|
Chcesz wiedzieć więcej? Zamów dobrą książkę. Propozycje Racjonalisty: | | |
|
|
|
|
Nauka » Matematyka i logika
O prawdzie u Alfreda Tarskiego [2] Autor tekstu: Krzysztof Kapulkin
1.
zmienne liczbowe, kodowane za pomocą liczb pierwszych większych od
10, czyli 11, 13, 17, 19,...
2.
zmienne zdaniowe — wyrażenia logiczne i wzory, kodowane za pomocą
kwadratów liczb pierwszych większych od 10, czyli 112, 132,
172, 192, ...
3.
predykaty — właściwości liczb, wyrażeń liczbowych, kodowane za
pomocą sześcianów liczb pierwszych większych od 10, czyli 113,
133, 173, 193, ...
Dla
przybliżenia problemu rozważmy wyrażenie logiczne: (x)(x
= sy),
które czytamy istnieje x taki, że x jest bezpośrednim następnikiem y. x,
y to zmienne liczbowe, zatem zgodnie z procedurą kodowania mamy x -
11, a y — 13, ponieważ 11 i 13 to
dwie najbliższe liczby pierwsze większe od 10. Teraz podstawiamy za kolejne
symbole liczby kodujące otrzymujemy sekwencję: (8, 4, 11, 9, 8, 11, 5, 7,
13, 9). Aby teraz otrzymać z tego konkretną liczbę, która będzie kodowała
to twierdzenie i tylko to twierdzenie, bierzemy 10 kolejnych liczb pierwszych
(ponieważ nasza sekwencja składa się z 10 liczb) poczynając od 2. Następnie
podnosimy każdą liczbę pierwszą do potęgi równej liczbie kodującej
odpowiedni symbol w wyrażeniu, a potem mnożymy je. Otrzymana liczba będzie
wzajemnie jednoznacznie przyporządkowana wyrażeniu, ze względu na
matematyczne twierdzenie o jednoznaczności rozkładu. Spójrzmy jeszcze na
wyrażenie podane w przykładzie:
(x)(x = sy) →
28·34·511·79·118·1311·175·197·2313·299
Kluczowym
elementem dowodu I Twierdzenia Goedla o niezupełności było znalezienie
sposobu kodowania arytmetycznego takich różniących się semantycznie poziomów
wyrażeń logicznych. Zatem za pomocą systemu Goedla można wyrazić każde
stwierdzenie o liczbach naturalnych w postaci pewnej liczby naturalnej, co umożliwia
wykorzystanie do badania prawd arytmetycznych arytmetyki. W II Twierdzeniu
Goedel pokazał na przykładzie abstrakcyjnych przekształceń na pozbawionych
znaczenia symbolach, iż w ramach każdego systemu formalnego składającego
się z aksjomatów i reguł wnioskowania istnieją prawdziwe zdania o tym
systemie, których nie jesteśmy w stanie udowodnić przy pomocy środków
tego systemu. Takim zdaniem jest np. „Tego stwierdzenia nie można udowodnić".
Jaką wartość logiczną posiada to zdanie? Otóż gdyby było ono fałszywe,
wówczas istniałby dowód tego stwierdzenia, a więc doszłoby do
zaprzeczenia jego treści. Natomiast, gdyby nie istniał dowód tego
stwierdzenia, to byłoby ono prawdziwe, gdyż to właśnie stwierdza. Mamy
zatem prawdziwe stwierdzenie, którego nie można udowodnić. A to oznacza, że
system jest niezupełny. Przedstawione zdanie nosi nazwę zdania Goedla.
Dochodzimy zatem do wniosku, iż w każdym systemie formalnym dostatecznie
silnym, by wyrazić wszystkie związki między liczbami naturalnymi, istnieją
stwierdzenia nierozstrzygalne, których nie można udowodnić w ramach
systemu, choć są to prawdziwe stwierdzenia o liczbach. Można się o tym
przekonać wykraczając poza system. Goedel szybko skonstruował arytmetyczne
stwierdzenie A, wyrażające matematycznie stwierdzenie: „arytmetyka jest
niesprzeczna", po czym wykazał, że nie można tego stwierdzenia udowodnić, w związku z czym nie można udowodnić niesprzeczności arytmetyki, korzystając z dowolnego obejmującego arytmetykę systemu formalnego.
Znając idee
najważniejszych pomysłów Goedla, spróbujmy prześledzić jego tok
rozumowania:
1.
opracowujemy system kodowania, który pozwala jednoznacznie przetłumaczyć
dowolne wyrażenie logiczne i dowolny dowód z Principia Mathematica na
jednoznacznie określone stwierdzenie dotyczące liczb naturalnych
2.
zastępujemy pojęcie „prawdy" pojęciem „dowodliwości",
przekształcamy paradoks Epimenidesa (paradoks kłamcy) w stwierdzenie:
„Tego stwierdzenia nie da się udowodnić"
3.
