Nie jestem w stanie tego uzasadnić, ale coś mi mówi, że warto przy tej okazji przyjrzeć się paradoksowi petersburskiemu i Nagrodzie Nobla z ekonomii za 2002 rok.

   Pozdrawiam

---

Niech strój słów podkreśla urodę myśli

> A może to już zbytnia ekstrapolacja i fascynacja tego typu
>problemami - choć na pewno mówią nam one coś ISTOTNEGO na temat rzeczywistości.

Mówią nam na pewno jedną tylko rzecz - że nasze możliwości poznawcze są i pozostaną lokalne, a świat jest i będzie nam czarną skrzynką. Co jednak nie znaczy, że fascynacja tym faktem jest w jakikolwiek sposób niewskazana. A gdyby nawet czasem taką była, to i tak pozostanie niezbywalna ludzką cechą - choć też lokalną.

---

Rozum to umiejętność naginania poglądów do faktów

>Pragnę podzielić się paroma linkami (ang.) które kilku osobom uzmysłowią, że to nie jest zagadnienie typu 'hop, siup i nie widzę żadnego problemu'

Właśnie że to jest 'hop siup'.
en.wikipedia.org/wiki/Two_envelopes_problem
tu jest błąd:

7. So the expected value of the money in the other envelope is:
1/2 * 2A + 1/2 A/2 = 5/4 A

Kompletny idiotyzm!
Są tylko dwie koperty, a nie trzy z kwotami: A/2, A, i 2A.

>Może dogłębna, pełniejsza analiza tego typu 'przypadków' pozwoli kiedyś podać 'lepsze'
>interpretacje splątania i interferencji kwantowej,

To akurat się zgadza: w QM robią podobne błędy (problem interpretacji, lub raczej definicji, prawdopodobieństwa, losowości, itp.).

Czy to nie jest przypadkiem pewna odmiana paradoksu Monty Halla?

pl.wikipedia.org/wiki/Paradoks_Monty_Halla

(Krótko mówiąc, chodzi o wybór jednej spośród trzech bramek i opłacalność zmiany decyzji, gdy zobaczymy, że jedna z niewybranych jest pusta).

W nim cały problem - jak sądzę - sprowadza się głównie do nieprecyzyjnego określenia, co tutaj jest tak naprawdę doświadczeniem losowym w sensie rachunku prawdopodobieństwa. Intuicyjnie określamy nim każdą decyzję (wybór kopert/bramek), podczas gdy doświadczeniem jest w istocie cała sekwencja ewentualnych zmian (lub, równoważnie, wybór finalny).

>Czy to nie jest przypadkiem pewna odmiana paradoksu Monty Halla?
Nie, nie ma to zupełnie NIC wspólnego z 'paradoksem' o którym piszesz gdyż jego rozwiązanie (paradoksu Monty Halla) jest trywialne i jednoznaczne...

---

"Największy błąd popełnia ten, kto sądząc, że może zrobić niewiele, nie robi nic"

> Pragnę podzielić się paroma linkami (ang.) które kilku osobom uzmysłowią, że to nie jest zagadnienie typu 'hop, siup i nie widzę żadnego problemu'

No więc ja jestem z tych co nie widzą problemu. Kłopot z linkami jest ten, że każdy link mąci w nieco innym miejscu. Napisz krótko i treściwie gdzie Ty widzisz problem a postaram się znaleźć rozwiązanie typu "hop, siup".

>No więc ja jestem z tych co nie widzą problemu. Kłopot z linkami jest ten, że każdy link mąci w nieco innym miejscu. Napisz krótko i treściwie gdzie Ty widzisz problem a postaram się znaleźć rozwiązanie typu "hop, siup".

No więc nie znajdziesz rozwiązania - (w sensie takim jak np. rozwiązanie 'paradoksu' Monty Halla) gdyż ono nie istnieje - tu chodzi o analizę problemu i paradoksalne własności tej analizy.

