.
>Będzie łatwiej.
OK. Odpowiadałem ZaKotem, który użył pojęcia ciągu (podciągu).
Poniekąd trafnie wprowadza porządek, gdyż już sama aksjomatyka (dogmatyka) liczb naturalnych: "zero i następnik" bazuje na kolejności.

Dziękuję jednak za zwrócenie uwagi i postaram się nie mieszać wielkości ze sposobami ich ułożenia.
>

>>Pomiń sugestywny porządek w N.
>>Będzie łatwiej.
>OK. Odpowiadałem ZaKotem, który użył pojęcia ciągu (podciągu).

No i też jego zacytowałem.

>Poniekąd trafnie wprowadza porządek, gdyż już sama aksjomatyka (dogmatyka) liczb naturalnych: "zero i następnik" bazuje na kolejności.

Ale to jest aksjomatyka arytmetyki liczb naturalnych, 'trochę' późniejsza niż równoliczność w teorii mnogości.

>... "zero i następnik" bazuje na kolejności.

Tak powstają liczby naturalne (pojedyńcze egzemplarze, elementy), a nie zbiór liczb naturalnych.
Zbiera się je (myślowo) wszystkie 'do kupy', niekoniecznie pamiętając o kolejności powstawania.
Wrzuć 'do wora' i potrząśnij - dopiero wtedy dostaniesz zbiór N, a nie rosnący ciąg wszystkich liczb naturalnych.

Drobner, porządkowy

No, dobra! Zainteresowanym wyjaśniam na czym rzecz polega:

>> przykład zbioru nieskonczonego mniej licznego od N.
>L={1,2,4,8,16,...}

#1 Zatem zbiór L jest nieskończonym podzbiorem właściwym zbioru N.
Są i takie!

>2. Podzbiory zbioru L: {1} {2} {1,2} {4} {1,4} {2,4} {1,2,4} {8} {1,8} {2,8} {1,2,8}.. wyznaczają kolejne liczby naturalne poprzez sumę swych elementów...

#2 To zdanie, tak jak stoi, jest w zasadzie prawdziwe.
Wypisane 11 podzbiorów sugestywnie określa nam jak tworzyć następne, niewymienione na liście, a zasygnalizowane dwukropkiem.
I tu jest właśnie zwodnicza zagwozdka !

> Zatem zbiór N jest równoliczny ze zbiorem podzbiorów L. Elementów zbioru N jest 2^|L| (jak to przy zbiorach potęgowych). Nie może być |L|=|N|, gdyż wtedy liczb naturalnych byłoby 2^|N|=c (continuum).

#3 'Niebieski' wniosek jest nieuzasadniony i pochopny. Non sequitur.
Obliczanie mocy 'zbioru [___] podzbiorów L' formułą 2^|L| zakłada implicite badanie zbioru potęgowego zbioru L - czyli zbioru oznaczanego symbolem 2^L, czyli zbioru wszystkich podzbiorów zbioru L.

A zbiór L, jako nieskończony, posiada również podzbiory... nieskończone.

Rozważasz, tarkosie, wyłącznie podzbiory skończone zbioru przeliczalnego.

#4 I jest ich rzeczywiście alef zero, tzn |N|.
Przeoczyłeś ( ) całe continuum nieskończonych podzbiorów zbioru przeliczalnego.
Na przykład L₂ = {2,4,8,16,...} (tzn. L bez jedynki).
Które to podzbiory nie wyznaczają żadnych liczb naturalnych, przez oczywisty kłopot w dodawaniu nieskończonej liczby elementów większych lub równych 1.

> Wobec powyższego wnioskuję, że |L| jest mniejsze od |N| (choć nieskończone).

#5 Nieprawda! Wobec #4 : |2^L| = 2^|L| = alef zero + continuum = continuum.

A z tego (niewprost) wynika, że |L| = |N| = alef zero.

c(NIE)bdu.

Drobner, zbir(!) potęgowy z dużym... podzbiorem, np. L₂ = {2,4,8,16,...}

> Rozważasz, tarkosie, wyłącznie podzbiory skończone zbioru przeliczalnego.
Rozważam również nieskończone (podawanie kolejnych podzbiorów można kontynuować bez ograniczeń), tyle że nie sposób ich wprost wypisać.

