Paradoks: en.wikipedia.org/wiki/Two-envelope_paradox
"This is still an open problem - Royal Society, November 2009" - zależy jak rozumieć słowo 'rozumieć'

W najprostszej, nieoddającej złożonej problematyczności, wersji:
Mam 2 koperty. W jednej jest dwa razy więcej pieniędzy niż w drugiej. Wybierasz jedną, otwierasz - jest 100zł. Czy chcesz zamienić na tą drugą ? Wiesz, że może być tam 50zł lub 200zł - OPŁACA SIĘ zamienić - tak ? [wartość oczekiwana]

odp: NIEKONIECZNIE !

Tak jak dla pojęcia 'losowość' potrzebna jest 'miara' aby obliczyć prawdopodobieństwo na zbiorze nieskończonym, tak tutaj dla pojęcia
'opłaca się' potrzebne jest pojęcie 'potrzeba' !

Intuicyjnie widać to dla przypadku kiedy założymy, że w jednej kopercie jest 1000 razy więcej niż w drugiej ! Otwierasz i masz milion dolarów ! Zamienisz ? Przy średniej krajowej w Polsce, ryzykować, że na 50% zostaniemy miliarderami albo stracimy pieniądze życia jeśli w tej drugiej będzie tylko 1000$ - dla większości ludzi, zakładam, będzie głupim, niepotrzebnym ryzykiem !

Odwrotne rozumowanie, związane z TEORIĄ DECYZJI, na przykładzie:
Za ile zgodzisz się przez 3 dni nie myć zębów ? (to chyba nie narusza godności na tyle, że ktoś powie: ZA NIC! - można wymyślić inny przykład...)

100 zł ? Nie ? 1000 zł ? ok? A 500 zł ? jednak nie ? 850zł ? nie ? 950zł ? tak ? 920 ? itd. ... zawsze będzie wartość różniąca się o 1 grosz (a teoretycznie infinitezymalnie mało), która, gdyby padała za pierwszym razem, spowodowałaby odpowiedź TAK lub NIE - co jest zasadniczą różnicą (!), a zadecydował np. 1 grosz... [efekty psychologiczne się na tym opierają, że proponuje się cenę np. 0,99 groszy, a nie 1zł...]

WIĘC WIDZICIE PAŃSTWO ! Zwrot 'opłaca się' choć jednoznaczny wg 'wartości oczekiwanej' nie nadaje się do niektórych sytuacji !
Powiecie, że to psychologizowanie i rozmycie problemu ? NIE !
'Potrzebę' należy po prostu zdefiniować tak samo jak się definiuje 'miarę' !

Dla np. Marka Zuckenberga koperta z milionem dolarów czy tysiącem jest prawie bez różnicy ! On prawdopodobnie ZAMIENI z 50% ryzykiem stracenia 999,000$ aby zyskać 'konkretny' miliard dolarów ! Oczywiście, że jest w tym trochę psychologii (...) ale można ją ujarzmić badając najpierw psychikę danego człowieka.

KTO POWIE, ŻE SIĘ NIE ZGADZA Z TYM ROZUMOWANIEM MA W PAPĘ !
A poważnie to proszę o krytyczne uwagi, byle były przemyślane...

Nie zgadzam się.
Twoja odpowiedź może i mogła by być intuicyjnie prawdziwa, jeśli możemy losować tylko raz i bierzemy pod uwagę bezpieczeństwo.
Nie widzę jednak powodów aby ograniczać losowanie tylko do 1 razu.
Wtedy, jeśli założymy że w 1. kopercie jest zawsze 1000zl a w 2. 1mln lub 1zl. To wtedy średnio dostaniemy ok 0,5mln na losowanie, i po iluś tam losowaniach na pewno mamy 0,5mln/1000 = 500 razy więcej gdy wybieramy 2. kopertę a nie 1.
Gdzie jest błąd?
W założeniach oczywiście. Nie możemy założyć że zawsze w 1. kopercie jest 1000zł. Dlatego że jak mamy 2 sumy 1000zł i 1zł to zawsze, gdy w 1. jest 1000 to w drugiej jest 1zł. A nie 2x więcej lub mniej. Musimy więc założyć, że w 1. jest 1000zł albo 1zł i wtedy wszystko się zgadza.