Bez (prostych) wyliczeń napiszę najkrócej jak to można rozpatrywać:

Mamy dwie koperty - wiemy, że w jednej jest n razy więcej pieniędzy niż w drugiej (n może być w zasadzie dowolne- przyjmijmy, że wynosi 2). Teraz wybierając jedną z kopert wiemy, że jest tam jakaś kwota x, a w drugiej niewybranej musi być zgodnie z warunkami zadania 2x lub x/2 (mamy 50% szansę, że zyskamy w razie wymiany i 50% szansę, że stracimy) Wartość oczekiwana jest większa od x więc kierując się tym kryterium powinniśmy dokonać wymiany (bo uznajemy, że nam się to "OPŁACA" - gdy bukmacher zaproponuje zakład gdzie stawiając x, możemy wygrać 2x lub stracić wszystko i zależy to np. od rzutu monetą (50%) jest to uczciwy zakład - tutaj mamy podobnie tylko, że zamiast 0 możemy mieć w gorszym wypadu x/2 - jest to bardziej niż uczciwy zakład) No tak, ale po zamianie analogiczna analiza "każe" nam znów zmienić bo mamy teraz jakieś y, a tam czyha 2y lub y/2. I tak w nieskończoność. Nie musimy otwierać koperty gdyż w tej analizie nie zakładamy, że to musi być jakaś konkretna kwota tylko DOWOLNA, i tak zamiana będzie OPłacalna. Czyli bierzemy dowolną kopertę, drugą np. niszczymy i jest fajnie. Otwieramy ją i oczywiście jest tam jakaś kwota X. Dobrze, czyli teraz już na konkretnych wartościach (zmartwieni) wiemy, że w tej drugiej było (np. przy X=100) 200zł lub 50zł -> wartość oczekiwana przy zmianie to 250/2 = 125zł . Mogliśmy zyskać "aż" 100zł lub stracić "tylko" 50zł. Rewelacja. Jak nie zniszczyliśmy jednak drugiej koperty wchodzimy w tej deal i zamieniamy. Koniec, bo z tą drugą kopertą w ręku już nie chcemy tej pewnej 100, bo mamy potencjalnie 200zł, a w najgorszym wypadku 50zł. O. A jak opisałem w temacie sprzed roku można na to popatrzeć tak:

"Mamy te koperty na stole. Ja wziąłem jedną, drugą wziął mój kolega. Otwieramy. Ja mam 100zł i wiem, że przy zmianie mogę więcej ewentualnie zyskać niż ewentualnie stracić. Mój kolega ma 200zł - on też wie, że przy zmianie może więcej ewentualnie zyskać niż ewentualnie stracić. Czyli obydwu nam "opłaca" się dokonać zmiany. Patrzymy na siebie i pytamy: "Chcesz się wymienić ? - I każdy szczęśliwy oddaje kopertę drugiemu bo "policzył", że wartość oczekiwane jest >1."

DZIWNE, PARADOKSALNE jest właśnie to, że Ty i tak (a przynajmniej wartość oczekiwana Ci tak podpowiada) będziesz chciał wymienić kopertę jak poznasz wartość jednej z nich. Możesz z góry sobie zaplanować - o chcę wziąć czerwoną (a druga jest np. niebieska) To co robisz w tym kierunku ? Nie bierzesz po prostu czerwonej, bo jak ją otworzysz to będzie Ci głupio, że zmienić na niebieską by Ci się opłacało -> Żeby wziąć czerwoną, bierzesz niebieską, otwierasz - o 1000zł - fajnie - teraz z "czystym sumieniem" zamieniam na czerwoną

A CO JAK BĘDZIE WIĘCEJ KOPERT ? Np. 3 (x, 2x, 3x) lub więcej ? - no, pomyślcie
Można to tak rozwinąć, że stanie się zagadnieniem co najmniej na doktorat ;p

Okazuje się, że to problem z gatunku pl.wikipedia.org/wiki/Teoria_decyzji
warto też przejrzeć to:
pl.wikiped(*)opodobieństwo_subiektywne

A może podejście w ten sposób: Tym zagadnieniem naprawdę zajmowali się niegłupi ludzie, profesorowie matematyki, ekonomii - czy poświęcaliby oni swój czas na coś bez znaczenia i zupełnie trywialnego ?