>#4 I jest ich rzeczywiście alef zero, tzn |N|.
Tak.

>Przeoczyłeś ( ) całe continuum nieskończonych podzbiorów zbioru przeliczalnego.
To continuum wynika z jakiegoś rachunku (czy bierzesz je 'z czapy' tak, by pasowało do Twojego obrazka)?
>Na przykład L₂ = {2,4,8,16,...} (tzn. L bez jedynki).
Niczego nie przeoczyłem.
Zbiory podane w przykładzie (liczby postaci 2^k-2) na pewno wystąpią wśród podzbiorów L - wystarczy tylko odpowiednio długo te podzbiory wypisywać.

>Które to podzbiory nie wyznaczają żadnych liczb naturalnych,
Gdyby elementów zbioru L było |N|, to i mnie zdaje, że zapędzilibyśmy się poza N.

>z dużym... podzbiorem, np. L₂ = {2,4,8,16,...}
Podzbiór jak podzbiór - o mocy równej |L|=log₂|N|<|N|.

PS
Oznaczenie L₂ chciałbym zachować dla zbioru jeszcze mniej licznego, niż L (L₁).
>

>>z dużym... podzbiorem, np. L₂ = {2,4,8,16,...}
>Podzbiór jak podzbiór - o mocy równej |L|=log₂|N|<|N|.

a. Matematyka nie zna operacji logarytmowania nieskończonych liczb kardynalnych (w szczególności logarytmowania alef zero).
A i Ty nie zdefiniowałeś...

b. Tezę: "|L|<|N|" dopiero próbujesz udowodnić.
Nie wstawiaj jej wobec tego w założenia. Bo całe rozumowanie będzie jałowe i zbędne.

>>Przeoczyłeś ( ) całe continuum nieskończonych podzbiorów zbioru przeliczalnego.
>To continuum wynika z jakiegoś rachunku (czy bierzesz je 'z czapy' tak, by pasowało do Twojego obrazka)?

To jest znane i w miarę łatwe do udowodnienia.

>>Na przykład L₂ = {2,4,8,16,...} (tzn. L bez jedynki).
>>Które to podzbiory nie wyznaczają żadnych liczb naturalnych,

***** Jaką liczbę naturalną (przez sumowanie elementów) wyznacza nieskończony zbiór L₂ = {2,4,8,16,...}?

Podaj ją, proszę...

>Gdyby elementów zbioru L było |N|, to i mnie zdaje, że zapędzilibyśmy się poza N.

Tak i 'zapędzamy' się tam... (|2^L| = c).

>PS
>Oznaczenie L₂ chciałbym zachować dla zbioru jeszcze mniej licznego, niż L (L₁).

Nie zastrzegłem praw autorskich. Wolno Ci...

Lecz |L₂| = |L| = alef zero.
L₂ nie jest mniej liczny niż L.
Równoliczność ustala prosta 'translacja'.

Drobner, pięciogwiazdkowy

PS.
Kluczowa jest odpowiedź na *****

> Matematyka nie zna operacji logarytmowania nieskończonych liczb kardynalnych (w szczególności logarytmowania alef zero).
A dopuszczalny byłby zapis: log₂c=|N| jako równoważny zapisowi: 2^|N|=c?
[Jeśli tak, to resztą łatwo sobie dopowiedzieć.]
> Tezę: "|L|<|N|" dopiero próbujesz udowodnić.
OK - tylko ją przypominam.
> ***** Jaką liczbę naturalną (przez sumowanie elementów) wyznacza nieskończony zbiór L₂ = {2,4,8,16,...}?
>Podaj ją, proszę...
Podaj, proszę, wielkość kryjącą się za wielokropkiem, to spróbuję podać sumę.

>L₂ nie jest mniej liczny niż L.
Twój L₂ nie jest - mój miał się składać z potęg dwójki o wykładnikach z L.
>

>> Matematyka nie zna operacji logarytmowania nieskończonych liczb kardynalnych (w szczególności logarytmowania alef zero).
>A dopuszczalny byłby zapis: log₂c=|N| jako równoważny zapisowi: 2^|N|=c?
>[Jeśli tak, to resztą łatwo sobie dopowiedzieć.]