Wykazujemy, że w każdym systemie formalnym obejmującym arytmetykę,
ma swój arytmetyczny odpowiednik — zdanie Godla G
4.
Dowodzimy, że jeżeli system jest niesprzeczny, to zdanie Godla musi
być prawdziwe. Stad wykazujemy niezupełność.
5.
Wykazujemy, że nawet w wprowadzenie dodatkowych aksjomatów i stworzenie nowego systemu formalnego, w którym można udowodnić zdanie G,
nie rozwiązuje problemu, gdyż w tym nowym systemie istnieje nowe zdanie
Godla G, którego nie można udowodnić
6.
Konstruujemy arytmetyczne stwierdzenie, które mówi, że „arytmetyka
jest niesprzeczna". Dowodzimy, że tego arytmetycznego stwierdzenia nie można
udowodnić, a zatem arytmetyka jako system formalny jest za słaba, by
udowodnić własną niesprzeczność. [ 6 ]
Dla języka
potocznego, twierdzi Tarski, również nie da się sformułować ścisłej,
poprawnej definicji zdania prawdziwego. W języku tym najoczywistsza zdaje się
być semantyczna definicja prawdy. Chodzi o definicję, która dałaby się po
uproszczeniu zapisać: „zdanie prawdziwe jest to zdanie, które wyraża, że
tak a tak rzeczy się mają, i rzeczy mają się tak właśnie". Ogólny
schemat takiej definicji to: (*) "x
jest zdaniem prawdziwym wtedy i tylko wtedy, gdy p", gdzie p oznacza
jakiekolwiek zdanie, natomiast x nazwę jednostkową tego zdania. Tarski odwołuje
się tu do definicji Arystotelesa: „Jest fałszem powiedzieć o tym, co nie
jest, że jest, lub o tym, co jest, że nie jest; jest prawdą powiedzieć o tym, co jest, że jest lub o tym, co nie jest, że nie jest."
Tarski zastanawia
się, jak należy zbudować nazwę zdania, aby w łatwy sposób można było
podać zdanie, znając jego nazwę. Jako jedno z rozwiązań podaje nazwy
cudzysłowowe. Nazwy cudzysłowowe składają się z cudzysłowów oraz wyrażenia
pomiędzy cudzysłowami. Podstawiając do (*) nazwę cudzysłowową Tarski
formułuje taki oto przykład: (**) „śnieg
pada" jest zdaniem prawdziwym wtedy i tylko wtedy, gdy śnieg pada.
Drugim,
wymienionym przez Tarskiego rodzajem nazw są nazwy strukturalnoopisowe, czyli
nazwy opisujące, z jakich wyrazów składa się wyrażenie będące
desygnatem nazwy, z jakich znaków składa się każdy poszczególny wyraz i w
jakiej kolejności te znaki i wyrazy po sobie następują. Stąd
wyprowadza definicję, znowu wstawiając do (*): wyrażenie,
które składa się z dwóch wyrazów, z których pierwszy składa się z pięciu
kolejnych liter: ś, n, i, e, g, zaś drugi z czterech kolejnych liter: p, a,
d, a, jest zdaniem prawdziwym wtedy i tylko wtedy, gdy śnieg pada., a następnie uogólnia uogólnia (**) do następującej postaci: (***) dla dowolnego p — "p" jest zdaniem prawdziwym wtedy i tylko wtedy,
gdy p oraz (****) dla dowolnego x — x jest zdaniem prawdziwym wtedy i tylko wtedy, gdy — dla pewnego p — x
jest identyczne z "p" i przy tym p. Zauważa jednak, że nazwy cudzysłowowe
można traktować jak pojedyncze wyrazy języka. W szczególności nazwa
"p" jest niczym więcej niż tylko literą alfabetu. Chcąc uogólniać
(**) nie otrzymamy (***) lub (****), a raczej zdanie: "p"
jest zdaniem prawdziwym wtedy i tylko wtedy, gdy śnieg pada. Poza tym z
(***) można wyprowadzić dwa sprzeczne wnioski: "p"
jest zdaniem prawdziwym wtedy i tylko wtedy, gdy śnieg pada oraz "p"
jest zdaniem prawdziwym wtedy i tylko wtedy, gdy śnieg nie pada. Podobnie
tłumaczy, dlaczego nie można użyć nazwy strukturalnoopisowej dla sformułowania
definicji zdania prawdziwego. W końcu Tarski formułuje dumny wniosek: próba
zbudowania poprawnej definicji semantycznej wyrażenia „zdanie prawdziwe"
dla języka potocznego napotyka bardzo istotne trudności. Widać, że nie
znamy nawet ogólnej metody budowy takiej definicji. Po odrzuceniu definicji
semantycznej pozostaje próba zbudowania definicji strukturalnej. Ogólny
schemat takiej definicji to: zdanie
prawdziwe to wyrażenie posiadające takie a takie własności strukturalne
lub też dające się uzyskać z takich a takich strukturalnie opisanych wyrażeń
przy pomocy takich a takich strukturalnych przekształceń. Zauważa, że
nie potrafimy strukturalnie spośród wyrażeń języka wyróżnić tych, które
są zdaniami, tym bardziej zaś nie umiemy wyodrębnić tych zdań, które są
zdaniami prawdziwymi. To doprowadza go do wniosku, iż niemożliwe jest
stworzenie strukturalnej definicji zdania prawdziwego dla języka potocznego.