*ja już się nie podejmuję dalszej dyskusji - uważam, że w pierwszym linku jest aż nadto aby inteligenty człowiek (jak potrzebuje) przetrawił to sobie w spokoju

~ jeszcze takie małe 'coś' na koniec ;p - zauważcie - im więcej masz tym chętniej się wymienisz - np. ktoś daje Ci kopertę mówiąc, że w drugiej jest 1000 razy więcej lub 1000 razy mniej - wymienisz się ? Acha, w Twojej (pierwszej) było milion dolarów - Edek spod budki nie wymieni się "za żadne skarby" ryzykując, że z kasy na całe życie może mu zostać "raptem" na parę miesięcy picia, a np. Roman z Rosji nie zastanowi się "sekundy" i weźmie drugą kopertę bo 1000$ czy milion to i tak nie wystarczy mu nawet na paliwo do nowego Jachtu... - i to ile kto ma się ŚCIŚLE uwzględnia przy pewnych analizach tego problemu !!
(to nie jest tylko czysta psychologia)

(w tych linkach które podałem naprawdę jest dużo więcej dobrej analizy)

Pozdrawiam

---

"Największy błąd popełnia ten, kto sądząc, że może zrobić niewiele, nie robi nic"

Po prostu mieszasz dwa wykluczające się zdarzenia.

> Tym zagadnieniem naprawdę zajmowali się niegłupi ludzie, profesorowie matematyki, ekonomii - czy poświęcali by oni swój czas na coś bez znaczenia i zupełnie trywialnego

Poziom nauczania systematyczne spada, ale nie wiedziałem, że to idzie aż tak drastycznie.

>(to nie jest tylko czysta psychologia)

Pewnie że nie - naiwność i głupota... w najczystszej formie.

Masz problem na doktorat:
Trzech wojowników walczy, przyjmujemy że wygrywa ten który przegra... jako drugi!
Jaką szansę na wygraną ma woj A, pod warunkiem że wygra, i jeśli B zginie.

>Nie musimy otwierać koperty gdyż w tej analizie nie zakładamy, że to musi być jakaś konkretna kwota tylko DOWOLNA, i tak zamiana będzie OPłacalna.

   Oczywista nieprawda. Nie musi być opłacalna. Ona tylko może taką być. Mamy tutaj do czynienia z koniecznością podjęcia decyzji w sytuacji, w której dysponujemy niepełną informacją, czyli w warunkach ryzyka. Jeśli decyzja jest jednorazowa, a tak jest najczęściej, oszacowanie ryzyka jakim dysponujemy pozwala nam na racjonalne rozłożenie sił i środków jakie możemy przeznaczyć na oszacowanie skutków pomyślnego i niepomyślnego wyniku podjętej decyzji. Samą zaś decyzję podejmujemy głównie w oparciu o wyniki tych oszacowań.

   Myślę, że niewiele więcej można z tego wycisnąć.

   Pozdrawiam

---

Niech strój słów podkreśla urodę myśli

>> No więc ja jestem z tych co nie widzą problemu. Kłopot z linkami jest ten, że każdy link mąci w nieco innym miejscu. Napisz krótko i treściwie gdzie Ty widzisz problem a postaram się znaleźć rozwiązanie typu "hop, siup".

> No więc nie znajdziesz rozwiązania - (w sensie takim jak np. rozwiązanie 'paradoksu' Monty Halla) gdyż ono nie istnieje ...

Jak to nie istnieje? Przecież poprawne rozwiązanie jest banalnie proste: przed otwarciem koperty nie ma sensu jej zamieniać.

> ... - tu chodzi o analizę problemu i paradoksalne własności tej analizy.