Tzn. 'jakoś' to 'rozumiem', bo sobie dopowiadam.
Ale alefa zero nie zlogarytmujesz w ten sposób, gdyż alef zero nie powstaje w wyniku potęgowania - co m.in. próbujesz wykazać (jednocześnie (milcząco) zakładając to).

>> ***** Jaką liczbę naturalną (przez sumowanie elementów) wyznacza nieskończony zbiór L₂ = {2,4,8,16,...}?
>>Podaj ją, proszę...
>Podaj, proszę, wielkość kryjącą się za wielokropkiem, to spróbuję podać sumę.

Co oznacza wielokropek, sam wiesz doskonale.
Oznacza dokładnie to samo, co u Ciebie:
Cytat:
Ja tylko 'odjąłem' jedynkę.

A zatem:
>> Jaką liczbę naturalną (przez sumowanie elementów) wyznacza nieskończony zbiór L₂ = {2,4,8,16,...}?
>>Podaj ją, proszę...

Drobner, nienadnaturalny

> alefa zero nie zlogarytmujesz w ten sposób, gdyż alef zero nie powstaje w wyniku potęgowania - co m.in. próbujesz wykazać (jednocześnie (milcząco) zakładając to).
OK. Wyczuwam chyba Twoje zastrzeżenia. Hipotetycznie zakładam moce mniejsze od |N| i badam czy to założenie rodzi jakieś specjalne sprzeczności.
Rozumiem, że moce większe od |N| wolno byłoby (ew.) logarytmować, ale |N| już nagle (doktrynalnie?) nie.
> ***** Jaką liczbę naturalną (przez sumowanie elementów) wyznacza nieskończony zbiór L₂ = {2,4,8,16,...}?
Odnoszę wrażenie, że żądasz czegoś, o czym sam wiesz zawczasu, że nie jest możliwe.
>Co oznacza wielokropek, sam wiesz doskonale.
>Oznacza dokładnie to samo, co u Ciebie:
U mnie oznacza mnogość liczb zbioru L (mocy być może mniejszej od |N|).
>Ja tylko 'odjąłem' jedynkę.
Co nie zmienia mocy.
>

#1
Cytat:
To wskazuje, że ustaliłeś tylko funkcję ze zbioru podzbiorów L NA zbiór N

#2

>>Jaką liczbę naturalną (przez sumowanie elementów) wyznacza nieskończony zbiór L₂ = {2,4,8,16,...}?
>Odnoszę wrażenie, że żądasz czegoś, o czym sam wiesz zawczasu, że nie jest możliwe.

Oczywiście! Cieszę się, że już sam to widzisz.
Bo w ten sposób pokazuję, że Twoja funkcja (z #1) nie jest z N NA zbiór podzbiorów L.
Żaden nieskończony podzbiór L nie ma odpowiednika w N.

#3
Ustaliłeś zatem jedynie iniekcję z N W 2^L, a więc wyłącznie |N| <= 2 ^|L|.

Skądinąd wiem, że samych tylko nieskończonych podzbiorów L jest c>|N|.

Stąd |N| < 2 ^|L| = c.
A z tego (niewprost) wynika, że |L| = |N| = alef zero.

Drobner, element niewyczerpany

PS.
>>Ja tylko 'odjąłem' jedynkę.
>Co nie zmienia mocy.

... ani wielokropka oznaczającego niesumowalny nieskończony zestaw wyrazów ciągu geometrycznego o ilorazie 2>1.

>Rozumiem, że moce większe od |N| wolno byłoby (ew.) logarytmować, ale |N| już nagle (doktrynalnie?) nie.

Żadna doktryna nie zabrania.
Dotkliwie jednak uniemożliwia to brak jakiejkolwiek poprawnej definicji.
A dokładniej: niemożność skonstruowania takiej definicji, wynikająca z Twierdzenia 1.8 w smurf.mimuw.edu.pl/node/629

> Żaden nieskończony podzbiór L nie ma odpowiednika w N.
A jeśli wezmę tylko skończone podzbiory L, to będzie lepiej?
>

>> Żaden nieskończony podzbiór L nie ma odpowiednika w N.
>A jeśli wezmę tylko skończone podzbiory L, to będzie lepiej?