Sama możność konsekwentnego i przy
tym zgodnego z zasadami logiki i duchem języka potocznego operowania wyrażeniem
„zdanie prawdziwe" i, co za tym idzie, możność zbudowania jakiejkolwiek
poprawnej definicji tego wyrażenia wydaje się mocno zakwestionowana. [ 7 ]
W książce Żegnaj,
Kartezjuszu, znany amerykański matematyk, Keith Devlin, pisze, że jednym z najbardziej owocnych osiągnięć wczesnej fazy dwudziestowiecznej logiki
matematycznej było znalezienie sposobu oddzielenia znaczenia od języka -
sporządzenie ścisłego opisu semantyki formalnego języka matematycznego
(znaczeń dobrze zbudowanych formuł tego języka) w odróżnieniu od jego składni
(reguł gramatycznych tego języka). Logiczną teorię (matematycznego)
znaczenia — klucz do oddzielenia znaczenia od języka zawdzięczamy właśnie
Tarskiemu. Punktem wyjścia jego teorii jest bowiem proste, lecz bardzo
istotne spostrzeżenie dotyczące każdego języka, formalnego lub
naturalnego. Językowi samemu w sobie nie przysługują znaczenia. Znaczenie
nie jest wewnętrzną własnością języka. Znaczenie słowa lub zdania zależy
od tego, do czego to słowo lub zdanie się odnosi. Badania Tarskiego, z wyżej
przedstawionych względów, dotyczyły tylko algebry czyli języka matematyki
skończonego rzędu. W latach sześćdziesiątych próbowano przeprowadzić
analogiczne analizy języków naturalnych, lecz sukcesy były ograniczone, gdyż
teoria Tarskiego nie daje się automatycznie przenieść na ten teren. Można
natomiast przenieść do badań nad językami naturalnymi ideę badań
oddzielenia składni od semantyki. Praca Tarskiego stałą się w ten sposób
inspiracją dla lingwistów, którzy w latach pięćdziesiątych w swoich
badaniach nad językami naturalnymi oddzielili syntaktykę od semantyki. Umożliwiło
to analizowanie i manipulowanie formułami symbolicznymi bez ograniczeń związanych z ich znaczeniem. Możemy zatem posługiwać się językiem w sytuacjach, gdy
nie znamy znaczeń, a nawet gdy znaczeń tych nie ma.
Podczas zeszłego
stulecia logicy wielokrotnie pokazali, że wiele można zyskać, nauczywszy się
„pływać wśród symboli", tj. rozumować za pomocą manipulowania
abstrakcyjnymi symbolami, uwolnionymi od znaczeń. W nowszych czasach techniki
logiki abstrahujące od znaczenia umożliwiły nam programowanie komputerów — dla których nic nie posiada znaczenia — tak, by przeprowadzały one
logiczne rozumowania. [ 8 ] Z komputerami potrafimy nawet wymieniać informacje i, jak się okazuje, nie
zawsze potrafimy odróżnić, czy rozmawiamy z maszyną, czy z człowiekiem.
*
Bibliografia:
Alfred Tarski, Pisma logiczno — filozoficzne,
tom 1 — prawda, Warszawa 1995
Keith
Devlin, Żegnaj, Kartezjuszu, Warszawa
1999
J. Casti, W. DePauli, Goedel, życie i logika,
Warszawa 2003
J.
A. Stuchliński, Definicja zdania
prawdziwego, Warszawa 2002.
1 2
Przypisy: [ 6 ] J. Casti, W. DePauli, Goedel, życie i logika, Warszawa 2003, s.45-56. [ 7 ] Alfred
Tarski, op.cit., s.17-31. [ 8 ] Por.
Keith Devlin, Żegnaj, Kartezjuszu,
Warszawa 1999, s.120-125. « Matematyka i logika (Publikacja: 24-08-2004 )
Wszelkie prawa zastrzeżone. Prawa autorskie tego tekstu należą do autora i/lub serwisu Racjonalista.pl.
Żadna część tego tekstu nie może być przedrukowywana, reprodukowana ani wykorzystywana w jakiejkolwiek formie,
bez zgody właściciela praw autorskich. Wszelkie naruszenia praw autorskich podlegają sankcjom przewidzianym w
kodeksie karnym i ustawie o prawie autorskim i prawach pokrewnych.str. 3573 |
|