Raczej chodzi o znalezienie błędu w analizie prowadzącej do odmiennego wniosku. No więc poszukajmy...

> Mamy dwie koperty - wiemy, że w jednej jest n razy więcej pieniędzy niż w drugiej (n może być w zasadzie dowolne- przyjmijmy, że wynosi 2). Teraz wybierając jedną z kopert wiemy, że jest tam jakaś kwota x, a w drugiej niewybranej musi być zgodnie z warunkami zadania 2x lub x/2 (mamy 50% szansę, że zyskamy w razie wymiany i 50% szansę, że stracimy) ...

O tu jest błąd i to ten zasadniczy: te szanse nie mogą być równe dla każdego x. Nietrudno zauważyć, że istnieje taka kwota x_max, dla której włożenie dwa razy większej kwoty do drugiej koperty jest niemożliwe, tzn. szansa na 2x_max = 0. W zależności od okoliczności niemożliwość ta wynika z ograniczonych funduszy gry, pojemności koperty, czy choćby ilości pieniędzy w obiegu.

Właściwie na tym można by zakończyć, ale dodam jeszcze parę komentarzy.

> ... Wartość oczekiwana jest większa od x więc kierując się tym kryterium powinniśmy dokonać wymiany.

Błędnie policzyłeś tę wartość oczekiwaną.

> gdy bukmacher zaproponuje zakład gdzie stawiając x, możemy wygrać 2x lub stracić wszystko i zależy to np. od rzutu monetą (50%) jest to uczciwy zakład - tutaj mamy podobnie tylko, że zamiast 0 możemy mieć w gorszym wypadu x/2 - jest to bardziej niż uczciwy zakład

Jeżeli my decydujemy o wartości x, to gra zmienia się zasadniczo.

> Nie musimy otwierać koperty ...

Otwarcie koperty niesie informację o prawdopodobieństwie znalezienia dwa razy większej kwoty w drugiej kopercie. Np. jeżeli otwieramy jedną kopertę i znajdujemy tam kwotę x_max, to zamiana kopert jest nieopłacalna.

> A może podejście w ten sposób: Tym zagadnieniem naprawdę zajmowali się niegłupi ludzie, profesorowie matematyki, ekonomii - czy poświęcaliby oni swój czas na coś bez znaczenia i zupełnie trywialnego?

I wciąż się zajmują. Może po prostu niosą kaganek oświaty?

> jeszcze takie małe 'coś' na koniec ;p - zauważcie - im więcej masz tym chętniej się wymienisz - np. ktoś daje Ci kopertę mówiąc, że w drugiej jest 1000 razy więcej lub 1000 razy mniej - wymienisz się ? Acha, w Twojej (pierwszej) było milion dolarów - Edek spod budki nie wymieni się "za żadne skarby" ryzykując, że z kasy na całe życie może mu zostać "raptem" na parę miesięcy picia, a np. Roman z Rosji nie zastanowi się "sekundy" i weźmie drugą kopertę bo 1000$ czy milion to i tak nie wystarczy mu nawet na paliwo do nowego Jachtu... - i to ile kto ma się ŚCIŚLE uwzględnia przy pewnych analizach tego problemu !!

A tu, na koniec, masz rację. Ale to już inna para kaloszy.

>Otwarcie koperty niesie informację o prawdopodobieństwie znalezienia dwa razy większej kwoty w drugiej kopercie. Np. jeżeli otwieramy jedną kopertę i znajdujemy tam kwotę x_max, to zamiana kopert jest nieopłacalna.

   To można bardzo łatwo obejść. x_max nie musi być znane wybierającemu kopertę. Wystarczy, jeśli po otwarciu powie mu się: wygrałeś pewną kwotę, możesz na tym poprzestać, ale możesz też wybrać drugą kopertę, w której może być kwota dwa razy większa lub mniejsza. Gubi się przy tym aspekt psychologiczny, czyli ten który sprawia, że problem jest interesujący dla ekonomistów, ale sam problem pozostaje.