Tak.
Lecz już nie 'policzysz' ich wzorem 2^|L|, 'obliczającym' wszystkie podzbiory..

Nie uzyskasz więc c.
Co najwyżej alef zero. (Jeśli weźmiesz wszystkie lub dowolną nieskończoną rodzinę podzbiorów skończonych.)

Drobner, równowartościowy 1-1

>>>A jeśli wezmę tylko skończone podzbiory L, to będzie lepiej?
>
>Tak.
>Lecz już nie 'policzysz' ich wzorem 2^|L|, 'obliczającym' wszystkie podzbiory..
>Nie uzyskasz więc c.
>Co najwyżej alef zero.

Od początku nie miałem większych (mocniejszych) zamiarów (co najwyżej |N| tylko)).
>

>>>>A jeśli wezmę tylko skończone podzbiory L, to będzie lepiej?
>>
>>Tak.
>>Lecz już nie 'policzysz' ich wzorem 2^|L|, 'obliczającym' wszystkie podzbiory..
>>Nie uzyskasz więc c.
>>Co najwyżej alef zero.
>Od początku nie miałem większych (mocniejszych) zamiarów.

Też często tak robię.
Np. w gronie moich koleżanek jest tylko mała część, kilka, o których 'myślę' .
Olbrzymią większość z nich moja podświadomość... pomija...
Samo to tak jakoś jest...

Drobner, też czasami wybiórczy

> Olbrzymią większość z nich moja podświadomość... pomija...
Pomińmy je zatem świadomie i zwróćmy się w drugą stronę.
Czy przyjmując inną aksjomatykę (o ile nie przymusu dla tej jedynej) dałoby się konstruować moce mniejsze od |N|?
>

>Czy przyjmując inną aksjomatykę (o ile nie przymusu dla tej jedynej) dałoby się konstruować moce mniejsze od |N|?

#1 Już takie moce są: moce zbiorów skończonych tzn. liczby naturalne. ( )

#2 A jeśli chodzi o ew. nieskończone moce mniejsze od |N|, to na podstawie dowodu tw. 1.8 z smurf.mimuw.edu.pl/node/629, domyślam się, że należałoby kombinować z aksjomatem nieskończoności, który, niestety, induktywnie produkuje zbiory od razu mocy |N|.

Do tej pory jednak nikt nie skonstruował 'mniejszej' 'nieskończoności'.

I chyba nikt nie próbował.
Oczywiście - oprócz Ciebie.

#3 Osobiście: dzięki za fajną 'łamigłówkę' mnogościowo-logiczną.


#4 Istnienia ujemnych mocy - też jeszcze nikt nie badał...

Drobner, mocarz urojony (a co?)

Jak najbardziej "na temat".

Tylko luźniej.

Drobner, niekoniecznie drętwy.

>>>>A jeśli wezmę tylko skończone podzbiory L, to będzie lepiej?

(cytowania z tarkos: www.racjonalista.pl/forum.php/s,724156#w724233)

>Zatem zbiór N jest równoliczny ze zbiorem podzbiorów L.

#1 Lecz nie jest równoliczny ze zbiorem wszystkich podzbiorów L.

>Elementów zbioru N jest 2^|L| (jak to przy zbiorach potęgowych).

#2 Nie!, gdyż 2^|L| to moc 'zbioru potęgowego' L, czyli zbioru wszystkich podzbiorów L, a nie moc zbioru wyłącznie skończonych podzbiorów L (p. #1).

>Nie może być |L|=|N|, gdyż wtedy liczb naturalnych byłoby 2^|N|=c (continuum).

#3 Powinno być: >Nie może być |L|=|N|, gdyż wtedy liczb naturalnych byłoby 2^|L| = 2^|N|=c (continuum).