>Nie zgadzam się.
Thx
>Twoja odpowiedź może i mogła by być intuicyjnie prawdziwa, jeśli możemy losować tylko raz i bierzemy pod uwagę bezpieczeństwo.
Losujemy raz, bierzemy pod uwagę 'potrzebę' ~ 'bezpieczeństwo' - ważne jest ścisłe zdefiniowanie tak jak dla pojęcia 'miary'
>Nie widzę jednak powodów aby ograniczać losowanie tylko do 1 razu.
>Wtedy, jeśli założymy że w 1. kopercie jest zawsze 1000zl a w 2. 1mln lub 1zl.
Jak zawsze w 1 kopercie byłaby ta sama kwota to już nie jest żadna losowość
Dalej to ~ tłumaczysz (choć problem kolejnych losowań, gdzie w pierwszej kopercie może być dowolna kwota jest trudny, bo ta kwota w zasadzie może być dowolnie duża wtedy, a więc -> nieskończoności...)

---

"Największy błąd popełnia ten, kto sądząc, że może zrobić niewiele, nie robi nic"

>A poważnie to proszę o krytyczne uwagi, byle były przemyślane...
w grę wchodzą również emocje czy nie ? np uwarunkowane dniem !

> w grę wchodzą również emocje czy nie ? np uwarunkowane dniem !
Tak, ale to wszystko powinniśmy uwzględnić w def. 'potrzeby'

---

"Największy błąd popełnia ten, kto sądząc, że może zrobić niewiele, nie robi nic"

>> w grę wchodzą również emocje czy nie ? np uwarunkowane dniem !
>Tak, ale to wszystko powinniśmy uwzględnić w def. 'potrzeby'
O.K

   O ile wiem, w tym paradoksie nie chodzi o intuicyjne pojęcie opłacalności, ale raczej o punkt widzenia teorii gier.
   O opłacalności decyduje suma gry, czyli suma po wszystkich możliwych wynikach, wyrażeń typu prawdopodobieństwo wyniku mnożone przez wygraną (przegrana wchodzi ze znakiem minus oczywiście). Kiedy suma gry jest równa zero mówimy, że taka gra jest sprawiedliwa. Kiedy jest dodatnia mówimy, że opłaca się w nią grać, bo nawet jeśli na krótką metę stracimy, to prawo wielkich liczb dyktuje, że po pewnym czasie wyjdziemy na plus. Nie opłaca się grać w gry o sumie ujemnej, co dotyczy prawie wszystkich gier hazardowych (podobno craps ma sumę dodatnią, jeśli typujemy zawsze siódemkę).
   Paradoks tkwi w tym, że gra polegająca na wymianie kopert zawsze, ma dodatnią sumę, tj. jeśli w otworzonej kopercie znajduje się kwota m i wiemy, że w drugiej jest z prawdopodobieństwem 1/2 2m bądź m/2, to suma gry 0.5*m-0.5*m/2=m/4 jest większa od zera.
   To oznacza, że zamieniając koperty na dłuższą metę powinniśmy zyskiwać względem zatrzymania pierwszej koperty i po zakończeniu gry dostać o jedną czwartą więcej pieniędzy, mimo że w rzeczywistości dostaniemy tyle samo.
   Moim zdaniem teorię gier powinno się stosować po prostu do gry jako całości, a nie „od środka”.

   Pozdrawiam.

---

Jeśli nie zaznaczono inaczej, moją twórczość należy traktować jako CC-BY-SA 3.0

>   O ile wiem, w tym paradoksie nie chodzi o intuicyjne pojęcie opłacalności, ale raczej o punkt widzenia teorii gier.
"This is still an open problem[1] among the subjectivists as no consensus has been reached yet" - popraw wiki jak czujesz się na siłach
>   O opłacalności decyduje suma gry, czyli suma po wszystkich możliwych wynikach, wyrażeń typu prawdopodobieństwo wyniku mnożone przez wygraną (przegrana wchodzi ze znakiem minus oczywiście). Kiedy suma gry jest równa zero mówimy, że taka gra jest sprawiedliwa. Kiedy jest dodatnia mówimy, że opłaca się w nią grać, bo nawet jeśli na krótką metę stracimy, to prawo wielkich liczb dyktuje, że po pewnym czasie wyjdziemy na plus. Nie opłaca się grać w gry o sumie ujemnej, co dotyczy prawie wszystkich gier hazardowych (podobno craps ma sumę dodatnią, jeśli typujemy zawsze siódemkę).
Teoria gier - jak każda teoria - opiera się na aksjomatach i w tym przypadku dochodzimy do paradoksu (sprzeczności?) w tym wypadku. 'Oczko' także jest grą o sumie dodatniej ale 'niemożliwą' do policzenia dla człowieka - oszuści posługiwali się komputerem i wygrywali
>   Paradoks tkwi w tym, że gra polegająca na wymianie kopert zawsze, ma dodatnią sumę, tj. jeśli w otworzonej kopercie znajduje się kwota m i wiemy, że w drugiej jest z prawdopodobieństwem 1/2 2m bądź m/2, to suma gry 0.5*m-0.5*m/2=m/4 jest większa od zera.
>   To oznacza, że zamieniając koperty na dłuższą metę powinniśmy zyskiwać względem zatrzymania pierwszej koperty i po zakończeniu gry dostać o jedną czwartą więcej pieniędzy, mimo że w rzeczywistości dostaniemy tyle samo.
Nikt nie powiedział, że gra toczy się 'na dłuższą metę' ! Jeśli tak, to dowolna wartość losowa w następnej kolejce, w następnej kopercie, z prawdopodobieństwem -> 1, dąży do nieskończoności !