   Pozdrawiam

---

Niech strój słów podkreśla urodę myśli

>> Otwarcie koperty niesie informację o prawdopodobieństwie znalezienia dwa razy większej kwoty w drugiej kopercie. Np. jeżeli otwieramy jedną kopertę i znajdujemy tam kwotę x_max, to zamiana kopert jest nieopłacalna.

> To można bardzo łatwo obejść. x_max nie musi być znane wybierającemu kopertę. Wystarczy, jeśli po otwarciu powie mu się: wygrałeś pewną kwotę, możesz na tym poprzestać, ale możesz też wybrać drugą kopertę, w której może być kwota dwa razy większa lub mniejsza.

Może można tak powiedzieć, ale nie będzie to prawda. Jeżeli gracz otwarł kopertę z x_max to ma zerową szansę podwojenia wygranej.

> Gubi się przy tym aspekt psychologiczny, czyli ten który sprawia, że problem jest interesujący dla ekonomistów, ale sam problem pozostaje.

Wręcz na odwrót, w tej sytuacji graczowi pozostaje głównie aspekt psychologiczny: zgadywanie czy krupier blefuje czy nie.

Błąd w rozumowaniu jest taki: masz dwie wartości oczekiwane w zależności czy masz większą kwotę czy mniejszą.
Jeśli chcesz dostać wartość oczekiwaną z tych wartości oczekiwanych, to nie stosujesz średniej prostej- bo wzór na oczekiwaną jest coś/coś- stosuje się wtedy średnią harmoniczną.
Wzory: EX1= (x+x/2)/2=3/4 x; EX2= (x+2x)/2= 3/2 x;
Średnia harmoniczna z tego:
H = 2/[4/(3x)+2/(3x)]= x
Wniosek z tego, że wybierając jakkolwiek wybierasz dobrze.
Dłuższe tłumaczenie zastosowania średnich: Mieczysław Sobczyk "Statystyka" Nowe wydanie z 2007 roku, strony 38-41.
Pozdrawiam

---

Zastanów się, czy swoim powyższym postem nie uraziłeś moich uczuć religijnych. Jestem ateistą- czczę Święty Spokój.

>Jeśli chcesz dostać wartość oczekiwaną z tych wartości oczekiwanych, to nie stosujesz średniej prostej- bo wzór na oczekiwaną jest coś/coś- stosuje się wtedy średnią harmoniczną.
>Wzory: EX1= (x+x/2)/2=3/4 x; EX2= (x+2x)/2= 3/2 x;
>Średnia harmoniczna z tego:
>H = 2/[4/(3x)+2/(3x)]= x

Niezłe!
Pewnie harmonia sfer i tego typu sprawy - golden ratio!

Nie wiedziałem, że to nawet w loterii działa...

> Jeśli chcesz dostać wartość oczekiwaną z tych wartości oczekiwanych, to nie stosujesz średniej prostej - bo wzór na oczekiwaną jest coś/coś - stosuje się wtedy średnią harmoniczną.

To tylko zbieg okoliczności, że średnia harmoniczna daje poprawny wynik dla czynników 2 i 1/2. Czynniki n i 1/n dla n różnego od 2 dadzą zły wynik. Błąd jest nie w sposobie liczenia średniej ale w nierealistycznym założeniu jednakowych prawdopodobieństw.

>> Jeśli chcesz dostać wartość oczekiwaną z tych wartości oczekiwanych, to nie stosujesz średniej prostej - bo wzór na oczekiwaną jest coś/coś - stosuje się wtedy średnią harmoniczną.
>To tylko zbieg okoliczności, że średnia harmoniczna daje poprawny wynik dla czynników 2 i 1/2. Czynniki n i 1/n dla n różnego od 2 dadzą zły wynik. Błąd jest nie w sposobie liczenia średniej ale w nierealistycznym założeniu jednakowych prawdopodobieństw.
Sprawdzam:
EX1=(x+x/n)/2=(n+1)x/2n EX2=(x + nx)/2=(n+1)x/2
H=2/[2n/((n+1)x) + 2/((n+1)x)] = x
Wynik wychodzi poprawnie!

