Twierdzę, że to czego najbardziej brakuje w podręcznikach do matematyki, zwłaszcza wyższej, to nieco bardziej jakościowe wyjaśnienie kluczowych pojęć, np. takich jak różniczka, pochodna, całka czy ciągłość.
Zbytnie zagłębianie się w szczegóły sprawia, że widzi się drzewa nie widząc lasu. Szczególnie wyraźnie widać to na przykładzie tak zwanej ciągłości jednostajnej.
Powszechnie znana jest tak zwana ciągłość funkcji w punkcie. To dość łatwe zagadnienie. W tym sensie, że naoczne. Wykres funkcji nieciągłej w punkcie jest w tym punkcie przecięty. Z kolei ciągłość jednostajna jest już dużo trudniejsza. Zobaczcie chociażby jak się z nią mordują uczestnicy tego forum: matematyka.pl/3760.htm
Znają znaczki, wiedzą czym są kwantyfikatory i moduł, a jednak nie mogą załapać sedna.
Tymczasem da się je wyjaśnić i to bez nadmiernego formalizmu. Potrzebna jest tylko bardzo podstawowa wiedza o funkcjach z liceum.
Otóż weźmy sobie parę argumentów x1 i x2 i odpowiadające im wartości f(x1) i f(x2). Oczywiście zajmujemy się wyłącznie funkcjami ciągłymi w każdym punkcie. Czyli ich wykresy są niepoprzecinane. Okazuje się, że takie funkcje dzielą się na dwie wielkie grupy: funkcje jednostajnie ciągłe i niejednostajnie ciągłe. Załóżmy teraz, że argumenty zbliżają się do siebie, czyli ich różnica dąży do zera. W przypadku funkcji jednostajnie ciągłych wartości f(x1) i f(x2) też będą się do siebie zbliżały bez względu na to, w jaki sposób zbliżają się do siebie argumenty. Bo trzeba wiedzieć, że argumenty mogą zbliżać się do siebie na różne sposoby. Ale o tym za chwilę. Natomiast w przypadku funkcji niejednostajnie ciągłych zachodzi przynajmniej jedna taka sytuacja, że argumenty się zbliżają, a wartości np. rozchodzą. W każdym bądź razie ich różnica nie dąży do zera.
Jeśli ta rzecz zostanie zrozumiana to dopiero wtedy można powiedzieć, że się rozumie jednostajną ciągłość. Wejdźmy zatem jeszcze bardziej w szczegóły i zobaczmy jak to jest z tymi wartościami i argumentami. Zarówno x1 jak i x2 można sobie wyobrazić jako ciągi. Np: x1 = 1/(n^2+1), x2 = 1/n Wstawiając za n kolejne liczby naturalne dostaje się jakieś x1 i jakieś x2 i widać, że ich różnica dąży do zera. To właśnie miałem na myśli mówiąc, że x1 i x2 zbliżają się do siebie na różne sposoby. Bo można sobie wziąć inne ciągi. Zostańmy jednak na chwile przy tych i zobaczmy dlaczego na przykład hiperbola y = 1/x nie jest funkcją jednostajnie ciągłą.
Otóż jest tak dlatego, że f(x1) = n^2+1 , a f(x2) = n. Widać teraz wyraźnie, że gdy argumenty zbliżają się do siebie w wybrany przez nas sposób, to różnica wartości dąży do nieskończoności. Wystarczy jeden taki przypadek i funkcja już nie jest jednostajnie ciągła.
Jak widać obyło się bez kwantyfikatorów, modułów i wielkich abstrakcji. Uważam, że dopiero po takim wstępie można to wszystko formalizować, czyli wtedy gdy ktoś zasadniczo potrafi odróżnić od siebie te dwie klasy funkcji.
Ta główna definicja z kwantyfikatorami jest właściwie mało pomocna, bo nie kładzie dostatecznego akcentu na fakt, że argumenty mogą zbliżać się do siebie na rożne sposoby. Dopiero posłużenie się ciągami wyjaśnia w pełni zagadnienie.
Pamiętam, że mój wykładowca od analizy miał poważne wątpliwości co do tego, czy sposób wykładu typu: definicja, twierdzenie, dowód, jest słuszny od strony dydaktycznej.
Bo to tak jakby zakładać, że psychologiczne prawa nauki matematyki muszą być ścisłym odzwierciedleniem struktury samej matematyki. Moim zdaniem tak nie jest i nawet jeśli zasadniczy schemat wykładu pozostawić bez zmian to można by go przynajmniej uzupełnić takimi jak powyżej rozważaniami jakościowymi, czy quasi-jakościowymi.