---

"Największy błąd popełnia ten, kto sądząc, że może zrobić niewiele, nie robi nic"

>"This is still an open problem[1] among the subjectivists as no consensus has been reached yet" - popraw wiki jak czujesz się na siłach
   Nie wiem, co rozumieją jako „subiektywistów” w takim kontekście, ale to zdanie może być równie dobrze prawdziwe. To, że ja mam jakieś zdanie na temat tego paradoksu, wcale nie oznacza jeszcze konsensusu. Pewnie się zresztą mylę; nie jestem ekspertem – teoria gier to było kiedyś jedno z moich pobocznych, amatorskich zainteresowań.

>Nikt nie powiedział, że gra toczy się 'na dłuższą metę' ! Jeśli tak, to dowolna wartość losowa w następnej kolejce, w następnej kopercie, z prawdopodobieństwem -> 1, dąży do nieskończoności !
   Nie bardzo rozumiem to zdanie. Tak jak ja rozumiem postawiony problem, każde losowanie jest niezależne, a kwota dowolna, więc nigdzie nie dąży.
   Teoria gier oparta jest na prawdopodobieństwie, a to ma ścisły sens tylko w kontekście prawa wielkich liczb, jako granica liczby trafień na liczbę prób przy tej ostatniej dążącej do nieskończoności. Wynik pojedynczego losowania jest niezdeterminowany, więc suma gry nie ma znaczenia; dopiero przy dużej liczbie gier daje nam ona pojęcie ile średnio zyskujemy lub tracimy.
   Tak przynajmniej ja to rozumiem.

   Pozdrawiam.

---

Jeśli nie zaznaczono inaczej, moją twórczość należy traktować jako CC-BY-SA 3.0

>>Nikt nie powiedział, że gra toczy się 'na dłuższą metę' ! Jeśli tak, to dowolna wartość losowa w następnej kolejce, w następnej kopercie, z prawdopodobieństwem -> 1, dąży do nieskończoności !
>Nie bardzo rozumiem to zdanie. Tak jak ja rozumiem postawiony problem, każde losowanie jest niezależne, a kwota dowolna, więc nigdzie nie dąży.

Ja rozumiem to tak: Jeżeli wiemy tylko, że w jednej kopercie jest dwa razy więcej pieniędzy niż w drugiej to po otwarciu wybranej może być tam dowolna liczba rzeczywista zł. Prawdopodobieństwo, że będzie to akurat w przedziale (0,9999999999999999999999999) -> 0, bo ich jest nieskończenie wiele więc kolejne równoprawdopodobne przedziały są 'uprzywilejowane' bo jest ich 'więcej' - w konsekwencji wartość -> nieskończoności. To jest nietrywialny krok kiedy zakładamy kolejne losowania bo wtedy zakładając, że maksymalna wygrana zawiera się w jakichś ramach tracimy pojęcie losowości bez względu na pojęcie miary...

---

"Największy błąd popełnia ten, kto sądząc, że może zrobić niewiele, nie robi nic"

>>>Nikt nie powiedział, że gra toczy się 'na dłuższą metę' ! Jeśli tak, to dowolna wartość losowa w następnej kolejce, w następnej kopercie, z prawdopodobieństwem -> 1, dąży do nieskończoności !
>>Nie bardzo rozumiem to zdanie. Tak jak ja rozumiem postawiony problem, każde losowanie jest niezależne, a kwota dowolna, więc nigdzie nie dąży.