Jest to to samo, co zdarza się w podstawówce, gdy chcemy wyliczyć średnią ocen:
Mamy 10 przedmiotów i znamy już 8 ocen- liczymy dla nich średnią arytmetyczną. Wystawiają nam jeszcze dwie- liczymy dla nich średnią arytmetyczną. Na koniec liczymy średnią z tych dwóch średnich- wyjdzie nam niepoprawny wynik! (chyba że np. wszystkie piątki - wtedy bez różnicy)
Gdybyśmy zastosowali średnią harmoniczną dla dwóch arytmetycznych- wyszłoby ok!
Pozdrawiam

---

Zastanów się, czy swoim powyższym postem nie uraziłeś moich uczuć religijnych. Jestem ateistą- czczę Święty Spokój.

>> To tylko zbieg okoliczności, że średnia harmoniczna daje poprawny wynik dla czynników 2 i 1/2. Czynniki n i 1/n dla n różnego od 2 dadzą zły wynik. Błąd jest nie w sposobie liczenia średniej ale w nierealistycznym założeniu jednakowych prawdopodobieństw.

> Sprawdzam:
> EX1=(x+x/n)/2=(n+1)x/2n EX2=(x + nx)/2=(n+1)x/2
> H=2/[2n/((n+1)x) + 2/((n+1)x)] = x Wynik wychodzi poprawnie!

No faktycznie, masz rację! Niemniej dostajesz poprawny wynik tylko dlatego, że liczysz średnią w dwóch krokach, z których pierwszy jest podejrzany. Dlaczego w ogóle bierzesz kwotę x do tych średnich? Przecież jak chcesz zmienić koperty to jedyne możliwości to x/n i nx, i tylko z tych kwot powinna być liczona średnia, czyż nie?

Nadal obstaję przy tym, że błąd jest w założeniu równych prawdopodobieństw x/n i nx.

> Jest to to samo, co zdarza się w podstawówce, gdy chcemy wyliczyć średnią ocen:
> Mamy 10 przedmiotów i znamy już 8 ocen- liczymy dla nich średnią arytmetyczną. Wystawiają nam jeszcze dwie- liczymy dla nich średnią arytmetyczną. Na koniec liczymy średnią z tych dwóch średnich- wyjdzie nam niepoprawny wynik! (chyba że np. wszystkie piątki - wtedy bez różnicy)
> Gdybyśmy zastosowali średnią harmoniczną dla dwóch arytmetycznych- wyszłoby ok!

Sprawdzam:
Powiedzmy, że mamy już 8 piątek a potem dostaliśmy jeszcze 2 dwóje. Średnia arytmetyczna wszystkich ocen to 4.4, natomiast średnia harmoniczna z 5 i 2 to 2.86. Nie zgadza się.

Według mnie poprawna metoda to liczenie średniej arytmetycznej ze średnich arytmetycznych ważonych liczbą ocen.