Lecz wybierając jedynie podzbiory skończone L pozbawiłeś się możliwości używania w rozumowaniu i symbolu 2^L (zbioru wszystkich podzbiorów L) i jego mocy 2^|L|.

>Wobec powyższego wnioskuję, że |L| jest mniejsze od |N| (choć nieskończone).

#4 Wobec mojego powyższego #3, Twoje powyższe jest wnioskiem z fałszu, i to wnioskiem fałszywym (p. #4 i #5 w: www.racjonalista.pl/forum.php/s,724156#w724315).

Drobner, inaczej wybiórczy...

> Matematyka nie zna operacji logarytmowania nieskończonych liczb kardynalnych
Takie logarytmowanie byłoby może jednak przydatne?
Jeśli np. trzeba szybko przeprowadzić rachunek na liczbach kardynalnych w wyrażeniu zawierającym powiedzmy X^YZ, to po dwukrotnym zlogarytmowaniu, pododawaniu czego trzeba, po czym dwukrotnym wyeksponowaniu powinno wyjść tyle, ile było na początku.
Jak myślisz?

> (w szczególności logarytmowania alef zero).
"Pamiętaj, cholera, nie logarytmuj alef zera"
>

Dzień Dobry

We wpisie inicjującym ten wątek, którego główna treść dotyczy wielkości nieskończonych (niemierzalnych, lecz tylko wyobrażanych), stawiam tezy odmienne (w tym ogólniejsze) od twierdzeń klasycznej teorii mnogości. Już pierwsza z nich:
>1. Istnieją zbiory nieskończone mniej liczne od |N|.
nie spotyka się jednak z .. powszechnym poparciem .
Dowód jej przeczący, podany przez Wielkiego Drobnera (szkoda, że nie sformułowany wprost w kilku zdaniach) nie wydaje się przekonujący, choć nawet Dociekliwy Ebvalaim uznaje ów za wystarczający.
Za sprawą Bystrego ZaKotem zaproponowałem przykład stosownego zbioru wraz ze szkicem uzasadnienia (które nie jest formalnym dowodem):Cytat:

Moją 'teoryjkę mnogości' (bo cóż poważnego może się kryć za pojęciami nienamacalnymi (co sugerował Nieklasyfikowalny Astrofoton)) można jednak rozbudować. I tak:

1. Z podanego wcześniej zbioru L={1,2,4,8,16, ..} można wybrać podzbiór K={2,4,16,256,65536, ..}, w którym występują potęgi dwójki o wykładnikach z L.
Proszę zauważyć, że kolejne podzbiory K:
{2} {4} {2,4} {16} {2,16} {2,4,16} {256} {2,256} {2,4,256} {2,4,16,256}.. wyznaczają (z wyjątkiem jedynki) liczby zbioru L poprzez iloczyn swych elementów.
Mamy zatem reprezentację liczb naturalnych jako poszczególne sumy podzbiorów L
oraz reprezentację elementów L jako poszczególne iloczyny podzbiorów K.
Tu sumy, tam iloczyny (przy okazji warto zauważyć istotną różnicę między tymi działaniami - drugie jest rozdzielne względem pierwszego ale nie! odwrotnie).
Procedurę znajdowania coraz to 'rzadszych' podzbiorów można oczywiście kontynuować i znaleźć stosowne (jednoznaczne) działania, przeprowadzające podzbiory następnego w elementy poprzedniego.

2. Jeśli zbiór L={1,2,4,8, ..} (potęgi dwójki) byłby mniej liczny od zbioru liczb naturalnych N, to, przez symetrię, logarytmów liczb naturalnych (dajmy na to przy podstawie 2) powinno być więcej, niż |N|.
Istotnie, dla skończonych n będzie tych logarytmów rzędu 2ⁿ, co w granicy prowadzi do wielkości 2^|N|=c, a więc więcej niż |N|.

Jak uważacie - warto rozwijać heretyckie teoryjki mnogości, czy nie warto drążyć ścieżek nieskończonej wyobraźni?

____________
PS
Mam nadzieję, że nie uraziłem szanownych kolegów Epitetami przy ich Peudonimach - niech usprawiedliwieniem będzie niematerialny, para-religijny charakter tematu.
>