Powiem Ci, że natchnęła mnie ta odpowiedź... Kwota dowolna: Wiemy, że są dwie koperty w których jest dwa razy więcej pieniędzy w jednej niż w drugiej: Na podstawie rachunku prawdopodobieństwa na nieskończonościach [dowolnie!] powinniśmy się spodziewać, że z p->1 kwota w dowolnej kopercie będzie -> nieskończoności... Ale jak otwieramy i mamy 100zł ? Albo 1,000,000$ (albo dowolna skończoną kwotę...) Ale to nie powinno się zdarzyć przy tych założeniach ? ... A niech to... Założenie + jest takie, że było 100 zł w tej pierwszej otwartej kopercie !!

---

"Największy błąd popełnia ten, kto sądząc, że może zrobić niewiele, nie robi nic"

>W najprostszej, nieoddającej złożonej problematyczności, wersji:
>Mam 2 koperty. W jednej jest dwa razy więcej pieniędzy niż w drugiej. Wybierasz jedną, otwierasz -
>jest 100zł.

Mój Boże... To, że w tej kopercie jest 100 zł jest po protu niemożliwe... (p->0)
W niej musi być X ->nieskończoności przy p ->1

p- prawdopodobieństwo
p ->0- zdarzenie niemożliwe
p ->1- zdarzenie pewne
->- dążenie- matematyka...

Przepraszam.

---

"Największy błąd popełnia ten, kto sądząc, że może zrobić niewiele, nie robi nic"

>Paradoks tkwi w tym, że gra polegająca na wymianie kopert zawsze, ma dodatnią sumę, tj. jeśli w otworzonej kopercie znajduje się kwota m i wiemy, że w drugiej jest z prawdopodobieństwem 1/2 2m bądź m/2, to suma gry 0.5*m-0.5*m/2=m/4 jest większa od zera.
>To oznacza, że zamieniając koperty na dłuższą metę powinniśmy zyskiwać względem zatrzymania pierwszej koperty i po zakończeniu gry dostać o jedną czwartą więcej pieniędzy, mimo że w rzeczywistości dostaniemy tyle samo.

Zabawne, właśnie sam sobie to wykombinowałem tak "na intuicję". Przyjmijmy, że w pierwszej kopercie zawsze jest 100 zł. Zakładając, że zawartość kopert jest rzeczywiście losowa, w dłuższych seriach w 50% przypadków druga koperta będzie zawierała dwa razy więcej niż pierwsza i w 50% dwa razy mniej. Powiedzmy, że wykonujemy 100 prób i nigdy nie zamieniamy kopert: dostaniemy 100 x 100 zł = 10 000 zł. Jeśli w tych 100 próbach będziemy zawsze zmieniać kopertę, dostaniemy (50 x 50 zł) + (50 x 200 zł) = 12 500 zł... To oczywiście niczego nie mówi o pojedynczych przypadkach, ale dla większej liczby prób zmiana koperty to strategia gwarantująca wygraną.

Cały 'cyrk' polega na tym, że w pierwszej kopercie może być dowolna kwota, a to oznacza, że będzie -> nieskończoności - patrz: mój poprzedni post... Nie możemy sobie zakładać, że "w pierwszej kopercie zawsze jest 100 zł" ... Stąd paradoks...

---

"Największy błąd popełnia ten, kto sądząc, że może zrobić niewiele, nie robi nic"

To czy się opłaca, to tylko jeden z motywów. Polecam "Rynkowy umysł" Shermera. Jeszcze gdzieś powinien być.

ścisłe rozwiązanie "paradoksu" dwóch kopert:
oznaczmy
X - kwota, która jest w jednej z dwóch kopert,
2X - kwota, która jest w drugiej.
Y - kwota która jest w kopercie którą mamy w ręku.
Z - kwota która jest w kopercie która leży na stole.
E(Z)=E(Z|Y=X)xP(Y=X)+E(Z|Y=2X)xP(Y=2X)=2Xx0,5+Xx0,5=1,5X
E(Y)=E(Y|Z=X)xP(Z=X)+E(Y|Z=2X)xP(Z=2X)=2Xx0,5+Xx0,5=1,5X
czyli E(Y)=E(Z).
Innymi słowy, wartości oczekiwane zawartości obu kopert są takie same, i nie zmienia tego fakt, że jedną z tych kopert właśnie wzięliśmy do ręki.
Edit:
Co zresztą jest wyjaśnione w podanym linku... przepraszam za niedopatrzenie.