>>> To tylko zbieg okoliczności, że średnia harmoniczna daje poprawny wynik dla czynników 2 i 1/2. Czynniki n i 1/n dla n różnego od 2 dadzą zły wynik. Błąd jest nie w sposobie liczenia średniej ale w nierealistycznym założeniu jednakowych prawdopodobieństw.
>> Sprawdzam:
>> EX1=(x+x/n)/2=(n+1)x/2n EX2=(x + nx)/2=(n+1)x/2
>> H=2/[2n/((n+1)x) + 2/((n+1)x)] = x Wynik wychodzi poprawnie!
>No faktycznie, masz rację! Niemniej dostajesz poprawny wynik tylko dlatego, że liczysz średnią w dwóch krokach, z których pierwszy jest podejrzany. Dlaczego w ogóle bierzesz kwotę x do tych średnich? Przecież jak chcesz zmienić koperty to jedyne możliwości to x/n i nx, i tylko z tych kwot powinna być liczona średnia, czyż nie?
>Nadal obstaję przy tym, że błąd jest w założeniu równych prawdopodobieństw x/n i nx.
Zastosowałem czystą matematykę- nie wprowadzałem tu interpretacji. Osobiście widzę to tak: mamy jedną sytuację, w ramach której możemy wylądować po stronie mniejszej lub większej kwoty. Zmiana nic nie wnosi, bo nie wiadomo, po której stronie wylądowaliśmy, a prawdopodobieństwo że jest to "dobra" strona jest takie samo, jak prawdopodobieństwo, że jest to "zła" strona.
Przyczepiłem się do matematyki (statystyki w wydaniu autora wątku), bo wyliczanie średniej arytmetycznej z podanych średnich arytmetycznych prowadzi do wzoru:
[(2x + x) + (x/2 + x)]/4 - który jest średnią arytmetyczną z czterech elementów co w naszej sytuacji nie ma miejsca!.
Uznałem powyższe podejście za złe i znalazłem, moim zdaniem, odpowiednie.
>> Jest to to samo, co zdarza się w podstawówce, gdy chcemy wyliczyć średnią ocen:
>> Mamy 10 przedmiotów i znamy już 8 ocen- liczymy dla nich średnią arytmetyczną. Wystawiają nam jeszcze dwie- liczymy dla nich średnią arytmetyczną. Na koniec liczymy średnią z tych dwóch średnich- wyjdzie nam niepoprawny wynik! (chyba że np. wszystkie piątki - wtedy bez różnicy)
>> Gdybyśmy zastosowali średnią harmoniczną dla dwóch arytmetycznych- wyszłoby ok!
>Sprawdzam:
>Powiedzmy, że mamy już 8 piątek a potem dostaliśmy jeszcze 2 dwóje. Średnia arytmetyczna wszystkich ocen to 4.4, natomiast średnia harmoniczna z 5 i 2 to 2.86. Nie zgadza się.
>Według mnie poprawna metoda to liczenie średniej arytmetycznej ze średnich arytmetycznych ważonych ilością ocen.
Daje to poprawny wynik.

Zacytuje na swoją obronę zdanie z książki, którą przywoływałem (Statystyka ... str39): "Przy obliczaniu średniej harmonicznej z szeregów rozdzielczych (punktowych lub przedziałowych) zachodzi konieczność zastosowania wag (uwzględniania liczebności)."
Mój przykład miał pokazać, że robienie średniej arytmetycznej ze średnich arytmetycznych nie jest najmądrzejszym podejściem.
Pozdrawiam

---

Zastanów się, czy swoim powyższym postem nie uraziłeś moich uczuć religijnych. Jestem ateistą- czczę Święty Spokój.

>Nadal obstaję przy tym, że błąd jest w założeniu równych prawdopodobieństw x/n i nx.

Nie ma w ogóle takich wartości.
Próbujesz liczyć coś czego nie ma (w QM tak liczą, stąd te niby paradoksy).
Są dwie kwoty x i 2x.

Wybierasz jedną, czyli masz x albo 2x, obie z prawdop. 1/2;
zatem po zmianie liczymy tak:
- pod warunkiem że masz x (p=1/2), zmienisz na 2x,
- pod warunkiem że masz 2x (p=1/2), zmienisz na x.
czyli nie się nie zmienia - kwota x/2 tu nie istnieje.

   Pozwolę sobie podrzucić jeszcze dwa tropy do rozmyslań.

   Jak zmieniłaby się ocena problemu gdybyśmy mieli pewność, że takie same dwie koperty będą się pojawiały na naszym stole codziennie, a jak, gdyby otwarta koperta zawierała milion, a wielkość kwot w kopertach różniłaby się stukrotnie?

   Pozdrawiam

---

Niech strój słów podkreśla urodę myśli